差分方程1--贷款买房及蛛网模型

1、0 差分方程及其解差分方程及其解 1 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动 2 贷款买房贷款买房 3 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型 差分方程模型差分方程模型 0 差分方程及其解 把含有未知函数的差分或表示成未知函数若把含有未知函数的差分或表示成未知函数若 干不同时期值的符号的方程称为干不同时期值的符号的方程称为差分方程差分方程。 0),( 1 niii yyyxF 0),( 1 niii yyyxG 0),( i n ii yyyxH 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的 差数称为差数称为差分方程的阶差分方程的阶。 差分方程及其解差分方程

2、及其解 差分方程的解差分方程的解：若一个整标函数代入差分方程后，：若一个整标函数代入差分方程后， 方程两端恒等方程两端恒等 差分方程的通解差分方程的通解：如果解中所含相互独立的任意：如果解中所含相互独立的任意 常数的个数等于方程的阶数常数的个数等于方程的阶数 特解：特解：满足初始条件、不含任意常数的解。满足初始条件、不含任意常数的解。 常系数线性差分方程求解 iinnini ryPyPy 11 n n阶常系数方程阶常系数方程 11 0 i ni nni yPyP y 若若 =0=0，则称为齐次方程，则称为齐次方程 i r 线性差分方程解的结构上与线性微分方程相类似，线性差分方程解的结构上与线性

3、微分方程相类似， 即有：即有： （1 1） 若若 是齐次差分方程的解，则是齐次差分方程的解，则 也是的解，其中也是的解，其中C C为任意常数。为任意常数。 （2 2）若）若 、 是齐次差分方程的解，则它是齐次差分方程的解，则它 们的线性组合们的线性组合 也是非齐次也是非齐次 差分方程的解。差分方程的解。 )(iYyi )(iCY )( 1 iY )( 2 iY )()( 2211 iYCiYC 常系数线性差分方程求解常系数线性差分方程求解 （3 3）若若 ， 是齐次差分方程是齐次差分方程n个线性无关个线性无关 的解，则它们的线性组合的解，则它们的线性组合 就是齐次差分方程的通解。就是齐次差分方

4、程的通解。 ， 称为齐次差分方程的一组基本解。称为齐次差分方程的一组基本解。 （4） 若若 是齐次差分方程的是齐次差分方程的 通解，通解， 是非齐次方程的一个特解，则是非齐次方程的一个特解，则 是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解。 )( 1 iY)(iYn )()( 11 iYCiYC nn )( 1 iY )(iYn )()( 11 iYCiYC nn )(* iy )(*)()()( 11 iyiYCiYCiy nn 常系数线性差分方程求解常系数线性差分方程求解 齐次常系数线性差分方程求解 11 0 ininni yP yP y 0 1 1 1 nn nn PPP特征方程特征方程 n ,

5、 21 n 若若 是特征方程的是特征方程的 个不同的根，个不同的根， 通解可表为通解可表为 i nn i i CCy 11 k 21 时，只要将时，只要将)(,),(),( 21 iYiYiY k 换为换为 i k k ii iiYiiYiY 1 1 1211 )(,)(,)( 齐次常系数线性差分方程求解 当特征方程有一对共扼单复根时当特征方程有一对共扼单复根时 1,1,2 , ii kkk r er e 1 2 ( )cos(), ( )sin() i i Y iri Y iri 当特征方程有一对共扼当特征方程有一对共扼n重复根时重复根时 1,2 i abire 1 1 1 12 ( )co

6、s(),( )cos() ( )sin(),( )sin() iki k iki kk Y iriY iiri YiriYiiri 非齐次常系数线性差分方程求解 例例 求下列差分方程的通解：求下列差分方程的通解： （1 1） （2 2） （3 3） （4 4） i ii yy) 2 5 ( 2 1 1 iyy ii21 sin 0 12 iii yyy ii iii yyy5244 12 ii i Cy)()( 2 5 2 1 2 1 )sin(cos 222 1 iiCyi 22 1233 cossin i yCiCi ii i i i iCCy522)( 9 1 821 2 1 1 减肥计

7、划减肥计划节食与运动节食与运动 背背 景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标 分分 析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=BMI=w w(kg)/(kg)/l l2 2(m(m2 2).). 18.5BMI25 18.

8、5BMI25 BMI25 超重超重; BMI30 ; BMI30 肥胖肥胖. . 模型假设模型假设 1 1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量 每每80008000千卡增加体重千卡增加体重1 1千克；千克； 2 2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200200千卡千卡-320-320千卡千卡( (因人而异因人而异),), 相当于相当于7070千克的人每天消耗千克的人每天消耗20002000千卡千卡-3200-3200千卡；千卡； 3 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动

9、 形式有关；形式有关； 4 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.51.5 千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于1000010000千卡。千卡。 某甲体重某甲体重100100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收2000020000千卡热量，千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至7575千克。千克。 第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1 1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减 少，直至达到下限（少，直至达到下限（1000010000千卡）；千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段

10、：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 1 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 减肥计划减肥计划 3 3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。 )()1()()1(kwkckwkw 千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数 即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=20020000/100=200千卡千卡 基本模型基本模型 w w( (k k) -) -第第k k周周( (末末

11、) )体重体重 c c( (k k) -) -第第k k周吸收热量周吸收热量 - -代谢消耗系数代谢消耗系数( (因人而异因人而异) ) 1 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 每周吸收每周吸收2000020000千卡千卡 w w=100=100千克不变千克不变 wcww025. 0 1008000 20000 w c 第一阶段第一阶段: : w w( (k k) )每周减每周减1 1千克千克, , c c( (k k) )减至下限减至下限1000010000 千卡千卡 1) 1()(kwkw k20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw 第一阶段第一阶

12、段1010周周, , 每周减每周减1 1千克，第千克，第1010周末体重周末体重9090千千 克克 10k kwkw)0()( )1( 1 )0()1(kwkc 80001 025.0 9, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为 1 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 1)( 1 )1(kwkc 10000 m C )1 ()1 (1 )()1 ()( 1 n m n Ckwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c c( (k k) )保持保持C Cm m, , w w( (k k) )减至减至7575千克千克 代入得以10000, 8000

13、1 ,025. 0 m C 5050)(975. 0)(kwnkw n mm n CC kw)()1 ( 1 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划 )() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型 m Ckwkw)()1 () 1( nnkwkw求，要求已知75)(,90)( 50)5090(975.075 n 第二阶段：每周第二阶段：每周c c( (k k) )保持保持C Cm m, , w w( (k k) )减至减至7575千克千克 5050)(975.0)(kwnkw n 第二阶段第二阶段1919周周, , 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000100

14、00千卡千卡, , 体重按体重按 减少至减少至7575千克。千克。 )19, 2 , 1(50975. 040)(nnw n 19 975. 0lg )40/25lg( n )028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取 运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时), 14周即可。周即可。 2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划 根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5

15、 7.9 t每周运动每周运动 时间时间(小时小时)()( ) 1()() 1( kwt kckwkw 基本基本 模型模型 6 .44)6 .4490(972. 075 n 14n mm n CC kwnkw)()1()( 3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案 )()() 1()() 1(kwtkckwkw 每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 wtCww)( wt C )( )(1500075025. 08000千卡C 不运动不运动 )(1680075028. 08000千卡C 运动运动(内容同前内容同前) 问题

16、：问题：试建立微分方程模型讨论减肥问题试建立微分方程模型讨论减肥问题 假设：假设： （1）人每天吸收的能量为固定数）人每天吸收的能量为固定数A千卡；千卡； （2）单位时间里，人体内用于基础代谢和）单位时间里，人体内用于基础代谢和 体内特殊动力消耗的能量正比于人的体重，体内特殊动力消耗的能量正比于人的体重， 比例系数为比例系数为b; (3)从事某项运动（活动）在单位时间里从事某项运动（活动）在单位时间里 消耗的能量正比于体重。单位时间每千克消耗的能量正比于体重。单位时间每千克 体重消耗的能量为体重消耗的能量为r; (4)体重体重w(t)是时间是时间t的连续可导函数；的连续可导函数； 我们以我们以

17、“天天”为时间单位。为时间单位。 千卡）千克 /(80001 体重模型体重模型 ()( )( )( )w ttw tAbw trw tt 110 11 ( );(0) ,() dw AB w tww dt AABbr 1 1101 11 ( ) B t AB wA w te BB 1 1 问题与背景问题与背景 一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金 近近6 6万元。假设它们每月可有节余万元。假设它们每月可有节余900900元，且有元，且有 如下的两种选择：如下的两种选择： 1.1. 使用银行贷款使用银行贷款6000060000元。月利率元。月利率0.0

18、10.01，贷款期，贷款期 2525年年=300=300个月；个月； 2.2. 到某借贷公司借贷到某借贷公司借贷6000060000元，月利率元，月利率0.010.01， 2222年还清。只要（年还清。只要（i i）每半个月还）每半个月还316316元，元，(ii) (ii) 预付三个月的款预付三个月的款 你能帮他们做出明智的选择吗？你能帮他们做出明智的选择吗？ 2 贷款买房 2 2 建模与求解建模与求解 设最初需要借的款数为设最初需要借的款数为 ， 月利率（贷款通常按复利计）为月利率（贷款通常按复利计）为 ， 每月还的款数为每月还的款数为 ， 借期为借期为N N，第，第n n个月时尚欠的款数

19、为个月时尚欠的款数为 o y R x n y R x R R x yy n on )1)( 1 ,(1)0,1,2 nn o yR yxn y 已知 已知已知 3. 结果和分析结果和分析 =60000=60000，R = 0.01R = 0.01， = 300= 300 o yn R x R R x yy n on )1)( 0 300 y 0 300 632 (1)1 y R x R 问题问题1 所以，他们是有能力购房的！所以，他们是有能力购房的！ 3. 结果和分析结果和分析 问题问题2每月还款也是每月还款也是632元，只是多跑一次银行元，只是多跑一次银行 预付预付632 x 3 = 189

20、6元元 提前三年还清，少付提前三年还清，少付316 x 72 = 22752 元元 0 60000,316,0 N yxy R x R R x yy n on )1)( 半月利率取为半月利率取为R=0.005， 0(1)(1)124.92 NN o x RyRN R 年年 好仁慈的借贷公司啊！好仁慈的借贷公司啊！ ？ 3. 结果和分析结果和分析 0 N y 事实上，按第事实上，按第2 2个条件，个条件， ， 你只借了你只借了5810458104元而不是元而不是6000060000元，即使按元，即使按R=0.01R=0.01， 来算，使来算，使 的的N N为为 253.05253.05（个月）（

21、个月） （年）。（年）。 即实际上提前将近即实际上提前将近4 4年就可还清。该借贷公司只要年就可还清。该借贷公司只要 去同样的银行借款，即使半个月收来的去同样的银行借款，即使半个月收来的316316元不动，元不动， 再过半个月合在一起去交给银行，它还可坐收第再过半个月合在一起去交给银行，它还可坐收第2222 年的款近年的款近70007000元元 ！ 元58104189660000 o y 632x N 09.21 3 市场经济中的蛛网模型 问问 题题 供大于求供大于求 现现 象象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段

22、使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 价格下降价格下降减少产量减少产量 增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求 描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律 数量与价格在振荡数量与价格在振荡 蛛蛛 网网 模模 型型 g x0 y0P0 f x y 0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格 消费者的需求关系消费者的需求关系)( kk xfy 生产者的供应关系生产者的供应关系 减函数减函数 增函数增函数 供应函数供应函数 需求函数需求函数 f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点 一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0

23、, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )( 1kk yhx )( 1 kk xgy x y 0 f g y0 x0 P0 设设x1偏离偏离x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 32211 xyxyx 0321 PPPP 00, yyxx kk P0是稳定平衡点是稳定平衡点 P1 P2 P3 P4 P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点 gf KK x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy )( 1kk yhx )( 1 kk xgy 00, yyxx kk gf KK 曲线斜率曲线斜率 蛛蛛 网网 模模 型型 0321 PPPP

24、)( kk xfy )( 1kk yhx 在在P P0 0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线 )0()( 00 xxyy kk )0()( 001 yyxx kk )( 001 xxxx kk )()( 0101 xxxx k k 1 P0稳定稳定 P0不稳定不稳定 0 xxk k x f K g K/1 )/ 1( )/ 1( 1 方方 程程 模模 型型 gf KK gf KK 方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致 )( 00 xxyy kk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度 )( 001 yyxx kk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段

25、下时段)供应的增量供应的增量 考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 x xk k 第第k k时段商品数量；时段商品数量；y yk k 第第k k时段商品价格时段商品价格 1经济稳定经济稳定 结果解释结果解释 经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法 1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变 2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 结果解释结果解释 需求