第五章 受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲1

1、第第5章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲章受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲 5.2 轴心受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲轴心受压杆件的扭转屈曲与弯扭屈曲 5.2.1 扭转屈曲 图5.1 dz/d 根据平衡关系，作用在以该倾斜纤维为轴线的微元体上的轴力dA在杆 的横截面平面内有分力dFQ，且dAdAdF Q 作用在截面上得扭矩： 2 0 2 0 A 2 FrArdAMz r0截面对弯心的极回 转半径 扭转屈曲临界力为： t GI l 2 2 2 0 cr EI r 1 F ， 5.2.2 弯扭屈曲 对于截面单轴对称的单角钢、单槽钢或T形钢轴心压杆，形心和 弯心不相重合。如果杆件在轴心力F作用下不能保持直线平

2、衡而绕对 称轴y弯曲时，由于剪力不通过弯心，不可避免的要出现扭转。 0 euFMz 0uFeFr-GI-EI 0 2 01 4 A/IIer yx 2 0 2 0 杆件的扭转平衡微分方程为： 其中 0FeEI 0 4 uFu y 弯曲平衡的微分方程可以写为： 两端铰接的杆 件，杆端边界 条件： 当z=0时：00uu ， 当z=L时：00uu ， 解得： l l z Csin z Asinu 2 0 22 2 y 2 y /EI , EI F r GIl F l t 令 得： CrF-FAFe- 0CFe-AF-F 2 00 0y ）（ y 2 yy FkF4-FF-FF k2 1 Fcr 2

3、0 0 r e -1k 临界荷载 式中： 5.2.3计算弯扭屈曲的换算长细比的方法 我国冷弯薄壁型钢结构技术规范设x 轴为对称轴，如图所示： 图5.4 ， 2 0 22 2 y 2 y /EI , EI F r GIl F l t 0 EIEI -e-rF 2 2 2 2 x 2 2 0 2 2 2 x 2 2 0 2 0 2 cr x t x cr x t x EI lGI I I l Fr EI lGI I I l 2 0t 2 2 2 x 2 x /GI EI F EI Fr ll 和 根据 得： 令 0s 22 2 2 2 2 E GI l I I l EI lGI I I t xx

4、t x 由于 039. 0 E G 2 0I039. 0 A s t 2 x 2 l I 上式可以写为： 解得弯扭屈曲临界 应力： 2 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 x 2 cr 2 s 2 s 1E h E s er s r s r 5.3 偏心压杆的弯扭屈曲偏心压杆的弯扭屈曲 偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩平面外的失稳。 偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为： 0uMFr-GI-EI 0MFuuEI x 2 0t xy 0uFeFr-GI-EI 0FeuFuEI 2 0t 4 4 y 0Fr/e-F-FF-F 2 2 0y （5.32） （5.33） 将式（5

5、.32）对z微分二次，式（5.33）对z微分一次，得到： 得到偏心压杆的临界荷载： FFk4F-F-FF k-12 1 F y 2 1 2 yy 2 1 cr 在钢结构设计中常常用相关公式来控制偏心压杆的弯扭失稳。 由梁整体失稳的临界弯矩为： FFr l EIGIEI l M ytycr0 2 2 cry M M F F -1 F F -1 利用这个关系式，并将Fe用M代替，得到： 当F=Fy时，F/Fy与M/Mcr之间的关系是直线关系 1 F F y cr M M 第二节 轴心受压时开口薄壁杆件的弯扭屈曲 临界荷载 中性平衡方程 剪心C沿x和y轴方向平移u 和v，截面绕剪力中心扭 转角，点B

6、(x,y)沿x和y轴 方向位移为： )(,)(u-u 0101 xxvvvvyyuu BB 假定屈曲时杆件处于弹性 工作阶段和小变形状态， 并假定截面的周边形状保 持不变，无初始缺陷。 5.4 用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载用能量法计算开口薄壁轴心压杆的屈曲荷载 一 中性平衡方程的建立 (一)通过势能驻值原理来推导 弯扭变形下的总应变能 l dzEIGIEIEI 0 22 t 2 y 2 x u 2 1 E 变形后微段长度： dz1 dz d dz du dzdduds 2 1 22 222 由于u,v是微小量，上 式简化为： dz1 dz d 2 1 dz du 2 1 ds 22

7、B点纵向纤维变形后的总长度为： dz1 dz d 2 1 dz du 2 1 s l 0 22 dz dz d 2 1 dz du 2 1 l-s l 0 22 B B点纵向纤维变形后两端缩短为： l BB dzvudAdAdW 0 22 B 2 1 2 1 l A l A dzruyvu dzxxvyyudA A dWW 0 22 00 22 0 2 0 2 0 2F 2 1 F 2 1 式中 应力F/A在小条上的外力功为： 对整根杆，压力F的外力功为： 00 yx2 0 x A II ry xy IdAIdAdAdA A 2 A 2 AA y,x, 0yx W-EEEE vp 并考虑了 因

8、此，总势能为 即： 2- 2 1 Ep 0 22 0 2222 uFyvFuF vEIuEIEIGI l xyt 二 临界荷载的确定 (一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组 如杆段简支时，边界条件为 000vuvulzz，处，和 假设位移函数为： )374(sin,sin,sin l zn C l zn Bv l zn Au A、B和C广义坐标或参变数 n1,2,3, 弹性曲线的半波数 将它代入总势能表达式，并令： t y y x x GI l EIn r F l EIn F l EIn F 2 22 2 0 2 22 2 22 1 , 得到线性齐次代数方程组为： )394( 0

9、0 0 )( 0 0 2 000 0 0 C B A FFrFxFy FxFF FyPF x y 特征方程为： 0)()()()( 2 0 22 0 2 2 0 FFxFFFyFFFFFFFr yxyx 或 解此方程式所得F的最小根，即为所求的临界力Fcr。 0 )( 0 0 2 000 0 0 FFrFxFy FxFF FyPF x y 三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例 (一)当杆件截面为双轴对称或点对称时 截面形心与剪力中心重合，x0y00： 0)()(FFFFFF yx 2 2 l EI FF x x 方程式的三个根为 2 2 l EI FF y y t GI l EI r

10、FF 2 2 2 0 1 得到最小临界力，将此三根代入(5.56)式，可得 , 0, 0,ACBFF y时 当 , 0, 0,BCAFF x时 当 0, 0,CBAFF时当 当FFx和FFy时，杆件为弯曲屈曲，当FF时， 杆件为扭转屈曲。 对于双轴对称或点对称截面的轴压杆，只能发生绕其主轴 弯曲屈曲或绕剪力中心的扭转屈曲，不会发生弯扭屈曲。 (二)当杆件截面为单轴对称(设y轴为对称轴)时，则x00， 0)()( 2 0 22 0 yFFFFFrFF yx 则上式的根为设,1 22 0C ryk 2 22 l EIn FF x x FkFFFFF k F yyy 4)( 2 1 2 和 弯曲屈曲

11、 弯扭屈曲 (三)当杆件截面为不对称时，则必为弯扭屈曲，临界力为 (5.58)式的三个根中最小值，并取n1。 取n1，得到最小临界力。 5.5 用能量法计算开口薄壁偏心压杆的屈曲荷载 除了上节所述的基本假定外，需再 假设杆件截面具有足够的抗弯刚度， 由偏心弯矩产生的弯曲变形很小， 可以略去不计。 )66. 5( y y x x I xM I yM A F 轴的杆端作用力矩轴和是绕和式中yxMM yx 轴的偏心矩。轴和为对分别和 则当为偏心受压时， yxPee FeMFeM yx yyxx , 一 中性平衡方程的建立 (一)根据势能驻值原理来导出 中性平衡状态时，截面上任意点B(x,y)的位移、

12、应变能U 和外力所作的功W的表达式与上一节表达式相同。将 (5.66)代入(5.48)式，对整个截面积分，并注意O为形心， x和y轴为形心主轴，可得： Adzdxxvyyu I xM I yM A F dWW l A y y x x A 0 2 0 2 0 )()( 2 1 dzMM vMFxuMFyrvuF xyyx l yxC 22 )(2)(2)( 2 1 22 0 00 2222 式中 x和y为不对称截面的几何特性。 A x y A y x ydAyxy I xdAyxx I 0 22 0 22 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 22 0 22 0 2222 rvuFGIEIv

13、EIuEIE l kxyp 体系总势能Ep的表达式为： dzMMvMFxuMFy xyyxyx )(2)(2)(2 2 00 二 临界荷载的确定 (一)假设位移函数，将微分方程组化为求解代数方程组 如杆段简支时，边界条件为 0,0vuvulzz处，和 假设位移函数为： l zn C l zn Bv l zn Au sin,sin,sin A、B和C广义坐标或参变数 n1,2,3, 弹性曲线的半波数 根据势能驻值定理，令 0,0,0 C Ep B Ep A Ep 022 0 0 2 000 0 0 CFeFeFFrBexFAeyF CexFBFF CeyFAFF xyyx yx xy yx A、

14、B、C不同时为不同时为0的条件是其系数行列式的条件是其系数行列式=0，则可，则可 以得到稳定方程为：以得到稳定方程为： 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 yyxx xyyxyx exFFFeyFFF eeFrFFFFFF 得： 解这个特征方程可得F的三个根，其最小根就是所求的临界荷载。 三 关于临界荷载的讨论以两端简支的轴压杆为例 (一)当杆件为双轴对称，且压力F作用在一个对称轴(假定 是y轴)上时，则x0=y0=ey=x=y=0，此时方程形式为： 0)()( 222 0 xyx eFFFFFrFF 或者 上式的根为设, 1Cx rek 2 2 l EI FF x x 4)( )1 (2

15、 1 2 1 2 2 1 kFFFFFF k F yyy A II r yx2 0 式中： 临界力为上述三根中最小值，并取n1。当临界力为Px时， 为绕x轴的弯曲屈曲，当临界力为其它根时，为弯扭屈曲。 当为弯扭屈曲时： ;, 1 01 有二个正根即若Frek x ;, 1 01 FF FF Frek y y x 即若 受拉时的弯扭屈曲； ，负根表示大偏心有一个正根和一个负根即若Frek x , 1 01 与上节相同。和即 有两个正根，为心受压，即若 FFFF Fek y x , 0, 0 1 (二)当杆件为单轴对称，且压力F作用在对称轴(假定是y轴) 上时，则x0=ey=x=0，此时方程式的形式为： 0)(2)()( 2 0 22 0 xyxyx eyFFeFFrFFFF 杆件可能绕x轴弯曲屈曲，也可能是弯扭屈曲。 (三)当杆件截面无对称轴时，则为弯扭屈曲。但当偏压力P作 用在剪力中心时，则ex=y0