大学物理 振动和波

1、 1-1 简谐振动 1-2 简谐振动的合成 1-3 简谐波 1-4 波的叠加和干涉 2 3 振动振动： 任何一个物理量随任何一个物理量随时间时间的的周而复始周而复始的的变化变化。 1-1 简谐振动 4 机械振动机械振动： CL A B K 微观振动微观振动： 电磁振荡电磁振荡如图如图,电荷在电荷在LC电路中往复运动电路中往复运动. 物体在其平衡位置附近物体在其平衡位置附近,位移位移x随时间随时间t 的的 周期性变化周期性变化. 电磁振动电磁振动： 电场、磁场等电场、磁场等电磁量电磁量随随t周期周期 性变化性变化. 如晶格上原子的振动。如晶格上原子的振动。 振动的分类振动的分类1： mg l q

2、 q 5 (简谐振动简谐振动) 振动的分类振动的分类2： 无阻尼自由谐振动无阻尼自由谐振动 无阻尼自由非谐振动无阻尼自由非谐振动 阻尼自由振动阻尼自由振动 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 自由振动自由振动 受迫振动受迫振动 6 一一. . 简谐振动（简谐振动（S.H.V.S.H.V.）: : 1. 定义：定义： 位置坐标按余弦位置坐标按余弦(或正弦或正弦)规律随时间变化。规律随时间变化。 t x， q t x,q q x(t)=Acos( t+ ) x(t)=Asin( t+ )或或 简谐振动的简谐振动的 运动学方程运动学方程 ( ) iti t x tAeAe 也可用复数表示：也可用复数表示：

3、 计算结果一般取计算结果一般取实部实部 7 8 2. 简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度 由由 , 得得 )cos( tAx )(cos)sin( 2 tAtA td xd x )cos()cos( tAtA td d a 22x x a, , x 都是谐振动，都是谐振动， 振幅不同，角频率不变振幅不同，角频率不变 a, , x 依次超前依次超前 /2； a, x 反相（谐振动特点）反相（谐振动特点） 曲线描述曲线描述 T o x t A A a A 2 tAxcos cos 2 x vAt 2cos x aAt tx 图图 tv 图图 ta 图图 T A A 2 A 2 A x v

4、 a t t t A A o o o T T 10 等幅等幅、周期性周期性 3. 简简谐振动谐振动特性特性 最简单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动最简单、最基本。其他复杂振动可分解成谐振动 的叠加。的叠加。 简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这简谐振动被认为是各式周期运动的基本成分，这 有两个根据。有两个根据。 1.1.数学上：数学上：傅里叶分析傅里叶分析 2.2.物理上：物理上： 动力学系统的线性动力学系统的线性 11 弹簧振子弹簧振子( (谐振子谐振子) )在弹性恢复力的在弹性恢复力的 作用下作自由振动作用下作自由振动简谐振动简谐振动 kxFx 由由kxxm 则则0 xx 2 m

5、/k 2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程( (特征方程特征方程) ) ( (加速度与加速度与“位移位移”正比、反正比、反 向向) ) O O x x 二二. . 简谐振动动力学方程简谐振动动力学方程 12 质点作直线谐振动质点作直线谐振动. 对特征方程对特征方程 x dt xd 2 2 2 两边同乘以振子质量两边同乘以振子质量m, 有有 xkxmF 2 x * 且且 *k m 即即: 作直线谐振动的质点必受作直线谐振动的质点必受线性回复力线性回复力. 1. 线谐振动线谐振动 k* 有效劲度系数有效劲度系数 2. 角谐振动角谐振动 (定轴转动定轴转动/小角摆动小角摆动) 13 特征方程

6、特征方程: q q q q 2 2 2 dt d 0 2 q q q q 或或 同乘以同乘以I：q qq q *kIM 2 即：角谐振动即：角谐振动 线性回复力矩线性回复力矩, 且且 I k* 摆：摆：q qsinmglM 当当q q 很小很小, sinq q q q 时时 单摆单摆 q qmglM 2 mlImglk ;* lgIk/* mg l q q T m 14 如果物体受到的力是线性回复力，则可判定物体作简 谐振动，如果不是，那么物体不作简谐振动。线性回 复力f= - kx的特点如下： 1.力力 f 与位移与位移 x 的一次方成正比，这个就是的一次方成正比，这个就是“线性线性” 的含

7、义；的含义； 2.式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即式中负号表明力的方向永远与位移方向相反，即 力总是指向平衡位置，这个就是力总是指向平衡位置，这个就是“回复回复”的含义；的含义； 3.当当x=0 时，力时，力 f=0，运动存在一个平衡位置，在，运动存在一个平衡位置，在 这个位置上物体沿振动方向不受力。这个位置上物体沿振动方向不受力。 简谐振动的判据简谐振动的判据 3）简谐振动运动学方程）简谐振动运动学方程 0 2 2 2 x t x d d tAxcos 2）简谐振动动力学方程）简谐振动动力学方程 1）受力情况）受力情况 受到线性回复力 * Fk x 例例：如图：如图, 宽阔水面上的

8、柱形浮宽阔水面上的柱形浮 体体, 质量质量m, 水平截面面积为水平截面面积为 S, 平衡时吃水深度平衡时吃水深度h. 试证明它作简谐振动试证明它作简谐振动. 16 解解：宽阔水面：宽阔水面液面不变。取液面不变。取 坐标系如图，坐标系如图， SgxgxhSmgFx 水水水水 )( 与与x无关无关. Sgk 水水 * m X -h 平衡平衡 O x -(h-x) m m 偏离平衡位置为偏离平衡位置为x 时时, 浮体所受合力为浮体所受合力为 x dt xd 2 2 2 xk dt xd m 2 2 * mk/* 得证！得证！ 17 )cos( tAx 三三. 简谐振动的参量简谐振动的参量 相位相位

9、频率频率 振幅振幅 t T 2 Axcos )cos( t2Ax 初相初相 周期周期 或或 圆 频 率圆 频 率 (角频率角频率) 18 2. 圆频率圆频率(角频率角频率) 、周期、频率、周期、频率 描述振动系统的描述振动系统的固有固有属性属性 圆频率圆频率： T 2 2 (注意注意 和和 的区别的区别)(rad/s) m k 也称为也称为固有圆频率固有圆频率 max x 质点离开平衡位置的最大距离质点离开平衡位置的最大距离1.振幅：振幅：A 19 T 1 单位时间内振动的次数单位时间内振动的次数(Hz)频率频率： T 完成一次振动的时间完成一次振动的时间(s) 周期周期： )(coscosT

10、tAtAx k m 2 2 T 也称为也称为固有周期固有周期 m k 2 1 T 1 也称为也称为固有频率固有频率 20 3. 位相位相和和初相初相 相位相位(位相位相): tt)( 描述描述 t 时刻的时刻的振动状态振动状态(周期变化的物理量变化到周期变化的物理量变化到 哪个阶段哪个阶段) cos;sin dx xAvA dt 如如 2 当当时时 Ax,0 x 物体在物体在O点向左运动点向左运动 Ax,0 x 物体在物体在O点向右运动点向右运动 3 2 当当时时 t 0 时的时的相位相位初相：初相： 21 谐振动系统特征量的求法：谐振动系统特征量的求法： p谐振动系统的谐振动系统的角频率取决

11、于系统的弹性元角频率取决于系统的弹性元 件和质量元件件和质量元件，因此分析系统的装置情况一，因此分析系统的装置情况一 般就可以得到角频率。般就可以得到角频率。 p振幅和初相位则取决于振动的初始状态振幅和初相位则取决于振动的初始状态 （初始位置和初始速度），因此求振幅和相（初始位置和初始速度），因此求振幅和相 位就归结为求初始位置和初始速度。位就归结为求初始位置和初始速度。 2 2 0 2 0 v xA 0 0 tan x v 常数常数 和和 的确定的确定A 00 0vv xxt 初始条件初始条件 cos 0 Ax sin 0 Av 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，对给定振动系统，周期由

12、系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件（两个）决定振幅和初相由初始条件（两个）决定. )sin(tAv )cos(tAx 曲线描述曲线描述 T o x t A A a A 2 tAxcos cos 2 x vAt 2cos x aAt tx 图图 tv 图图 ta 图图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T T 四四. . 谐振系统的能量谐振系统的能量 24 x dt xd 2 2 2 由由 xdxd 2 有有 0 xm 2 1 m 2 1 d 222 222 xm 2 1 m 2 1 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒，各时刻的机械能均各时刻

13、的机械能均 等于起始能量等于起始能量E0 (t 0 时输入的能量时输入的能量)。 动能动能弹性势能弹性势能 1. 谐振系统的动能和势能谐振系统的动能和势能 dx d dt d dt xd 2 2 及及 , 同乘以同乘以m 2 x mk tA tAx )sin( )cos( 常常量量 EAk 2 1 2 * 谐振系统中动能、势谐振系统中动能、势 能间的关系如右图：能间的关系如右图： 25 E Ep Ek E t x t 由起始能量求振幅：由起始能量求振幅： k E2 k E2 A 0 2. 谐振系统的平均动能和平均势能谐振系统的平均动能和平均势能 周期函数周期函数在一个周期内的平均值在一个周期内

14、的平均值: )()(tfTtf Tt t dttf T 1 f)( 应用于谐振动：应用于谐振动： )cos( tAx )sin( tA 26 2 pk Ak 4 1 2 E EE* ),(cos* tAk 2 1 E 22 p ),(sin tAm 2 1 E 222 k Tt t kk dttE T 1 E)( Tt t pp dttE T 1 E)( 例例1 1：简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势：简谐振动物体的位移为振幅的一半时，其动能和势 能之比为：能之比为： （A A） 1 1：1 1 ；（B B）1 1：2 2 ； （C C） 3 3：1 1 ； （D D） 2 2：1

15、1。 正确答案：正确答案：（ （C C） 简谐振动的总能量为：简谐振动的总能量为： 2 2 1 kAEEE pk 其势能为：其势能为： 其动能为：其动能为： 当物体的位移为振幅的一半时当物体的位移为振幅的一半时 E A kkxE p 4 1 22 1 2 1 2 2 EEEE pk 4 3 1:3: pk EE 例例2: 竖直弹簧谐振子竖直弹簧谐振子, 平衡后用恒平衡后用恒 力力F 向下拉向下拉0.5m, 撤去撤去F, 此时此时t = 0, 已知已知: k = 200N/m, m = 4.0kg, F = 100N, S = 0.5m, 求振动方程求振动方程. 28 O S X k m F 解

16、解: 如图，如图，m作谐振动的圆频率为作谐振动的圆频率为 rad/s0774200mk./ 对谐振系统对谐振系统(k, m)用功能原理用功能原理: ; 2 kA 2 1 FS 由由0A 2 2 Sx 00 ; 4 得得 谐振动方程谐振动方程: 0.707cos 7.07 4 xt m7070kFS2A./ 能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程 推导推导 常量 22 2 1 2 1 kxmEv 0) 2 1 2 1 ( d d 22 kxm t v 0 d d d d t x kx t m v v 0 d d 2 2 x m k t x 例例3: 光滑光滑U型管内装水银型管内装水银, 密度为

17、密度为 . 管截面为管截面为S, 使使 水银偏离平衡位置后任其自由振动水银偏离平衡位置后任其自由振动. 求其往复振动求其往复振动 的周期的周期T. 30 O x X 解解: 如图如图, 平衡时右管中液面坐标平衡时右管中液面坐标 x = 0, t 时刻为时刻为x. 各处水银质元切各处水银质元切 向加速度相等向加速度相等 2 2 t dt xd mgSx2F )( mgS2/ 2 2 m T gS 五五. . 谐振动的旋转矢量表示谐振动的旋转矢量表示 31 )cos(tAx 旋转旋转 矢量矢量 的的 端点在端点在 轴上的投轴上的投 影点的运影点的运 动为简谐动为简谐 运动运动. . x A 以以

18、为为 原点旋转矢原点旋转矢 量量 的端点的端点 在在 轴上的轴上的 投影点的运投影点的运 动为简谐运动为简谐运 动动. . x A o x o A cos 0 Ax 当当 时时0t 0 x 以以 为为 原点旋转矢原点旋转矢 量量 的端点的端点 在在 轴上的轴上的 投影点的运投影点的运 动为简谐运动为简谐运 动动. . x A o x o A tt t )cos(tAx 时时 （旋转矢量旋转一周所需的时间）（旋转矢量旋转一周所需的时间） 2T 用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图 tx 旋转矢量表示的优越性 直观展示简谐振动各参量的关系，便于确 定 的象限 便于对两个或多个简谐

19、振动进行比较 便于处理简谐振动叠加问题 A A x 2A t o a b x AA 0 讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状 态间变化所需的时间态间变化所需的时间. . )()( 12 tt )cos( 1 tAx )cos( 2 tAx 12 ttt a t 3 TTt 6 1 2 3 v 2 A b t 0 x t o 同相同相 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它 们间们间步调步调上的上的差异差异. .（解决振动合成问题）（解

20、决振动合成问题） )cos( 111 tAx)cos( 222 tAx )()( 12 tt 12 x t o 为其它为其它 超前超前 落后落后 t x o 反相反相 cos 2 cos cos 2 tAa tA tAx x a A A A 2 由图看出：速度超前位移由图看出：速度超前位移 加速度超前速度加速度超前速度 2 称两振动称两振动同相同相 3） 方便方便比较不同物理量振动步调比较不同物理量振动步调 位移与加速度位移与加速度称两振动称两振动反相反相 0若若 例例1 1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹 簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，

21、物体的质量 . . （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停 下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； 1 mN72. 0 kg20m m05. 0 x m05. 0 x 1 0 sm30 . 0 v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. . 2 A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的 速度；速度； m/ x o 0.05 o x 解解 （1） 1 1 s0 . 6 kg02. 0 mN72. 0

22、 m k m05. 0 0 2 2 0 2 0 xxA v 0tan 0 0 x v 0 或 A 由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0 )cos(tAx )s0 . 6cos()m05. 0( 1 t （1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停 下后再释放，求简谐运动方程；下后再释放，求简谐运动方程； m05. 0 x o xA 2 A 解解 )cos(tAx )cos(tA 2 1 )cos( A x t 3 5 3 或t A 3 t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 tAsinv 1 sm26. 0 （负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox 2 A

23、 （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的 速度；速度； 解解 m0707. 0 2 2 0 2 0 v xA 1tan 0 0 x v 4 3 4 或 o x A 4 )cos(tAx 4 )s0 . 6cos()m0707. 0( 1 t m05. 0 x 1 0 sm30 . 0 v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零， 而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程. . 因为因为 ，由旋转矢量图可知，由旋转矢量图可知40 0 v 例例2 2 一质量为一质量为 的物体作简谐运动，其振的物

24、体作简谐运动，其振 幅为幅为 ，周期为，周期为 ，起始时刻物体在，起始时刻物体在 kg01. 0 m08. 0s4xm04. 0 处，向处，向 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求Ox （1 1） 时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力； s0 . 1t o 08. 004. 004. 008. 0 m/x v 解解m08. 0A 1 s 2 2 T o08. 004. 004. 008. 0 m/x 3 0 0 v m04. 0, 0 xt代入代入)cos(tAx cos)m08. 0(m04. 0 3 A 3 3 2 cos)m08.0(tx m08.

25、 0A 1 s 2 2 T o 08. 004. 004. 008. 0 m/x v 3 2 cos)m08.0(tx s0 . 1t 代入上式得代入上式得m069. 0 x xmkxF 2 )m069.0() 2 )(kg01.0( 2 N1070. 1 3 kg01. 0m o 08. 004. 004. 008. 0 m/x v （2 2）由起始位置运动到由起始位置运动到 处所需要处所需要 的最短时间的最短时间. . m04. 0 x 法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到 处所处所 需要的最短时间为需要的最短时间为 m04. 0 x t 3 2 cos)m08.0(m04.0t

26、 s 2 3 ) 2 1 (arccos ts667. 0s 3 2 o08. 004. 004. 008. 0 m/x 解法二解法二 33 起始时刻起始时刻 时刻时刻t t 3 ts667. 0s 3 2 t 1 s 2 阻尼振动阻尼振动 48 能量耗散能量耗散 阻尼振动阻尼振动 原因原因: 空气阻力空气阻力, 摩擦力摩擦力, 电阻电阻, 电磁辐射等电磁辐射等 机械振动机械振动: 低速时低速时阻力阻力 速度速度: fv 阻力系数阻力系数 阻尼振动阻尼振动 特征方程特征方程: 2 0 20 xxx 0 系统系统无阻尼时的无阻尼时的固有频率固有频率, 且且 表示阻尼大小表示阻尼大小 阻尼系数阻尼

27、系数 2m m k 0 * 阻尼项阻尼项 49 按特征根按特征根分类分类: 22 0 弱阻尼弱阻尼: 22 0 22 0 cos() t xAet 振幅随振幅随t t衰减衰减 22 0 临界阻尼临界阻尼: () t xABt e , 非周期非周期, 直接回到平衡位置直接回到平衡位置 22 0 过阻尼过阻尼: 2222 00 ()()tt xCeDe 非周期非周期, 缓慢趋向平衡位置缓慢趋向平衡位置. 振幅随振幅随 t 减小减小,近似具有周期近似具有周期 过阻尼过阻尼 临界阻尼临界阻尼 弱阻尼弱阻尼 x t 0 受迫振动受迫振动 50 外界周期性驱动外界周期性驱动(交变电动势交变电动势) 可使振

28、动不衰减可使振动不衰减 设驱动力为设驱动力为 非齐次微分方程非齐次微分方程 cosFt cosmxxkxFt 101 cos()cos() t xAetAt 解解: )cos(tAx 22 0 2 tg 2222 0 2 ; ()4 F A m 其中其中 t 时时, 即即: 系统以外来驱动力的频率系统以外来驱动力的频率 振动振动 阻尼项阻尼项周期驱动项周期驱动项 共振共振 51 分析振幅A、相位 : 0 时, A 取极大值 位移共振； 2222 0 2 ; ()4 F A m 22 0 2 tan 例：Tacoma大桥(1940.11.7, 4个月，驻波+共振) 同理，可以讨论速度共振 1-2

29、. 1-2. 简谐振动的合成简谐振动的合成 52 简谐振动简谐振动. 频率不变频率不变, A和和 与分振动有关与分振动有关. tAx 111 );cos( t x20 2 A2 x A x10O 1 A1 )cos( 1221 2 2 2 1 AA2AAA 1122 1122 sinsin coscos AA tg AA (k 0,1,2) 12 振动加强振动加强! 振动减弱振动减弱! 一一. . 同方向同方向、同频率同频率谐振动的合成谐振动的合成 )cos( 222 tAx )cos( tAxxx 21 12 2kAAA 21 AAA1k2 )( 1 1 A x o 多个同方向同频率简谐运动

30、多个同方向同频率简谐运动的的合成合成 2 A 2 3 A 3 )cos(tAx n xxxx 21 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAx )cos( nnn tAx A 多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动 二二. . 同方向不同频率的谐振动的合成同方向不同频率的谐振动的合成 54 A2 A1 O X 2 1 A两个同方向、两个同方向、不同频率不同频率的的 谐谐 振动合成振动合成不再是简谐运动不再是简谐运动！ 以同振幅情况为例：以同振幅情况为例： )cos();cos( tAx tAx 2211 t 2 t 2 A2xxx 1212

31、 21 coscos 拍拍(beat)： 当当 时时 拍拍 21 这时质点近似作角频率这时质点近似作角频率 的谐振动的谐振动, 2 12 / )( 但但 振幅随时间振幅随时间t 缓慢变化缓慢变化. 2tA2 12 /)(cos A2 A1 A 55 2 2 T 12 / )( 缓缓 12 12 22T 1 / 缓缓 拍拍 拍频拍频: 合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数的次数 /2T 缓 三. 相互垂直的谐振动的合成 1. 同频率同频率 56 )cos();cos( 2211 tAy tAx 22 2 22 1212 2cos()sin () xyxy AAA A

32、 轨迹方程轨迹方程: 5 /43 /27 /4 = 0 /4 /23 /4 P Q 用用 旋旋 转转 矢矢 量量 描描 绘绘 振振 动动 合合 成成 图图 简简 谐谐 运运 动动 的的 合合 成成 图图 两两 相相 互互 垂垂 直直 同同 频频 率率 不不 同同 相相 位位 差差 2. 不同频率不同频率 59 1 2 1 2 n n n1, n2为不可约的正整数为不可约的正整数 合振动周期合振动周期: 2211 TnTnT 轨迹成闭合平面曲线轨迹成闭合平面曲线 李萨如图形李萨如图形 频率不成整数比 频率成整数比 )cos( 111 tAx )cos( 222 tAy 12 21 N N 2 ,

33、 8 3 , 4 , 8 ,0 2 0 1 李李 萨萨 如如 图图 形形 李萨如图形与 和 都有关 1 N1x方向切线对图形方向切线对图形 切点数切点数 N2y方向切线对图形方向切线对图形 切点数切点数 谐振分析（频谱分析）谐振分析（频谱分析） 一个周期性振动可分解为一系列频率分 立的简谐振动 61 若周期振动的频率为：0 则各分振动的频率为：0， 20， 30， 分别称作基频，二次谐频，三次谐频， x O t 锯齿波 A 03050 锯齿波频谱图 O 62 x3 Ot x5 Ot Ot x0+x1+x3+x5 x1 x0+ x1 x0 Ot 方波的分解 t 方波 x O 思考:歌唱家“声音洪

34、亮,音域宽广,音色甜美”。各指什么？ 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续 变化的简谐振动 63 阻尼振动曲线 x O 阻尼振动频谱图 O A 00 sincos)( m m n n tmatnatf Fourier分析： 波波 某处的扰动以特定规律在空间传播某处的扰动以特定规律在空间传播 能量传播的一种方式能量传播的一种方式，t时刻、时刻、 附近物理量附近物理量 的分布在的分布在t +t 时刻出现在时刻出现在 的周围的周围. r t vr 用用波函数波函数描写描写(特定边界条件下波动方程的解特定边界条件下波动方程的解) 分类分类: 按物理量按物理量: 机械波机械波(弹性波弹性波), 电磁

35、波电磁波, 物质波物质波 按传播方式按传播方式: 纵波纵波, 横波横波； 按波面：按波面：球面波球面波、柱面波柱面波、平面波平面波 波动性波动性: 对对线性无吸收媒质线性无吸收媒质满足满足叠加原理叠加原理 反射反射,折射折射,干涉干涉, 衍射衍射, (横波横波: 偏振偏振) 1-3 简谐波 波源波源 介质介质 + 弹性作用弹性作用 机械波机械波 一一 机械波的形成机械波的形成 产生条件：产生条件：1）波源；）波源；2）弹性介质）弹性介质. 波是运动状态的传播，介质的波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播质点并不随波传播. 注意注意 机械波：机械振动在弹性介质中的传播机械波：机械振动在弹性

36、介质中的传播. 真空真空 机械波的传播机械波的传播 横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直 纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行 软绳 软弹簧 波的传播方向 质点振动方向 波的传播方向 质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。 空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。 横波：质点振动方向与波的传播方向相横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波. （仅在固体中传播（仅在固体中传播 ） 二二 横波与纵波横波与纵波 特征：具有交替出现的波峰和波谷特征：具有交替出现的波峰和波谷. 纵波：质点振动方向与波的传播方向互相纵波：

37、质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波. （可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部. 水表面的波水表面的波 既非横波又既非横波又 非纵波非纵波 波 前 波 面 波 线 波面波面振动相位相同的点连成的面。 波前波前最前面的波面。 平面波 （波面为平面的波）球面波 （波面为球面的波） 波线（波射线）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中， 波线恒与波面垂直。 波传播方向 波速 周期 波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。 波形移过一个波长所需的时间。 频率 周期的倒数。 波速单位时间内振动状态（相

38、位）的传播速度， 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。 或 球面波、柱面波、平面波球面波、柱面波、平面波: x y z 平面波平面波 x y z 柱面波柱面波 x y z 球面波球面波 媒质中媒质中各质点各质点的的位移位移都都随时间变化随时间变化，如何描述？，如何描述？ 二二. .波函数波函数( (波方程波方程) ) 波函数波函数 y : : 随其随其平衡位置平衡位置 和时间和时间t变化的数学函数变化的数学函数r ( , )yy x t 振动方程振动方程： 对对确定的确定的 , 给出以给出以 为平衡为平衡 位置的质点的振动。相应的位置的质点的振动。相应的 y-t曲线称为曲线称为振动曲线

39、振动曲线 0 x 0 (, )y x t 0 x 波形方程波形方程：对对确定的确定的 给出给出t0时刻各质点的位移时刻各质点的位移 。 00 , ( , )ty x t 注意注意波函数波函数与与振动方程振动方程、波形波形 方程方程的区别！的区别！ 相应的相应的y-x曲线称为曲线称为波形曲线波形曲线 线性无吸收媒质中的平面简谐波线性无吸收媒质中的平面简谐波 平面简谐波平面简谐波 波场中波场中各质点各质点在各时刻的振动方程在各时刻的振动方程 均为余弦均为余弦(或正弦或正弦)形式的平面波形式的平面波. 线性无吸收媒质线性无吸收媒质中中, 波不衰减波不衰减! 各质点各质点振幅相同振幅相同. 平面简谐波

40、的波函数平面简谐波的波函数(波方程波方程) 已知某点振动情况已知某点振动情况 + 描述波的参数描述波的参数(如波速如波速) 求求媒质中任意质点的振动媒质中任意质点的振动. 各质点各质点(质元质元) 都按照都按照波源波源的振动规律振动的振动规律振动 振动相位沿波的传播方向依次落后振动相位沿波的传播方向依次落后 (, )(0,) p y xtytt ? 若若t时刻时刻x0处有处有 0 cos()yAt 00 cos()cos p x yAttAt u t + t xp 令令 为为波数波数, , 有有平面简谐波波函数平面简谐波波函数: :k 2 u 00 ( , )coscos x y x tAtA

41、tkx u 其他形式其他形式: : 如如 0 ( , )cos 2 tx y x tA T x y t O u 则则xp点在点在t 时时的位移为的位移为 注意注意: 1. 波函数的意义波函数的意义: 是是平衡位置为平衡位置为x的质元在的质元在t时刻时刻对对 于其于其平衡位置平衡位置的的位移位移. 2. 波速波速 媒质媒质, 频率频率波源波源. 3. 0的意义：的意义：原点处原点处质点振动的初相位质点振动的初相位 4. 区别区别波速波速u和质点和质点振动速度振动速度v，确定，确定传播方向传播方向 5. 波速波速u是是相位相位传播速度传播速度(相速度相速度). 相速度相速度: 令某令某相位相位在在

42、x，t变化时变化时保持不变保持不变, 则则 0 dt dx k u k kxt dt dx v p 不不变变 波动方程的一般形式波动方程的一般形式 ( (线性无吸收媒质线性无吸收媒质): ): 22 22 22 ( , )2( , )2 ( , );( , ) y x ty x t y x ty x t tTx 22 222 ( , )1( , )y x ty x t xut 满足该方程都是平面波满足该方程都是平面波(或多个简谐波的叠加或多个简谐波的叠加). 三维三维: 2222 22222 ( , )( , )( , )1( , )ytytytyt xyzut rrrr 一维一维: : 对对

43、 各求关于各求关于x和和t的二阶偏导数的二阶偏导数( , )y x t 例例:一平面简谐波在媒质中以一平面简谐波在媒质中以u=20m s-1的速度沿直线的速度沿直线传传 播，已知传播路径上某点播，已知传播路径上某点A的振动方程为的振动方程为y = 3cos4 t ， 如下图所示。如下图所示。 (1)如以如以A点为坐标原点，写出波函数；点为坐标原点，写出波函数； (2)如以距如以距A点为点为5m处的处的B点为坐标原点，写出波函数；点为坐标原点，写出波函数； (3)写出图中写出图中C、D点的振动方程及振动速度表达式。点的振动方程及振动速度表达式。 8m5m9m u ABCD 解：已知解：已知u =

44、 20m/s, = 2s-1, = u/ =10 m A点的振动方程为点的振动方程为 y = 3cos4 t (1)以以A点为原点的波函数为点为原点的波函数为 )m)( 20 x t(4cos3) u x t(4cos3y (2)已知波的传播方向由左向右，故已知波的传播方向由左向右，故B点的相位比点的相位比A点超点超 前，其振动方程为前，其振动方程为 )t4cos(3) 20 5 t(4cos3y B 以以B点为原点的波函数为点为原点的波函数为 ) 5 x t4cos(3) u x 4t4cos(3y (3)分别将分别将xC = - 8 m, xD = 14 m代入代入B点为原点的波函点为原点

45、的波函 数，得数，得 到到C点和点和D点的振动方程为点的振动方程为 )m)( 5 9 t4cos(3y )m)( 5 13 t4cos(3y D C 将上两式分别对时间求导，可得将上两式分别对时间求导，可得C点、点、D点的振动点的振动 速度表达式速度表达式 )s/m)( 5 9 t4cos(12 dt dy v )s/m)( 5 13 t4cos(12 dt dy v D D C C 例例: : 如图如图, , 已知两个不同时刻的波形曲线已知两个不同时刻的波形曲线, , 试确定试确定 其传播方向其传播方向. . t 0 x y t 3T/4 t 0 O t 3T/4 解解: : 旋转矢量法旋转

46、矢量法 或：波形沿传播方或：波形沿传播方 向传播距离向传播距离 t T tux 4T3 的时间内，的时间内，43x y (x = 0处处) 传播方向向右传播方向向右 x(m) y (cm) o 10 5 0.1 0.4 0.7 1.0 1.3 t = 0 u = 1.2 102 m/s 例例: 已知已知t = 0时的平面余时的平面余 弦波波形如图弦波波形如图, 求求: 1)波方程波方程, 2)t = 0.0025s时的波形时的波形 3)x = 0.6m处的质元振动曲线处的质元振动曲线. 解解: (1) 设波方程设波方程 ( , )cos 2/y x tAtx 由图得由图得Hz100u1.2m,

47、=m,10A /. 3 (0,0)cos 2 A yA ( , ) (0,0)2sin0 (0,0) y x t vA t ( , )0.1cos 2100 1.23 x y x tt 图中图中 处最大处最大, 故该点振动方程为故该点振动方程为: m01x0t. 时时， ( , )cos(2)y x tAt 对任一对任一x, 波方程为波方程为 3 5 21 x t1002A . cos 2 ( , )cos 2cos 2 x xxx y x tAtAt uu 方法二方法二: (2) 求求 时的波形时的波形s00250t. ( , )0.1cos2 (100/1.2)/3y x ttx x(m)

48、 y /6 Oo 2 /3 y(cm) 10 1.0 0.4 -0.1 8.7 x1 t = 0.0025s )/./cos(.621x210 m60 x. (3) 求求 处质元的振动曲线处质元的振动曲线 ( , )0.1cos(2002/ 3)y x tt 波形图：波形图： t(s) y(cm) o 5T/12= 4.17 10-2-10 -5 11T/12 = 9.17 10-2 现象： 若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元） 上下抖动 振速 最小 振速 最大 形变最小 形变最大 时刻波形 在波动中，各体积元产生不同程度的 弹性形变， 具有 弹性势能 未起振的体积元 各体积元以变

49、化的振动速率 上下振动， 具有振动动能 理论证明: 当媒质中有 波传播时，媒质中一个体积元在作周 期性振动的过程中，其弹性势能 和振动动能 同时增大、同时减 小，而且其量值相等 ，即 。 波的能量波的能量 可见，波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元 接收能量，并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。 振动速度 体 积 元 的 动能 势能 总量能 设 一平面简谐波 媒质密度 处取体积元 体积元的质量 在 能量密度 lim 平均能量密度 是在一周期内的时间平均值。 单位： 焦耳 米 （ J m 3 ） 能流、能流密度 平均能流 一周期内垂直通过某截面积 S 的能量的平均

50、值 单位：瓦 ( W ) 能流密度（波的强度）垂直通过单位截面积的平均能流 单位：瓦米-2( W m 2 ) 振动状态以波速 u 在媒质中传播 体积元的能量取决于其振动状态 能量以波速 u 在媒质中传播 能流 单位时间垂直通过的某截面积 S 的能量 PSu PSu 22 1 2 A P uIu S u 3. 各向同性均匀无吸收媒质中波的振幅变化 S1 S2 S1S2, A1A2 S1 S2 S2 S1 rArS/1 ,rArS/1 , 2 平面波平面波柱面波柱面波球面波球面波 以以平面波为例：平面波为例： 21 WW 由由 21 AA 得得 uSAuSwSIW 22 12, 12, 12, 1

51、2, 1 2 1 平面波在媒质不吸收的情况下平面波在媒质不吸收的情况下, , 振幅不变。振幅不变。 4. 波的吸收 I0 I I O x x 波在传播中的能量损耗波在传播中的能量损耗 对对线性媒质线性媒质，设入射波强，设入射波强I0，透射透射dx距离，距离， 波强改变波强改变dI, , IdxdI ( (指数衰减指数衰减! !） dx I dI 分离变量法求解：分离变量法求解： x eII 0 媒质的媒质的吸收系数吸收系数，与，与物性物性和和波频率波频率有关有关 对确定物质，对确定物质， 或或 色散色散、滤色滤色)()(k 如滤色镜、交通灯颜色、卫星通讯频率如滤色镜、交通灯颜色、卫星通讯频率

52、在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波. 可闻声波可闻声波 20 20000 Hz 次声波次声波 低于低于20 Hz 超声波超声波 高于高于20000 Hz 声强：声强： 声波的能流声波的能流 密度密度. 声波和超声波声波和超声波 0 lg I I LI 贝尔（贝尔（B） 声强级：声强级：人们规定声强人们规定声强 （即相（即相 当于频率为当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声强）的声波能引起听觉的最弱的声强） 为测定声强的标准为测定声强的标准. 如某声波的声强为如某声波的声强为 I ， 则比值则比值 的对数，叫做相应于的对数，叫做相

53、应于 I 的声强级的声强级 LI . 212 0 mW10 I 0 II 声强：声强：声波的能流密度声波的能流密度. 能够引起人们听觉的声强范围：能够引起人们听觉的声强范围： 0 lg10 I I LI分贝（分贝（ dB ） 2212 W/m1W/m10 声源声源声强声强W/m2声强级声强级dB响度响度 引起痛觉的声音引起痛觉的声音1120 钻岩机或铆钉机钻岩机或铆钉机10-2100震耳震耳 交通繁忙的街道交通繁忙的街道10-570响响 通常的谈话通常的谈话10-660正常正常 耳语耳语10-1020轻轻 树叶的沙沙声树叶的沙沙声10-1110极轻极轻 引起听觉的最弱声音引起听觉的最弱声音10

54、-120 一. 惠更斯原理 任一点振动任一点振动 邻近各点振动邻近各点振动 各点都可视为新波源各点都可视为新波源, 发球面波发球面波. 惠更斯原理惠更斯原理: 媒质中波动传到的媒质中波动传到的各点各点, 都可以看作是都可以看作是 发射子波的波源发射子波的波源, 在其后的任一时刻在其后的任一时刻, 这些这些子波的包子波的包 络面络面就决定了新的波阵面就决定了新的波阵面. Christian Huygens, (荷荷),1690 平面波平面波: 球面波球面波: 可可定性定性解释波的衍射、反射和折射解释波的衍射、反射和折射 1-4. 波的叠加和干涉 二. 波的衍射(绕射) 波传播中遇到有限大障碍物波

55、传播中遇到有限大障碍物 (或大障碍物中的孔隙或大障碍物中的孔隙) 绕过边缘绕过边缘, 传播方向弯曲传播方向弯曲 (障碍物或孔隙边缘的背后衍展障碍物或孔隙边缘的背后衍展) 三. 波的反射和折射 两种媒质的界面两种媒质的界面 反射反射和和折射折射. 对各向同性的媒质对各向同性的媒质, 有有 1. 波的波的反射定律反射定律: i i 1 2 入射线、反射线和界面法线共面入射线、反射线和界面法线共面 入射角等于反射角入射角等于反射角, i = i 2. 波的波的折射定律折射定律: 入射线、反射线和界面法线共面入射线、反射线和界面法线共面 入射角和反射角正弦值之比等于相应波速之比入射角和反射角正弦值之比

56、等于相应波速之比 1 21 2 sin sin ui n u n21 相对折射率相对折射率 i 1 2 3. 不足之处：未涉及振幅，相位等的分布规律。不足之处：未涉及振幅，相位等的分布规律。 一. 波的叠加原理 线性波线性波相遇相遇: : 各波各波保持原有特性保持原有特性( (如如 , , , , 振动方向等振动方向等), ), 并并 沿各自的传播方向继续前进沿各自的传播方向继续前进（波的独立性）。（波的独立性）。 在交叠区在交叠区: : 质元质元合振动合振动 各波各波分振动的矢量叠加分振动的矢量叠加. . 数学数学: 线性波动方程的几个解之和仍是该方程的解线性波动方程的几个解之和仍是该方程的

57、解. 二. 波的干涉现象 几列波的交叠区中几列波的交叠区中, 质元的合振动出现质元的合振动出现强弱强弱(振幅振幅) 随位置不同而异随位置不同而异的的稳定稳定图象图象. 三. 波的干涉 1. 波的相干条件波的相干条件 频率频率相同相同; 振动方向振动方向相同相同; 分振动的分振动的相位差相位差恒定恒定. 从观察角度还要求：从观察角度还要求： 各分振动各分振动振幅相差不太大振幅相差不太大. 相干波源相干波源 2. 两列简谐波的干涉两列简谐波的干涉 如图，两如图，两相干波源相干波源 ， 21 SS , P r1 r2 S1,y1 S2,y2 21 rr , 经经 在在P点相遇点相遇 波程波程：几何距

58、离：几何距离 或或 1 r 2 r 波程差波程差： 12 rr 相位差相位差 波源波源S1, S2的振动方程的振动方程: 111 222 cos cos yAt yAt 两波在两波在P点相遇，引起的振动方程分别为：点相遇，引起的振动方程分别为： P r1 r2 S1,y1 S2,y2 1 111 cos 22 r yAt 2 222 cos 22 r yAt P点相遇，质点的合振动方程：点相遇，质点的合振动方程： 12 cos()yyyAt 两列波在两列波在P点的点的相位差相位差: 12 12 rr 2 合振幅合振幅: cos 21 2 2 2 1 AA2AAA 波的强度波的强度 A2 cos

59、 2121 II2III 其中其中I1, I2为为S1, S2单独单独发出的波强。发出的波强。 可见可见: )2 , 1 , 0( ,2kk 满足满足的点，的点， 振幅振幅(强度强度)最大：最大： 21 AAA 2121 II2III 相干极大相干极大 满足满足的点，的点，)2 , 1 , 0( ,) 12(kk 振幅振幅(强度强度)最小：最小： 21 AAA 2121 II2III 相干极小相干极小 P r1 r2 S1, 1 S2, 2 P点处波强：点处波强： 从能量上看，两波干涉从能量上看，两波干涉 时，在两波交叠区域，合成时，在两波交叠区域，合成 波在空间各处的强度并不等波在空间各处的

60、强度并不等 于两个分波强度之和，而是于两个分波强度之和，而是 发生重新分布。这种新的强发生重新分布。这种新的强 度分布是度分布是时间上稳定、空间时间上稳定、空间 上强弱周期性相间上强弱周期性相间的分布。的分布。 特例特例:AAA 21 0I0A minmin 0 I4IA2A maxmax 干涉相长干涉相长 干涉相消干涉相消 一. 驻波的波函数 入射波：入射波： 两列两列传播方向相反传播方向相反的的相干波相干波的叠加的叠加. 四. 驻波 振幅随位置变化振幅随位置变化振动振动 11 ( , )cos2 () t y x tA x T 22 ( , )cos2 () t yx tA x T 211