《参数假设检验》第三次课旧

1、1.1.假设检验的种类假设检验的种类 参数参数 非参数非参数 2. .假设检验的两类错误假设检验的两类错误 存伪错误存伪错误 弃真错误弃真错误 假设检验假设检验 10 :H 00 :H 参数假设检验的内容参数假设检验的内容 单一样本均值的检验单一样本均值的检验（一个总体）（一个总体） 两独立样本均值差的检验两独立样本均值差的检验 两配对样本均值的检验两配对样本均值的检验 两个总体两个总体 均值均值 方差方差 两个总体两个总体方差比方差比 一个总体一个总体 假设假设 检验检验 一个总体均值的假设检验步骤：一个总体均值的假设检验步骤： 1.提出假设：提出假设： 00 :H 01 :H 00 :H

2、00 :H 01 :H 01 :H (双边检验双边检验) (单边检验单边检验) 2.找出并计算检验统计量找出并计算检验统计量 n X Z 3.判断：若判断：若 2 a ZZ 2 a ZZ 则拒绝则拒绝 则接受则接受 (双边检验双边检验) ZZ ZZ 0 H 0 H 或或 或或 则拒绝则拒绝 0 H 则接受则接受 0 H (单边检验单边检验) ns X T 2 a tT 2 a tT tT tT 例例6.1 已知生产线上生产出的零件直径服从正态已知生产线上生产出的零件直径服从正态 分布分布, ,已知方差为已知方差为0.09(0.09(毫米毫米2 2),),现有假设均值为现有假设均值为1010 毫

3、米。这个假设可以是猜出来的毫米。这个假设可以是猜出来的, ,也可以是生产标也可以是生产标 准所要求的。现在有一组样本观察准所要求的。现在有一组样本观察:10.01,10.02,:10.01,10.02, 10.02,9.99(10.02,9.99(在实际检验中在实际检验中, ,样本容量应当大一些。样本容量应当大一些。 这里为理解方便这里为理解方便, ,只列出只列出4 4个样本观察值个样本观察值) )。请判断。请判断 假设是否正确假设是否正确。 96. 1 025. 0 z182. 3) 3( 025. 0 t 若 ,则表明 落在由 所决定的分界点的外 侧,应当拒绝 。 p t 0 H 若 ,则

4、表明 落在由 所决定的分界点的内 侧,应当接受 。 0 H p t P值值：与查表找临界点的等价判别法与查表找临界点的等价判别法 p k 025. 0 t SPSS的实现过程：的实现过程：Analyze菜单菜单Compare Means 项中选择项中选择One-Sample T Test命令。命令。 O On ne e- -S Sa am mp pl le e S St ta at ti is st ti ic cs s 60105.385038.820075.01165小学生跑400米的时间 NMeanStd. Deviation Std. Error Mean O On ne e- -S

5、Sa am mp pl le e T Te es st t 1.07459.2875.38500-4.643315.4133小学生跑400米的时间 tdfSig. (2-tailed) Mean DifferenceLowerUpper 95% Confidence Interval of the Difference Test Value = 100 练习练习 某进出口公司，出口一种名茶，规定每包规格重某进出口公司，出口一种名茶，规定每包规格重 量不低于量不低于150150克，现抽取克，现抽取1%1%进行检验，结果如下进行检验，结果如下： 每 包 重 量（克） 包 数 140149 10 1

6、49150 20 150151 50 151152 20 合计 100 试判断：（试判断：（1）以以95%95%的概率检验这批茶叶是否达的概率检验这批茶叶是否达 到重量规格的要求到重量规格的要求。 （2）以同样的概率检验这批茶叶包装的合格率以同样的概率检验这批茶叶包装的合格率 是否为是否为92%92%？ 两独立样本均值差的两独立样本均值差的T检验检验 未知总体方差未知总体方差, ,但但 = = ，检验均值差；，检验均值差； 已知总体方差已知总体方差, , 检验均值差；检验均值差； 2 1 2 2 未知总体方差未知总体方差, ,但但 ，检验均值差；，检验均值差； 2 1 2 2 所以引入一个新的

7、统计量所以引入一个新的统计量Z Z： 已知总体方差，检验均值差已知总体方差，检验均值差 假设：假设：210 :H 211 :H mn YX Z 2 2 2 1 21 )()( 未知总体方差，但未知总体方差，但 = = 检验均值差检验均值差 假设：假设： 210 :H 211 :H 所以引入一个新的所以引入一个新的T T统计量在统计量在 2 1 2 2 )2( 11 2 ) 1() 1( )()( 2 2 2 1 21 nmt mnmn SmSn YX t 条件下条件下 = 2 1 2 2 未知总体方差，但未知总体方差，但 检验均值差检验均值差 假设：假设： 210 :H 211 :H 2 1

8、2 2 所以引入一个新的统计量所以引入一个新的统计量Z Z在在 2 1 2 2 条件下条件下进行进行 两个正态总体均值差的检验两个正态总体均值差的检验： m S n S YX Z 2 2 2 1 21 )()( 进行正态分布检验后，往往还需比较各个分 组的方差方差是否相同，即进行方差齐次性检验进行方差齐次性检验。 如果发现各个方差不同，则需要对数据进行 转换使方差尽可能相同。在探索分析中可以使用 Levene检验。 Levene检验对数据进行方差齐次性检验时，不不 强求数据必须服从强求数据必须服从正态分布，它先计算出各个观 测值减去组内均值的差，然后再通过这些差值的 绝对值进行单因素方差分析。

9、如果得到显著性水 平小于0.05，则拒绝方差相同的假设。 两个总体两个总体 F分布，检验方差比分布，检验方差比 方差比的分析原理：方差比的分析原理： ) 1, 1() 1, 1( 21221 nnFFnnFF 或 则拒绝则拒绝 。 0 H 则 若若 ),( 2 11 NX),( 2 22 NY 2 1 2 11 ) 1( Sn ) 1( 1 2 n 2 2 2 22 ) 1( Sn ) 1( 2 2 n 所以 2 2 2 2 2 1 2 1 s s ) 1, 1( 21 nnF 2 2 2 10 :H 2 2 2 11 :H 所以有检验统计量：所以有检验统计量： 2 2 2 1 s s F 若

10、若 n例如：例如：用两种激励方法对同样工种的两个班用两种激励方法对同样工种的两个班 组进行激励，每个班组都有组进行激励，每个班组都有7 7个人，测得激励个人，测得激励 后的业绩增长率如下表所示，问：两种激励后的业绩增长率如下表所示，问：两种激励 方法的平均激励效果有无显著差异方法的平均激励效果有无显著差异？ 两种激励方法分别用于两个班组的效果（两种激励方法分别用于两个班组的效果（%） 激励法激励法A 16.10 17.00 16.80 16.50 17.50 18.00 17.20 激励法激励法B 17.00 16.40 15.80 16.40 16.00 17.10 16.90 SPSS的实

11、现过程：的实现过程：Analyze菜单菜单Compare Means 项中选择项中选择Independent-Samples T Test命令。命令。 G Gr ro ou up p S St ta at ti is st ti ic cs s 717.0143.63095.23848 716.5143.50474.19077 AB两种激励方法 A法 B法 两法的激励效果 （业绩增长%） NMeanStd. Deviation Std. Error Mean I In nd de ep pe en nd de en nt t S Sa am mp pl le es s T Te es st t

12、 .121.7341.63712.128.50000.30539-.165401.16540 1.63711.448.129.50000.30539-.168971.16897 Equal variances assumed Equal variances not assumed 两法的激励效果 （业绩增长%） FSig. Levenes Test for Equality of Variances tdfSig. (2-tailed) Mean Difference Std. Error DifferenceLowerUpper 95% Confidence Interval of the

13、Difference t-test for Equality of Means 两配对样本均值的两配对样本均值的T检验检验 ns X T 配对样本配对样本：每个个体都具有两个特征的数值，且每个个体都具有两个特征的数值，且 不能各自独立颠倒顺序不能各自独立颠倒顺序，必须按问题的本来属性，必须按问题的本来属性。 检验统计量：检验统计量： X ：配对样本差值的均值配对样本差值的均值 P Pa ai ir re ed d S Sa am mp pl le es s S St ta at ti is st ti ic cs s 149.60202.542.568 148.90202.654.593 问卷

14、A下的得分 问卷B下得得分 Pair 1 MeanNStd. Deviation Std. Error Mean P Pa ai ir re ed d S Sa am mp pl le es s T Te es st t .7001.976.442-.2251.6251.58419.130 问卷A下的得分 - 问卷B下得得分 Pair 1 MeanStd. Deviation Std. Error MeanLowerUpper 95% Confidence Interval of the Difference Paired Differences tdfSig. (2-tailed) 则拒绝则

15、拒绝 。 双边：双边： 若若 一个总体一个总体 分布，检验方差的数值分布，检验方差的数值 二、二、* * 正态总体方差的检验正态总体方差的检验 2 2 0 2 0 :H 2 0 2 0 :H 2 0 2 1 :H 或或 2 2 2 a 2 2 1 2 a 0 H 则则 2 2 2 ) 1( Sn ) 1( 2 n),( 2 NX 单边：单边： 2 0 2 1 :H 或或 2 0 2 0 :H 2 0 2 1 :H 有检验统计量有检验统计量 2 2 2 ) 1( Sn 例例 已知生产线上生产出来的零件直径服从正态已知生产线上生产出来的零件直径服从正态 分布分布, ,直径的均方差直径的均方差 =0

16、.3 =0.3毫米毫米, ,现材质改进现材质改进, ,抽出抽出 2020个样本个样本, ,其样本方差其样本方差 。请判断该生产线。请判断该生产线 的方差是否改变的方差是否改变。 16. 0 2 s 解解 统计量统计量 服从服从 2 2 2 ) 1( Sn ) 1( 2 n分布。分布。 7778.33 09. 0 16. 0 19 ) 1( 2 0 2 2 sn 取取 , ,查表得：查表得： 05. 09 .32)19( 2 025. 0 91. 8)19( 2 975. 0 所以拒绝所以拒绝 。此时。此时, ,犯错误的概率最多只有犯错误的概率最多只有0.050.05 0 H 0.09: 2 0

17、 2 0 总体方差H 0.09: 2 0 2 1 总体方差H ： 。 某工业企业有职工某工业企业有职工1000010000人，其中工人人，其中工人80008000人，人， 干部干部20002000人，为了了解职工家庭生活状况，在工人，为了了解职工家庭生活状况，在工 人和干部两个组均以人和干部两个组均以5%5%的比例抽选职工进行调查，的比例抽选职工进行调查， 结果如下表结果如下表： 练习下表为30名10岁少儿的身高(cm)资料， 试作探索性分析。 (01(01分布的参数假设检验分布的参数假设检验) ) (01)(01)分布分布 一个总体一个总体 两个总体两个总体大样本大样本 小样本小样本 大样本

18、大样本 假设检验假设检验 某类个体占总体数量的比例问题，如高收入某类个体占总体数量的比例问题，如高收入 的比重问题等，类似于抛硬币。的比重问题等，类似于抛硬币。 一个一个0 01 1分布总体的小样本比例值的参数检验分布总体的小样本比例值的参数检验 是总体中某类个体的比例。是总体中某类个体的比例。由由01分布知：分布知： 令令X X是比例的随机变量，则是比例的随机变量，则X X 分布分布 ，), 1 ( pB p E(X)= , E(X)= , p)1 ()(ppXD 续续 若若随机变量随机变量X X 分布，则分布，则统计量统计量), 1 ( pB 且且, , 定理一：定理一： ),(pnB n

19、 XXXY 21 np x pnp x 1 定理二：定理二： p x X X 函数的均值函数的均值 n pp n x X )1 ( 2 2 定理三：定理三： 当当 充分大时充分大时, , 近似地服从均值近似地服从均值 、n X X 的正态分布的正态分布, ,即即 X ),( 2 XX NX标准差为标准差为 10 pn10)1 (pn n 按照经验按照经验, ,只要只要 , ,同时同时, , ,就可就可 以认为以认为 足够大了足够大了, ,用正态分布来近似它。用正态分布来近似它。 例题 解：解： 问题转化为：聘否？答对的题数，一个完 全瞎猜的应聘者,答对的概率应是0.25,即25. 0p (回答

20、者随机地猜答案,不聘) 25. 0: 0 pH (回答者依据知识选择答案)25. 0: 1 pH 1021 ,XXX X 又统计量 1021 XXXY),10(pB 此时犯错误的概率是 ，于是 rk )( 的所有大于等于 答对的题目数krP 计算结果如下表： 任一个应聘者回答10个问题,就相当于得到01 分布的样本,进而得到均值函数 。 。 的分布是二项分布 令K是拒绝 的最少答对的题数，r是答对的题数 0 H 要拒绝 0 H则kr 应有： 2 )( rk 2 的所有大于等于 答对的题目数krP 25. 0: 0 pH25. 0: 1 pH解解： 于是应有于是应有： 计算结果如下表：计算结果如

21、下表： rn )1 () r(P ppC rr n 答对题数 2 )( rk 1 的所有小于等于 答对的题目数krP 例：例：某公司要招聘若干名工程师。出了某公司要招聘若干名工程师。出了1010道道 选择题，每题有选择题，每题有4 4个备选答案，其中只有一个是正个备选答案，其中只有一个是正 确的即正确的比率只有四分之一确的即正确的比率只有四分之一。问：应当答对几道。问：应当答对几道 题，才能考虑录取题，才能考虑录取? ?（注意：这是一个总体）（注意：这是一个总体） 0 0.0563 1.0000 0.0563 1 0.1877 0.9437 0.244 2 0.2816 0.7560 0.52

22、56 3 0.2503 0.4474 0.7759 4 0.1460 0.2241 0.9219 5 0.0584 0.0781 0.9803 6 0.0162 0.01970.0197 0.9965 7 0.0031 0.0035 0.9996 8 0.0004 0.0004 1.0000 9 0.0000 0.0000 1.0000 10 0.0000 0.0000 1.0000 累积概率表累积概率表 答对的题数答对的题数r r向下累计概率向下累计概率P P( (正面： 正面： r ) 向上累计概率向上累计概率 是依靠自己知识回答的,可以聘职。此 时,犯“弃真”错误(本来是瞎猜的,结 果也猜对了6道题)的概率,只有2%。 此时,r的外侧概率kr 02. 00197. 0 0 H 这就是我们在考试中要求60分及格的 理由。 的