安工大第一章(复变函数1) 苏变萍 第二版

1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 课程介绍 课时与内容 参考书 课程引入 复数 2 16世纪人们在解代数方程时单纯从形式上引 入了复数，后长期没有认识到其实际意义。 18世纪产生复变函数论。 19世纪复变函数论全面发展，并统治了十九 世纪的数学。 复变函数论的应用涉及面很广，不但在其他 学科得到了广泛的应用，而且数学领域本身 的许多分支也都应用了它的理论。它将继续 向前发展，并将得到更多应用。 复变函数的基础内容已成为理工科很多专业 的必修课程。 3 前言前言 一、课程介绍 二、课时与内容安排（看课本目录） 三、参考书 4 四、课程引入 1. 1. 从从高等数学高等数学( (实变函数实变函

2、数) )到到复变函数复变函数 相同点：皆研究函数。皆有极限、连续、微积分和相同点：皆研究函数。皆有极限、连续、微积分和 级数等内容。级数等内容。 不同点：不同点： 在在复复数数域域内内研研究究函函数数。 说说，为为复复数数（复复变变量量）。或或其其 ，为为复复数数复复变变函函数数：函函数数的的变变量量 函函数数。或或说说，在在实实数数域域内内研研究究 实实变变量量）。为为实实数数其其 ，实实变变函函数数为为实实数数高高等等数数学学：函函数数的的变变量量 zw zfw yxxfy , )(, (,),( )( 5 接比较大小。接比较大小。 ，所以，复数不能直，所以，复数不能直正是由于复数的二维性

3、正是由于复数的二维性 后（上下）位置不同。后（上下）位置不同。数不仅有左右而且有前数不仅有左右而且有前 的点。不同的的点。不同的是二维数，对应平面上是二维数，对应平面上复数：复数： 比较大小。比较大小。小不同，所以，实数可小不同，所以，实数可 ，位置不同就是大，位置不同就是大实数只有左右位置不同实数只有左右位置不同 的点。不同的的点。不同的是一维数，对应数轴上是一维数，对应数轴上实数：实数： . 2 6 复合变量。复合变量。 由两个实变量构成的由两个实变量构成的路径的不同。复变量是路径的不同。复变量是 一点到另一点，还有一点到另一点，还有四个方向变动，而且从四个方向变动，而且从 上，可以向上，

4、可以向对应动点的变化在平面对应动点的变化在平面复变量：复变量： 实变量是单变量。实变量是单变量。大小或左右位置变化。大小或左右位置变化。 线上，只有线上，只有对应动点的变化只在直对应动点的变化只在直实变量：实变量： . 3 7 示示变变量量的的对对应应关关系系。复复变变函函数数不不能能画画图图像像表表 复复杂杂。 ，对对应应关关系系相相当当和和元元实实函函数数 当当于于同同时时集集成成了了两两个个二二到到两两个个变变量量的的对对应应，相相 是是两两个个变变量量复复变变函函数数： 表表示示变变量量的的对对应应关关系系。二二元元实实函函数数可可以以画画图图像像 对对应应。变变量量，仍仍然然是是实实

5、数数间间的的 是是两两个个变变量量对对应应一一个个二二元元实实函函数数： ),(),( ),(),( ),( . 4 yxvvyxuu yxivyxuivu yxfz 5. 学习复变函数，建立数及变量的学习复变函数，建立数及变量的“二维思维二维思维”很重要。很重要。 8 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 1.1 1.1 复数复数 9 实数实数 x 复数复数 纯虚数纯虚数 yi 虚数虚数 非纯虚数非纯虚数 x+yi 虚数似乎不可理解，其实： x+yi 有序数组(x,y) 平面上的点 矢量或向量 10 一、复数的概念一、复数的概念 1. 虚数单位虚数单位: . , 称为虚数单位称为虚数单

6、位 引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i .1 : 2 在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x 对虚数单位的规定对虚数单位的规定: : ; 1)1( 2 i . )2( 四则运算四则运算 样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i 11 2.复数复数: . , 为复数为复数或或 我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数 iyxz yixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx ).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们

7、把它看作实数我们把它看作实数时时当当 ）因因而而可可理理解解 ，得得因因为为由由 理理解解。也也可可以以从从向向量量的的基基生生成成（此此定定义义 yiiy iyxziee ,1, 1 , 21 12 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部分别分别相等相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时同时等于等于0. 说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的 大小大小, 如果不全是实数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就 是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小. 二、复数

8、的相等二、复数的相等 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 21 21 21 yy xx zz 13 二、复数的代数式运算二、复数的代数式运算 （一）分解运算（复数的四则运算定义）（一）分解运算（复数的四则运算定义） , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 1. 两复数的和两复数的和:).()( 212121 yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz )(当当于于实实数数的的多多项项式式运运算算复复数数的的代代数数分分解解运运算算相相 14 i i 2 )32( 2 i i 2 )32( 2 49 12

9、 2 i i ( 5 12 )(2) (2)(2) ii ii 14 291210 i 5 292i 例例1 化简 解： . 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 3. 两复数的商两复数的商: 15 例例2 2 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx . 1 1 )2(; 1 1 )1( 7 i i i i i i 解解 i i 1 1 )1( )1)(1( )1( 2 ii i 2 )1( 2 i , i 7 7 )( 1 1 i i i . i i i i i 1 1 )2( ii ii )1( )1( 22

10、 i i 1 21 2 )1)(21(ii . 2 1 2 3 i 16 例例3 3 解解 . 1 1 2 i i i i 计算计算 iii ii i i i i )1)(1( )1)(2( 1 1 2 ii iii 1 22 2 2 i i 2 31 )2)(2( )2)(31( ii ii 22 2 )2( 362 i iii .1i 17 （二）整体运算（复数的四则运算规则）（二）整体运算（复数的四则运算规则） 分配律：分配律： 结合律：结合律： 交换律：交换律： 定义，可得：定义，可得：从复数的四则分解运算从复数的四则分解运算 . 3 . 2 ,. 1 12211221 zzzzzzz

11、z 321321 )()(zzzzzz 321321 )()(zzzzzz 3121321 )(zzzzzzz 18 复数运算的其它结果： （1） （2） （3）若 ，则 与 至少有一个为零， 反之亦然. 00,0zzz 1 1 ,1 z zzz 0 21 zz 1 z2 z 19 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz共轭的复数记为共轭的复数记为与与 . , iyxziyxz 则则若若 例例2 2.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yixyix 22 )(yix . 22 yx .

12、,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz 结论： 三、三、复数的共轭（运算）复数的共轭（运算） 1. 定义定义: 20 2. 共轭复数的性质共轭复数的性质: ;)1( 2121 zzzz ;)2( 2121 zzzz ; 2 1 2 1 z z z z ;)4(zz ;)Im()Re()5( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)6(zizzzzz 22 )()3(zz 21 例例1 解解 ,43,55 21 iziz 设设. 2 1 2 1 z z z z 与与求求 i i z z 43 55 2 1 )43)(43( )43)(55( ii ii 25 )2015()

13、2015(i . 5 1 5 7 i 2 1 z z . 5 1 5 7 i 22 例例2 解解 , 1 31 i i i z 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求 i i i z 1 31 )1)(1( )1(3 ii ii ii i , 2 1 2 3 i , 2 1 )Im(, 2 3 )Re( zz 22 )Im()Re(zzzz 22 2 1 2 3 . 2 5 23 例例3 证证 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 ).Re(2 212121 zzzzzz 证明证明 2121 zzzz )()( )( 22112211 iyxiyxiyxiyx )()( 2

14、1122121 yxyxiyyxx )()( 21122121 yxyxiyyxx )(2 2121 yyxx ).Re(2 21 zz ).Re(2 2121212121 zzzzzzzzzz 或或 24 四、复平面与复数的几何意义四、复平面与复数的几何意义 1. 复平面的定义复平面的定义 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一一与有序实数对与有序实数对复

15、数复数 y x yxiyxz 表示，表示，面上的点面上的点 可以用复平可以用复平复数复数 ),( yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 25 2. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22 yxrz 记为记为 x y x y o iyxz P r 显然下列各式成立显然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 26 3. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质 ;)1( 2121 zzzz .)2( 2121 zz

16、zz , 2121 故故之间的距离之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z . 实轴对称的实轴对称的 复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于 在在和和一对共轭复数一对共轭复数zz x y o iyxz iyxz 27 例例3 3 .(2);(1) : , , 21212121 21 zzzzzzzz zz 证明证明为两个任意复数为两个任意复数设设 证证 21 (1)zz )( )( 2121 zzzz )( 2121 zzzz )( 2211 zzzz . 21 zz 2 21 (2)zz )( )( 2121 zzzz )( 212

17、1 zzzz 21212211 zzzzzzzz 2121 2 2 2 1 zzzzzz 28 2 21 zz 2 2 2 1 zz )Re(2 21z z 21 2 2 2 1 2zzzz 21 2 2 2 1 2zzzz ,)( 2 21 zz , )Re(2 212121 zzzzzz 因为因为 两边同时开方得两边同时开方得. 2121 zzzz 29 4. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 z zOPz z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 说明说明,0有无穷多个

18、辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地 的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z 辐角不确定辐角不确定. 30 辐角主值的定义辐角主值的定义: .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记作记作的主值的主值称为称为 的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 , 0 x ) 2 arctan 2 ( x y 其中其中 辐角的主值辐角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2

19、 ,arctan x y , 看课本p7例1.3 31 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin ,cos ry rx 复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式 再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos ie i 复数可以表示成复数可以表示成 i rez 复数的指数表示式复数的指数表示式 欧拉介绍欧拉介绍 5.5.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示 32 例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ; 5 cos 5 sin)2(;212)1( iziz . )3si

20、n3(cos )5sin5(cos )3( 3 2 i i z 解解zr )1(, 4412 , 在第三象限在第三象限因为因为 z 12 2 arctan 所以所以 3 3 arctan, 6 5 故三角表示式为故三角表示式为, 6 5 sin 6 5 cos4 iz 33 指数表示式为指数表示式为.4 6 5 i ez 5 cos 5 sin)2( iz, 1 zr显然显然 52 cos 5 sin, 10 3 cos 52 sin 5 cos, 10 3 sin 故三角表示式为故三角表示式为, 10 3 sin 10 3 cos iz 指数表示式为指数表示式为. 10 3 i ez 34

21、. )3sin3(cos )5sin5(cos )3( 3 2 i i z ,5sin5cos 5 i ei 因为因为 )3sin()3(cos3sin3cos ii, 3 i e 3 2 )3sin3(cos )5sin5(cos i i 所以所以 33 25 )( )( i i e e , 19 i e 故三角表示式为故三角表示式为,19sin19cos iz 指数表示式为指数表示式为. 19 i ez 35 例例2 2 . , 0 ,sincos1 的的辐辐角角的的主主值值并并求求式式三三角角表表示示式式与与指指数数表表示示 化化为为把把复复数数 z iz 解解 sincos1iz 2

22、cos 2 sin2 2 sin2 2 i 2 cos 2 sin 2 sin2 i 2 sin 2 cos 2 sin2 i . 2 sin2 2 i e (三角式三角式) (指数式指数式) . 2 arg z 36 五、复数积商的三角式与指数式运算五、复数积商的三角式与指数式运算 则则 设设 ,)sin(cos ,)sin(cos 2 1 22222 11111 i i erirz erirz ; )sin()cos( )( 21 21212121 21 i err irrzz ).0( ),sin()cos( 2 )( 2 1 2121 2 1 2 1 21 ze r r i r r z

23、 z i 37 的三角形式分别为的三角形式分别为和和设复数设复数 21 zz ,sin(cos 1111 ） irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin(cos)sin(cos 22211121 irirzz 则则 )sincoscos(sin )sinsincos(cos 2121 212121 i rr 证证 ; )sin()cos( )( 21 21212121 21 i err irrzz即即 同理证同理证 2 1 z z 38 例例1 1 解解 , 3 cos 3 sin ),31( 2 1 21 iziz已知已知 , 3 sin 3 cos 1 iz因为因为 , 6

24、sin 6 cos 2 iz 63 sin 63 cos 21 izz所以所以 , i 63 sin 63 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3 i . 2 1 21 z z zz和和求求 39 1. 复数和差的几何意义：生成平行四边形的复数和差的几何意义：生成平行四边形的 对角线向量或三角形的边向量对角线向量或三角形的边向量. x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 六、复数四则运算的几何意义六、复数四则运算的几何意义 两个复数的加减运算得到新复数，与相应的向量两个复数的加减运算得到新复数，与相应的向量 加减运算得到新向量方法一致。加

25、减运算得到新向量方法一致。 40 2. 复数积商的几何意义：向量的伸缩与旋转复数积商的几何意义：向量的伸缩与旋转 两个非零复数的乘积得到的新复数，其两个非零复数的乘积得到的新复数，其 模等于两复数模的乘积，幅角等于两复数幅模等于两复数模的乘积，幅角等于两复数幅 角的和。角的和。 )()()( | 2121 2121 zArgzArgzzArg zzzz 41 , 2 倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就表示积

26、就表示积所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z )sin()cos( 21212121 irrzz .ArgArg)(Arg 2121 zzzz 42 说明说明 由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 2121 ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应. 例如，例如，, 1 21 izz 设设, 21 izz 则则 ), 2, 1, 0(,2Arg 1 nnz ), 2, 1, 0(,2 2 Arg 2 mmz ), 2, 1

27、, 0(,2 2 )Arg( 21 kkzz . 1,2 2 )(2 2 3 nmkknm只须只须故故 , 1 k若若 . 0, 2 2, 0 nmnm或或则则 43 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 2121 21 i errzz则则, 2 22 i erz 由此可将结论推广到由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况: n zzz 21 ), 2 , 1(,)sin(cos nkerirz k i kkkkk 设设 )sin( )cos( 21 2121 n nn i rrr . )( 21 21n i ne r

28、rr 44 两个非零复数的商两个非零复数的商得到的新复数，其得到的新复数，其模模 等于两复数模的商，幅角等于被除数与除数等于两复数模的商，幅角等于被除数与除数 幅角的差幅角的差。 )()()( | | | 21 2 1 2 1 2 1 zArgzArg z z Arg z z z z ； 45 3. 复数运算与向量运算的比较复数运算与向量运算的比较 （2 2）两个非零复数的积商运算与向量的数量积）两个非零复数的积商运算与向量的数量积 及向量积运算完全不同。及向量积运算完全不同。 （有什么差别？）（有什么差别？） （1 1）两个复数的加减运算与相应的向量的加减）两个复数的加减运算与相应的向量的加

29、减 运算一致。运算一致。 46 例例2 2 解解 . ,2 1 21 求它的另一个顶点求它的另一个顶点 和和点为点为已知正三角形的两个顶已知正三角形的两个顶izz ). ( , ) 3 ( 3 33 1 12 zz z zz 或或它的终点即为所求顶点它的终点即为所求顶点到另一个向量到另一个向量 就得就得或或旋转旋转绕绕 的向量的向量将表示将表示 如图所示如图所示, o x y 1 1 z iz 2 2 3 z 3 z 3 , 3 1, 3 转角为转角为的模为的模为因为复数因为复数 i e 47 )( 12 3 13 zzezz i o x y 1 1 z iz 2 2 3 z 3 z 3 )1

30、( 2 3 2 1 ii i 2 3 2 1 2 3 2 1 , 2 31 2 33 3 iz 所以所以. 2 31 2 33 3 iz 48 七、复球面七、复球面 1. 南极、北极的定义南极、北极的定义 , 0 的球面的球面点点取一个与复平面切于原取一个与复平面切于原 z , 与原点重合与原点重合球面上一点球面上一点 S , N S 点点直线与球面相交于另一直线与球面相交于另一 作垂直于复平面的作垂直于复平面的通过通过 . , 为南极为南极为北极为北极我们称我们称SN x y P N O S 49 球面上的点球面上的点, 除去北极除去北极 N 外外, 与复平面内与复平面内 的点之间存在着一一

31、对应的关系的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用我们可以用 球面上的点来表示复数球面上的点来表示复数. 我们规定我们规定: 复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与与 复平面上的无穷远点相对应复平面上的无穷远点相对应, 记作记作. 因而球面因而球面 上的北极上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之球面上的每一个点都有唯一的复数与之 对应对应, 这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面. 2. 复球面的定义复球面的定义 50 3. 扩充复平面的定义扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内

32、的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面, , 或简称复平面或简称复平面. . 对于复数对于复数来说来说, 实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意辐角等概念均无意 义义, 它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. 51 : 的四则运算规定如下的四则运算规定如下关于关于 )(, : )1( 加法加法 )(, : )2( 减法减法 )0(, : )3( 乘法乘法 )0( , 0 ),( , 0 : )4( 除法除法 52

33、1. n次乘幂次乘幂: , , n z nzzn 记作记作 次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数 . 个个n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有对于任何正整数对于任何正整数 . , , 1 上式仍成立上式仍成立 为负整数时为负整数时那么当那么当如果我们定义如果我们定义n z z n n 1.2 复数的乘幂与方根运算复数的乘幂与方根运算 53 ,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当 .sincos)sin(cos nini n 棣莫佛公式棣莫佛公式 棣莫佛介绍棣莫佛介绍 . , 次方根次方根的的称为称为的根的根满足方程满足方程nzwzw

34、n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk 2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式 3. n次方根次方根: 54 ),sin(cos irz 设设),sin(cos iw 根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式, )sin(cos ninw nn ),sin(cos ir , r n 于是于是,coscos n,sinsin n ,2 kn 显然显然), 2, 1, 0( k , 2 , 1 n k r n 故故 n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 推导过程如下推导过程如下: 55 , 1, 2 , 1 , 0 时时当当 nk :

35、个相异的根个相异的根得到得到 n ,sincos 1 0 n i n rw n , 2 sin 2 cos 1 1 n i n rw n , . )1(2 sin )1(2 cos 1 1 n n i n n rw n n 当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. 56 , 时时例如例如nk n n i n n rw n n 2 sin 2 cos 1 n i n r n sincos 1 . 0 w 从几何上看从几何上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nz n . 1 个顶点个顶点边形的边形的为半径的圆的内接正为半径的圆的内接正nn

36、r n 57 例例1 1 解解 .)1()1( nn ii 化简化简 ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i 58 nn ii)1()1( n n i 4 sin 4 cos)2( n n i 4 sin 4 cos)2( 4 sin 4 cos 4 sin 4 cos)2( n i nn i n n . 4 cos2 2 2 n n 59 例例2 解解 .)2(;125)1( iii 化简化简 ,125)1(iyxi ,2)(125 22 xyiyxi 122 , 5 22 xy yx , 2, 3 yx ).23(12

37、5ii 60 ,)2(yixi , 2 1 2 1 ii, 2 1 2 1 ii . 2 ii 12 , 0 22 xy yx , 2 1 yx 61 例例3 3 . 1 3的值的值计算计算i 解解 ii 2 1 2 1 21 4 sin 4 cos2i 3 1i 3 2 4 sin 3 2 4 cos2 6 k i k ).2 , 1 , 0( k 62 , 12 sin 12 cos2 6 0 iw , 12 7 sin 12 7 cos2 6 1 iw . 4 5 sin 4 5 cos2 6 2 iw 即即 63 例例4 4 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4 sin 4 cos2

38、1ii 4 2 4 sin 4 2 4 cos21 84 k i k i ).3 , 2 , 1 , 0( k , 16 sin 16 cos2 8 0 iw即即 , 16 9 sin 16 9 cos2 8 1 iw 64 , 16 17 sin 16 17 cos2 8 2 iw . 16 25 sin 16 25 cos2 8 3 iw . 2 8 圆的正方形的四个顶点圆的正方形的四个顶点 的的心在原点半径为心在原点半径为 这四个根是内接于中这四个根是内接于中 o x y 1 w 2 w 3 w 0 w 65 例例5 5 解解 .)1()1( 55 zz 解方程解方程 , 1 z直接验证

39、可知方程的根直接验证可知方程的根 故原方程可写成故原方程可写成 , 1 1 1 5 z z , 1 1 z z w 令令 , 1 5 w则则. 4 , 3 , 2 , 1 , 0, 5 2 kew i k , 1 0 w故故, 5 2 1 i ew , 5 4 2 i ew , 5 6 3 i ew . 5 8 4 i ew 66 1 1 w w z因为因为 1 1 i i e e 1sincos 1sincos i i 2 sin 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin 2 sin2 i i , 2 tan i 故原方程的根为故原方程的根为, 0 0 z, 5 tan 1 iz ,

40、 5 2 tan 2 iz, 5 3 tan 3 iz. 5 4 tan 4 iz 67 1.3 1.3 平面点集平面点集 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 68 一、区域的概念一、区域的概念 1. 邻域邻域: . : )( , 00 0 的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆 为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以 zzz z 说明说明 . , 0 , 点的邻域点的邻域 称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合 的的且满足且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 M Mz 69 2.去心邻域去心邻域: . 0 0 0 的

41、去心邻域的去心邻域集合为集合为 所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式 z zz 说明说明 . . , , zM Mz 可以表示为可以表示为 域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合 仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在 70 3.内点内点: . , , . , 0 0 0 的内点的内点称为称为那末那末 于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在 如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集设设 Gz Gz GzG 4.开集开集: 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末

42、那末G 称称 为开集为开集. . 71 5.区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称则称 它为一个区域它为一个区域. . (1) D是一个是一个开集开集； (2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用 完全属于完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. 6.边界点、边界边界点、边界: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不不 属于属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的中的 点点,这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点

43、. 72 D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . 说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的的点所组成的. (2) 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 .D z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C 73 以上基以上基 本概念本概念 的图示的图示 1 z 2 z 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点 边界边界 7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域: . , , 0, , 界的界的 否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足 使区域的每一个使区域的

44、每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面 点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域 DMz M D 74 (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o 75 二、单连通域与多连通域二、单连通域与多连通域 1. 连续曲线连续曲线: . , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为

45、连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线 代代那末方程组那末方程组 是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果 btatyytxx tytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示: )().()()(btatiytxtzz 76 2. 光滑曲线光滑曲线: . 0, )( )( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于 都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . x y o x y o

46、 77 3. 简单曲线简单曲线: . )( )( , )()( : 的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与 为一条连续曲线为一条连续曲线设设 Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 12121 2121 的重点的重点 称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztztt ttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔 当曲线当曲线).). 78 . , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称 即即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线 Cbzaz C 换句话说

47、换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单任意一条简单 闭曲线闭曲线 C 将复平面将复平面 唯一地分成三个互唯一地分成三个互 不相交的点集不相交的点集. x y o 内部内部 外部外部 边界边界 79 课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线? 答答 案案 简简 单单 闭闭 简简 单单 不不 闭闭 不不 简简 单单 闭闭 不不 简简 单单 不不 闭闭 )(az)(bz )(az )(bz )(az)(bz )(az )(bz 80 4. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为 单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为 多连通域多连通域. 单连通域单连通域多连通域多连通域 81 三、典型例题