电容静电能量

1、 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-221 授课计划授课计划 重点内容回顾重点内容回顾 及疑难解答及疑难解答 教教 学学 内内 容容 主主 要要 知知 识识 点点 重点重点 难点难点 思考题思考题 与作业与作业 备注备注 场图、实验演示、习题。场图、实验演示、习题。 1-8 电容与部分电容 电容的定义、计算电容的定义、计算 1-9 静电能量与力 电场能量的计算式及其相互差异电场能量的计算式及其相互差异 力的计算力的计算虚位移法。虚位移法。 总结 能量的计算；能量的计算； 虚位移的选择；广义力与广义

2、坐标。虚位移的选择；广义力与广义坐标。 1-9-2(1),(2)， 1-9-4 预习预习chap.2 镜像电荷的数量、大小的确定（镜像电荷的数量、大小的确定（唯一性定理唯一性定理+叠加定理）叠加定理）； 适用范围（适用范围（有效区有效区）。）。 测验测验：点电荷与介质平面、与接地导体球的镜像、电轴法公式。点电荷与介质平面、与接地导体球的镜像、电轴法公式。 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-222 总结 1. 电容的计算电容的计算 U Q C 2. 静电能量的计算静电能量的计算 V e dVW 2

3、1 (1-101) S e dSW 2 1 (1-102) n k kke qW 1 2 1 (1-103) (1-105) V e dVEDW 2 1 点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能 V，S指场源所在区域（有限）指场源所在区域（有限） V指整个场域（无限大）指整个场域（无限大） 3.电场力的计算电场力的计算 常数 k q e g W F 常数 k g W F e 虚位移法虚位移法 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-223 回顾 1. 点点(线线)电荷与导体平面电荷与导体平面 2.

4、点点(线线)电荷与平面介质电荷与平面介质 qqq qq 21 21 -q 0 q 0 q 0 = 3. 点电荷与导体球点电荷与导体球 4. 圆柱导体之间圆柱导体之间(电轴法电轴法) d R b q d R q 2 Rq d o b -q x y bb h aa 222 hba q 1 2 q 1 1 2 2 =+ 唯一性定理唯一性定理 叠加定理叠加定理 注意有效区！注意有效区！ 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-224 静电场计算小结静电场计算小结 静电场分析计算的类型：静电场分析计算的类型： 第

5、一类第一类： 给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。给定空间的电荷分布，求电位和电场的分布。 对于对于这这一类问题的求解，可以应用静电场中的积一类问题的求解，可以应用静电场中的积 分方程，即分方程，即 V Vd R Rr rE 3 0 ) ( 4 1 )( VR Vd 0 4 1 对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中对于某些对称场的问题，可直接应用高斯定理中 求解。求解。 qSdD S 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-225 静电场分析计算的类型静电场分析计算的类型 第二类：第二类： 给

6、定空间某一区域内的电荷分布，同时给定该区给定空间某一区域内的电荷分布，同时给定该区 域边界上的电位或电场，即边界条件，在这种条件下域边界上的电位或电场，即边界条件，在这种条件下 求解区域内的电位和电场分布。这类问题也称为边值求解区域内的电位和电场分布。这类问题也称为边值 问题。问题。 对于这类边值问题的求解，一是直接求解微分方对于这类边值问题的求解，一是直接求解微分方 程，其中解析计算方法主要有直接积分法程，其中解析计算方法主要有直接积分法( (一维问题一维问题) ) 和分离变量法和分离变量法( (二维和三维问题二维和三维问题) )，数值计算法有差分，数值计算法有差分 法、有限元法、模拟电荷法

7、和矩量法等。二是间接计法、有限元法、模拟电荷法和矩量法等。二是间接计 算法，如镜像法，电轴法。算法，如镜像法，电轴法。 1. 镜像法，电轴法镜像法，电轴法 2. 高斯定理高斯定理 3. 静电场积分方程静电场积分方程 4. 求解微分方程求解微分方程 先判断题目类型，再决定解题方法。先判断题目类型，再决定解题方法。 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-226 1-8 电容电容 静电场参数计算静电场参数计算 之一之一 1.电容的定义电容的定义 2.电容的计算电容的计算 假设假设QE 高斯定高斯定理理 ,U

8、 E U Q C 假设假设U 2 =0 E,DQ q p l dE U Q C 关键是场的计算关键是场的计算 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-227 电容计算举例 例1 平行板电容器由两块面积为S，相隔距离为d 的平行导体板组成，极板间填充介电常数为r0 的电介质，求电容量。 电 容 器 截 面 图 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-228 21 )(CzCz其解为 Uddz z )(, 0)0(,

9、 0 边界条件z d U z )( 解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为：解：忽略电场的边缘效应，拉普拉斯方程简化为： 极板间的电场强度为极板间的电场强度为 电通密度为电通密度为 d U eD z d U eE z d U D d U SSQ d S U Q C 电容为电容为 电 容 器 截 面 图 0 2 2 dz d 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-229 例2 半径分别为a和b的同轴线，外加电压U，如 图所示，圆柱面电极间在图示角部分充满介 电常数为 的介质，其余部分为空气，求介质

10、与空气中的电场和单位长度上的电容量。 解：两个区域的电位解：两个区域的电位方程均方程均为：为： BAln 21 a b 0 1 2 由边界条件 0)()(, )()(, 21 21 bbb Uaaa 0ln)( ln)( BbAb UBaAa b b a U B b a U Aln ln , ln b a b U ln ln 21e a b U EE ln 21 0 1 2 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2210 a b U ln )2( 0 111 DD n 内导体表面单位长度上的电荷量 a

11、aq 21 )2( aDaD rr21 )2( 单位长度的电容为单位长度的电容为 a b U q C ln )2( 0 222 DD n a b 0 1 2 e a b U ED ln 0 101 e a b U ED ln 22 a b U a b U lnln 2 0 例2, 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2211 多导体系统的部分电容（p47） NNNNNN NN NN qqq qqq qqq 2211 22221212 12121111 多导体系统 NNNNNN NN NN q q q

12、 2211 22221212 12121111 iNiiiiijij CC 21 和引入符号 )()()0( )()()( 112112110 1121121112111 NN NNN CCC q 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2212 )0()()( )()0()( )()()0( 02211 2222012212 1121121101 NNNNNNn NN NN CCCq CCCq CCCq 同理有 002211 22202021212 11121210101 NNNNNNn NN NN

13、UCUCUCq UCUCUCq UCUCUCq 202021212 121210101 UCUCq UCUCq 所以所以 2020210101 UCqUCq， 静电屏蔽在静电屏蔽在工程上有广泛应用工程上有广泛应用。 静电屏蔽 三导体系统的方程为：三导体系统的方程为： 4. 4. 静电屏蔽静电屏蔽 当当 时，时， 0 1 q0 1212 UC 0 2112 CC ;0 10 U 说明说明 1 1 号与号与 2 2 号导体之号导体之 间无静电联系，实现了静电屏蔽。间无静电联系，实现了静电屏蔽。 下 页上 页 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工

14、程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2214 电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电电场的最基本特征是对静止的电荷有作用力，即对任一种电 荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也就有与之相关联的荷分布总存在着与之相关联的力系统，因此也就有与之相关联的 能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形能量储存在系统中，在静态条件下带电体系的能量完全以势能形 式存在着，称为静电能。式存在着，称为静电能。 1-9 静电能量与力 静电场参数计算之二 电场能量的来源电场能量的来源? 由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源、外力由建立电荷系统的过程中外界的能源提供。如电源

15、、外力 1. 点电荷系统的电场能量表达式 以三个点电荷系统为例。设介质为线性、均匀，原来空间以三个点电荷系统为例。设介质为线性、均匀，原来空间 既无电场也无电荷。既无电场也无电荷。 1 2 3 q3q1q2 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2215 Step1: 把点电荷把点电荷q1从无穷远处移到位置从无穷远处移到位置1，没受到任何阻力（无电，没受到任何阻力（无电 场），不做功场），不做功。 1 2 3 q1 q2 2122 qW 12 1 2 4R q q 将上述过程调换顺序，有将上述过程调换

16、顺序，有 0 2 W 0 1 W 12 2 1 4R q q 1211 qW 2 W kikiki qq 212121 qq 把点电荷把点电荷q2从无穷远处移到位置从无穷远处移到位置2，受到，受到q1产生的电场对它产生的电场对它 的阻力，做功的阻力，做功 ，建立电场能量，建立电场能量W2 。 Step2: q1 q3 q2 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2216 Step3: q3 )( 32313333 qqW 32 2 3 31 1 3 44R q q R q q 32 3 2 31 3

17、1 44R q q R q q ) 3232131 Wqq 总能量总能量 323313212321 qqqWWWW 232131121 qqq 232131121323313212 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 qqqqqq )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 323132321213121 qqq 332211 2 1 2 1 2 1 qqq 对于对于n个点电荷的系统个点电荷的系统 n k kke qW 1 2 1 n kjj kj n k k q , 11 2 1 n kjj kj j n k k R q q , 11 42 1 1 2 3 q1 q2 把点电荷把点

18、电荷q3从无穷远处移到位置从无穷远处移到位置3， 受到受到q1 、q2产生的电场产生的电场 对它的阻力做功，建立电场能量对它的阻力做功，建立电场能量W3 。 q3 点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2217 2.分布电荷系统的静电能量 对于某体积单元对于某体积单元dV，其电位为，其电位为 ，送入微分电荷，送入微分电荷(d )dV， 能量增量为能量增量为( )(d )dV。 dVdW V e 设系统完全建立时，最终的电荷分布为设系统完全建立时，最终的电荷

19、分布为,电位函数为电位函数为。如果。如果 在充电过程中使各点的电荷密度按其最终值的同一比例因子在充电过程中使各点的电荷密度按其最终值的同一比例因子增加增加, 则各点的电位也按同一因子增加。则各点的电位也按同一因子增加。 整个空间增加的能量为整个空间增加的能量为 整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为整个充电过程中增加的能量就是系统增加的总能量，为 VV e dVdVdW 2 1 1 0 V e dVW 2 1 (1-101) 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2218 若是带电导体系统，

20、每个导体的电位为常数若是带电导体系统，每个导体的电位为常数 若电荷分布在表面上，其面密度为若电荷分布在表面上，其面密度为，则，则 S e dSW 2 1 ii S iie qdSW i 2 1 2 1 (1-102) n k kke qW 1 2 1 (1-103) 对于点电荷系统对于点电荷系统 n k kke qW 1 2 1 n kjj kj n k k q , 11 2 1 n kjj kj j n k k R q q , 11 42 1 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2219 可推导出

21、静电能量的另一表示式可推导出静电能量的另一表示式 S SdD V dVDD 2 1 静电能量的分布静电能量的分布 V e dVW 2 1 由由 E D dVDW V e 2 1 DDD )(P334 VS dVDESdD 2 1 2 1 SdAdVA SV 高斯散度定理高斯散度定理 2 3 1 R R 0 1 R R 对于场源在有限范围内分布的情况，取无限大空间作为积分区域，则对于场源在有限范围内分布的情况，取无限大空间作为积分区域，则 (1-105) V e dVEDW 2 1 EDwe 2 1 静电能量体静电能量体 密度密度 2 2 1 Ewe 对于线性各向同性介质对于线性各向同性介质 V

22、 e dVEW 2 2 1 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2220 静电能量的计算小结静电能量的计算小结 V e dVW 2 1 (1-101) S e dSW 2 1 (1-102) n k kke qW 1 2 1 (1-103) (1-105) V e dVEDW 2 1 点电荷系统的相互作用能（点电荷系统的相互作用能（例例1-23） V，S指场源所在区域（有限）指场源所在区域（有限） V指整个场域（无限大）指整个场域（无限大） 河北工业大学河北工业大学 Hebei University

23、 of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2221 例1 部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量，已知部分填充介质的同轴线，求介质与空气中单位长度内的电场能量，已知 同轴线内导体电位同轴线内导体电位1=U0 ，外导体电位为零，外导体电位为零。 a b 0 1 2 解法一： 由前面例由前面例2可知，内导体单位长度上的电荷量为可知，内导体单位长度上的电荷量为 0 , 2211 2 1 2 1 2 1 2 1 UqqqqW iie 2 ln 0 0 a b U q， 2 00 2 0 2 1 ln 2 ln 2 1 UC a b a b UWe 单位

24、长度内的电场能量单位长度内的电场能量 单位长度上的电容单位长度上的电容 a b U q C ln )2( 0 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2222 解法二：解法二： 由例由例2可知，空气和介质中的电场强度相等可知，空气和介质中的电场强度相等 空气和介质中的能量密度空气和介质中的能量密度 a b U Ewe 22 2 0 0 2 01 ln 2 1 2 1 对场空间体积分对场空间体积分,得单位长度的电场能量为得单位长度的电场能量为 0 2 2 0 2 021 2 1 2 1 b a b a e

25、e ddEddEWWW 2 00 2 0 2 1 )2( ln 1 2 1 UC a b U a b U Ewe 22 2 0 2 2 ln 2 1 2 1 a b U W C e ln )2(2 0 2 0 e a b U rE ln )( 0 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2223 3. 静电力静电力虚位移法虚位移法 EqF 点电荷的电场力点电荷的电场力 虚位移法的理论依据是能量守恒虚位移法的理论依据是能量守恒 对某多导体系统，假设系统内某一导体因受静电力对某多导体系统，假设系统内某一导体

26、因受静电力F的作用引的作用引 起某种位移起某种位移dg，则静电力所作的功为，则静电力所作的功为Fdg。 该位移使得该导体与其他该位移使得该导体与其他所有所有导体之间的相对位置发生改变，导体之间的相对位置发生改变， 导体的电位亦发生变化，则系统的静电能量随之变化为导体的电位亦发生变化，则系统的静电能量随之变化为dWe。 按照能量守恒的原理，这两项能量的改变应由电源提供按照能量守恒的原理，这两项能量的改变应由电源提供dW。 dW= dWe + Fdg 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2224 1)

27、常电荷系统常电荷系统 电场能量的增量为电场能量的增量为 假定导体系统内各导体与外加电源不相连，此时各导体的电假定导体系统内各导体与外加电源不相连，此时各导体的电 荷保持为常数，此时外界电源不作功，荷保持为常数，此时外界电源不作功，dW=0。 故电场能量的增量全部用于静电力作功，这时静电力计算故电场能量的增量全部用于静电力作功，这时静电力计算 为为 kke qdW 2 1 常数 k q e g W F 如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电位的变化，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上的电位的变化， 从而引起电场能量的改变。从而引起电场能量的改变。 dW= dWe + Fdg 力的方向

28、如何判断？力的方向如何判断？ F0，力的方向沿位移增加的方向力的方向沿位移增加的方向 F0，力的方向沿位移减小的方向力的方向沿位移减小的方向 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2225 例例2.孤立导体球孤立导体球常电荷常电荷 如一半径为如一半径为R的孤立导体球充电后与电源断开，这时带电量的孤立导体球充电后与电源断开，这时带电量q 为常量，设无限远处电位为零。则总的静电能量为为常量，设无限远处电位为零。则总的静电能量为 R q qWe 0 2 42 1 2 1 常数 k q e g W F 常数

29、k q e R W 2 0 2 8R q 2 0 2 1 Ewf e 22 0 4 2 1 RE R R R q RE R q R )( 4 )( 4 )( 2 0 0 ED 2 1 法拉第观点法拉第观点 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2226 2) 常电位系统常电位系统 电场能量的增量为电场能量的增量为 假定导体系统内各导体保持与外加电源相连，此时各导体的假定导体系统内各导体保持与外加电源相连，此时各导体的 电位保持为常数，如某一导体发生位移，则必然引起所有导体上电位保持为常数，如某一导体发

30、生位移，则必然引起所有导体上 的电荷量变化。故外界电源所作的功为的电荷量变化。故外界电源所作的功为 故电源提供的能量一半用于电场储能，另一半用于静电力故电源提供的能量一半用于电场储能，另一半用于静电力 作功，这时静电力计算为作功，这时静电力计算为 kk qdW kke qdW 2 1 常数 k g W F e 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2227 假定半径为假定半径为R的孤立导体球的电位的孤立导体球的电位 =U=常数，总的静电能量为常数，总的静电能量为 qUqWe 2 1 2 1 静电力静电

31、力 URU 0 4 2 1 2 0 2 1 4 2 1 U R R 2 0 2RU 2 0 2U 22 0 4 2 1 RE 例例3.孤立导体球孤立导体球常电位常电位 常数 k U e R W 常数 k g W F e 222 0 2 ) 4 (ER R q U R R R q RE R q R )( 4 )( 4 )( 2 0 0 2 0 2 1 Ewf e 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2228 例4 平行板电容器宽为平行板电容器宽为w，长为，长为l，极间距离为，极间距离为d,其中宽度等于

32、其中宽度等于 x(xw)的部分区域充满了介电常数为的部分区域充满了介电常数为的介质，求电介质受到的的介质，求电介质受到的 静电力。静电力。 部 分 填 充 电 介 质 的 电 容 器 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2229 解: 平行板电容器中的储能为平行板电容器中的储能为(忽略边缘效应忽略边缘效应) 假定电容器与电源相连，则假定电容器与电源相连，则U不变，设位移变化量为不变，设位移变化量为x, 静电力为静电力为 xld d U ldxw d U We 22 0 2 1 2 1 ld d U

33、ld d U 2 2 2 2 0 2 1 ) 1( 2 1 ldE 2 0 2 1 x We 常数 k g W F e 位于电容器内的介质板侧面上单位面积上的力为位于电容器内的介质板侧面上单位面积上的力为 ld F f PE 2 1 2 0 2 1 E 0 ee ww p w 部 分 填 充 电 介 质 的 电 容 器 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2230 例1-27 P59 结论：结论： 1. 1. 力总是垂直于介质分界面；力总是垂直于介质分界面； 2. 2. 力的方向总是由介电常数大的一

34、边指向介电常数小的一边。力的方向总是由介电常数大的一边指向介电常数小的一边。 水滴水滴 80 r 气泡气泡 1 r 12 r 变压器油变压器油 E 气泡气泡 1 r 水滴水滴 80 r 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2231 预习内容及思考题预习内容及思考题第二章第一讲第二章第一讲 教教 学学 内内 容容 主主 要要 知知 识识 点点 及及 预预 习习 思思 考考 题题 静电场分析总结静电场分析总结：主线是什么？：主线是什么？ 方法是什么？方法是什么？ 第二章第二章 恒定电场恒定电场注意与静电

35、场的对比注意与静电场的对比 2-1 导电媒质中的电流导电媒质中的电流产生恒定电场的源产生恒定电场的源 1. 电流体密度、面密度、线密度、元电流的概念；电流体密度、面密度、线密度、元电流的概念； 2. 电流密度与电场强度的关系电流密度与电场强度的关系 2-2 电源电动势与局外场强电源电动势与局外场强一般了解一般了解 2-3 恒定电场基本方程恒定电场基本方程. .分界面的衔接条件分界面的衔接条件 1. 积分方程；积分方程； 2. 微分方程；微分方程； 3. 位函数及其方程；位函数及其方程； 4. 衔接条件；衔接条件； 5. 导体的功率损耗。导体的功率损耗。 河北工业大学河北工业大学 Hebei U

36、niversity of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2232 静电场分析总结 1-1 电场强度，电位 1. 电荷与电荷分布电荷与电荷分布 2. 电场强度、库仑定律电场强度、库仑定律 基本变量及其环量方程基本变量及其环量方程 3. 电位函数电位函数 位函数位函数 1-2 高斯定理 1. 真空中的高斯定理真空中的高斯定理 基本变量及其通量方程基本变量及其通量方程 2. 导体导体 3. 电介质电介质 4. 电位移矢量电位移矢量 5. 介质中的高斯定理介质中的高斯定理 1. 积分形式的基本方程积分形式的基本方程 积分方程积分方程 2. 微分形式的基本方程微分形式的基本方程 微分方程微分方程 3. 两种介质分界面的衔接条件两种介质分界面的衔接条件 衔接条件衔接条件 1-3 静电场基本方程与分界面上的衔接条件 方程方程 基本变量基本变量 场源场源 亥亥 姆姆 霍霍 兹兹 定定 理理 河北工业大学河北工业大学 Hebei University of Technology 工程电磁场导论工程电磁场导论 2021-6-2233 1-4 静电场边值问题静电场边值问题 1. 静电场位函数方程静电场位函数方程 2. 边值问题及其