材料力学 第六章 弯曲应力

1、1 6 6 弯曲应力弯曲应力 2 6 6 弯曲应力弯曲应力 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 6.4 6.4 梁的合理截面梁的合理截面 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 6.6 6.6 考虑材料塑性时梁的弯曲极限考虑材料塑性时梁的弯曲极限 3 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 1.1.纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力 纯弯曲纯弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截面上 无剪力

2、而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。 M0 M 0 M 0 M 4 横力弯曲横力弯曲 (bending by transverse force) 梁的横截面上 既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。 P C Q M P M A V A C PP 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 5 (1(1）几何方面）几何方面 表面变形情况：表面变形情况： (a)纵线弯成弧线，凹纵线弯成弧线，凹 边的纵线缩短，而边的纵线缩短，而 凸边的纵线则伸长；凸边的纵线则伸长； (b)横线仍为直线，并横线仍为直线，并 与变形后的纵线保与变形后的纵线保 持正交，只是横线持正交，只

3、是横线 间相对转动。间相对转动。 m a b m a n b n M0 M0 m m n n aa b b 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 6 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)： 平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保 持为平面，只是绕垂直于弯曲平面持为平面，只是绕垂直于弯曲平面( (纵向平面纵向平面) )的的 某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线 保持正交。保持正交。 此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。

4、 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 7 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵 向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡层，称为纵向无长度改变的过渡层，称为中性层中性层 。 中性层中性层 中性轴中性轴 中性层与横截面的交线就是中性层与横截面的交线就是中性轴中性轴。 中性层中性层中性轴中性轴 M0 M0 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 8 y OO BB AB BB 21 1 1 1 dd 21 xOO d)(yAB 中

5、性层的曲率半径中性层的曲率半径 C AB y O1 O2 B1 d dx M0 M0 m m n n aa b b 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 9 (2(2）物理方面）物理方面单轴应力状态下的虎克定律单轴应力状态下的虎克定律 不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当不计挤压，即认为梁内各点均处于单轴应力状态。当 5 ），纯弯曲时的正应力计算公式用于），纯弯曲时的正应力计算公式用于 横力弯曲情况，其结果仍足够精确。横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 z I yxM)( z W xM)( max Pl 4 l P 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力

6、19 例例1 图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知P =150kN。试求危险截面上的最大正应力。试求危险截面上的最大正应力max 和同一和同一 横截面上翼缘与腹板交界处横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力 a 。 B 5 m 10 m A P C VA VB 12.5 21 166 560 z a 375 kN.m M 解：解：(1)作弯矩图如上，作弯矩图如上， mkN375 4 max Pl M 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 20 (2)查型钢表得查型钢表得 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160

7、 mm102342 mmN10375 33 6 max max z W M MPa148 mm1065586 mm21 2 560 mmN10375 44 6 max z a a I yM 56号工字钢号工字钢 (3)求正应力为求正应力为 12.5 21 166 560 z a 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 21 或根据正应力沿梁高的线性分布关系的或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 MPa160 max MPa148MPa160 2 560 21 2 560 max max y ya a 12.5 21 166 560 z a 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面

8、上的正应力 22 例例2 长为长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已，已 知知b120mm，h180mm、l2m，P1.6kN，试求，试求B截面上截面上 a、b、c各点的正应力。各点的正应力。 2l P 2l A B C b h 6h 2h a b c Pl PlM B 2 1 12 3 bh IZ Z aB a I yM 12 32 1 3 bh h Pl MPa65. 1 0 b Z cB c I yM 12 22 1 3 bh h Pl MPa47. 2 （压）（压） 解：解： 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 23

9、例例3 图示图示T形截面简支梁在中点承受集中力形截面简支梁在中点承受集中力P32kN，梁的长度，梁的长度l 2m。T形截面的形心坐标形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于，横截面对于z轴的惯性轴的惯性 矩矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压 应力。应力。 2 l 2 l A B P 4 max Pl MkNm16 4 .9650200 max ymm6 .153 mm4 .96 max y z y C 150 50 200 50 4 .96 Z I My max max MPa09.24 Z I My max max MP

10、a12.15 解：解： 6.1 6.1 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 24 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 1. 1. 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力 m mn n q(x) P1 P2 xdx b h z y h m m n n n m m dx b z y O x Q(x) M(x) M(x)+d M(x) Q(x)+d Q(x) m n nm m n y z y BA A1 dA y1 25 横截面上纵向力不平衡意横截面上纵向力不平衡意 味着纵截面上有水平剪力，即味着纵截面上有水平剪力，即 有水平切应力分布。有水平切应力分布。 * 1 * 2 dNNQ

11、 * 1 1 1 * 1* ddd z z A z A z A S I M Ay I M A I My AN * 12 * 2 d d )d( d *z z A z A S I MM Ay I MM AN 面积面积AA1mm 对中性轴对中性轴 z的静矩的静矩 而横截面上纵向力的大小为而横截面上纵向力的大小为 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * 2 N Q d * 1 N x 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 26 0X * 1 * 2 dNNQ * d d z z S I M Q 纵截面上水平剪力值为纵截面上水平剪力值为 * 1z z S

12、 I M N * 2 d z z S I MM N 要确定与之对应的水平切应力要确定与之对应的水平切应力 还需要补充条件。还需要补充条件。 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * 2 N Q d * 1 N x 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 27 矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律矩形截面梁对称弯曲时横截面上切应力的分布规律 (1) 由于梁的侧面为由于梁的侧面为 =0的自由的自由 表面，根据切应力互等定理，表面，根据切应力互等定理， 横截面两侧边处的切应力必与横截面两侧边处的切应力必与 侧边平行；侧边平行； (2) 对称轴对称轴

13、y处的切应力必沿处的切应力必沿y轴轴 方向，即平行于侧边；方向，即平行于侧边； (3) 对于狭长矩形截面切应力沿对于狭长矩形截面切应力沿 截面宽度其值变化不会大截面宽度其值变化不会大。 m m n n n m m dx b y A1 A B B1 h z y O x 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 28 窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设：窄高矩形截面梁横截面上弯曲切应力分布的假设： (1) (1) 横截面上各点处的切应力均与侧边平行；横截面上各点处的切应力均与侧边平行； 根据切应力互等定理根据切应力互等定理 推得：推得： (1) 沿截面宽度方向均匀分布；沿截面宽

14、度方向均匀分布； (2) 在在dx微段长度内可以认为微段长度内可以认为 没有没有 变化。变化。 m m n n n m m dx b y A1 A B B1 h z y O x (2) (2) 横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等；横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等； 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 29 * d d z z S I M Q bI QS bI S x M z z z z * d d bI QS z z * xbQdd 根据前面的分析根据前面的分析 m n m y y1 AB A1 B1 b dx dA y z O * 2 N Q d * 1

15、N x 即即 又又 由两式得由两式得 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 30 其中：其中： Q 横截面上的剪力横截面上的剪力； Iz 整个横截面对于中性轴的惯性矩；整个横截面对于中性轴的惯性矩； b 与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度；与剪力垂直的截面尺寸，此时是矩形的宽度； bI QS z z * 矩形截面梁弯曲切应力计算公式矩形截面梁弯曲切应力计算公式 z y y y1 Ad * z S 横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴横截面上求切应力的点处横线以外部分面积对中性轴 的静矩的静矩 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 31 2 2 1

16、* 42 2 2/ 2 d * y hb yh yy h b AyS A z 2 2 2 2 4242 y h I Q y hb bI Q zz 矩形横截面上弯曲切应力的变化规律矩形横截面上弯曲切应力的变化规律: : bI QS z z * z y y y1 Ad 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 32 A Q bh Q bh Qh I Qh z 2 3 2 3 1288 3 22 max 2 2* 42 y h I Q bI QS zz z (1) 沿截面高度按二次抛物线规沿截面高度按二次抛物线规 律变化；律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力同一横截面上的最大切应力

17、 max在中性轴处在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处上下边缘处（y=h/2)，切应切应 力为零。力为零。 max z y O max 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 33 例例4 4 某空心矩形截面梁，分别按图某空心矩形截面梁，分别按图a a及图及图b b两种方式由四块两种方式由四块 木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝 上的切应力。梁的横截面上剪力上的切应力。梁的横截面上剪力Q已知。已知。 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 34 解：解：图图a a所示胶合方式下，由图可知：所示

18、胶合方式下，由图可知： zz I hbQ I h bQ 42 22 b dx * 1 N * 2 N (c) 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 35 图图b所示胶合方式下，由图可知：所示胶合方式下，由图可知： zz I hbQ I h bQ 4 2 2 22 2 b- -2 dx * 1 N * 2 N (d) 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 36 2.2.工字形截面梁的切应力工字形截面梁的切应力 (1)(1)腹板上的切应力腹板上的切应力 dI QS z z * y yh dy hh bS z 2 2/ 222 * 2 2 222 y hd h b x

19、 y h z O d b y d A x z y O A* dx 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 37 2 2 * 222 y hd h b S z 腹板与翼缘交界处腹板与翼缘交界处 中性轴处中性轴处 h b dI Q z 2 min 2 * max, max 222 hd h b dI Q dI QS z z z z y O max min max 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 38 (2) (2) 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 a. 因为翼缘的上、下表面无切应因为翼缘的上、下表面无切应 力，所以翼缘上、下边缘处平行于力，所以翼缘上、下边缘处平行

20、于 y 轴的切应力为零；轴的切应力为零； b. 计算表明，工字形截面梁的腹计算表明，工字形截面梁的腹 板承担的剪力板承担的剪力 平行于平行于y 轴的切应力轴的切应力 可见翼缘上平行于可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一般不考虑。轴的切应力很小，工程上一般不考虑。 QAQ A 9 . 0d 1 1 x y h z O d b y 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 39 垂直于垂直于y 轴的切应力轴的切应力 z z I QS * 1 * 1 * 2 dNNQ h I Qh I Q zz 222 * d z z S I M 11 * 2 N * 1 N xQdd 1 1

21、1 x y h z O d b 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 40 即翼缘上垂直于即翼缘上垂直于y轴的切应力轴的切应力 随随 按线性规律变化。按线性规律变化。 h I Q z 2 1 且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘且通过类似的推导可以得知，薄壁工字刚梁上、下翼缘 与腹板横截面上的切应力指向构成了与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应力流切应力流”。 z y O max max min 1max 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 41 例例5 对于由对于由56a号工字钢制成的如图号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求所示简支梁，试求 梁

22、的横截面上的最大切应力梁的横截面上的最大切应力 max和同一横截面上腹板上和同一横截面上腹板上a点点 处处(图图b)的切应力的切应力 a 。梁的自重不计。梁的自重不计。 A V B V kN150P 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 42 图图d为该梁的剪力图，最大剪力为为该梁的剪力图，最大剪力为Qmax，存在于除两个端截，存在于除两个端截 面面A，B和集中荷载和集中荷载P的作用点处的作用点处C 以外的所有横截面上。以外的所有横截面上。 (d)(d) 解：解：由型钢表查得由型钢表查得56a56a号工字钢截面的尺寸如图号工字钢截面的尺寸如图b b所示，所示， 且根据型钢表有且

23、根据型钢表有I Ix x=65 586 cm=65 586 cm4 4和和 。前者就是前。前者就是前 面一些公式中面一些公式中I Iz z，而后者就是我们以前在求，而后者就是我们以前在求 max ax公式 公式 。 cm7734 x x S I * max, z z S I A V B V kN150P 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 43 MPa6 .12Pa106 .12 m105 .12m1073.47 N1075 6 32 3 * max, max * max,max max d S I Q dI SQ z z z z (d) A V B V kN150P 6.2

24、 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 44 腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。 max 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 45 3. 3. 薄壁环形截面梁的切应力薄壁环形截面梁的切应力 薄壁环形截面梁弯曲切应力薄壁环形截面梁弯曲切应力 的分布特征：的分布特征： (1) r0沿壁厚切应力的沿壁厚切应力的 大小不变；大小不变； (2) 内、外壁上无切应力内、外壁上无切应力 切应力的方向与圆周相切；切应力的方向与圆周相切； (3) y轴是对称轴轴是对称轴切应力分切应力分 布与布与 y轴对称；与轴对称；与 y轴相交轴相交 的各点处

25、切应力为零。的各点处切应力为零。 最大切应力最大切应力max 仍发生在中仍发生在中 性轴性轴z上上。 z y O max r0 max 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 46 2 0 0 0 * 2 2 r r rS z 3 0 2 00 2 p 22drrrAI A zyz IIII2 p 3 0p 2 1 rII z )2( )2( 2 3 0 2 0 * max r rQ I QS z z A Q r Q 2 0 0 2rA z y O r0 y z 2r0 /p O C 薄壁环形截面梁最大切应力的计算薄壁环形截面梁最大切应力的计算 6.2 6.2 梁横截面上的切应力

26、梁横截面上的切应力 47 4. 4. 圆截面梁的切应力圆截面梁的切应力 切应力的分布特征：切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相边缘各点切应力的方向与圆周相 切；切；切应力分布与切应力分布与 y轴对称；与轴对称；与 y 轴相交各点处的切应力其方向与轴相交各点处的切应力其方向与y 轴一致。轴一致。 )( * S ybI SF z z y 关于其切应力分布的关于其切应力分布的假设假设： (1) 离中性轴为任意距离离中性轴为任意距离y的水平的水平 直线段上各点处的切应力汇交于直线段上各点处的切应力汇交于 一点一点 ； (2) 这些切应力沿这些切应力沿 y方向的分量方向的分量 y 沿宽度相等

27、。沿宽度相等。 z y O max kk O d 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 48 最大切应力最大切应力 max 在中性轴在中性轴z处处 dI QS z z * max A Q d Q 3 4 4 3 4 2 d d dd Q 64 3 2 4 2 1 4 2 z y O max kk O d y z O C 2d /3p 6.2 6.2 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 49 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 1. 1. 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 由于由于max处处 =0或极小，并且不计由横向力引起的挤压应或极小，并且不计由横向力引起的挤压应

28、 力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立：力，因此梁的正应力强度条件可按单向应力状态来建立： 材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 max z W M max 中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁 50 拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁 tmax, t cmax, c Oz y yt，maxyc，max t maxt,max maxt, z I yM c maxc,max maxc, z I yM c t maxc, maxt, y y 为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为 6

29、.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 51 例例6 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简图。 钢的许用弯曲正应力钢的许用弯曲正应力 =152 MPa 。试选择工字钢。试选择工字钢 的号码。的号码。 AB PPP=75kN 2.5m2.5m2.5m2.5m 10 m VB VA 解：解：(1)支反力为支反力为kN5 .102 2 3 PVV BA 作弯矩图如上。作弯矩图如上。 281 375 单位：单位： kNm 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 52 (2) 根据强度条件确定截面尺寸根据强度条件确定截面尺寸 与要求的与要求的Wz相差不到相差不到

30、1%，可以选用。，可以选用。 z W M max 33 6 max mm102460 MPa152 mmN10375 M Wz 333 mm102447cm2447 z W 查型钢表得查型钢表得56b号工字钢的号工字钢的Wz比较接近要求值比较接近要求值 mkN375 max M 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 53 例例7 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的的铸铁梁受力如图，已知铸铁的 许用拉应力许用拉应力 t =30 MPa，许用压应力，许用压应力 c =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁字形梁 横截面的尺寸横截面的

31、尺寸 ，并校核梁的强度，并校核梁的强度 。 解：解： c t 2 1 y y 根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求 3 1 90 30 mm70 1 yy 1m 2m B A P=80 kN C y1y2 z 60 220 y O 280 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 54 即即 mm24 得得 46 2 3 2 3 mm102 .99 )30210280(22060 12 60220 )110210(22024 12 22024 z I 截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为 y1y2 z 60 220 y O 280 70 60220)60280( )11060(

32、)60280(3060220 y 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 55 mkN40 4 280 4 max Pl M MPa7 .84 mm102 .99 mm210mmN1040 46 6 2max max c, z I yM c 梁上的最大弯矩梁上的最大弯矩 于是最大压应力为于是最大压应力为 即梁满足强度要求。即梁满足强度要求。 y1y2 z 60 220 y O 280 O c,max t,max z 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 56 例例8 某某T形截面铸铁梁尺寸如图所示。已知形截面铸铁梁尺寸如图所示。已知 试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。,MPa30 t

33、,MPa60 c ACBD 11kN 4kN 1m1m1m (a) (b) (c) 3.5kN.m M 4kN.m y y 1 20 20 80 y 1 y C z1 z 120 (mm) 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 57 解解 （1）作出梁的弯矩图）作出梁的弯矩图如图（如图（b）。这时可能出现。这时可能出现 的危险截面应为的危险截面应为B、C两截面，且有两截面，且有 mkN4 B M mkN5 . 3 C M (d)(e) B截面正应力 cmax tmax cmax tmax C截面正应力 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 58 （2 2）求形心位置。选参考轴）求形心位

34、置。选参考轴z z1 1，有，有 中性轴中性轴z距梁截面上、下边缘最选距离为距梁截面上、下边缘最选距离为y1=52mm 和和y2=88mm。截面对形心主轴。截面对形心主轴z的惯性矩为的惯性矩为 mm42 201202080 7020120 c y 46 333 mm10637. 7 88 3 20 32 3 60 52 3 80 z I 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 59 （3）校核）校核B截面的强度。截面的强度。B截面上负弯矩、梁截面上截面上负弯矩、梁截面上 的正应力分布规律如图（的正应力分布规律如图（d）所示，中性轴以上为受）所示，中性轴以上为受 拉区，中性轴以下为受压区。拉区

35、，中性轴以下为受压区。 MPa30MPa2 .27 10637. 7 1052104 6 33 1 max t z BB t I yM B截面上的最大压应力截面上的最大压应力 MPa60MPa2 .46 10637. 7 1088104 6 33 2 max c z BB c I yM B截面上的最大拉应力截面上的最大拉应力 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 60 因此，该梁不满足抗拉强度条件。因此，该梁不满足抗拉强度条件。 （4）校核）校核C截面强度。截面强度。C截面上为正弯矩，梁截面上截面上为正弯矩，梁截面上 的正应力分布规律如图（的正应力分布规律如图（e）所示，中性轴以上为受）所

36、示，中性轴以上为受 压区，中性轴以下为受拉区。压区，中性轴以下为受拉区。 MPa30MPa8 .41 10637. 7 1088105 . 3 6 33 2 max t z CC t I yM C截面上的最大拉应力为截面上的最大拉应力为 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 61 2. 2. 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 一般一般 max发生在发生在Qmax所在截面的中性轴处，该位置所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计不计 挤压，则挤压，则 max所在点处于所在点处于纯剪切应力纯剪切应力状态状态。 。 梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为 max bI SQ z z * ma

37、x,max 材料在横力弯曲时的许用切应力材料在横力弯曲时的许用切应力 对等直梁，有对等直梁，有 E max F max E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 ql/2 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 62 横力弯曲梁的强度条件：横力弯曲梁的强度条件： max max 强度强度 足够足够 max max 确定截面尺寸确定截面尺寸 验验 证证 设计截面时设计截面时 E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 63 例例9 跨度为跨度为6m的简支钢梁，是由的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中

38、号工字钢在其中 间区段焊上两块间区段焊上两块 100 10 3000mm的钢板制成。材料的钢板制成。材料 均为均为Q235钢，其钢，其 =170MPa， =100MPa。试校核。试校核 该梁的强度。该梁的强度。 kN75 A VkN75 B V解解 1、计算反力得、计算反力得 P1 P2 50kN 50kN 50kN C A B VB 1.5 m1.5 m VA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 64 Q(kN) x M(kNmm) x 75 25 25 75 112.5 150 112.5 P1 P2 50kN 50kN

39、 50kN C A B VB 1.5 m1.5 m VA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 kN75 max Q mkN150 max M 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 65 mkN150 max M ) 2 10 2 320 (10100 12 10100 2105 .11075 2 3 4 z I 44 mm1016522 最大弯矩为最大弯矩为 33 4 max mm10972 10)2/320( 1016522 y I W z z MPa3 .154 10972 10150 3 6 max max, z E W M P1 P2 50kN 50kN

40、 50kN C A B VB 1.5 m1.5 m VA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 6.3 6.3 梁的强度条件梁的强度条件 66 MPa5 .162 102 .692 105 .112 3 6 max, z C C W M MPa8 .28 6 .2745 . 9 1075 3 max,max max b ，所以，所以竖放比平放有较高的抗弯能力竖放比平放有较高的抗弯能力，更为合理。，更为合理。 70 常见截面的常见截面的WZ/A 值值 截面截面 形状形状 0.167h0.125d(0.270.31)h (0.270. 31)h 0.125D(1+ a2)

41、 A Wz z h z d z h z h z D d D d 因此：因此：工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式。工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面形式。 6.4 6.4 梁的合理截面梁的合理截面 71 (2) (2) 若梁的截面设计得过高过窄，则可能使梁在不大的若梁的截面设计得过高过窄，则可能使梁在不大的 外力作用下，出现侧向翘曲而失稳破坏外力作用下，出现侧向翘曲而失稳破坏 。 如图：如图： P (1) (1) 分析梁的截面的合理形式时，还应考虑刚度、稳定性以分析梁的截面的合理形式时，还应考虑刚度、稳定性以 及施工、制造、安装等方面的要求。及施工、制造、安装等方面的要求。 仍需注意

42、：仍需注意： 6.4 6.4 梁的合理截面梁的合理截面 72 变截面梁变截面梁: : (1) (1)变截面梁：变截面梁：在弯矩较大的梁段采用较大的截面，在弯矩在弯矩较大的梁段采用较大的截面，在弯矩 较小的梁段采用较小的截面，就得到截面尺寸沿梁轴线变化较小的梁段采用较小的截面，就得到截面尺寸沿梁轴线变化 的变截面梁。的变截面梁。 (2)(2)等强度梁：等强度梁：梁的每一个截面上都能达到相等的最大正应梁的每一个截面上都能达到相等的最大正应 力，且等于材料的许用正应力，就得到等强度梁。力，且等于材料的许用正应力，就得到等强度梁。 特点：特点：变截面梁可优化截面、节省材料。变截面梁可优化截面、节省材料

43、。 6.4 6.4 梁的合理截面梁的合理截面 73 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 1. 1. 非对称截面梁的横力弯曲非对称截面梁的横力弯曲 外力偶矩外力偶矩Mz是作用在与梁是作用在与梁 的形心主惯性平面（如图中的形心主惯性平面（如图中 xOy平面）相平行的平面内，平面）相平行的平面内， 则梁的横截面将仍保持为平面则梁的横截面将仍保持为平面 ，且绕形心主惯性轴，且绕形心主惯性轴z转动，转动，z 轴为中性轴。轴为中性轴。 条件：条件： O 形心 形心主惯 性轴z 形惯 心性 主轴 y x 形心主惯平面 74 横截面上的正应力：横截面上的正应力： 非

44、对称截面梁（开口薄壁截面梁）上的切应力：非对称截面梁（开口薄壁截面梁）上的切应力： z I My bI QS 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 75 2. 2. 开口薄壁截面杆的弯曲中心开口薄壁截面杆的弯曲中心 在实际工程中，薄壁截面梁的横截面上，只有一个对称轴在实际工程中，薄壁截面梁的横截面上，只有一个对称轴 （形心主轴），而另一个形心主轴与对称轴相垂直，但不（形心主轴），而另一个形心主轴与对称轴相垂直，但不 是对称轴。是对称轴。 当外力是作用在包含此非对称轴和梁轴线的纵向非对称平面当外力是作用在包含此非对称轴和梁轴线的纵向非对称平面 内时，梁除

45、了发生弯曲外，还会发生扭转（如图所示），此内时，梁除了发生弯曲外，还会发生扭转（如图所示），此 现象称为现象称为“由弯曲而伴扭转由弯曲而伴扭转”。 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 76 z y x O (a) z yx O (b) P n m z y x O P K z y x O z P K O n m Qt-P (c)(d) 槽形截面梁的弯扭现象与弯曲中心槽形截面梁的弯扭现象与弯曲中心 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 77 上图所示槽形悬臂梁任一横截面上的剪应力分布如图：上图所示槽形悬臂梁任一横

46、截面上的剪应力分布如图： z y (d) Q O m K n eC z y T O m Th n (c) Cz y (b) T O m n (a) T Ty z O m n T yh i 切应力合成和弯曲中心切应力合成和弯曲中心 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 78 当当h很大时很大时 ： K点处的总剪力点处的总剪力 ： QT QTQr 点点K到腹板形心到腹板形心C点的距离为：点的距离为： T hT eC 在槽形截面形心上，沿非对称轴方向方向受有集中荷载在槽形截面形心上，沿非对称轴方向方向受有集中荷载P 时，在梁任一截面上的剪应力的合力时，在梁任

47、一截面上的剪应力的合力Qr，已不再通过形，已不再通过形 心心O，而通过另一点，而通过另一点K，梁除了发生弯曲外，还要发生扭，梁除了发生弯曲外，还要发生扭 转。通常称点转。通常称点K为截面的弯曲中心。为截面的弯曲中心。 由此可知：由此可知： 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 79 点点K就是当梁分别在两个主惯性平面内作平面弯曲时，截就是当梁分别在两个主惯性平面内作平面弯曲时，截 面上剪应力所合成的两个剪力面上剪应力所合成的两个剪力Qry和和Qrz的作用线的交点，的作用线的交点， 故弯曲中心也称为故弯曲中心也称为剪切中心剪切中心。 弯曲中心弯曲中心K位

48、置的确定位置的确定 z Qy y (a) z Qx y (b) z Qx y (c) Qy K 事实证明事实证明 ： 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 80 弯曲中心轴：弯曲中心轴：任一等截面的薄壁截面直梁，其各横截面任一等截面的薄壁截面直梁，其各横截面 的弯曲中心的弯曲中心K将形成一条与梁轴线平行的直线，称之为弯将形成一条与梁轴线平行的直线，称之为弯 曲中心轴。仅当作用于梁上的横向荷载均通过弯曲中心曲中心轴。仅当作用于梁上的横向荷载均通过弯曲中心 轴时，才能使梁只发生弯曲而不发生扭转轴时，才能使梁只发生弯曲而不发生扭转 。 注意：对开口薄壁截面梁

49、，必须注意使荷载作用在其弯曲注意：对开口薄壁截面梁，必须注意使荷载作用在其弯曲 中心轴上，以免梁因扭转变形而产生破坏。中心轴上，以免梁因扭转变形而产生破坏。 故：薄壁截面梁横截面上的剪应力，其合力故：薄壁截面梁横截面上的剪应力，其合力Qr的作用线的作用线 必须通过弯曲中心。必须通过弯曲中心。 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 81 几种截面的弯曲中心位置几种截面的弯曲中心位置 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 82 由表可见： . 当截面具有一根对称轴时，例如，槽形,开口薄壁圆 环,T字形,等边角形等，

50、其弯曲中心一定位于对称轴上。 . 由两个狭长矩形组成的截面，例如，T字形,等边和 不等边角形等，其弯曲中心位于两狭长矩形中线的交点处。 . 当截面具有两根对称轴时，例如工字形等，其弯曲中 心和形心位置重合。Z字形截面为反对称截面，其弯曲中心也 与形心位置重合。 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 83 例例10 10 试确定图试确定图a a所示槽形截面弯曲中心的位置。所示槽形截面弯曲中心的位置。 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 84 解：解：图图a中中z为对称轴，为对称轴，y,z为形心主惯性轴，当外力沿

51、为形心主惯性轴，当外力沿z轴轴 作用时，切应力分布规律如图作用时，切应力分布规律如图b所示，相应的合力近似等于所示，相应的合力近似等于Qz， 作用线沿作用线沿z轴，所以弯曲中心轴，所以弯曲中心A一定位于一定位于z轴上。轴上。 设外力设外力F的作用线平行于的作用线平行于y 轴，轴， 且通过弯曲中心且通过弯曲中心A，其切，其切 应力分布规律如图应力分布规律如图c所示。其所示。其 中中 z y z y z y I hbQ I hb Q I SQ 2 2 max max1 z Q 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 85 微内力微内力 dA在翼缘和腹板上的合

52、力分别为在翼缘和腹板上的合力分别为 z y I hbQ bP 42 1 2 max1H PH，Qy的作用线位置如图的作用线位置如图d所示，将各力向所示，将各力向O点简化，得主点简化，得主 矢量和主矩分别为矢量和主矩分别为 z y Oy I hbQ hPMQ 4 , 22 H y A QAP d R QPR H P QPR 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 86 z y Oy I hbQ MeQ 4 22 设合力作用线通弯曲中心设合力作用线通弯曲中心A，由，由 得得 z I hb e 4 22 QPR H P QPR 6.5 6.5 非对称截面梁的平

53、面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 87 例例11 11 求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。求图示开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。 O (a) y z e A R0 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 88 解：解：因为弯曲中心因为弯曲中心A位于对称轴位于对称轴z上，所以仅需确定剪力上，所以仅需确定剪力Qy 的作用线位置。设剪力的作用线位置。设剪力Qy平行于平行于y轴，且通过弯曲中心轴，且通过弯曲中心A。在。在 截面的开口处截取截面的开口处截取dx微段梁微段梁(图图b)进行分析，可知截面上切应进行分析，可知截面上切应 力流如图力流如图

54、a所示。所示。 * 1 N * 2 N xd (b) O y z Qy e R0 d j 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 89 (a) )( j z zy I SQ 式中，式中， (b) cos1 )d()sin( d 2 0 0 00 1 j j R RR AyS A z (c) )2()2( 64 3 0 4 0 4 0 RRRI z 任一点处的切应力公式为任一点处的切应力公式为 O y z Qy d e R0 q dq j 把把(b),(c)式代入式代入(a)，得，得 (d) )cos1 ( )( 0 j j R Qy 6.5 6.5 非对

55、称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 90 y y A y Q R R Q AP 2 0 0 2 0 R d)cos(cos cosd)( jjj jj 0sind)( A z AQjj y y A QRR R Q RARM 0 2 0 0 0 000 2d)cos1 ( d)( jj j 由由 yy QRMReQ 000 2)(，得，得 0 Re 微内力微内力 的合力及其对的合力及其对O O点的合力矩分别为点的合力矩分别为Ad)(j O y z Qy e R0 d j 6.5 6.5 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心 91 图a所示矩形截面

56、纯弯曲梁，其材料的关系如图b所示。 s b s (b) b e M e M (a) h/2 h/2 6.6 6.6 考虑材料塑性时梁的极限弯矩考虑材料塑性时梁的极限弯矩 92 (1) 一般认为一般认为 max= s为梁的破坏条件，把上、下边缘为梁的破坏条件，把上、下边缘 屈服时的弯矩称为屈服时的弯矩称为屈服弯矩屈服弯矩，并用，并用Ms表示如图表示如图c，其值为，其值为 (1) 6 s 2 s bh M 仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯仅梁的上、下边缘处屈服，梁不会发生明显的屈服变形，弯 矩还可以继续增加。矩还可以继续增加。 (c) s s s M 6.6 6.6 考虑材料塑性时梁的极限弯矩考虑材料塑性时梁的极限弯矩 93 s