8.特殊元素优先方法

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(20-08):特殊元素优先方法(530) 1347 特殊元素优先方法 母题(20-08):(1989年全国高考试题)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有( ) (a)60个 (b)48个 (c)36个 (d)24个解析:由于偶数的末尾数字必须是偶数,优先考虑特殊位置(个位数):由2,4中选择一个排在个位,有c21种;再考虑最高位,只能从1,2,3,4中选择一个,但个位已经占用了一个,所以,有c31种;其它三位数是没有限制,有a3

2、3种共有c21c31a33=36.故选(c).点评:把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于存在特殊元素或者特殊位置的排列问题,我们可以优先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊元素优先法. 子题(1):(1993年上海高考试题)1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念.若老师不排在两端,则共有不同排法 种(结果用数值表示).解析:优先考虑特殊元素(老师)的排法,因老师不排在两端,故可在中间三个位置上来排,有3种;剩下的位置由4名学生全排列,有a44种.不同排法=3a44=72. 注:特殊元素优先法的要点是:指定特殊元素;优先安排特殊元素;安排非特殊元素,利

3、用分步计数原理求解. 子题(2):(1988年上海高考试题)从6个运动员中选出4人参加4100米接力赛,如果甲、乙两人都不能跑第一棒,那么共有 种不同的参赛方案(要求结果用数字表达).解析:优先考虑特殊位置(第一棒),因甲、乙两人都不跑第一棒,则第一棒有4种选择方法;从剩余的五人中任取3人,分别跑第2、3、4棒,有a53=60种选择方法共有460=240种. 注:特殊元素优先法中的特殊元素:可以是特殊位置;特殊元素是相对的;特殊元素与特殊位置可以互换. 子题(3):(2013年浙江高考试题)将a,b,c,d,e,f六个字母排成一排,且a,b均在c的同侧,则不同的排法有 种(用数字作答).解析:

4、在本题中,c是特殊元素,优先考虑c的位置:字母c排在左边第一个位置,有a种;字母c排在左边第二个位置,有aa种;字母c排在左边第三个位置,有aa+aa种,由对称性可知共有2(a+aa+aa+aa)=480种. 注:在选定特殊元素的条件下,以特殊元素可能情况分类求解是特殊元素优先法的表现形式之一. 子题系列:1.(1992年上海高考试题)由1,2,3,4,5组成比40000小的没有重复数字的五位数的个数是 (结果用数值表示).2.(2007年四川高考试题)(文)用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )(a)48个 (b)36个 (c)24个 (d)18

5、个3.(2009年北京高考试题)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) (a)8 (b)24 (c)48 (d)1204.(2007年四川高考试题)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )(a)288个 (b)240个 (c)144个 (d)126个5.(2009年陕西高考试题)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( ) (a)300 (b)216 (c)180 (d)1626.(2006年天津高考试题)用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1

6、、2相邻的偶数有 个(用数字作答).7.(2010年四川高考试题)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )(a)72 (b)96 (c)108 (d)1448.(2005年辽宁高考试题)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1和2相邻,3与4相邻,5与6 1348 母题(20-08):特殊元素优先方法(530) 相邻,而7与8不相邻,这样的八位数共有 个(用数字作答).9.(2006年上海春招试题)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数

7、值表示).10.(2007年重庆高考试题)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为 (以数字作答).11.(2009年浙江高考试题)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答).12.(2008年海南高考试题)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( ) (a)20种 (b)30种 (c)40种 (d)60种13.(2

8、008年陕西高考试题)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答).14.(2010年湖北高考试题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是( ) (a)152 (b)126 (c)90 (d)5415.(2014年四川高考试题)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能

9、排甲,则不同的排法共有( )(a)192 (b)216 (c)240 (d)288 子题详解:1.解:最高位上的数字只能为1、2、3,有方法a31种;再排其它位,有a44种比40000小的五位数的个数为a31a44=72.2.解:个位是2的有3a33=18个;个位是4的有3a33=18个.共有36个.故选(b).3.解:个位是2的有a43;个位是4的有a43;2a43=48.故选(c).4.解:2在首位,则0或4在末位:c21a44=48;4在首位,则0或2在末位:c21a44=48;3,5在首位,则0,2,4在末位:c21c31a44=144.共有:48+48+144=240.故选(b).5

10、.解:第一类:从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为c32a44=72;第二类:取0,此时2和4只能取一个,0还有可能排在首位,组成没有重复数字的四位数的个数为c32c21a44-a33=108.组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180.故选(c).6.解:0在末尾时,将1和2捆绑,此时有a22乘以a33等于12种;2在末尾时,1在十位,在3或4中取一个在万位,则此时有a22乘以a22等于4种;4在末尾时,方法和0的时候一样,只是要减去0在万位的情况,此时有12减去a22乘以a22等于8种.所以总共有12+4+8等于24种.7.解:先选一个偶

11、数字排个位,有3种选法;若5在十位或十万位,则1、3有三个位置可排,3a32a22=24个;若5排在百位、千位或万位,则1、3只有两个位置可排,共3a22a22=123个;共计3(24+12)=108个.故选(c).8.解:首先把1和2相邻,3与4相邻,5与6相邻当做三个元素进行排列有a33种结果,这三个元素形成四个空,把7和8在这四个位置排列有a42种结果,三对相邻的元素内部各还有一个排列a22,根据分步计数原理得到这种数字的总数有a33a42a22a22a22=576.9.解:a22a44=48.10.解:先排数学课有c31种排法,再排最后一节有c41种排法,剩余的有a44种排法共有c31c41a44=288种排法.11.解:每一个只站一人有a73种;一个台阶有2人另一个是1人共有c31a72种共有a73+c31a72=336种.12.解:甲安排在周一:a42;甲安排在周二:a32;甲安排在周三:a22.a42+a32+a22=20.故选(a).13