2020-2021学年数学选择性第一册教案：第2章2.2　2.2.3　直线的一般式方程含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教a版选择性必修第一册教案：第2章 2.22.2.3直线的一般式方程含解析2.2。3直线的一般式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线的一般式方程（重点)2.理解关于x，y的二元一次方程axbyc0（a，b不同时为0）都表示直线（重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化（难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养. 初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是axbyc0,前面我们又学习了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，斜截式：ykxb,两点式和截距式：1.它们都可

2、以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把axbyc0（a、b不同时为零)叫做直线的一般式，下面进入今天的学习直线的一般式方程（1）定义：关于x,y的二元一次方程axbyc0(其中a,b不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)适用范围：平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示（3）系数的几何意义：当b0时，则k（斜率)，b（y轴上的截距）；当b0,a0时，则a(x轴上的截距)，此时不存在斜率思考:当a0或b0或c0时,方程axbyc0分别表示什么样的直线？提示（1)若a0，则y,表示与y轴垂直的一条直线(2)若b0,则x，表示与

3、x轴垂直的一条直线（3)若c0，则axby0，表示过原点的一条直线1思考辨析（正确的打“”，错误的打“”）（1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线（)（2）直线的其他形式的方程都可化为一般式()（3)关于x，y的二元一次方程axbyc0(a，b不同时为0)一定表示直线（）提示(1)(2)(3）2若方程axbyc0表示直线，则a,b应满足的条件为（)a a0 b b0c ab0d a2b20d方程axbyc0表示直线的条件为a，b不能同时为0，即a2b20. 故选d. 3已知直线2xayb0在x轴、y轴上的截距分别为1，2，则a，b的值分别为（)a1，2 b2，2c2，2 d2，2ay0

4、时,x1，解得b2，当x0时,y2，解得a1.4直线3xy10的倾斜角为_60把3xy10化成斜截式得yx，k，倾斜角为60.5直线1的一般式方程是_3x2y60由1得3x2y60。直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】（1)已知直线l的一般式方程为2x3y60，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距（2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式斜率是,经过点a(8，2）;经过点b(4,2），平行于x轴；在x轴和y轴上的截距分别是，3；经过两点p1(3,2）,p2(5，4)解(1）由l的一般式方程2x3y60得斜截式方程为：yx2。截距式方程为：1.由此可

5、知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为3,2。(2)由点斜式得y(2）(x8),即x2y40。由斜截式得y2,即y20。由截距式得1,即2xy30.由两点式得，即xy10.1求直线一般式方程的方法2由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件跟进训练1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程(1）斜率是且经过点a（5，3)；(2）经过a（1,5),b（2，1）两点；（3)在x，y轴上的截距分别是3，1。解(1）由点斜式方程可知,所求直线方程为y3(x5），化为一般式方程为xy350。（2)由两点式方程可知,所求直线方程为,化为一般式方程为2xy30。（3)由

6、截距式方程可得，所求直线方程1，化为一般式方程为x3y30.直线的平行与垂直【例2】(1）已知直线l1:2x(m1）y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值；(2）当a为何值时，直线l1：(a2）x(1a）y10与直线l2:(a1)x(2a3）y20互相垂直思路探究利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否解法一：(1）由l1:2x(m1）y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行当m0时，要使l1l2，需。解得m2或m3，m的值为2或3.（2）由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时,直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直若2a30,即a时,直线l1:

7、x5y20与直线l2：5x40不垂直若1a0且2a30，则直线l1,l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1k21，即1，a1.综上可知,当a1或a1时，直线l1l2。法二:（1）令23m(m1)，解得m3或m2。当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20,显然l1与l2不重合,l1l2。同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20,显然l1与l2不重合，l1l2，m的值为2或3.(2）由题意知直线l1l2,(a2)(a1）（1a）（2a3)0，解得a1，将a1代入方程，均满足题意故当a1或a1时，直线l1l2.1直线l1：a1xb1yc10，直线l2：a2xb2y

8、c20,(1)若l1l2a1b2a2b10且b1c2b2c10(或a1c2a2c10)(2）若l1l2a1a2b1b20。2与直线axbyc0平行的直线方程可设为axbym0（mc），与直线axbyc0垂直的直线方程可设为bxaym0。跟进训练2已知直线l1：xmy60，直线l2：（m2）x3y2m0。求m的值,使得l1和l2：(1）l1l2；(2）l1l2。解（1）由13m(m2)0得，m1或m3。当m1时，l1：xy60，l2：3x3y20。两直线显然不重合，即l1l2.当m3时,l1：x3y60，l2：x3y60.两直线重合故l1l2时,m的值为1。（2）由1(m2）m30得m，故l1l

9、2时m的值为。含参数的直线一般式方程问题探究问题1直线kxy13k0是否过定点？ 若过定点，求出定点坐标提示kxy13k0可化为y1k（x3）,由点斜式方程可知该直线过定点(3，1）2若直线ykxb（k0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？提示若直线ykxb（k0）不经过第四象限,则应满足k0且b0.【例3】已知直线l：5ax5ya30.（1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围思路探究(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0。解(1）证明：法一：将直线l

10、的方程整理为ya，直线l的斜率为a，且过定点a,而点a在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限法二:直线l的方程可化为（5x1)a（5y3)0.上式对任意的a总成立,必有即即l过定点a。 以下同法一(2)直线oa的斜率为k3。如图所示，要使l不经过第二象限,需斜率akoa3,a3。1本例中若直线在y轴的截距为2，求字母a的值，这时直线的一般式方程是什么?解把方程5ax5ya30化成斜截式方程为yax.由条件可知2解得a7，这时直线方程的一般式为:7xy20.2本例中，a为何值时,已知直线与2xy30平行？垂直？解若两直线平行时,则解得a2，若两直线垂直时，则5a2（5)(1）0,解得a，故

11、a2时，两直线平行；a时两直线垂直3本例中将方程改为“x（a1)ya20，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么?解（1）当a10，即a1时，直线为x3，该直线不经过第二象限,满足要求(2)当a10，即a1时，直线化为斜截式方程为yx，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a1.综上可知a1。直线恒过定点的求解策略(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标；（2）将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立,故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点1直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化一般式斜截式截

12、距式axbyc0 (a，b不同时为0)yx（b0）1（a、b、c0）2.两个重要结论结论1：平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x、y的二元一次方程axbyc0（a、b不同时为零）来表示结论2:任何关于x、y的二元一次方程axbyc0（a、b不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线3根据两直线的一般式方程判定两直线平行和垂直的方法一般地,设直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20。（1)l1l2(2)l1l2a1a2b1b20。1如果axbyc0表示的直线是y轴,则系数a,b,c满足条件(）abc0 ba0cbc0且a0 da0且bc0dy轴方程表示为x0，所以a，b

13、,c满足条件为bc0，a0.2直线xy10与坐标轴所围成的三角形的面积为（）a b2 c1 dd由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，1），故三角形面积为.3斜率为2,且经过点p(1，3)的直线的一般式方程为_2xy10由点斜式的y32（x1)，整理得2xy104直线x3y40与直线mx4y10互相垂直,则实数m的值为_12因为两条直线垂直，1m340，解得m12.5已知直线l的方程为3x4y120,求直线l的一般式方程,l满足（1）过点（1,3），且与l平行;（2)过点（1，3)，且与l垂直解法一：(1)由题设l的方程可化为yx3，l的斜率为.由l与l平行，l的斜率为.又l过（1，3）,由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90。(2）由l与l垂直，l的斜率为,又l过(1,3)，由点斜式可得方程为y