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文档简介
1、2021/2/111 全班共有全班共有50个学生个学生,其中数学成绩优秀者其中数学成绩优秀者15人人,语文语文 成绩优秀者成绩优秀者10人人,数学与语文成绩优秀者数学与语文成绩优秀者5人人, 求数学求数学 或语文成绩优秀者的概率或语文成绩优秀者的概率 案例案例 解解: :设设A=A=数学成绩优秀者数学成绩优秀者,B=,B=语文成绩优秀者语文成绩优秀者 则数学与语文成绩优秀者=AB 数学或语文成绩优秀者=A+B 5 15 10 A B 50 5 50 10 50 15 50 51015 )BA(P )()()(ABPBPAP 2021/2/112 (一)概率的加法公式(一)概率的加法公式 )()
2、()()(ABPBPAPBAP 对任意两个事件A与B,有 特别地特别地, , (1 1)若)若A A与与B B互不相容互不相容, ,则则)()()(BPAPBAP (2)若A与B为对立事件,则 )()()(1APAPAAP 可推广到有限多个互不相容事件:若A1,A2,An两 两之间互不相容,则 )()()()( 2121nn APAPAPAAAP )(1)(APAP 2021/2/113 )()()()(ABPAPBAPBAP 3 . 0)(BP6 . 0)( BAP)( BAP AB例例1 1 设 、 为两事件, 且设 , 求 解 )()()()(ABPBPAPBAP 而 )()()()(A
3、BPAPBPBAP所以 3 . 03 . 06 . 0)(BAP于是 2021/2/114 例例2:2:某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货, ,历年历年 供货资料表明供货资料表明, ,甲厂按时供货的概率为甲厂按时供货的概率为0.80.8, ,乙厂供货乙厂供货 的概率为的概率为0.70.7, ,甲乙厂供货的概率为甲乙厂供货的概率为0.60.6, ,求此种商品求此种商品 在该商店货架上不断档的概率在该商店货架上不断档的概率 例例3:3:某人选购了两支股票据专家预测某人选购了两支股票据专家预测, ,在未来的一在未来的一 段时间里段时间里, ,第一支股票能赚钱的概
4、率为第一支股票能赚钱的概率为2/32/3, ,第二支股第二支股 票能赚钱的概率为票能赚钱的概率为3/43/4, ,两支股票都能赚钱胡概率为两支股票都能赚钱胡概率为 3/53/5, ,求此人购买这两支股票中求此人购买这两支股票中, ,至少有一支能赚钱的至少有一支能赚钱的 概率概率 2021/2/115 例例4:4:某家庭中有两个孩子,已有一个孩子是女孩的条 件下,求另一个也是女孩的概率 解解: : =男男,男女,女男,女女 B =已有一个孩子是女孩 在事件B已经发生的条件下,求事件A发生的概率,通常 称为条件概率,记为P(A|B). 从而 )B(P )AB(P )B|A(P 3 1 4 3 4
5、1 (二)条件概率和乘法公式(二)条件概率和乘法公式 A =另一个也是女孩 =男女,女男,女女 =女女 2021/2/116 则有所求概率为则有所求概率为 , 8 . 0)( AP因为因为 . )( )( )( AP ABP ABP , 4 . 0)( BP . 2 1 8 . 0 4 . 0 )( )( )( AP ABP ABP 所以所以 由于由于B A,所以所以P(AB)=P(B), 2021/2/117 )()()(APABPABP )()()(BPBAPABP 2021/2/118 则则有有且且为为事事件件设设推推广广, 0)(,:1 21321 AAPAAA ).()()()( 2
6、13121321 AAAPAAPAPAAAP 事实上事实上 )()( 321321 AAAPAAAP 且且 , 0)()( 211 AAPAP由于由于 )()( 21321 AAAPAAP ).()()( 213121 AAAPAAPAP 可进一步推广如下可进一步推广如下: 右侧的条件概率均有意义右侧的条件概率均有意义, 2021/2/119 %,96)(1)( APAP%75)( ABP )()(ABPBP )()(ABPAP .72. 0 100 75 100 96 2021/2/1110 321211 AAAAAAB )(BP )|()|()()|()()( 2131211211 AAA
7、PAAPAPAAPAPAP )()()( 321211 AAAPAAPAP . 10 3 8 1 9 8 10 9 9 1 10 9 10 1 2021/2/1111 )|()|()()|()()( 2131211211 AAAPAAPAPAAPAPAP 5 3 3 1 4 3 5 4 4 1 5 4 5 1 )(BP 2021/2/1112 课堂练习课堂练习 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜, , 第一次落下时打破第一次落下时打破 的概率为的概率为1/2,1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破, , 第二次落下打破第二次落下打破 的概率为的概率为7/10 , 7/10
8、, 若前两次落下未打破若前两次落下未打破, , 第三次落下第三次落下 打破的概率为打破的概率为9/10.9/10.试求透镜落下三次而未打破的概试求透镜落下三次而未打破的概 率率. . 解解 B “透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”. , 321 AAAB 因因为为 )()( 321 AAAPBP 所所以以 )()()( 213121 AAAPAAPAP ) 10 9 1)( 10 7 1)( 2 1 1( . 200 3 )3 , 2 , 1( , iiAi次次落落下下打打破破透透镜镜第第设设 2021/2/1113 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, , 5 5个球迷
9、好不容易才搞到一张入场券个球迷好不容易才搞到一张入场券. . 大家都想去大家都想去, ,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决. . 入场入场 券券 5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没其余的什么也没 写写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取. “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ” 后抽比先抽的确实吃亏吗后抽比先抽的确实吃亏吗? 2021/2/1114 到底谁说的对呢到底谁说的对呢? ?让我们用概率让我们用概率 论的知识来计算一下论的知识来计算一下, ,每
10、个人抽到每个人抽到 “入场券入场券”的概率到底有多大的概率到底有多大? ? “大家不必争先恐后大家不必争先恐后,你们一个一个你们一个一个 按次序来按次序来,谁抽到谁抽到入场券入场券的机会都的机会都 一样大一样大.” “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。” 2021/2/1115 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较 复杂事件的概率复杂事件的概率, ,它们实质上是加法公式和乘法它们实质上是加法公式和乘法 公式的综合运用公式的综合运用. . 综合运用综合运用 加法公式加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B
11、互斥互斥 乘法公式乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 (三)全概率公式与贝叶斯公式(三)全概率公式与贝叶斯公式 2021/2/1116 设设 n AAA, 21 为为一一个个完完备备事事件件组组, ,对对任任一一事事件件B, ,有有 BB 显显然然BABABA n , 21 也也两两两两互互不不相相容容, , 21 BABABA n BAAA n )( 21 A1 A2 A3 A4 A6 A7 A5 A8 B 2021/2/1117 由概率的由概率的可加性可加性及及乘法公式乘法公式, , 有有 )()( 21 BABABAPBP n n i iB AP 1 )( . )|
12、()( 1 n i ii ABPAP 这个公式称为这个公式称为全概率公式全概率公式, ,它是概率论的基本公式它是概率论的基本公式. . 设设 n AAA, 21 为为一一个个完完备备事事件件组组, ,对对任任一一事事件件B, ,有有 BB 显显然然BABABA n , 21 也也两两两两互互不不相相容容, , 21 BABABA n BAAA n )( 21 2021/2/1118 n i ii ABPAPBP 1 )|()()( 利用全概率公式利用全概率公式, ,可以把较复杂事件概率的计可以把较复杂事件概率的计 算问题算问题, ,化为若干互不相容的较简单情形化为若干互不相容的较简单情形, ,
13、分别求分别求 概率然后求和概率然后求和 2021/2/1119 例例8 8 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌 产品产品, ,已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为3030、 2020、 5050, ,且三家工厂的次品率分别为且三家工厂的次品率分别为 3 3、3 3、 1 1 , , 试 求 市 场 上 该 品 牌 产 品 的 次 品 率试 求 市 场 上 该 品 牌 产 品 的 次 品 率 . . 设设A1 1、A2 2 、 、A3 3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品分别表示买到一件甲、乙、丙的产品; ; B表示买到一件次品
14、表示买到一件次品, , 解解 .02. 001. 05 . 003. 02 . 003. 03 . 0 ,5 . 0)(,2 . 0)(,3 . 0)( 321 APAPAP 加权平均加权平均 显然显然A1 1、A2 2 、 、A3 3 构成一个完备 构成一个完备 事件组事件组, , 由题意有由题意有 3 1 )|()()( i ii ABPAPBP ,01. 0)|(,03. 0)|(,03. 0)|( 321 ABPABPABP 由全概率公式由全概率公式, , 2021/2/1120 例例9 9 袋中有袋中有a个白球个白球b个黑球个黑球, ,不放回摸球两次不放回摸球两次, ,问第问第 二次
15、摸出白球的概率为多少二次摸出白球的概率为多少? ? 解解 分别记分别记A,B为第一次、第二次摸到白球为第一次、第二次摸到白球, , 由全概率公式由全概率公式, , )|()()|()()(ABPAPABPAPBP ba a . ba a 可可以以想想见见,第第三三次次、第第四四次次摸摸出出白白球球的的概概率率仍仍为为 ba a ,这这体体现现了了抽抽签签好好坏坏与与先先后后次次序序无无关关的的公公平平性性. . 1 1 ba a ba b 1 ba a 2021/2/1121 在上面例在上面例8 8中中, ,如买到一件次品如买到一件次品, ,问它是甲厂生产的问它是甲厂生产的 概率为多大概率为多
16、大? ?这就要用到贝叶斯公式这就要用到贝叶斯公式. . )( )( )|( BP BAP BAP k k , )|()( )|()( 1 n i ii kk ABPAP ABPAP ), 2 , 1(nk 设设 n AAA, 21 为为一一个个完完备备事事件件组组, , 定理定理 0)( i AP, ,ni, 1 , ,对对任任一一事事件件B, ,若若0)( BP, ,有有 2021/2/1122 n i ii kk k ABPAP ABPAP BAP 1 )|()( )|()( )|( 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯( (Bayes) )给出给出. .它是在它是在 观察
17、到事件观察到事件B已发生的条件下已发生的条件下, ,寻找导致寻找导致B发生的每发生的每 个原因个原因Ak的概率的概率. . ), 2 , 1(nk 2021/2/1123 )( )|()( )|( 11 1 BP ABPAP BAP ,3 . 0 02. 0 03. 02 . 0 )|( 2 BAP.25. 0 02. 0 01. 05 . 0 )|( 3 BAP 所以这件商品最有可能是甲厂生产的所以这件商品最有可能是甲厂生产的. . 例例1010 已知三家工厂的市场占有率分别为已知三家工厂的市场占有率分别为3030、2020、 5050, , 次品率分别为次品率分别为3 3、3 3、1 1.
18、 .如果买了一件商如果买了一件商 品品, ,发现是次品发现是次品, ,问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别 为多少为多少? ? ,45. 0 02. 0 03. 03 . 0 :)( i AP0.3, 0.2, 0.5 :)|(BAP i 0.45, 0.3, 0.25 解解 2021/2/1124 全概率公式可看成全概率公式可看成 “ “由原因推结果由原因推结果” ” , ,而贝叶斯公式的而贝叶斯公式的 作用在于作用在于 “ “由结果推原因由结果推原因” ” : :现在一个现在一个 “ “结果结果” ” A 已经发已经发 生了生了, ,在众多可能的在众多可能的 “
19、 “原因原因” ” 中中, ,到底是哪一个导致了这一结到底是哪一个导致了这一结 果果? ? 故故贝叶斯公式贝叶斯公式也称为也称为“逆概公式逆概公式”. . 2021/2/1125 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件A)之前之前, 侦破人员根据过去的前科侦破人员根据过去的前科,对他对他 们作案的可能性有一个估计们作案的可能性有一个估计,设设 为为 比如原来认为作案可能性较小的某丙比如原来认为作案可能性较小的某丙,现在变成了重点现在变成了重点 嫌疑犯嫌疑犯. 例如例如,某地发生了一个案件某地发生了一个案件,怀疑对怀疑对 象有甲、乙、丙三人象有甲、乙、丙三人. 丙丙乙乙甲甲 P(A1) P(
20、A2) P(A3) 但在知道案情细节后但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化这个估计就有了变化. P(A1 | B) 知道知道B 发生后发生后 P(A2 | B) P(A3 | B) 偏偏 小小 最最 大大 2021/2/1126 解解 设设 i A为第一次取到为第一次取到 i 个新球,个新球,2 , 1 , 0 i, 例例1111 1010个乒乓球有个乒乓球有7 7个新球个新球3 3个旧球个旧球. .第一次比赛时第一次比赛时 随机取出随机取出2 2个个, ,用过后放回用过后放回. . 现在第二次比赛现在第二次比赛 又取出又取出 2 2个个, ,问第二次取到几个新球的概率最大问第二次取到几个
21、新球的概率最大? ? j B为为第第二二次次取取到到 i 个个新新球球,2 , 1 , 0 j, 210 ,AAA构构成成一一个个完完备备事事件件组组, 2 10 2 37 )( C CC AP ii i ,2 , 1 , 0 i, , 2 10 2 37 )|( C CC ABP j i j i ij ,2 , 1 , 0, ji, 2021/2/1127 2 10 2 37 )( C CC AP ii i , 2 10 2 37 )|( C CC ABP j i j i ij ,2 , 1 , 0, ji, 具体计算得具体计算得 15 1 )( 0 AP, 15 7 )( 1 AP, 15
22、 7 )( 2 AP, 15 1 )|( 00 ABP, 15 2 )|( 10 ABP, 9 2 )|( 20 ABP, 15 7 )|( 01 ABP, 15 8 )|( 11 ABP, 9 5 )|( 21 ABP, 15 7 )|( 02 ABP, 3 1 )|( 12 ABP, 9 2 )|( 22 ABP, 2021/2/1128 由全概率公式由全概率公式, , 2 0 00 )|()()( i ii ABPAPBP ,17. 0 9 2 15 7 15 2 15 7 15 1 15 1 ,54. 0 9 5 15 7 15 8 15 7 15 7 15 1 )( 1 BP ,29
23、. 0 9 2 15 7 3 1 15 7 15 7 15 1 )( 2 BP 所以第二次取到一个新球的概率最大所以第二次取到一个新球的概率最大. . 2021/2/1129 (四)(四) 独立事件的概率公式独立事件的概率公式 由条件概率由条件概率,知知 )( )( )( BP ABP BAP 一般地一般地, )()(APBAP 这意味着这意味着:事件事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概率发生的概率 有影响有影响. 然而然而,在有些情形下又会出现在有些情形下又会出现: )()(APBAP 2021/2/1130 , , . ,),23(5 取取到到绿绿球球第第二二次次抽抽取取 取取到到绿绿
24、球球第第一一次次抽抽取取 记记有有放放回回地地取取两两次次 每每次次取取出出一一个个红红绿绿个个球球盒盒中中有有 B A 则有则有 )(ABP .发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA )()(BPABP )()()(BPAPABP 5 3 )(BP ,则,则若若0)( AP 2021/2/1131 ., )()()( , 独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件 如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设 BABA BPAPABP BA 注注. 1则则若若, 0)( AP )()(BPABP )()()(BPAPABP 说明说明 事件事件 A
25、与与 B 相互独立相互独立, ,是指事件是指事件 A 的发生与事件的发生与事件 B 发生的概率无关发生的概率无关. . 2021/2/1132 独立与互斥的关系独立与互斥的关系 这是两个不同的概念这是两个不同的概念. 两事件相互独立两事件相互独立 )()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB , 2 1 )(, 2 1 )( BPAP若若 ).()()(BPAPABP 则则 例如例如 二者之间没二者之间没 有必然联系有必然联系 独立是事独立是事 件间的概件间的概 率属性率属性 互斥是事互斥是事 件间本身件间本身 的关系的关系 1 1 A B AB 由此可见由此可见两事件两事件相互独立
26、相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥. 两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥. 2021/2/1133 A B )( 2 1 )(, 2 1 )(如如图图若若 BPAP )()()(BPAPABP 故故 由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立. , 0)( ABP则则 , 4 1 )()( BPAP 又如又如: 两事件两事件相互独立相互独立. 两事件两事件互斥互斥 2021/2/1134 若若A与与B互斥互斥,则则 AB = B发生时发生时,A一定不发生一定不发生. 0)( BAP 这表明这表明: B的发生会影响的发生会影响 A发生的可能性发生的可能性(造成造成 A不
27、发生不发生), 即即B的发生造成的发生造成 A发生的概率为零发生的概率为零. 所以所以A与与B不独立不独立. 理解理解: B A 2021/2/1135 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件 也相互独立也相互独立. ;与与 BA ;与与 BA .BA 与与 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭. 2021/2/1136 甲甲, , 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击, ,已知甲击已知甲击 中敌机的概率为中敌机的概率为0.6, 0.6, 乙击中敌机的概乙击中敌机的概 率为率为0.5, 0.5, 求敌机被击中的概率求敌机
28、被击中的概率. . 解解 设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 .BAC 则则依题设依题设,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP A与与B不互斥不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11P(A B) ) 2021/2/1137 由于由于 甲甲, ,乙乙同时同时射击射击, ,甲击中敌机并不影甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性响乙击中敌机的可能性, ,所以所以 A与与B独立独立, , 进而进而 .独独立立与与 BA BAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8
29、2021/2/1138 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念 定义定义 ., ),()()( ),()()( ),()()( , 两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件 如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设 CBA CPAPACP CPBPBCP BPAPABP CBA 2021/2/1139 设设 A1,A2 , ,An为为n 个事件个事件, 若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 定义定义 若事件若事件 A1,A2 , ,An 中任意两个事件相互中任意两个事件相互 独立独立,即对于一切即对于一切 1 i j n, 有有 )()()(
30、jiji APAPAAP . 21 两两两两相相互互独独立立,则则称称 n AAA .12 )11( 10 32 个式子个式子 共共 n CC CCC n nn n n nnn 定义定义 )()()()( 2121kk iiiiii APAPAPAAAP 有有 . 21 相相互互独独立立,则则称称 n AAA 2021/2/1140 .)2( ,)2(,. 1 21 个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意 则则相互独立相互独立若事件若事件 nkk nAAA n 12 12 2.,(2), , , . ( ) n n nA AA n A AA n 若个事件相互独立 则将中任意多个事
31、件换成它们的对 立事件 所得的个事件仍相独立性关于独立 运算封闭 互 2021/2/1141 n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式: n AAA, 21 设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则 ) n AAAP 21 1( )(1 21n AAAP )()()( n APAPAP 21 1 也相互独立也相互独立 n AAA, 21 即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积. )( n AAAP 21 结论的应用结论的应用 2021/2/1142 n AAA, 21 则则“ 至少有一个发生至
32、少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn ) )()()(1 21n APAPAP , 1n pp n AAA, 21 若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率 分别为分别为 类似可以得出类似可以得出: n AAA, 21 至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“ )( n AAAP 21 =1- - p1 pn 2021/2/1143 对独立事件对独立事件,许多概率计算可得到简化许多概率计算可得到简化: 例例1313 三人独立地去破译一份密码三人独立地去破译一份密码, ,已知各人能已知各人能 译出的概率分别为译出的概率分别为1
33、/51/5, ,1/31/3, ,1/41/4, ,问三人中至少问三人中至少 有一人能将密码译出的概率是多少有一人能将密码译出的概率是多少? ? 解解: :将三人编号为将三人编号为1,21,2, ,3 3, , 所求为所求为 P(A1+A2+A3) 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3 2021/2/1144 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3 1 2 所求为所求为 P(A1+A2+A3) 已知已知, , P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) )(1 21n AAAP )(1 321 AAAP
34、)()()(1 321 APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 0 5 3 4 3 3 2 5 4 1 3 2021/2/1145 n AAA, 21 则则“ 至少有一个发生至少有一个发生”的概率为的概率为 P(A1+An) =1- (1-p1 ) (1-pn ) )()()(1 21n APAPAP , 1n pp n AAA, 21 若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率 分别为分别为 类似可以得出类似可以得出: n AAA, 21 至少有一个不发生至少有一个不发生”的概率为的概率为“ )( 21n AAAP =1- - p1 pn 2021/2
35、/1146 例例 1313 加工某一零件共需经过四道工序加工某一零件共需经过四道工序, , 设第一、设第一、 二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率 3%,3%, 假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的, ,求加工出来的求加工出来的 零件的次品率零件的次品率. . 解解 本题应先计算合格品率本题应先计算合格品率, , 这样可以使计算简便这样可以使计算简便. . 设设 4321 ,AAAA 为四道工序发生次品事件为四道工序发生次品事件, , 加工出来的零件为次品的事件加工出来的零件为次品的事件, , 的事件的事件, , 则则 D为产品合格 为产品合格 故有故有 D为 为 ,
36、4321 AAAAD 分别是分别是2%, 3%, 5%, 2%, 3%, 5%, )()()()()( 4321 APAPAPAPDP 2021/2/1147 例例 1313 加工某一零件共需经过四道工序加工某一零件共需经过四道工序, , 设第一、设第一、 二、三、四道工序的次品率二、三、四道工序的次品率 3%,3%, 假定各道工序是互不影响的假定各道工序是互不影响的, ,求加工出来的求加工出来的 零件的次品率零件的次品率. . 解解 本题应先计算合格品率本题应先计算合格品率, , 这样可以使计算简便这样可以使计算简便. . 分别是分别是2%, 3%, 5%, 2%, 3%, 5%, )()()()()( 4321 APAPAPAPDP %)
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