材料力学课程总结

1、yyyyyyyy年年M M月月d d日日 一、分析方法截面法 x y z N QyQz Mx My Mz N： 轴力轴向拉伸或压缩 My，Mz： 弯矩弯曲 Mx(T): 扭矩扭转 Qy，Qz： 剪力剪切 二、内力正负规定 拉压杆 PP AB A P B P N N 拉为正 压为负 AB 1 1 A mx x x x mxmx T mx T 顺为正 逆为负 扭转轴 B D A C 弯曲梁 M Q Q M 1 1 RA RB P1 AB CD RA RB P1P2 P2 正负： 顺正、逆负。 剪力 Q P1P2 AB CD RA RB 1 1 A C + RA P1 B D +RB P2 - -

2、弯矩 M + P2 AB CD RA RB 1 1 A C RA a P1 a P1 右逆、左顺为正， 右顺、左逆为负。 B D+ RB P2 - - 三、内力的计算 x y z N QyQz Mx MyMz 截在欲求内力处假想断开 取取其一部分做为研究对象 代用内力代替相互约束 平利用平衡条件求内力 五、内力图五、内力图 四、内力方程四、内力方程 如：Q = Q (x) M = M (x) 六、简易法作六、简易法作Q、M图图 剪力图、弯矩图与剪力图、弯矩图与q、P、M的关系的关系: q x xQ d )( Q x xM d )(d q x Q x xM d d d )(d 2 2 P P A

3、 N P N 一、一、 拉压杆的强度分析拉压杆的强度分析 公式的应用条件：直杆、杆的截面无 突变、截面到载荷作用点有一定的距离。 横横 截截 面面 上上 的的 应应 力力 u u n = (n1) 强度条件 其中： （N/A）max max= max = N / A A N / N A 1 强度校核 2 截面设计 3 确定许用载荷 三类强度问题 l 纵向变形、虎克定律 E弹性模量 EA抗拉压刚度 EA Pl l P P l+ l 二、二、 拉压杆的变形分析拉压杆的变形分析 A1 A2 A3 P1 P2 P3 n i i EA Nl l 1 )( l xEA dxxN l )( )( P 横向变

4、形 泊松比 h- h b- b 横向应变： h h 或 b b 泊松比 l P P l+ l EEA N lEA Nl l l E E 正应变 应力应变关系 b h a p e b o s s d c b b e ？ e点为什么 下降？ 三、三、 材料在拉伸与压缩时的机械性质材料在拉伸与压缩时的机械性质 低碳钢拉伸 塑性指标 l 1 l A 1 A 延伸率延伸率%100 1 l ll 截面收截面收 缩率缩率 %100 1 A AA 塑性材料塑性材料%5 脆性材料脆性材料%5 0.2 塑性应变等于0.2 时的应力值0.2。 没有明显屈服阶段的塑性材料 条件屈服应力 1、变形极小，几乎没有塑性变形

5、， 横截面面积几乎没有变化； 2、没有 s，只有 b； 3 3、平断口，呈细颗粒状。 脆性材料 材料压缩时的机械性能 塑性材料 脆性材料 铸铁压缩 拉 压 一、连接件失效形式 剪断 挤压破坏 连接板拉断 P P 二、 剪切面和挤压面 mm 剪切面m-m截面 有可能发生剪切破坏的 截面。 剪力Q 剪切面上的内力。 P P P Q 剪切面面积A P P P 可以是平面或曲面。 挤压力Pbs 作用在接触面上的压力。 挤压面挤压力作用的接触面。 挤压变形在接触处产生的变形。塑性变形或压碎。 挤压面面积Abs P P P P P d t 有效挤压面积dt 挤压面 Pbs PP 双剪有两个剪切面 P P/

6、2 P/2 P Q Q Q=P/2 二个剪切面 三、实用计算及强度条件 实用计算 强度条件 剪切强度条件剪切强度条件 m=Q/Am m 剪断条件 m=Q/Am mu 挤压强度条件 bs=Pbs/Abs bs 1、假定剪切面上的应力分布规律； 2、确定破坏应力的试验，所用试件的形状及受力 情况与实际构件相似或相同。 一、 应力分析分析 1、几何关系 2、物理关系 3、平衡关系 P I T 扭转切应力 T T D d A dAI 2 P 圆截面 32 4 D )1 ( 32 4 4 D I P 圆环截面 极惯性矩计算 当当 max 时，时， max Wp 抗扭截面系数，单位：m3。 强度条件 T

7、p max max I T p W T max P max W T = d / D 对于实心圆截面 对于圆环截面 32 4 p D I 16 3 p D W )1 ( 32 4 4 p D I )1 ( 16 4 3 p D W p d d GI T x 二、 变形分析 单位长度扭转角 p GI Tl AB GIp：圆轴抗 扭刚度。 相对扭转角 xd d 刚度条件 p GI T 180 一、 纯弯梁横截面正应力分析 Z I yM zz W M I My max max 式中 max y I W z z M 当 y = ymax 有 两根对称轴截面 max max z h b y z I My

8、max max 当 y = y+max 有 一根对称轴截面 z I My max max 当 y = y -max 有 小曲率梁 当梁的跨高比 L / h5 的横力弯曲，误差 2， 因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横 截面上的正应力都可用下式计算 Z I My 二、纯弯正应力公式的推广 三、 弯曲切应力 z y y b h Q (y) 切应力公式 bI QS z z Az AySd 计算切应力截面 以外部分 面积A A 对中性轴 z z 的静矩 应力分布 z y b h Q A Q 2 3 max 88 2 1 2 max h db bh bI Q z dh Q 1 在腹板上，接近均匀

9、分布，可 近似计算为： z W M max M 矩形: 12 3 bh I z 6 2 12 2 3 max bh h bh y I W z z max max zh b y 四、弯曲强度计算 一、有两个对称轴 z W M max maxcmaxt 强度条件 Mmax 危险截面 max 危险点 41 64 4 D I z 6464 44 dD I z 实心圆 32 3 D Wz 空心圆 )1( 32 4 3 D Wz z y C D d z y D d 42 max y I W z z 箱形截面 2 1212 33 H bhBH )1 ( 6 3 32 BH bhBH B H z y h b

10、Z I yM maxmax max 注意：脆性材料不对称截面梁， tmax cmax， t c t 许用拉应力；c许用压应力 二、有一个对称轴 tmax t cmax c tmax cmax tmax cmax 强度条件 三、剪应力强度条件 z z Ib SQ maxmax max 一、 挠曲线近似微分方程 AB C P y x y z EI xM x y y )( d d 2 2 1.忽略剪力 Q 的影响； 2.材料服从虎克定律 3.小变形。 适用条件： AB 二、挠曲线大致形状 依据： 1. 约束条件； 2. 光滑连续特性； 3. 凹凸情况由 M 的方向确定。 P A B q CdxxMx

11、EIxyEI )()()( DCxdxdxxMxyEI)()( EI xM x y)( d d 2 2 当 EI 为常数时， 三、积分常数的边界条件和光滑连续条件 )()(xMxyEI 边界条件 x = 0 ，yA = 0 x = l ，yB = 0 x = 0 ，yA = 0 x = 0 ， A = 0 光滑连续条件 A 左= c A右 yc左 =yc 右 c 连续条件：连续条件： x = a , yB1= yB2 al y q 边界条件：边界条件： x = 0, yA = 0 x = 0, A = 0 x = a+l ， yC =lCD A B C D l x C 四、 叠加法计算梁的变形

12、 = yCP+ yCq AB q P yCP AB C P yCq C AB q yC q q A B aa C B yB A BC qa qa2/2 yBq C B q yB(qa+m) 逐段刚化法 yB= yB(qa+m)+ yBq 五、 梁的刚度校核 yy max max 求解静不定问题的关键求解静不定问题的关键 建立补充方程建立补充方程 AB q MA XA l YA RB 静不定问题的特点静不定问题的特点 未知力数目未知力数目 大于大于 全部独立方程数目全部独立方程数目 建立补充方程建立补充方程 静定基 相当系统 AB AB q RB 六、 简单静不定梁 选择静定基选择静定基 建立相

13、当系统建立相当系统 相当系统 AB q RB 建立变形协调方程建立变形协调方程 RB 引入物理方程引入物理方程 将物理方程代入变形协调将物理方程代入变形协调 条件得补充方程条件得补充方程 yB=yB(q)+yB(RB)=0 yB(q)=ql4 / 8EI yB(RB)= - RBl3 /3EI AB q yB(q) AB RB yB(RB) 0 38 34 EI lR EI ql B qlRB 8 3 yB=yB(q)+yB(RB)=0 讨论 静定基的选取 静定基 相当系统 AB AB q RB AB A= A(q)+ A(MA)=0 AB q MA 协调方程 AB q 1、应力的点的概念；

14、2、应力的面的概念； 3、应力状态的概念。 Mz 用微元及其各面上的 应力描述一点应力状态. 微元微元 平行两面对应应力数值相等。 各面应力均匀分布； 单元体 原始单元体 各个面上应力均 为已知的单元体。 y x z x y z xy yx yz zy zx xz 二、应力状态的分类 1 2 3 三向主应力状态 x y x y yx xy 单向应力状态单向应力状态纯剪应力状态纯剪应力状态 任意斜截面上的应力 x y xy yx x y xy x yx y x n t e d f 三、 平面应力状态分析解析法 2sin 2cos 22 xy yxyx 2cos2sin 2 xy yx yx xy

15、 2 2tg 0 ）、（ 2 00 ）、（ 00 22 22 min max ) 2 ( 2 xy yxyx 主应力、主平面与最大剪应力 x y xy x y max min 一点处有三个主应力，按代数 值大小排列分别记为 1，2， 3 321 极值剪应力 xy yx 2 2tg 1 2 ) 2 ( minmax 22 min max xy yx 4 01 yx xy 2 2tg 0 2 22 10 即剪应力极值面与正应力极值面相差450。 1 2 3 max min 2 minmax min max 2 31 13 2 32 23 2 21 12 2 31 max 四、 一点的最大切应力 y

16、xx E 1 xyy E 1 yxz E G xy xy x y xy yx 五、 复杂应力状态下应力应变关系 G xy xy G yz yz G zx zx x y z xy yz zx zyxx E 1 xzyy E 1 yxzz E 1 3211 1 E 1322 1 E 2133 1 E 2 3 1 无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应力达 某一到极限值，材料就会发生脆性断裂。 最大拉应力理论 1 2 3 u= b 强度条件: b 1 n 破坏原因： tmax （最大拉应力） 破坏条件： 1 1 u （第一强度理论） 六、 复杂应力状态强度条件 最大剪应力理论 （第三强度理论） 无论

17、材料处于什么应力状态，只要最大剪应力达 某一到极限值，就发生屈服破坏。 1 2 3 u= s 强度条件： n s 31 破坏原因： max 破坏条件: max = u 1 2 3 u= s 破坏原因：ud （形状改变比能） 强度条件： 破坏条件： s 2 13 2 32 2 21 )()()( 2 1 )()()( 2 1 s 2 13 2 32 2 21 n 形状改变比能理论（第四强度理论） 无论材料处于什么应力状态，只要形状改变比能 达到某一极限值，就发生屈服破坏。 相当应力 2 13 2 32 2 21r4 )()()( 2 1 三向近似等拉：第一理论 塑性材料：第三、第四理论 31r3

18、 1r1 强度条件的一般形式：ri 特殊情况： 一般情况： 强度条件的应用 脆性材料：第一理论 三向近似等压：第三、第四理论 方 法：叠加法 前提条件：1. 受力后材料变形服从虎克定律； 2. 小变形。 1、外力分析：分析构件由几种基本变形组成 2、内力分析：分析各基本变形的内力，确定危险截面 3、应力分析：分析危险截面的应力，确定危险点 4、应力状态分析：求出危险点的三个主应力。 5、强度分析：选择适当的强度理论，进行强度计算。 解题步骤 一、研究方法及解题步骤 1.1.外力分析：外力分析： z y Pz Py P x z y P 二、 斜弯曲 2 内力分析 x My PZL Mz PyL

19、x z z y Pz Py P x z y P L 3 应力分析 y z D1 D2 My D1 D2 Mz y z z y Pz Py P x z y P D1 D2 D1 max max D2 max max P x z y D1 D2 z z y y W M W M max max max 5、强度条件： z z y y W M W M max max max 4、应力状态分析： y z My Mz M cmax tmax 对圆截面 x y z N Mz N Mz z z I yM A P z z W M A P max min 三、 拉（压）弯组合 x y z My N Mz N My

20、 Mz z z y y I yM I zM A P z z y y W M W M A P max min x y z My 荷载荷载P 作用点：（作用点：（yp ,zp） x y z P P P x y z My P P Mz N = -P ，My =-Pzp，Mz=-Pyp 偏心压缩 1 x T p 1 W T y y x W M 1 危险截面 x y z My 1 2 p 2 W T y y x W M 2 2 四、 弯曲与扭转组合 1 2 1 2 22 3r 4 22 4r 3 强度条件 W M p W T Wp=2W W T 2 W TM 22 3r W TM 22 4r 75. 0

21、 22 3r TMM 22 4r 75. 0TMM W M r3 W M r4 T 双弯曲与扭转的组合 x y z My Mz M D1 D2 W TM 22 3r W TM 22 4r 75. 0 W TMM zy 222 W TMM zy 222 75. 0 T 弯曲、拉压与扭转的组合 x y z Mz N D1 D1 W M Z A N 22 3r 4 22 W T W M A N 22 4r 3 22 75. 0 W T W M A N 理想压杆： 材料理想；轴线直；压力沿轴线作用。 失稳特点： P S 失 稳： 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变。 一、压杆稳定概念 稳定平衡与不

22、稳定平衡 临界压力： 压杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向 载荷的极限值。 PPP P =1 =2 =0.5 =0.7 长度系数（或约束系数）。 l相当长度。 2 2 cr l EI P 二、 压杆的临界载荷 欧拉临界力 A I i 2 i l 2 2 cr E 压杆的柔度（长细比） 三、 临界应力与柔度 三类不同的压杆 临界应力 截面的惯性半径 2 2 cr E 或 三类不同的压杆三类不同的压杆 细长杆发生弹性失稳 2 min 2 cr L EI P P 中长杆发生弹塑性失稳（屈曲） 粗短杆 不发生失稳（屈曲），而发生屈服 cr a - b ；a , b 查表 (s p) (T2，T2=

23、1500N， =80Mpa, 试求：按照第三、第四强度理论设计轴直径d 解：解： n N m P x 9549 2 )( 2121 d TTmm xx x m d TT 2 )( 21 1、外力分析 mN716 100 5 . 7 9549 21 2 T d m T x N390015006 . 0/7162 N540015003900 21 TTTT BA 5.4kN 716Nm 5.4kN3.6kN1.8kN 6.52kN 1.12kN x y z CA D B 2、内力分析 5.4kN 716Nm 5.4kN3.6kN1.8kN 6.52kN 1.12kN x T 716Nm Mz 13

24、50Nm x 448Nm x My 1440Nm 危险截面：A T = 716Nm My =1440Nm Mz =448Nm r3 3r W M 3、根据强度条 件设计直径 r4 4r W M CA D B 5.4kN 716Nm 5.4kN3.6kN1.8kN 6.52kN 1.12kN x T 716Nm Mz 1350Nm x 448Nm x My 1440Nm 22 3r TMM 222 TMM zy 222 7164481440 mN1670 22 r4 75. 0TMM 222 75. 0TMM zy 222 71675. 04481440 mN1631 22 3r TMM 222

25、 TMM zy 222 7164481440 22 r4 75. 0TMM 222 75. 0TMM zy 222 71675. 04481440 W M r3 3r 32 3 r3 d M 3 6 3 r3 1080 167032 32 M d mm7 .59 3 6 3 r4 1080 163132 32 M d mm2 .59 mN1670 mN1631 l1 l1 l2 300 B AC D l1 l1 P 300 B A C 例 图示结构，材料图示结构，材料Q235钢，P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m， E=206GPa， nst=2.0， =160MPa P d=2

26、0mm No.14 分析：破坏方式 AB杆强度破坏 CD稳定性破坏 YA XA NCD 求：校核此结 构是否安全。 C D CD N CD N 解：1、外力分析 MA=0 X=0 XA+P cos 300 = 0XA=P cos300 Y=0 YA+NCDP sin300 = 0 22 P P P YA l1 l1 P 300 B A C YA XA NCD C D CD N CD N Psin300 2l1 NCD l1 =0 NCD =P =25 kN BA C Pcos300XA AB梁 N=P cos300 = 21.65 kN l1 l1 B A C Psin300 NCD 2 P

27、YA mkN63.15 25. 1 2 25 2 1max l P M 危险截面 C 截面 3、应力分析 拉弯组合 x M 1 2 l P N M E E 2、内力分析 危险点 E点点 4 3 105 .21 1065.21 6 3 10102 1063.15 MPaPa16310163 6 =160MPa MN max A N z W M 01875. 0 160 160163 5% 所以，此杆满足强度要求。 A、Wz查表 例：刚架ABC如图所示。已知材料的弹性模量E，截面面积A， 轴惯性矩I，各段长l，自由端受铅垂载荷P。 试求：计算P力作用点C 的铅垂位移 yC。 M1(x)= Px1

28、BC段 ( 0 x1 l) AB段( 0 x2 l) N2(x)= - PM2(x)= Pl 解：1、莫尔积分 1)( 0 2 xN P x1 l l P C B A x1 Q1(x) N1(x) x2 P Q2(x) N2(x) M2(x) x2 C C B M1(x) 1 0 1 )(xxM lxM)( 0 2 单位力作用下的内力方程单位力作用下的内力方程 M1(x)= Px1 BC段 ( 0 x1 l) AB段( 0 x2 l) N2(x)= - PM2(x)= Pl 1)( 0 2 xN l l P C B A x1 x2 1 0 1 )(xxM lxM)( 0 2 ABBCAB ll

29、l c EA xNN EI xMM EI xMM y ddd 0 22 0 22 0 11 lll EA xP EI xPl EI xPx 0 2 0 2 2 0 1 2 1 ddd EA Pl EI Pl EA Pl EI Pl EI Pl 3 4 3 333 讨论： 2 3 4 3 1 3 4 Al I EI Pl yc EA Pl EI Pl EA Pl EI Pl EI Pl yc 3 4 3 333 l=5d 的圆截面杆 1600 3 2516 1 4 3 )5( 4 64 4 3 4 3 2 2 4 2 d d d Al I 结论：轴力影响可不计 EI Pl lPl lPl EI

30、yc 3 4 ) 3 2 2 ( 1 3 2 2 3 2l x BCc P C B A 22 1 2 Pl lPl BC 2、图乘法 Pl Pl 1 C B A l l lx ABc 2 PllPl AB M1(x)= Px1 BC段 ( 0 x1 l) AB段( 0 x2 l) M2(x)= Pl 3、卡氏定理 1 1 )( x P xM P x1 l l P C B A x1 Q1(x) N1(x) x2 P Q2(x) N2(x) M2(x) x2 C C B M1(x) l P xM )( 2 EI Pl EI Pl EI Pl 3 4 3 333 ll c xl EI Pl xx EI Px y 00 1 1 dd EI Pl lPl EI yc 2 ) 2 1 0( 1 3 2 0 BCc x P C B A 22 1 2 Pl lPl BC 4、讨论：求C点水平位移 Pl Pl 1B C A l lx ABc 2 1 2 PllPl AB 解： 例例 图示结构，各杆图示结构，各杆 EI 相等，忽略轴力和剪力的影响。相等，忽略轴力和剪力的影响。