第四章振动学基础§41简谐振动

1、2021-6-22重庆邮电大学理学院1 大学物理大学物理（下）（下） 授课教师授课教师: :陈文鑫陈文鑫 联系电话：联系电话：1366762107113667621071电子邮件：电子邮件： QQQQ：909684741 15物理学习群物理学习群QQ： 292680372 群名：专业群名：专业+班级班级+姓名姓名 答疑时间答疑时间: :每周一下午每周一下午5 5、6 6节节 答疑地点：答疑地点：S107S107 作业作业: :学号为奇数的，单周交作业；学号为偶数的，双周交作业。学号为奇数的，单周交作业；学号为偶数的，双周交作业。 胡成华，夏川茴胡成华，夏川茴主编：主编：大学物理大学物理第三版第

2、三版 上册上册 教材：教材： 周平，冯庆周平，冯庆主编：主编：大学物理大学物理第三版第三版 下册下册 2021-6-22重庆邮电大学理学院2 u作业格式及要求作业格式及要求: :标清题号，画好标准草图，书写认真，标清题号，画好标准草图，书写认真， 条理清楚，应用原理适当，步骤详细，结论正确。条理清楚，应用原理适当，步骤详细，结论正确。 2021-6-22重庆邮电大学理学院3 u抓住三基、一数、一适抓住三基、一数、一适 基本概念的区分；基本概念的区分； 三基三基：基本规律的推导；基本规律的推导； 基本方法的归纳和总结。基本方法的归纳和总结。 一数一数：努力做到用数学手段表述物理规律；并灵活熟练应

3、用图努力做到用数学手段表述物理规律；并灵活熟练应用图 示或图解方法进行计算。示或图解方法进行计算。 一适一适：任何物理定律都有一定的近似性和局限性，所以要注意任何物理定律都有一定的近似性和局限性，所以要注意 其适用条件和适用范围。其适用条件和适用范围。 多看科普类的书籍 培养自身物理素质， 科学技术能力 期末成绩： 期末总评=0.2*作业+0.3*半期成绩+0.5*期末成绩 加减分（考情、作业优秀成度，课外学习情况。）：加减分（考情、作业优秀成度，课外学习情况。）： 【-2,2】 2021-6-22重庆邮电大学理学院4 第四章第四章 振动学基础振动学基础 第十一章第十一章 光学光学 大学物理（

4、下）主要教学内容大学物理（下）主要教学内容 第十二章第十二章 狭义相对论狭义相对论 第十三章第十三章 早期量子理论早期量子理论 胡成华，夏川茴胡成华，夏川茴主编：主编：大学物理大学物理第三版第三版 上册上册 周平，冯庆周平，冯庆主编：主编：大学物理大学物理第三版第三版 下册下册 第五章第五章 波动学基础波动学基础 第五篇第五篇 近代物理近代物理 第四篇第四篇 光学光学 第一篇第一篇 力学力学 2021-6-22重庆邮电大学理学院5 振动和波是自然界中常见的运动形式之一，其本质是一种 周期运动或准周期运动。如钟表里的摆轮、发声乐器的弦、颤 动的大桥等，这些振动物体的位置相对于某一个确定的位置 （

5、称为平衡位置）做往返重复运动，称为机械振动。又如电场 强度和磁感应强度的周期性变化，就称为电磁振动。 波动是振动在空间的传播，声波、水波、地震波、电磁 波和光波都是波，波的传播伴随有状态和能量的传递。尽管 不同的振动形式将以不同的方式在空间传播，但它们将有类 似的波动方程，具有共同的特征，如具有干涉、衍射等波动 特有的性质。 振动和波是横跨物理学所有学科的概念，既与经典物理学 紧密联系又与现代物理学融为一体，尽管它们在各分支学科中 的具体内容和含义不同，但形式上却极为相似。所以在物理学 中可将振动广义地定义为某种物理量在其取值范围内周期变化。 本章主要研究机械振动和机械波。 第四章第四章 振动

6、学基础振动学基础 2021-6-22重庆邮电大学理学院6 第四章第四章 振动学基础振动学基础 4.14.1简谐振动简谐振动 4.24.2简谐振动的图示法简谐振动的图示法 4.34.3 简谐振动的能量简谐振动的能量 4.4 4.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 2021-6-22重庆邮电大学理学院7 一一 、机械振动机械振动 4.14.1简谐振动简谐振动 物体或物体的某一部分在一定位置附物体或物体的某一部分在一定位置附 近往复运动近往复运动 、回复力、回复力:使振动物体返回平衡位置使振动物体返回平衡位置,方向总是指向平衡位置方向总是指向平衡位置 、受到的阻力足够小、受到的阻力足够小. 1、产生机

7、械振动的两个条件 振动的成因：振动的成因：回复力回复力+惯性惯性 2021-6-22重庆邮电大学理学院8 、弹簧振子：研究谐振动的理想模型 x o m k 平衡位置偏离平衡位置的位移 kxF 2、机械振动实列分析机械振动实列分析 由胡克定律及牛顿第二定律由胡克定律及牛顿第二定律: : x m k m f a 0 2 2 x m k dt xd 22 dtxda 2 kxf 0 2 2 2 x dt xd maf 振动系 统属性 动力学观点分动力学观点分 析析 2021-6-22重庆邮电大学理学院9 、概念、概念 理想化的振动系统理想化的振动系统一根无一根无 弹性的轻绳、一个质点弹性的轻绳、一个

8、质点 、运动方程、运动方程 l g 2 、单摆、单摆数学摆数学摆 机械能守恒机械能守恒 dt d lv 很小，则：很小，则： Cmglmvcos1 2 1 2 0sin dt d mgl dt dv mv 0sin 2 2 l g dt d 0 2 2 l g dt d 0 2 2 2 dt d 将上式两边微分将上式两边微分 振动系 统属性 能量观点分析能量观点分析 2021-6-22重庆邮电大学理学院10 二、简谐振动二、简谐振动 1 1、简谐振动的动力学方程与动力学特征、简谐振动的动力学方程与动力学特征 一个确定的系统一个确定的系统, ,在其稳定平衡位置附近作微小的自由振在其稳定平衡位置附

9、近作微小的自由振 动时动时, ,且描述系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系且描述系统的运动微分方程能满足二阶齐次、线性常系 数微分方程，即能满足数微分方程，即能满足 0 2 2 2 x dt xd 的系统，即为简谐振动系统。的系统，即为简谐振动系统。 动力学特征：；动力学特征：；振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和 准弹性力）准弹性力） -线性恢复力线性恢复力 kxf 意义：加速度（角加速度）的大小与位移（角位移）的大小成意义：加速度（角加速度）的大小与位移（角位移）的大小成 正比，方向相反正比，方向相反 2021-6-22重庆邮电大学理学院11

10、0 2 2 2 x dt xd 解：线性常微分方程解：线性常微分方程 00 2 0 22 0 coscos tAt xv x 0 2 x dt dx dt d dx dx xdxvdvx dx dv v 22 0 222 0 22 0 222 0 22 0 222 0 22 0 2 xxv dt dx xxvvxxvv 0 2 0 22 0 2 2 2 0 22 0 2 0 22 0 0 arccos 1 0 xv x t x xv xv x d dt x x t x x v v xdxvdv 00 2 2 2、简谐振动的运动学方程、简谐振动的运动学方程 2021-6-22重庆邮电大学理学院1

11、2 0 2 2 2 x dt xd 另解：线性常微分方程另解：线性常微分方程 有如下形式的解有如下形式的解 t Aex 代入上式得 0 22 tA eAeAx titi cos 21 谐振动运动方程谐振动运动方程 其通解为：其通解为： )cos(tAx i 特征方程 特征根 2021-6-22重庆邮电大学理学院13 简谐振动的判椐简谐振动的判椐 ,x t x 0 d d 2 2 2 Fkx )cos( tAx 或或 如果质点所受的力如果质点所受的力可以可以表示为表示为 或质点的位移（或广义位移，如：角位移）与时间的关系可或质点的位移（或广义位移，如：角位移）与时间的关系可 以表示为以表示为 则

12、质点做则质点做简简谐振动。谐振动。 其中：其中： l g 2 单摆单摆 m k 2 弹簧振子弹簧振子 J mgrc 2 复摆复摆 仅由振动系统的力学性质所决定仅由振动系统的力学性质所决定 2021-6-22重庆邮电大学理学院14 速度速度: : 加速度加速度: :)tcos(A dt xd a 2 2 2 )tsin(A dt dx v 得得：由由)tcos(Ax 可见物体作简谐振动时，其位移、速度、加速度均为时间的余可见物体作简谐振动时，其位移、速度、加速度均为时间的余 弦或正弦函数。弦或正弦函数。 利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤：利用上述判据判断是否做简谐振动的步骤： (1)确定研究

13、对象，分析受力。确定研究对象，分析受力。 (2)找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回复 力矩）的表达式。力矩）的表达式。 (3)写出动力学方程（利用牛顿第二定律或机械能守恒定律）。写出动力学方程（利用牛顿第二定律或机械能守恒定律）。 3 3、简谐振动的速度与加速度、简谐振动的速度与加速度 2021-6-22重庆邮电大学理学院15 例例4.1.14.1.1、一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。的物体。 今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐振动。今将物体向下拉一段距离后再放开

14、，证明物体将作简谐振动。 因此因此 , 此振动为简谐振动。此振动为简谐振动。 m 0 l 0 x x x O 以平衡位置以平衡位置O为原点为原点 弹簧原长弹簧原长 挂挂m后伸长后伸长 某时刻某时刻m位置位置 f 伸伸 长长 受弹力受弹力 平衡位置平衡位置 解：解： 求平衡位置求平衡位置 mgkx 0 k mg x 0 )( 0 xxkmgF kxkxmg 0 kx k 2021-6-22重庆邮电大学理学院16 例例4.1.24.1.2：如图：如图, , 宽阔水面上的柱形浮体宽阔水面上的柱形浮体, , 质量质量m m, , 水平截面面水平截面面 积为积为S S, , 平衡时吃水深度平衡时吃水深度

15、h h. . 试证明它作简谐振动试证明它作简谐振动. . 解解：宽阔水面：宽阔水面液面不变。取坐标液面不变。取坐标 系如图，系如图， SgxgxhSmgFx 水水水水 )( 与与x无关无关. Sgk 水水 * m X -h 平衡平衡 O x -(h-x) m m 偏离平衡位置为偏离平衡位置为x 时时, 浮体所受合力为浮体所受合力为 x dt xd 2 2 2 xk dt xd m 2 2 * mk/* 得证！得证！ 2021-6-22重庆邮电大学理学院17 三、简谐振动的特征物理量及其关系 1. 振幅（Amplitude） 谐振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振幅。 Ax 它反映了振动

16、的强弱，它的大小取决于振动的能量。单位：m 2. 周期（Period） 物体完成一次全振动所需的时间称为周期。它是表 征物体振动快慢的物理量。 )(cos)cos(TtAtAx 2 2Tt k m T m k 2 描述振动系统的描述振动系统的固有固有属性属性 也称为也称为固有周期固有周期 2021-6-22重庆邮电大学理学院18 周期的倒数叫频率（一秒钟物体作完全振动的次数）： m k 2 1 T 1 k m 叫圆频率（ 秒内物体作完全振动的次数）：2 也称为也称为固有频率固有频率 也称为也称为固有圆频率固有圆频率 3、位相和初相位相和初相 相位相位(位相位相): tt)( 确定物体在任一时刻

17、的位置和运动状态 当当 t + =0=0 Aa v Ax 2 0 当当 t + = = /2 0 0 a Av x 2021-6-22重庆邮电大学理学院19 ( ( t t + + ) )是是t t 时刻的相位。时刻的相位。 是是t t=0 =0 时刻的相位，称时刻的相位，称初相初相。 ( (或或 、T ) )、A和和 三个特征量确定，则谐振动方三个特征量确定，则谐振动方 程就被程就被唯一唯一确定。其中确定。其中 ( (或或 、T ) )由系统本身的性质由系统本身的性质 决定，决定，A和和 由初始条件决定。由初始条件决定。 4 4、相位差、相位差 用于比较两个同频率谐振动的振动步调。用于比较两

18、个同频率谐振动的振动步调。 )tcos(Ax )tcos(Ax 222 111 1212 )()(tt 当当 = 2k , ( k =0,1,2,) , 两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相。 当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,) , 两振动步调相反两振动步调相反,称称反相反相。 2021-6-22重庆邮电大学理学院20 振动振动滞后滞后 振动：振动： 振动振动超前超前 振动：振动： 2 2 0 2 0 v xA 0 0 tan x v 常数常数 和和 的确定的确定A 00 0vv xxt 初始条件初始条件 cos 0 Ax sin 0 Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和 初相由初始条件（两个）决定初相由初始条件（两个）决定. )sin(tAv )cos(tAx 相位超前和滞后：相位超前和滞后： 若：若： 0 12 若：若： 0 12 1 x 2 x 1 x 2 x 2021-6-