傅里叶级数的应用和习题

1、第五节第五节 傅里叶级数傅里叶级数 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 三三、正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数 一、三角级数一、三角级数, ,三角函数系的正交性三角函数系的正交性 一一. .三角级数三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 在高等数学学习当中，接触两类在高等数学学习当中，接触两类基函数基函数： 函数在函数在一点一点的性质的性质 周期函数周期函数(整体性质整体性质) Fourier级数级数 三角级数三角级数 表达周期函数表达周期函数 nn n x,x,x,xxxu 32 1 )( n n n xxaxf)()( 0 0 nxnxxx,x,x, nx nx

2、xu n cos,sin2cos2sincossin1 cos sin )( 1 0 )sin()( n nn tnAAtf 谐波分析谐波分析 1 0 )sincoscossin( n nnnn tnAtnAA 1 0 )sincos( 2 n nn nxbnxa a , 2 0 0 A a 令令,sin nnn Aa ,cos nnn Ab , xt 称为三角级数称为三角级数. . 简单的周期运动简单的周期运动 : : )sin( tAy 复杂的周期运动复杂的周期运动 : : 为振幅，为振幅，A为角频率，为角频率， .为初相为初相 得级数得级数 ( (一一) )三角级数三角级数 表达周期函数

3、表达周期函数 1757年年,法国数学家法国数学家克莱罗克莱罗在研究太阳引起的摄动时在研究太阳引起的摄动时, .cos2)( 1 0 n n nxAAxf 大胆地采用了三角级数表示函数大胆地采用了三角级数表示函数: .dcos)( 2 12 0 xnxxfAn其中 1759年年,拉格朗日拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数在对声学的研究中使用了三角级数. 1777年年,欧拉欧拉在天文学的研究中在天文学的研究中,用三角函数的正交性用三角函数的正交性 得到了将函数表示成三角函数时的系数得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数也就是现今教科书中傅立叶级数的系数. 在历

4、史上在历史上, ,三角级数三角级数的出现和发展与求解微分方程的出现和发展与求解微分方程 1753年年.丹丹 贝努利贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为首先提出将弦振动方程的解表示为 是分不开的是分不开的. . 三角级数的形式三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展促进了它的发展. 1822年,傅立叶傅立叶在在 热的解析理论热的解析理论 一书中一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形特殊的情形 采用的三角级数方法进行加工处理采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论发展成一般理论. 傅立叶傅立叶

5、指出指出: : )(),(xf上的有界函数任意定义在 可以展开成级数可以展开成级数 其中其中 .)2 , 1(dsin)( 1 nxnxxfbn ,.)2 , 1 , 0(dcos)( 1 nxnxxfan .)sincos( 2 1 0 n nn nxbnxa a )(xf xxnkxnkd)cos()cos( 2 1 证证: 1xnxdcos 1xnxdsin0 xnxk coscos )(nk xxnxkdcoscos 0 0dsinsin xxnxk 同理可证同理可证 : ),2, 1(n xnkxnk)(cos)(cos 2 1 上在,正交正交 , ,上的积分等于上的积分等于 0 .

6、 即其中即其中任意两个不同任意两个不同的函数之积在的函数之积在 0dsincos xxnxk )(nk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( (二二) )、三角函数系的正交性、三角函数系的正交性 ,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx 上的积分不等于上的积分不等于 0 . , 2d11 x xxn dsin 2 xxn dcos2 ),2, 1(n , 2 2cos1 cos 2 xn xn 2 2cos1 sin 2 xn xn 且有且有 但是在三角函数系中两个但是在三角函数系中两个相同相同的函数的乘积在的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

7、 二、以二、以2 2 为周期的函为周期的函数的傅里叶级数数的傅里叶级数 问题问题: :是是什什么么？数数，若若函函数数能能展展开开成成三三角角级级 ii ba ,. 1 2. 展开的条件是什么展开的条件是什么? ? 的周期函数，的周期函数，是周期为是周期为设设2)(xf .)1( 0 a求求 xkxbkxax a xxf k kk d )sincos(d 2 d)( 1 0 1 0 )sincos( 2 )( k kk kxbkxa a xf 且能展开成三角级数且能展开成三角级数 ,2 2 0 a .d)( 1 0 xxfa则则 xkxbxkxax a k k k k dsindcosd 2

8、1 1 0 .)2( n a求求 xnx a xnxxfdcos 2 dcos)( 0 dcossindcoscos 1 xnxkxbxnxkxa k k k (利用正交性利用正交性) xnxandcos2, n a xnxxfandcos)( 1 则则)., 3 , 2 , 1( n .)3( n b求求 xnxxfbndsin)( 1 则则)., 3 , 2 , 1( n xnx a xnxxfdsin 2 dsin)( 0 dsinsindsincos 1 xnxkxbxnxkxa k k k , n b (利用正交性利用正交性) ), 2 , 1(,dsin)( 1 ), 2 , 1

9、, 0(,dcos)( 1 nxnxxfb nxnxxfa n n 2 0 2 0 ), 2 , 1(,dsin)( 1 ), 2 , 1 , 0(,dcos)( 1 nxnxxfb nxnxxfa n n 或或 傅里叶系数傅里叶系数 代入傅里叶系数的三角级数称为代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数傅里叶级数 1 0 )sincos( 2n nn nxbnxa a 问题问题: : 1 0 )sincos( 2 ?)( n nn nxbnxa a xf条件条件 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? ? 狄利克雷狄利克雷于于1829年第一次对于傅立叶级数的收

10、敛性年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明给出了严格的证明. 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则. . 定理定理( (收敛定理收敛定理, , 展开定理展开定理) )设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的 周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有 1 0 sincos 2 n

11、 nn nxbnxa a , )(xf , 2 )()( xfxf x 为间断点为间断点 其中其中 nn ba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点 注意注意: 函数展成函数展成 傅傅里里叶级数的条叶级数的条 件比展成幂级数件比展成幂级数 的条件低得多的条件低得多. 简介 目录 上页 下页 返回 结束 的连续点，是设)(),(. 1 0 xfx 则有则有 ),(. 2x设 间断点，的是)(xf ;)()sincos( 2 : )( 1 0 xfnxbnxa a xS n nn ;)0()0( 2 1 )(xfxfxS 则有则有 时，当,.

12、3x有有 .)0()0( 2 1 )(ffxS 即即 例例1. 设设 f (x) 是是周期为周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为 ), x x xf 0,1 0,1 )( 解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数 xnxxfandcos)( 1 0 0 dcos1 1 dcos) 1( 1 xnxxnx ),2,1,0(0n 将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. o y x 1 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xnxxfbndsin)( 1 0 0 dsin1 1 dsin) 1( 1 xnxxnx 0 cos1 n nx 0 cos1 n

13、nx n n cos1 2 n n ) 1(1 2 , 4 n ,0 ,5,3,1n当 ,6,4,2n当 xxfsin 4 )( x3sin 3 1 xk k ) 12sin( 12 1 ),2,0,(xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),2,0,(xx 7 7sin x 9 9sin x 1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知, 时时, ,级数收敛于级数收敛于 0 2 11 2) 傅氏级数的部分和逼近傅氏级数的部分和逼近 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x o y x 1 1 说明: ), 2, 1, 0(kkx当 f (x) 的情况见右图的情况见右图. 机

14、动 目录 上页 下页 返回 结束 o t u 1 1 不同频率不同频率正弦波正弦波逐个叠加成逐个叠加成方波方波 ,7sin 7 14 ,5sin 5 14 ,3sin 3 14 ,sin 4 tttt 物理意义物理意义 )12sin( 12 1 3sin 3 1 sin 4 )( xk k xxxf ).,2, 0;( xx tusin 4 )3sin 3 1 (sin 4 ttu )5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttu )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 ttttu )7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4

15、)( tttttu )0,( tt )9sin 9 1 7sin 7 1 5sin 5 1 3sin 3 1 (sin 4 tttttu 傅里叶级数展开式的意义傅里叶级数展开式的意义函数的整体逼近函数的整体逼近. . 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. . .), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx 2 )( f 收敛于收敛于 2 0 . 2 .)( 0, 0 0, )( 2)( 展展开开为为傅傅里里叶叶级级数数将将 表表达达式式为为 的的周周期期函函数数，它它在在上上的的是是周周期期为为设设 xf x tx xf xf 例例2 ).()12

16、(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 txfa)d( 1 0 0 d 1 tx, 2 0 2 2 1 x 0 dcos 1 xxnx xnxxfandcos)( 1 0 2 cossin1 n nx n nxx 2 cos1 n n ), 2 , 1( 2, 0 12, )12( 2 2 k kn kn k xnxxfbndsin)( 1 . )1( 1 n n 0 dsin 1 xnxx 3 o 2 2 3 y x 2 )5sin 5 1 5cos 5 2 (4sin 4 1 )3sin 3 1 3cos 3 2 (2sin 2 1 )sincos 2 ( 4 )( 2 2 xxx

17、xxx xxxf ),3,( xx ),()()()2( xfxFT周期延拓周期延拓 )()( 2 1 ff端点处收敛于端点处收敛于 非周期函数展开成傅里叶级数非周期函数展开成傅里叶级数 即非周期函数，即非周期函数， 上有定义，上有定义，只在区间只在区间如果函数如果函数,)( xf 并且满足收敛定理的条件，并且满足收敛定理的条件， 可利用周期的可利用周期的延拓延拓展开成傅里叶级数，展开成傅里叶级数， ).(2 ,(, xF的的周周期期函函数数成成周周期期为为 拓拓广广外外补补充充函函数数定定义义，把把它它或或在在 ) , )(xxf 周期延拓周期延拓 )(xF 傅傅里里叶展开叶展开 ,)(在x

18、f上的傅上的傅里里叶级数叶级数 定义在定义在 , 上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法 ), , )(xxf , )2(kxf其它其它 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 将函数将函数 xx xx xf 0, 0, )( 级数级数 . o y x 则则 xxFad)( 1 0 xxfd)( 1 0 d 2 xx 0 2 2 2 x xnxxFandcos)( 1 xnxxfdcos)( 1 0 dcos 2 xnxx 0 2 cossin2 n nx n nxx 解解: 将将 f (x)延拓成以延拓成以 展成傅展成傅里里叶叶 2 为为周期周期的函数的函数 F(

19、x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x3cos 3 1 2 n a )1cos( 2 2 n n 12 kn kn2,0 ),2,1(k , 2 ) 12( 4 k xnxxFbndsin)( 1 xnxxfdsin)( 1 0 )(xf 2 4 xcosx5cos 5 1 2 )(x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 物理意义物理意义 1 2 )12cos( )12( 14 2 )( n xn n xf )( x 242 4 )(xf x y O 不同频率不同频率余弦波余弦波逐个叠加成逐个叠加成锯齿波锯齿波 利用此傅氏展开式求利用此傅氏展开式求几个几个特殊的级数的和特殊的级数的和

20、 ,)12cos( )12( 14 2 )( 1 2 n xn n xf因因为为有有 , 0)0(,0 fx时时当当, 5 1 3 1 1 8 22 2 , 4 1 3 1 2 1 1 222 设设 ), 8 ( 5 1 3 1 1 2 22 1 , 6 1 4 1 2 1 222 2 , 4 1 3 1 2 1 1 222 3 , 44 21 2 因因为为 , 243 2 1 2 所所以以 21 , 6 2 13 2. 12 2 例例4. 将函数将函数 tEtusin)( 展成傅里叶级数展成傅里叶级数, 其其中中E E 为正常数为正常数 . . 解解:)(tu 2 y xo 2 ; ),2,

21、1(0nbn 0 a 0 dsin 2 ttE E4 ttntuan 0 dcos)( 2 tt ntE 0 dcossin 2 0 d) 1sin() 1sin(ttntn E 延拓成以延拓成以2 2 为周为周 期期 的的函数函数 0 d)( 2 ttu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , t t 2cos 3 1 0 d) 1sin() 1sin(ttntn E an kn2 12, 0 kn ),2,1(k 1 a0 )(tu , ) 14( 4 2 k E 0 d2sintt E 2 1 t 4cos 15 1 t 6cos 35 1 E2 E4 xk k E k 2cos 14

22、14 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( 2 0 0 , 1 , 1 )( 2 处收敛于处收敛于傅里叶级数在点傅里叶级数在点 为周期的为周期的则以则以设设 x x x x xf ,)(满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件显然显然xf 例例5 5 解解 即即的平均值的平均值 与与处的和为处的和为其傅里叶级数在其傅里叶级数在 , )()( ffx 2 )()( ff 2 )1()1( 2 . 2 2 . 2 2 故应填入故应填入 三、正弦级数或余弦级数三、正弦级数或余弦级数 1.奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数 ),3 ,2 , 1(dsin)( 2 ),2 ,

23、1 ,0(0 )(2)1( 0 nxnxxfb na xf n n 数数为为级级数数时时，它它的的傅傅里里叶叶系系 展展开开成成傅傅里里叶叶的的奇奇函函数数当当周周期期为为 ), 3 , 2 , 1(0 ), 2 , 1 , 0(dcos)( 2 )(2)2( 0 nb nxnxxfa xf n n 数数为为级级数数时时，它它的的傅傅里里叶叶系系 展展开开成成傅傅里里叶叶的的偶偶函函数数当当周周期期为为 证证 ,)()1(是奇函数是奇函数设设xf xnxxfandcos)( 1 0 ), 3 , 2 , 1 , 0( n 奇函数奇函数 0 dsin)( 2 xnxxf )., 3 , 2 ,

24、1( n 同理可证同理可证(2) xnxxfbndsin)( 1 偶函数偶函数 证毕证毕 定义定义 . sin)( 1 称为正弦级数称为正弦级数 为奇函数，傅里叶级数为奇函数，傅里叶级数如果如果nxbxf n n . cos 2 )( 1 0 称为余弦级数称为余弦级数 为偶函数，傅里叶级数为偶函数，傅里叶级数如果如果nxa a xf n n 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. . ,), 2, 1, 0()12(处处不不连连续续在在点点 kkx 2 )()( ff 收敛于收敛于 2 )( , 0 ),()12(xfkxx处处收收敛敛于于在在连连续续点点 展开成傅里

25、叶级数展开成傅里叶级数，将，将上的表达式为上的表达式为 的周期函数，它在的周期函数，它在是周期为是周期为设设 )()( ),2)( xfxxf xf 例例4 4 ,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时因为因为 xfkx 2 2 3 3 x y 0 和函数图象和函数图象 ), 2 , 1 , 0(, 0 nan所以所以 0 dsin)( 2 xnxxfbn 0 dsin 2 xnxx 0 2 sincos2 n nx n nxx n n cos 2 ,)1( 2 1 n n ), 2 , 1( n )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2)( xxxxf .sin )1

26、( 2 1 1 n n nx n ),3,;( xx )5sin 5 1 4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxxxxy xy 观观 察察 两两 函函 数数 图图 形形 2. 在在0, 上的函数展成正弦级数与余弦级数上的函数展成正弦级数与余弦级数 ,0),(xxf )(xF 周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成 周期延拓 F (x) 余弦级数 奇延拓偶延拓 xo y 正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成 x o y , 0(),(xxf 0, 0 x )0,(),(xxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xF , 0(),(xxf )0

27、,(),(xxf 1 x y o 例例5. 将函数将函数 , 1 k )0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级 数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作作奇周期延拓奇周期延拓, 0 dsin)(xnxxf 2 n b 0 dsin) 1( 2 xnxx 0 2 cossincos2 n nx n nx n nxx nn n coscos1 2 12 kn kn2 ),2, 1(k , 12 22 k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 kn2 n b 12, 12 22 kn k ),2, 1(k 2 1x xsin)2

28、(x2sin 2 x3sin 3 2 x4sin 4 )0( x 注意注意: 在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 , 与给定函数与给定函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 x y o 因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . kn k 2, 1 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 1 xxxx )0( x 5sin)2( 5 1 4sin 4 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 xxxxxy 1 xy 再求余弦级数再求余弦级数. x 1 y 将)(xf则有则有 o 0 a 0 d) 1( 2 xx n a

29、 0 dcos) 1( 2 xnxx 0 2 2 2 x x 2 0 2 sincossin2 n nx n nx n nxx 1cos 2 2 n n 12, ) 12( 4 2 kn k kn2,0 ),2, 1(k 作,偶周期延拓偶周期延拓 机动 目录 上页 下页 返回 结束 kn 2,0 1 2 1 x xcosx3cos 3 1 2 )0( x x5cos 5 1 2 说明说明: 令 x = 0 可得 8 5 1 3 1 1 2 22 8) 12( 1 2 1 2 n k 即 4 1 2 1 2 ) 12( 14 k k xk) 12cos( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 y o x 1 xy )7cos 7 1 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 1 2 222 xxxxy 内容小结内容小结 1. 周期为 2 的函数的傅里