材料力学之动载荷

1、1 第三章第三章 动动 载载 荷荷 2 2021-6-23 一、概一、概 述述 3 2021-6-23 a静载荷静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地 增加到某一定值不再随时间改变。杆内各质点均处于增加到某一定值不再随时间改变。杆内各质点均处于 静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不计。静力平衡状态。各点加速度很小，可以忽略不计。 a动载荷动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随：使构件产生明显的加速度的载荷或者随 时间变化的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损；时间变化的载荷。例如：子弹放在钢板上，板不受损； 若以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从

2、地面急剧若以高速射击，就可能击穿钢板；起重机从地面急剧 地起吊重物，此时重物获得加速度，作用在吊地起吊重物，此时重物获得加速度，作用在吊 索上的载荷就是动载荷。索上的载荷就是动载荷。 4 2021-6-23 a动应力：动应力：在动载荷作用下构件内产生的应力，记为在动载荷作用下构件内产生的应力，记为 。 d a实验证明：实验证明：在静载荷下服从虎克定律的材料，在承受在静载荷下服从虎克定律的材料，在承受 动载荷时，只要动应力小于等于比例极限动载荷时，只要动应力小于等于比例极限( ),( t 可近似地认为环内各点向心可近似地认为环内各点向心 加速度相同，加速度相同， 。 沿圆环轴线均匀分布的惯性沿圆

3、环轴线均匀分布的惯性 力集度力集度 为：为： 2/ 2 Dan d q 2 2 g DA a g A q nd D t o n a 15 2021-6-23 圆环横截面上的内力：圆环横截面上的内力： o d q Nd F Nd F x y d dq D d2 Dqd D qF ddNd sin 2 2 0 2 2 4 g DA FNd 圆环横截面上的应力：圆环横截面上的应力： g v g D A FNd d 2 2 2 4 2 D v 式中式中 是圆环轴线上各点的线速度。是圆环轴线上各点的线速度。强度条件强度条件为：为： 2 g v d 16 2021-6-23 旋转圆环的变形计算旋转圆环的变

4、形计算 D 在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为 ， 则其直径变化则其直径变化 ，径向应变为，径向应变为DDD ED DD D D t tr )( 所以所以 Eg Dv E DD d 2 )1 ( 2 gE v DDDD 由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。对于轮缘与由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。对于轮缘与 轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过高有轮心用过盈装配的构件，使用时转速应有限制，否则，转速过高有 可能使轮缘与轮心发生松脱。可能使轮缘与轮心发生松脱。 17 2021-6-23 例例1

5、2-4 如图12-6（a）所示钢轴AB的直径为80mm，轴上有一直径为 80mm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB。若AB以匀角速度=40 rad/s转动。 材料的许用应力=70 MPa，密度为7.8 g/cm3。试校核AB轴及CD杆的 强度。 解解 （1）离C截面为x处的向心加速度为 2 )(xra n 600 A dx 600 (a)(b)(c) C q G C D 600 B x C G qd x d FNd 18 2021-6-23 n该处单位长度惯性力（图12-6(b)为 n（2）由平衡方程（图12-6(c)）得G截面处 轴向力 为 2 d x)A(rAaq n d q Nd F 19

6、2021-6-23 C D A B 600 600 600 x dx dxqd 例例2 2 图图示刚轴示刚轴AB的直径为的直径为 8cm,8cm,轴上有一直径为轴上有一直径为 8cm8cm的钢质圆杆的钢质圆杆 CD,CD垂直于垂直于AB。若。若AB以匀角速度以匀角速度 =40 1/s=40 1/s转动。材料的转动。材料的 =70MPa,70MPa,比重比重 。试校核。试校核AB轴、轴、CD杆的强度。杆的强度。 3 kN/m8 . 7 解：单位长度惯性力：解：单位长度惯性力： n CD d a g dxA q x g ACD 2 x 2 32 40 8 . 9 108 . 7)08. 0( 4

7、mxN/62700 所以单位长度惯性力沿杆长线性分布。所以单位长度惯性力沿杆长线性分布。 20 2021-6-23 C D A B 600 600 600 x dx 当当x=0.6m时，时，mNqd/37620 1 当当x=0.04m时，时，mNqd/2510 2 C )(xqd Nd F 所以所以CD杆中最大的轴力在杆中最大的轴力在D截面处：截面处： AldxxqF dNd 6 . 0 04. 0 )( )04. 06 . 0(08. 0 4 108 . 762700 24 6 . 0 04. 0 xdx kN451.11 则则CD杆中最大的应力为杆中最大的应力为 MPa28. 2 max,

8、 max A FNd d 所以所以CD杆安全。杆安全。 21 2021-6-23 600 D A B 600 max,Nd F M图图 2 . 1 4 1 max, Nd F AB轴中最大的应力为轴中最大的应力为 MPa37.68 )08. 0( 32 1 2 . 1 4 1 3 max, max max Nd z d d F W M 所以所以AB轴安全。轴安全。 22 2021-6-23 三、构件受冲击时的三、构件受冲击时的 应力和变形计算应力和变形计算 23 2021-6-23 v Qa 受冲击受冲击 的构件的构件 冲击物冲击物 冲击问题的特点：冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（

9、冲击物）结构（受冲击构件）受外力（冲击物） 作用的时间很短，冲击物的速度在很短的作用的时间很短，冲击物的速度在很短的 时间内发生很大的变化，甚至降为零，冲时间内发生很大的变化，甚至降为零，冲 击物得到一个很大的负加速度击物得到一个很大的负加速度a。 因此，采用因此，采用能量法能量法近似计算冲击时构近似计算冲击时构 件内的最大应力和变形。件内的最大应力和变形。 24 2021-6-23 计算冲击问题时所作的假设：计算冲击问题时所作的假设： 1 1、除机械能外，所有其它能量损失，如塑性变形能、除机械能外，所有其它能量损失，如塑性变形能、 热能等均忽略不计。热能等均忽略不计。 2 2、在整个冲击过程

10、中，结构保持线弹性，即力和变形、在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即力和变形 成正比。成正比。 3 3、假定冲击物为刚体。只考虑其机械能，不计变形能。、假定冲击物为刚体。只考虑其机械能，不计变形能。 4 4、假定被冲击物为弹性体。只考虑其变形能，不计、假定被冲击物为弹性体。只考虑其变形能，不计 机械能（被冲击物质量不计）。机械能（被冲击物质量不计）。 25 2021-6-23 根据能量守恒定律，即根据能量守恒定律，即 T + V = U T: :冲击物接触被冲击物后，速度冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；，释放出的动能； V: :冲击物接触被冲击物后，所减少冲击物接触被冲击物后，所减

11、少的势能；的势能； U: :被冲击构件在冲击物的速度被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的变形能。时所增加的变形能。 26 2021-6-23 a 根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均根据计算冲击问题时所作的假设，工程实际上的梁、杆均 可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物可简化为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物Q,Q,在在 高度高度H H处落下的作用，计算冲击应力。处落下的作用，计算冲击应力。 Q h A A B B Q h Q Q h 弹簧弹簧 27 2021-6-23 Q Q h h 弹簧弹簧 d 设：受重物设：受重物Q Q自高度自高度h落下，冲击弹性系

12、统后，落下，冲击弹性系统后， 速度开始下降至速度开始下降至0 0，同时弹簧变形达到最，同时弹簧变形达到最 大值大值 。 d 此时，全部动能转化为变形能，杆内动此时，全部动能转化为变形能，杆内动 应力达最大值（以后要回跳）。就以此时来应力达最大值（以后要回跳）。就以此时来 计算：计算： 释放出的动能（以势能的降低来表示）释放出的动能（以势能的降低来表示） )( d hQT 增加的变形能，在弹性极限内增加的变形能，在弹性极限内 dd FU 2 1 28 2021-6-23 F F st d d F Q 被冲击构件增加的变形能被冲击构件增加的变形能U U，应等于冲击，应等于冲击 载荷在冲击过程中所作

13、的功。载荷在冲击过程中所作的功。 d F d F ：冲击物速度为：冲击物速度为0 0时，作用于杆之力。时，作用于杆之力。 st dd Q F 于是变形能为于是变形能为 2 2 1 2 1 d st dd Q FU 根据能量守恒：根据能量守恒： T = U 根据力和变形之间的关系：根据力和变形之间的关系： dd kF 29 2021-6-23 2 2 1 )( d st d Q hQ 即即 022 2 stdstd h 解得：解得： stststd h2 2 式中式中“+”+”对应的是最大变形，对应的是最大变形， “ “-”-”代表的是回跳到的最高位置。所以取正值。代表的是回跳到的最高位置。所以

14、取正值。 stststd h2 2 30 2021-6-23 ) 2 11 ( 2 2 st st stststd h h std k 式中式中 为冲击时的为冲击时的动荷系数动荷系数 d k st d h k 2 11 其中其中 是结构中冲击受力点沿受力方向在静载荷是结构中冲击受力点沿受力方向在静载荷 （大小为冲击物重量）作用下的位移。（大小为冲击物重量）作用下的位移。 st 31 2021-6-23 d st d st dd k Q F 因为因为 所以冲击应力为所以冲击应力为 stdd k 强度条件为强度条件为 )( maxmax stdd k 32 2021-6-23 1 1、若冲击物是以

15、一垂直速度、若冲击物是以一垂直速度v作用于构件上，则由作用于构件上，则由 可得：可得： ghv2 2 st d g v k 2 11 2 2、若已知的是冲击物冲击前的能量、若已知的是冲击物冲击前的能量 ，则由，则由 0 T ststst U T Q Qhh 0 2/ 2 st d U T k 0 11 ( ( 为被冲击物在静荷为被冲击物在静荷 Q作用下的变形能作用下的变形能) ) st U 关于动荷系数关于动荷系数 的讨论的讨论: : d k st d h k 2 11 33 2021-6-23 3、当、当h=0或或v=0时，重物突然放在构件上，此时时，重物突然放在构件上，此时 。2 d k

16、d k4、 不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关，不仅与冲击物的动能有关，与载荷、构件截面尺寸有关， 更与更与 有关。这是与静应力的根本不同点。构件越易变有关。这是与静应力的根本不同点。构件越易变 形，刚度越小，即形，刚度越小，即“柔能克刚柔能克刚”。 st st d h k 2 11 34 2021-6-23 水平冲击时的动荷系数计算。水平冲击时的动荷系数计算。 Q v l 解解：根据能量守恒：冲击过程中释放的：根据能量守恒：冲击过程中释放的 动能等于杆件增加的变形能。动能等于杆件增加的变形能。 dd FUv g Q T 2 1 2 1 2 EI lFd d 3 3 (a) (b

17、) 设：一重量为设：一重量为Q的重物以水平速度的重物以水平速度v撞在直撞在直 杆上，若直杆的杆上，若直杆的E、I、 均为已知。均为已知。 试求杆内最大正应力。试求杆内最大正应力。 z W 35 2021-6-23 将将(b)(b)代入代入(a)(a)式：式： EI lF v g Q d 32 1 2 1 3 2 2 解得：解得： 3 2 3 gl EIQv Fd EI Ql g v Q 3 3 2 式中式中 st EI Ql 3 3 表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载表示水平冲击时假设以冲击物重量大小的力沿水平方向以静载 荷作用于冲击点时，该点沿水平方向的位移。荷作用于冲击

18、点时，该点沿水平方向的位移。 36 2021-6-23 所以所以 Qk g v QF d st d 2 即水平冲击时的动荷系数为即水平冲击时的动荷系数为 st d g v k 2 杆内最大动应力为杆内最大动应力为 z dstdd W Ql kk maxmax )()( 37 2021-6-23 四、几个冲击实例的计算四、几个冲击实例的计算 38 2021-6-23 实例实例1 1 等截面直杆的冲击拉伸应力等截面直杆的冲击拉伸应力 l h Q Q 已知：等截面直杆长为已知：等截面直杆长为l，截面积为，截面积为A A，杆件的，杆件的 弹性模量为弹性模量为E E，重物，重物Q Q从高从高H H处自由

19、落下。处自由落下。 解：静应力和静伸长分别为解：静应力和静伸长分别为 A Q st EA Ql st ， 动荷系数为动荷系数为 Ql EAhh k st d 2 11 2 11 冲击应力为冲击应力为 Al hQE A Q A Q k stdd 2 )( 2 可见：可见： 不仅与杆的截面积不仅与杆的截面积A A有关，且与长度有关，且与长度l、体积、体积V=Al 有关。而且有关。而且V ， 。 d d 39 2021-6-23 实例实例2 2 等截面简支梁的冲击弯曲应力等截面简支梁的冲击弯曲应力 已知：梁的抗弯刚度为已知：梁的抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为，抗弯截面模量为W。在梁的中点处受到。在梁

20、的中点处受到 重物重物Q从高从高h处自由下落的冲击。处自由下落的冲击。 解：梁中点处的静挠度为解：梁中点处的静挠度为 EI Ql st 48 3 A B Q h l/2/2l/2/2 动荷系数动荷系数 3 96 11 2 11 Ql hEIh k st d 最大冲击应力为最大冲击应力为 2 2 maxmax 6 ) 4 ( 44W AI Al hQE W Ql W Ql W Ql kk dstdd 可见：可见： 也与杆体积也与杆体积 V=Al有关。而且有关。而且V ， 。 d d 40 2021-6-23 A B Q h l/2l/2 k 如果在如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为支座下加一弹簧

21、，弹性系数为 k，此时梁中点处的静挠度将变为，此时梁中点处的静挠度将变为 k Q EI Ql st 2/ 2 1 48 3 k Q EI Ql 448 3 st 即即 增大，动荷系数增大，动荷系数 下降，使下降，使 下降，此即弹簧的缓冲下降，此即弹簧的缓冲 作用。作用。 d k maxd 41 2021-6-23 实例实例3 3 等截面圆轴受冲击扭转时的应力等截面圆轴受冲击扭转时的应力 等圆截面圆轴上有飞轮，以等角速度等圆截面圆轴上有飞轮，以等角速度 转动，飞轮转动，飞轮 的转动惯量为的转动惯量为 , ,由于某种原因在由于某种原因在A A端突然刹车。端突然刹车。 求此时轴内的冲击应力。求此时轴

22、内的冲击应力。 Ix 解：飞轮动能的改变量：解：飞轮动能的改变量： 2 x 2 1 IT 轴的变形能轴的变形能 dd MU 2 1 ( 为冲击扭转力矩为冲击扭转力矩) d M d M0 x f M y B A 42 2021-6-23 由由T = U得：得： 2 2 2 1 2 x p d I GI lM 解得：解得： l GIIx M p d 2 所以轴内冲击应力为所以轴内冲击应力为 22 2 max p px p px p d d lW GII lW GII W M Al GI x 2 （与体积（与体积V=Al有关）有关） 所以对于转轴，要避免突然刹车。所以对于转轴，要避免突然刹车。 43

23、 2021-6-23 例例3 3 起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的起重机吊索下端与重物之间有一缓冲弹簧，每单位力引起的 伸长为伸长为 ，吊索横截面面积，吊索横截面面积 ，弹性，弹性 模量模量 ，所吊重物质量为，所吊重物质量为 Q=50KN Q=50KN 。以等速。以等速 v=v=1 1m/sm/s下降，在下降，在l=20m=20m时突然刹车，求吊索内的应力时突然刹车，求吊索内的应力( (吊索和弹吊索和弹 簧的质量不计簧的质量不计) )。 mN /105 . 2 6 2 6cmA 211 /107 . 1mNE v l 解：解： 根据重物冲击过程中释放的能量根据重物冲击过程中

24、释放的能量(包括动能包括动能 和势能和势能)转化为吊索增加的变形能计算。转化为吊索增加的变形能计算。 吊索和弹簧的静变形：吊索和弹簧的静变形： Q EA Ql st 在重物的速度在重物的速度v0的同时，的同时，吊索和弹簧的吊索和弹簧的 变形增加变形增加 , ,即动变形为即动变形为 。所以。所以 std =13.48cm 44 2021-6-23 stddstd QFv g Q Q 2 1 2 1 2 1 )( 2 因为因为 EA l QF C std d 1 （a） 经过整理，经过整理，(a)式变为式变为 222 2 1 2 1 2 1 st Q Cv g Q 解得解得变形增加量为变形增加量为

25、 st st g v 2 v l 45 2021-6-23 吊索和弹簧的最大伸长量吊索和弹簧的最大伸长量 )1 ( 2 max st ststd g v std k 所以动荷系数为所以动荷系数为 st d g v k 2 1 =1.87 吊索内的应力吊索内的应力 stdd k max A Q k d MPa83.155 106 105 87. 1 4 4 v l 46 2021-6-23 如果吊索和重物之间没有弹簧，则如果吊索和重物之间没有弹簧，则 cm EA Ql st 98. 0 MPa5 .352 max stdd k 23. 41 2 st d g v k 由此可见弹簧所起的缓冲作用。由此可见弹簧所起的缓冲作用。 v l 47 2021-6-23 五、提高构件抗冲击能五、提