第一章 复数与复变函数

1、第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考 2 一、复数的概念 1. 虚数单位虚数单位: . , 称为虚数单位称为虚数单位 引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i .1 : 2 在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x 对虚数单位的规定对虚数单位的规定: : ; 1)1( 2 i . )2( 四则运算四则运算 样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i 3 虚数单位的特性虚数单位的特性: ; 1 ii ; 1 2 i; 23 iiii ; 1 224 iii; 145 iiii ; 1 246 iii; 34

2、7 iiii ; 1 448 iii 则则是正整数是正整数一般地，如果一般地，如果,n , 1 4 n i, 14 ii n , 1 24 n i. 34 ii n 4 2.复数复数: . , 为复数为复数或或 我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数 iyxz yixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx ).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 5 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部 分别相等分别

3、相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部 同时等于同时等于0. 说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的 大小大小, 如果不全是实数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就 是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小. 6 二、复数的代数运算 , 222111 iyxziyxz 设两复数设两复数 1. 两复数的和两复数的和: ).()( 212121 yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积: ).()( 2112212121 yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商: . 2 2 2 2

4、2112 2 2 2 2 2121 2 1 yx yxyx i yx yyxx z z 7 4. 共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两 个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与 . , iyxziyxz 则则若若 例例1 1.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yixyix 22 )(yix . 22 yx .,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz 结论： 8 5. 共轭复数的性质共轭复数的性质: ;)1( 2121 zzzz ; 2121 zzzz

5、; 2 1 2 1 z z z z ;)2(zz ;)Im()Re()3( 22 zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略. 9 例例2 解解 , 1 31 i i i z 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求 i i i z 1 31 )1)(1( )1(3 ii ii ii i , 2 1 2 3 i , 2 1 )Im(, 2 3 )Re( zz 22 )Im()Re(zzzz 22 2 1 2 3 . 2 5 10 例例3 解解 .)2(;125)1( iii 化简化简 ,125)1(iyxi ,2)(125 22 xyiyxi 122

6、 , 5 22 xy yx , 2, 3 yx ).23(125ii 11 ,)2(yixi , 2 1 2 1 ii, 2 1 2 1 ii . 2 ii 12 , 0 22 xy yx , 2 1 yx 第二节 复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 三、小结与思考 13 一、复平面 1. 复平面的定义复平面的定义 . . , , , . ),( 面面 面叫复平面叫复平这种用来表示复数的平这种用来表示复数的平轴轴叫虚轴或叫虚轴或 纵轴纵轴轴轴通常把横轴叫实轴或通常把横轴叫实轴或用来表示复数用来表示复数 的平面可以的平面可以一个建立了直角坐标系一个建立了直角坐标系因此因此对应对应 成一一成一

7、一与有序实数对与有序实数对复数复数 y x yxiyxz . ),( 表示表示面上的点面上的点 可以用复平可以用复平复数复数 yx iyxz ),(yx x y x y o iyxz 14 2. 复数的模复数的模(或绝对值或绝对值) , 的模或绝对值的模或绝对值向量的长度称为向量的长度称为 z , 表示表示可以用复平面上的向量可以用复平面上的向量复数复数OPiyxz . 22 yxrz 记为记为 x y x y o iyxz P r 显然下列各式成立显然下列各式成立 , zx , zy ,yxz . 2 2 zzzz 15 3. 复数的辐角复数的辐角 . Arg , , , 0 z zOPz

8、z 记作记作 的辐角的辐角称为称为为终边的角的弧度数为终边的角的弧度数的向量的向量 以表示以表示以正实轴为始边以正实轴为始边的情况下的情况下在在 说明说明,0有无穷多个辐角有无穷多个辐角任何一个复数任何一个复数 z , 1 是其中一个辐角是其中一个辐角如果如果 ).( 2Arg 1 为任意整数为任意整数kkz , 0 , 0 , zz时时当当特殊地特殊地 的全部辐角为的全部辐角为那么那么 z 辐角不确定辐角不确定. 16 辐角主值的定义辐角主值的定义: .arg , Arg , )0( 0 00 zz z 记作记作的主值的主值称为称为 的的把满足把满足的辐角中的辐角中在在 , 0 x ) 2

9、arctan 2 ( x y 其中其中 辐角的主值辐角的主值0 z zarg , 0, 0 yx , 0, 0 yx . 0, 0 yx ,arctan x y , 2 ,arctan x y , 17 4. 利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 x y o 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z 21 zz 2 z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算与相应的向量的 加减法运算一致加减法运算一致. . 18 5. 复数和差的模的性质复数和差的模的性质 ;)1( 2121 zzzz .)2( 2121 zzzz , 2121 故故之间的距离

10、之间的距离和和表示点表示点因为因为zzzz 1 z 2 z 21 zz x y o 1 z 2 z . 实轴对称的实轴对称的 复平面内的位置是关于复平面内的位置是关于 在在和和一对共轭复数一对共轭复数zz x y o iyxz iyxz 19 利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin ,cos ry rx 复数可以表示成复数可以表示成)sin(cos irz 复数的三角表示式复数的三角表示式 再利用欧拉公式再利用欧拉公式,sincos ie i 复数可以表示成复数可以表示成 i rez 复数的指数表示式复数的指数表示式 6.复数的三角表示和指数表示 20 例例8 8求下列

11、方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线: . 4)Im()3( ;22)2(; 2)1( zi ziziz 解解 .2 2 )1( 的点的轨迹的点的轨迹为为 距离距离表示所有与点表示所有与点方程方程iiz .2 ,的圆的圆半径为半径为即表示中心为即表示中心为i , iyxz 设设, 2)1( iyx , 2)1( 22 yx. 4)1( 22 yx圆方程圆方程 21 22)2( ziz .22距离相等的点的轨迹距离相等的点的轨迹和和表示所有与点表示所有与点 i . 22 段的垂直平分线段的垂直平分线 的线的线和和连接点连接点故方程表示的曲线就是故方程表示的曲线就是 i , iyxz 设设 ,2

12、2 yixiyix化简后得化简后得.xy 4)Im()3( zi , iyxz 设设 ,)1(iyxzi , 41)Im( yzi . 3 y所求曲线方程为所求曲线方程为 第三节 复数的乘幂与方根 一、乘积与商 二、幂与根 三、小结与思考 23 一、乘积与商 定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 的三角形式分别为的三角形式分别为和和设复数设复数 21 zz ,sin(cos 1111 ） irz ,sin(cos 2222 ） irz )sin(cos)sin(cos

13、22211121 irirzz 则则 )sincoscos(sin )sinsincos(cos 2121 212121 i rr 证证 24 )sin()cos( 21212121 irrzz 两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘, , 辐角相加辐角相加. . , 2 倍倍再把它的模扩大到再把它的模扩大到 r 从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , , 21 zz , 2 1 旋转一个角旋转一个角 按逆时针方向按逆时针方向先把先把 z . 21 zzz 就表示积就表示积所得向量所得向量 2 o x y r 2 r 1 r 2 z 1 1 z z

14、.ArgArg)(Arg 2121 zzzz 证毕证毕 25 说明说明 由于辐角的多值性由于辐角的多值性, 2121 ArgArg)(Argzzzz 两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应. 例如，例如，, 1 21 izz 设设, 21 izz 则则 ), 2, 1, 0(,2Arg 1 nnz ), 2, 1, 0(,2 2 Arg 2 mmz ), 2, 1, 0(,2 2 )Arg( 21 kkzz . 1,2 2 )(2 2 3 nmkknm只须只须故故 , 1 k若若 . 0,

15、 2 2, 0 nmnm或或则则 26 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 2121 21 i errzz则则, 2 22 i erz 由此可将结论推广到由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况个复数相乘的情况: n zzz 21 ), 2 , 1(,)sin(cos nkerirz k i kkkkk 设设 )sin( )cos( 21 2121 n nn i rrr . )( 21 21n i ne rrr 27 定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商; 两两 个复数的商的辐角等于被除数与

16、除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证证按照商的定义按照商的定义, , 0 1 时时当当 z, 1 1 2 2 z z z z , 1 1 2 2 z z z z ,ArgArgArg 1 1 2 2 z z z z , 1 2 1 2 z z z z 于是于是.ArgArgArg 12 1 2 zz z z 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数 21 zz , 1 11 i erz . )( 1 2 1 2 12 i e r r z z 则则, 2 22 i erz 证毕证毕 28 例例1 1 解解 , 3 cos 3 sin ),31( 2 1 21 i

17、ziz已知已知 , 3 sin 3 cos 1 iz因为因为 , 6 sin 6 cos 2 iz 63 sin 63 cos 21 izz所以所以 , i 63 sin 63 cos 2 1 i z z . 2 1 2 3 i . 2 1 21 z z zz和和求求 29 二、幂与根 1. n次幂次幂: , , n z nzzn 记作记作 次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数个相同复数 . 个个n n zzzz . )sin(cos , ninrzn nn 有有对于任何正整数对于任何正整数 . , , 1 上式仍成立上式仍成立 为负整数时为负整数时那么当那么当如果我们定义如果我们定义n

18、 z z n n 30 ,sincos , 1 izrz 即即的模的模当当 .sincos)sin(cos nini n 棣莫佛公式棣莫佛公式 棣莫佛介绍棣莫佛介绍 . , . 3为已知复数为已知复数其中其中的根的根方程方程zwzw n n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 )1, 2 , 1 , 0( nk 推导过程如下推导过程如下: 2.棣莫佛公式 31 ),sin(cos irz 设设),sin(cos iw 根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式, )sin(cos ninw nn ),sin(cos ir , r n 于是于是,coscos n,sinsin n ,2

19、kn 显然显然), 2, 1, 0( k , 2 , 1 n k r n 故故 n k i n k rzw nn 2 sin 2 cos 1 32 , 1, 2 , 1 , 0 时时当当 nk :个相异的根个相异的根得到得到 n ,sincos 1 0 n i n rw n , 2 sin 2 cos 1 1 n i n rw n , . )1(2 sin )1(2 cos 1 1 n n i n n rw n n 当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时, 这些根又重复出现这些根又重复出现. 33 , 时时例如例如nk n n i n n rw n n 2 sin 2 cos 1 n i

20、n r n sincos 1 . 0 w 从几何上看从几何上看, , 个值就是以原点为中心个值就是以原点为中心的的nz n . 1 个顶点个顶点边形的边形的为半径的圆的内接正为半径的圆的内接正nnr n 34 例例5 5 . 1 4的值的值计算计算i 解解 4 sin 4 cos21ii 4 2 4 sin 4 2 4 cos21 84 k i k i ).3 , 2 , 1 , 0( k , 16 sin 16 cos2 8 0 iw即即 , 16 9 sin 16 9 cos2 8 1 iw 35 , 16 17 sin 16 17 cos2 8 2 iw . 16 25 sin 16 2

21、5 cos2 8 3 iw . 2 8 圆的正方形的四个顶点圆的正方形的四个顶点 的的心在原点半径为心在原点半径为 这四个根是内接于中这四个根是内接于中 o x y 1 w 2 w 3 w 0 w 第四节 区 域 一、区域的概念 二、单连通域与多连通域 三、典型例题 四、小结与思考 37 一、区域的概念 1. 邻域邻域: . : )( , 00 0 的邻域的邻域内部的点的集合称为内部的点的集合称为的圆的圆 为半径为半径任意的正数任意的正数为中心为中心平面上以平面上以 zzz z 说明说明 . , 0 , 点的邻域点的邻域 称为无穷远称为无穷远其中实数其中实数所有点的集合所有点的集合 的的且满足

22、且满足包括无穷远点自身在内包括无穷远点自身在内 M Mz 38 2.去心邻域去心邻域: . 0 0 0 的去心邻域的去心邻域集合为集合为 所确定的点的所确定的点的称由不等式称由不等式 z zz 说明说明 . . , , zM Mz 可以表示为可以表示为 域域称为无穷远点的去心邻称为无穷远点的去心邻的所有点的集合的所有点的集合 仅满足仅满足内内不包括无穷远点自身在不包括无穷远点自身在 39 3.内点内点: . , , . , 0 0 0 的内点的内点称为称为那末那末 于于该邻域内的所有点都属该邻域内的所有点都属的一个邻域的一个邻域存在存在 如果如果中任意一点中任意一点为为为一平面点集为一平面点集

23、设设 Gz Gz GzG 4.开集开集: 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为称为 开集开集. . 40 5.区域区域: 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, ,则称它则称它 为一个区域为一个区域. . (1) D是一个是一个开集开集； (2) D是是连通的连通的, ,就是说就是说D中任何两点都可以用中任何两点都可以用 完全属于完全属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. 6.边界点、边界边界点、边界: 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点 P P 不不 属于属于D, 但在但在 P P 的任意小的邻

24、域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点, 这样的这样的 P P 点我们称为点我们称为D的的边界点边界点. 41 D的所有边界点组成的所有边界点组成D的的边界边界. . 说明说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立 的点所组成的的点所组成的. (2) 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域闭区域 .D z 1 C 2 C 3 C z 1 C 2 C 3 C 42 以上基以上基 本概念本概念 的图示的图示 1 z 2 z 区域区域 0 z 邻域邻域 P 边界点边界点 边界边界 7.有界区域和无界区域有界区域和无界区域: . , , 0

25、, , 界的界的 否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足 使区域的每一个使区域的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面 点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域 DMz M D 43 (1) 圆环域圆环域:; 201 rzzr 0 z 2 r 1 r 课堂练习课堂练习 判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界? (2) 上半平面上半平面:; 0Im z (3) 角形域角形域:;arg0 z (4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界. x y o 44 二、单连通域与多连通域 1.

26、连续曲线连续曲线: . , )( ),( , )( , )( )( 称为连续曲线称为连续曲线表一条平面曲线表一条平面曲线 代代那末方程组那末方程组 是两个连续的实变函数是两个连续的实变函数和和如果如果 btatyytxx tytx 平面曲线的复数表示平面曲线的复数表示: )().()()(btatiytxtzz 45 2. 光滑曲线光滑曲线: . 0, )( )( , , )( )( , 22 称这曲线为光滑的称这曲线为光滑的 那末那末有有的每一个值的每一个值且对于且对于 都是连续的都是连续的和和上上如果在如果在 tytxt tytxbta 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的

27、光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线称为按段光滑曲线. . x y o x y o 46 3. 简单曲线简单曲线: . )( )( , )()( : 的起点和终点的起点和终点分别称为分别称为与与 为一条连续曲线为一条连续曲线设设 Cbzaz btatzzC . )( , )()( , , 12121 2121 的重点的重点 称为曲线称为曲线点点时时而有而有 当当与与的的对于满足对于满足 Ctztztztt ttbtabta 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为简单曲线称为简单曲线( (或若尔或若尔 当曲线当曲线).). 47 . , )( )( , 为简单闭曲线为简单闭曲线那末称那末称 即

28、即的起点和终点重合的起点和终点重合如果简单曲线如果简单曲线 Cbzaz C 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭任意一条简单闭 曲线曲线 C 将复平面唯将复平面唯 一地分成三个互不一地分成三个互不 相交的点集相交的点集. x y o 内部内部 外部外部 边界边界 48 4. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一 条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为 单连通域单连通域. 一个区域如果不是单

29、连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为 多连通域多连通域. 单连通域单连通域多连通域多连通域 第五节 复变函数 一、复变函数的定义 二、映射的概念 三、典型例题 四、小结与思考 50 一、复变函数的定义 ).( ), ( , , , , . zfw zw ivuwz G iyxzG 记作记作复变函数复变函数 简称简称的函数的函数是复变数是复变数那末称复变数那末称复变数之对应之对应 与与就有一个或几个复数就有一个或几个复数每一个复数每一个复数 中的中的对于集合对于集合按这个法则按这个法则个确定的法则存在个确定的法则存在 如果有一如果有一的集合的集合是一个复数是一个复数设设 1.复变函数的

30、定义复变函数的定义: 51 2.单单(多多)值函数的定义值函数的定义: . )( , 是单值的是单值的我们称函数我们称函数 那末那末的值的值的一个值对应着一个的一个值对应着一个如果如果 zf wz . )( , 是多值的是多值的那末我们称函数那末我们称函数的值的值 两个以上两个以上的一个值对应着两个或的一个值对应着两个或如果如果 zfw z 3.定义集合和函数值集合定义集合和函数值集合: ; )( )( 定义域定义域的定义集合的定义集合称为称为集合集合zfG . , * 称为函数值集合称为函数值集合 值所成的集合值所成的集合的一切的一切中所有中所有对应于对应于GwzG 52 4. 复变函数与自

31、变量之间的关系复变函数与自变量之间的关系: : )( 相当于两个关系式相当于两个关系式 之间的关系之间的关系自变量自变量与与复变函数复变函数zfwzw ),(),(yxvvyxuu . 的两个二元实变函数的两个二元实变函数和和它们确定了自变量为它们确定了自变量为yx 例如例如, , , 2 zw 函数函数, ivuwiyxz 令令 2 )( iyxivu 则则,2 22 xyiyx : 2 数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函于是函数于是函数zw , 22 yxu .2xyv 53 二、映射的概念 1. 引入引入: . , , , , 的点集之间的对应关系的点集之间的对应关系 上上必须

32、看成是两个复平面必须看成是两个复平面的几何图形表示出来的几何图形表示出来 因而无法用同一平面内因而无法用同一平面内之间的对应关系之间的对应关系和和 由于它反映了两对变量由于它反映了两对变量对于复变函数对于复变函数 yx vu 54 2.映射的定义映射的定义: ).( )( * )( )( , , 或变换或变换 的映射的映射函数值集合函数值集合平面上的一个点集平面上的一个点集 变到变到定义集合定义集合平面上的一个点集平面上的一个点集是把是把 在几何上就可以看作在几何上就可以看作那末函数那末函数值值 的的平面上的点表示函数平面上的点表示函数而用另一个平面而用另一个平面 的值的值平面上的点表示自变量

33、平面上的点表示自变量如果用如果用 Gw Gz zfw ww zz 55 . ),( , * )( 的原象的原象 称为称为而而映象映象的象的象称为称为那末那末中的点中的点 映射成映射成被映射被映射中的点中的点如果如果 wzzww GzfwzG . )( 所构成的映射所构成的映射 函数函数这个映射通常简称为由这个映射通常简称为由zfw 56 . )1(构成的映射构成的映射函数函数zw x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC 3. 两个特殊的映射两个特殊的映射: . ibaw wibazz

34、的点的点 平面上平面上映射成映射成平面上的点平面上的点将将 57 x y o u v o iz32 1 iw32 1 iz21 2 iw21 2 AB C A B C , 11 wz , 22 wz .CBAABC . , 映射映射是关于实轴的一个对称是关于实轴的一个对称 不难看出不难看出重叠在一起重叠在一起 平面平面平面和平面和如果把如果把 zw wz o 1 w 2 w 1 z 2 z 且是全同图形且是全同图形. 58 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw . 1 ,43, 1 1,21, 321 321 wiwww zizizz 平面上的点平面上的点映射成映射成 平面上的点平

35、面上的点显然将显然将 x y o u v o 1 z 2 z 2 w 3 w1 w 3 z 59 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw 根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知, . 2 的辐角增大一倍的辐角增大一倍将将映射映射zzw x y o u v o 2 . 2 的角形域的角形域平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为 的角形域映射成的角形域映射成平面上与实轴交角为平面上与实轴交角为将将 wz 60 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw : 2 数数对应于两个二元实变函对应于两个二元实变函函数函数zw .2, 22 xyvyxu ,2, 21 22 cxycyx

36、 xyz 曲线曲线标轴为渐近线的等轴双标轴为渐近线的等轴双 和坐和坐线线平面上的两族分别以直平面上的两族分别以直它把它把 (如下页图如下页图)., 21 cvcu w 平面上的两族平行直线平面上的两族平行直线分别映射成分别映射成 61 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw 将第一图中两块阴影部分映射成第二图中将第一图中两块阴影部分映射成第二图中 同一个长方形同一个长方形. x y o x y o 62 . )2( 2 构成的映射构成的映射函数函数zw : 的象的参数方程为的象的参数方程为直线直线 x ) (.2, 22 为参数为参数yyvyu : 得得消去参数消去参数 y),(4

37、222 uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口向左的抛物线开口向左的抛物线.(图中红色曲线图中红色曲线) : 的象为的象为同理直线同理直线 y ),(4 222 uv 以原点为焦点以原点为焦点,开口向右的开口向右的 抛物线抛物线.(图中蓝色曲线图中蓝色曲线) 63 4. 反函数的定义反函数的定义: .)( * , * , )( 点点或几个或几个中的一个中的一个必将对应着必将对应着每一个点每一个点 中的中的那末那末平面上的集合平面上的集合函数值集合为函数值集合为 平面上的集合平面上的集合的定义集合为的定义集合为设设 Gw GGw Gzzfw . )( , )( , )( )( * 的逆映射的逆映射

38、为映射为映射 也称也称的反函数的反函数它称为函数它称为函数 函数函数或多值或多值上就确定了一个单值上就确定了一个单值于是在于是在 zfw zfwwz G 64 根据反函数的定义根据反函数的定义, *,Gw ),(wfw 当反函数为单值函数时当反函数为单值函数时, .),(Gzzfz . * . )() ( ,)( )( )( )( 是一一对应的是一一对应的合合 与集与集也可称集合也可称集合是一一对应的是一一对应的射射 映映那末称函数那末称函数都是单值的都是单值的逆映射逆映射 与它的反函数与它的反函数映射映射如果函数如果函数 G Gzfw wz zfw 今后不再区别函数与映射今后不再区别函数与映

39、射. 第六节 复变函数的极限 和连续性 一、函数的极限 二、函数的连续性 三、小结与思考 66 一、函数的极限 1.函数极限的定义函数极限的定义: . )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0 0 0 0 时的极限时的极限趋向于趋向于当当为为那末称那末称 有有时时使得当使得当 相应地必有一正数相应地必有一正数对于任意给定的对于任意给定的 存在存在如果有一确定的数如果有一确定的数内内 的去心邻域的去心邻域定义在定义在设函数设函数 zzzfA Azfzz Azz zzfw )( .)(lim 0 0 AzfAzf zz zz 或或记作记作 注意注意: : . 0 的方式是任意的的方

40、式是任意的定义中定义中zz 67 2. 极限计算的定理极限计算的定理 定理一定理一 .),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 00 000 00 0 0 0 0 0 vyxvuyxu Azfiyxz ivuAyxivyxuzf yy xx yy xx zz 的充要条件是的充要条件是那末那末 设设 证证 ,)(lim 0 Azf zz 如果如果 根据极限的定义根据极限的定义 , )()(0 00 时时当当 iyxiyx ,)()( 00 ivuivu (1) 必要性必要性. 68 , )()(0 2 0 2 0 时时或当或当 yyxx ,)()( 00 vviuu, ,

41、 00 vvuu .),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 故故 ,),(lim,),(lim 00 0 0 0 0 vyxvuyxu yy xx yy xx 若若 , )()(0 2 0 2 0 时时那么当那么当 yyxx (2) 充分性充分性. , 2 , 2 00 vvuu有有 69 )()()( 00 vviuuAzf 00 vvuu , 0 0 时时故当故当 zz,)( Azf .)(lim 0 Azf zz 所以所以证毕证毕 说明说明 . ),( ),( , ),(),()( 的极限问题的极限问题和和 函数函数转化为求两个二元实变

42、转化为求两个二元实变的极限问题的极限问题 该定理将求复变函数该定理将求复变函数 yxv yxu yxivyxuzf 70 定理二定理二 ).0( )( )( lim (3) ;)()(lim (2) ;)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 0 0 0 00 B B A zg zf ABzgzf BAzgzf BzgAzf zz zz zz zzzz 那末那末设设 与实变函数的极限运算法则类似与实变函数的极限运算法则类似. 71 例例1 1 证证 (一一) . 0 )Re( )( 不存在不存在 时的极限时的极限当当证明函数证明函数 z z z zf , iyxz 令令,)( 22 yx x zf 则则 , 0),(,),( 22 yxv yx x yxu , 趋于零时趋于零时沿直线沿直线当当kxyz 22 00 lim),(lim yx x yxu kxy x kxy