第五章补充_单自由度系统的振动

1、u 单自由度系统的单自由度系统的自由自由振动振动 u 单自由度系统的单自由度系统的强迫强迫振动振动 l 无阻尼 l 有阻尼 l简谐激励下的响应 l周期激励下的响应 l任意激励下的响应 0kxx m m k n m k fn 2 1 0 2 xx n ,)( st cetx 0 22 n s 得到得到: : 方程方程特征根特征根： n js 微分方程：微分方程： 无阻尼固有角频率；无阻尼固有角频率； 固有频率；固有频率； 解的形式：解的形式：其中其中c c、s s为常量。为常量。 特征方程：特征方程： k , 1 11 ts ecx 特征解：特征解： 根据根据线性系统叠加原理线性系统叠加原理，方

2、程的通解为两个特征解的线性叠加，方程的通解为两个特征解的线性叠加: : tsts ecectx 21 21 )( )sin()( 0 tAtx n 两个频率相同的简谐振动的合成仍然是一个简谐振动两个频率相同的简谐振动的合成仍然是一个简谐振动 ( (简谐振动的基本性质简谐振动的基本性质1 1) ) ,)0( 0 xx A A、0 0 由初始条件决定由初始条件决定 ： , 2 2 0 2 0 n x xA 0 0 0 arctan x x n ts ecx 2 22 0 )0(xx 习题习题 1 . 单单 摆摆 以角度为位移,建立运动方程，并求振动 固有频率。 O l m 2 . 升降机问题升降机

3、问题 T m v0 k 升降机箱笼质量为m，由钢丝绳牵挂 以速度v0向下运动，钢丝绳刚度系数 为k，质量不计。如果升降机紧急刹 车，钢丝绳上端突然停止运动。 （弹簧减振钩）（弹簧减振钩） 求此时钢丝绳受到的最大张力Tmax 0kxxcxm 微分方程：微分方程： ,)( st Aetx解的形式：解的形式： 0 2 kcsms特征方程：特征方程： 特征根：特征根： m k m c m c s 2 2, 1 22 令：令： ncr m c c c 2 为阻尼比，为阻尼比， ncr mkmc22 为临界阻尼系数。为临界阻尼系数。 1 2 2, 1 nn s 方程通解：方程通解：,)( 21 21 ts

4、ts eAeAtx 化简后：化简后： 对对范围分三种情况讨论：范围分三种情况讨论： （1 1）欠阻尼）欠阻尼 10 2 2, 1 1 nn js ),()( 21 tjtjt ddn eAeAetx 2 1 nd （有阻尼固有角频率）（有阻尼固有角频率） 利用欧拉公式：利用欧拉公式：),sincos()( 21 tctcetx dd t n c1=A1+A2 c2=j(A1-A2) 初始条件：初始条件： ， 0 )0(xx 0 )0(xx ， 01 xc dnx xc 002 系统响应：系统响应： tAet xx txetx d t d d n d t nn sin)sincos()( 00

5、0 系统响应为振幅按指数规律逐渐衰减的简谐振动。系统响应为振幅按指数规律逐渐衰减的简谐振动。 2 00 2 0 d nx x xA 00 0 arctan xx x n d t x O 欠欠 阻阻 尼尼 单单 自自 由由 度度 系系 统统 自自 由由 响响 应应 tAetx d t n sin)( Ae t n t d sin （2 2）临界阻尼）临界阻尼1 n s 2, 1 系统响应：系统响应： )()( 21 tccetx t n c1、c2由初始条件决定： ， 01 xc 002 xxc n )()( 000 txxxetx n t n 系统处于将要振动又未振动的临界状态。系统处于将要振

6、动又未振动的临界状态。( (无振动无振动) ) 2 2, 1 1 nn js （3 3）过阻尼）过阻尼1 ),()( 1 2 1 1 22 ttt nnn ececetx c1、c2由初始条件决定： ， 12 )1( 2 0 2 0 1 n nx x c 12 )1( 2 0 2 0 2 n nx x c 系统响应为一种振幅按指数规律衰减的非周期蠕动。系统响应为一种振幅按指数规律衰减的非周期蠕动。( (无振动无振动) ) 过过 阻阻 尼尼 单单 自自 由由 度度 系系 统统 自自 由由 响响 应应 t x O l 简谐激励下的响应 l 周期激励下的响应 l 任意激励下的响应 激励力： tFkx

7、xcxmsin 0 F = F0sint 微分方程： 解的形式：x(t) = x1(t) + x2(t) x1(t) 为强迫振动下系统的特解。 瞬态响应（通解） 0kxxcxm 在欠阻尼情况下的解。 为对应齐次方程 x2(t) 稳态响应（特解） )sincos()( 211 tataetx dd t n )sin()( 2 tXtx )Im()( 2 tj eXtx jj nn Xee k F jk F jm F X 222 0 2 0 22 0 )2()1 ( 1 21 1 2 1 )(频率比， n )( )2()1 ( 1 222 0 稳态响应振幅， k F X )( , 1 2 arct

8、an 2 稳态响应初始相位 其中 用复数法求解x2：令 代入微分方程tFkxxcxmsin 0 得： )sin(Im)Im()( )( 2 tXXeeXtx tjtj 简谐激励的稳态位移位移响应为： ) 2 sin()cos()( 2 tXtXtv 简谐激励的稳态速度速度响应为： )sin() 2 cos()( 22 2 tXtXta 简谐激励的稳态加速度加速度响应为： （2）响应的振幅及响应与驱动力的相位差与m、c、k、F0、 有关，与初始条件无关。 线性系统稳态强迫响应的特点：线性系统稳态强迫响应的特点： （1）响应是频率等于激励频率， 相位滞后于激励力的简谐振动。 频率比： n 位移振幅

9、放大因子： 222 0)2()1 ( 1 )( kF X kF0 系统在静态力F0作用下的静态位移。 X系统在动态力 F0sint 作用下的动态振幅。 振幅放大因子振幅放大因子 与 极值条件极值条件讨论讨论: 其中： l 振幅放大因子 由于位移、速度和加速度的振幅X、X、 2X 是随着频率比而变化的，因此 2 21即 此时位移响应出现最大振幅，位移发生共振。 nn 2 21 （1） 位移幅值X极值条件为: 0)2()1( )1 ( 222 d d d Xd （可通过（可通过 1/X 的的极值条件求得）极值条件求得） 位移位移共振频率为： l 极值条件 最大振幅为最大振幅为为： 2 0 12 X

10、 X kFX 00 222 0 )2()1( 1 k F X 此时速度响应出现最大振幅，速度发生共振。 n （2） 速度幅值X极值条件 同理可以求得，速度同理可以求得，速度共振频率为： 此时加速度响应出现最大振幅，加速度发生共振。 2 21 n （3） 加速度幅值 2X极值条件 加速度加速度共振频率为： 最大振幅为最大振幅为为： 2 0 V V 00 XV 最大振幅为最大振幅为为： 2 0 12 A A 0 2 0 XA n 012345 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 速度速度V 位移位移X 加速度加速度A 2 21 n 2 21 n 位移速度加速度的幅频图位移速度加速度的

11、幅频图 简谐激励下的响应 ： 初始条件：， 0 )0(xx 0 )0(xx 得到： sin 01 Xxa d n d X xx a )cossin( 0n0 2 )sin()sincos()( 21 tXtataetx dd t n （强迫振动，稳态振动）（强迫振动，稳态振动） )sincos(e x(t) 0n0 0 - n t xx tx d d d t 单自由度强迫振动响应： sin)cossin(cossine n - ttX d d n d t )sin(tX （自由伴随振动，瞬态振动）（自由伴随振动，瞬态振动） （自由振动，瞬态振动）（自由振动，瞬态振动） 单自由度强迫振动响应特征

12、： （1 1）响应由三部分组成，自由振动和自由伴随振动由于存）响应由三部分组成，自由振动和自由伴随振动由于存 在阻尼，逐渐衰减，是瞬态过程。强迫振动是等幅与在阻尼，逐渐衰减，是瞬态过程。强迫振动是等幅与 激振力同频的稳态响应。激振力同频的稳态响应。 （2 2）响应由初始条件发展到完整受迫振动的阶段称为）响应由初始条件发展到完整受迫振动的阶段称为过渡过程过渡过程。 阻尼越大，过渡过程持续时间越短。阻尼越大，过渡过程持续时间越短。 瞬态响应（即过渡阶段）时间的长短主要决定于阻尼 的大小。阻尼小时，瞬态振动衰减的时间就长。瞬态 振动结束后，系统只做稳态振动。 以下讨论阻尼比0的情况。 当0，则稳态响

13、应初相0，由全响应公式得： )sin(sin )1 ( sincos)( 2 00 0 tt k F t x txtx nn n n 当初始条件0, 0 00 xx时，有： )sin(sin )1 ( )( 2 0 tt k F tx n 可见，即使初始条件为零，仍存在与稳态振动相伴的自由振动。 稳态振稳态振 动动 自由振自由振 动动 当激振力频率与固有频率接近，令：,2 nn 为一小量。 tt k F tt k F tx nn nn cos 2 cossin 2 )( 0 0 )sin(sin )1 ( )( 2 0 tt k F tx n 即出现“拍”的现象。 c 习题习题 4 . 旋转机

14、械振动问题旋转机械振动问题 e M(旋转机械质量) k m(偏心质量) t x 分析旋转机械由于转子的 偏心而导致的稳态振动。 偏心距为e，转子的角速度 为。 在许多工程实际情况中,系统受到的激励来 自基础或支承的运动。例如： n 车辆在不平路面上行驶时的车体振动； n 车体振动引起车内仪表和电子设备的振动； n 地震引起的建筑物振动。 （相对速度相对速度） m c k x xs 例题例题: 支承端的运动：taxssin 求系统的微分方程及稳态解。 解：解： 系统的微分方程为： 0)()( ss xxkxxcxm （相对位移相对位移） x是相对地球坐标系的，但是求弹簧力和阻尼力必须用 相对坐标

15、。 将 xs=asint 代入化简得到： tcatkakxxcxmcossin （激励力激励力） 表明由于支承运动使质量受两部分激励力的作用： 一部分是通过弹簧传递过来的力 kxs，相位与xs相同； 另一部分由阻尼器传递过来的力 ，相位比xs超前 。s x c 2 )sin(cossintBtcatkakxxcxm k c cakaB arctan,)()( 22 激励为幅值为B，角频率为的简谐力。 系统的稳态响应为： )sin()sin( )2()1 ( )2(1 )( 21 222 2 tAtatx s 其中：, 1 2 arctan 2 1 ,2arctan 2 , 21 222 2 )

16、2()1 ( )2(1 aAs nn m c , 2 0123 0 1 2 3 4 5 2 d T 讨论讨论: 绝对运动传递率绝对运动传递率系统绝对运动的振幅 As 与基础 运动的振幅 a 之比。 222 2 )2()1 ( )2(1 a A T s def d 01. 0 1 . 0 2 . 0 707. 0 绝对运动传递率幅频特性曲线 特点 1.在低频段（在低频段（011）有）有 系统的运动接近于基础运动，系统的运动接近于基础运动， 它们之间基本上没有相对运动它们之间基本上没有相对运动 0, 1 dd T 2.在共振频段（在共振频段（1 1）附近有）附近有 峰值，基础运动经弹簧和阻尼峰值，

17、基础运动经弹簧和阻尼 器放大后传递到系统。器放大后传递到系统。 3.不同阻尼比的幅频特性曲线不同阻尼比的幅频特性曲线 都在都在 时，时， 。 2 1 d T 4.在高频段（在高频段（ ）,Td00， 说明基础运动被弹簧和阻尼器说明基础运动被弹簧和阻尼器 隔离了隔离了。 2 通过弹性支撑减少基础传到设备的振动幅值。 通过弹性支撑来隔离振源传到基础的力。 （简称隔振）研究物体之间振动的 传递关系，减少相互间所传递的振动量。 振动隔离 分 类 隔力 隔幅 m ck x f0sint 隔 力 m ck x xs 隔 幅 (1) 隔力问题隔力问题 应用例子：飞机、汽车等运载工 具的发动机是一个振源，将发

18、动 机通过隔振器安装在运载工具上， 减少它的激振力。 m ck x f0sint 隔 力 隔振器传递到刚性基础的弹性力和阻尼力分别为： )sin()( dd tkBtku )cos()( dd tBctuc 合力幅值为： 222 2 0 22 )2()1 ( )2(1 )( fckBf d 力传递率经过激振器传到基础的力幅 f 与激励幅值 f0 之比。 222 2 0 )2()1 ( )2(1 f f T def f 注：与基础简谐激励下系统绝对运动的传递率Td 形式完全相同。 当 时，Tf 1，弹性支撑具有隔力效果。2 (2) 隔幅问题隔幅问题 m k x xs=asint 隔 幅 c 应用

19、例子：飞机、直升机等运载 工具的仪表和电子设备安装在机 身上，当机身发生振动时会导致 它们的振动。 一般在机身和仪表盘之间配置隔振 器，以降低仪表的振动。 由绝对运动传递率知道： 当 时，Td 1，弹性支撑才具有隔幅效果。2 0123 0 1 2 3 4 5 d T 01. 0 1 . 0 2 . 0 707. 0 2 结论结论:不论是隔力还是隔幅，只有当 时，才具 有隔振效果。 2 隔振器刚度系数k应满足： 2 2 1 n m k 阻尼条件： 当 时，由曲线看出， 阻尼越小传递率越低，隔振效 果越好。 2 但为减少系统通过共振区的振幅，必须配置适当的阻尼。 隔振区隔振区 共振区 由于阻尼比

20、一般很小，在高频段（ ）, 传递率 Tf 或 Td 可近似为： 2 1 1 )2()1 ( )2(1 2222 2 df TT 某直升机旋翼额定转速n=360r/min ， 为使机身上电子设备隔振效果达到 Td=0.2 ， 求隔振器弹簧在设备自重下的静变形 。 s 例题例题: ) 1 1 ( 2 d s T g 隔振器弹簧静变形：隔振器弹簧静变形： ) 1 1 ( 2 d s T g 讨论讨论: 软弹簧带 来的问题 隔振系统侧向稳定性差。 低频隔振始 终是工程实 践中的难题 对于低频隔振，很小，即 , 2 n m k 因此 k 应很小，即弹簧必须很软。 隔振系统要有足够大的 静变形空间 （很小

21、，则s很大） 在工程实际中，一种最常见的激 励方式是非简谐的周期激励。比如汽 车的发动机的激励、旋转机械产生的 激励力都是周期的。 谐波分析法：就是将周期激励F(t)展开成无穷多个简谐激励 叠加形式，然后根据线性系统的叠加原理求系统的响应。 m k x c F (t)周期函数 周期激励下的响应通常指稳态响应， 可用谐波分析法研究。 1 1 0 1 11 0 )sin( 2 )sincos( 2 )( n nn n nn tnf a tnbtna a tF 周期信号周期信号F F( (t t) )的的FourierFourier级数展开：级数展开： )(tFkxxcxm 系统微分方程为：系统微分

22、方程为： 1 1 0 )sin( 2 n nn tnf a kxxcxm 所以微分方程为：所以微分方程为： 其中，1及系数a0、an、bn、fn、n的含义与前面的相同。 1 10 )sin(x(t) n nnn tnBB n 1 m k n n m c 2 由线性系统的叠加原理得到单自由度系统周期激励下由线性系统的叠加原理得到单自由度系统周期激励下稳稳 态响应态响应为：为： 其中， （利用简谐激励稳态响应公式的叠加）（利用简谐激励稳态响应公式的叠加） ), 2 , 1 , 0( )2()1 ( 2222 n nnk f B n n ), 3 , 2 , 1( 1 2 arctan 22 n n

23、 n n 00.511.5 -150 -100 -50 0 50 100 x B1 B2 B3 由以上推导可见，非简谐周期激励作用下系统的稳态响应由以上推导可见，非简谐周期激励作用下系统的稳态响应 具有以下特点：具有以下特点： 响应是周期振动，其周期等于激振力的周期T； 响应由激振力各次谐波分量分别作用下的稳态响 应叠加而成； 稳态响应中，频率最靠近固有频率的谐波最大，在 响应中占主要成分；频率远离固有频率的谐波很小， 在响应中占次要成分。 凸轮以等角速度转动，顶杆运动 规律为y(t)。系统刚度为 k=k1+k2，求非简谐 周期激励的响应。 例题例题: 激振力为 Q(t) = k2 y，为周期

24、函数，可 以展开为谐波级数激励的形式。 m k1 x c k2 y ykxkkxcxm yxkxkxcxm 221 21 )( 0)( y t0 A 2 4 6 8 系统微分方程： )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin 2 )( 22 ttt AkAk tQ 利用叠加原理，系统的响应为各个谐波响应的叠加。 n i i ti iii kk Ak tx 1 2222 21 2 )sin( )2()1 ( 11 2 1 )( y t0 A 2 4 6 8 激 励 力 分 解 0246810 6 8 10 0246810 -5 0 5 0246810 -5 0 5 0246810 -2 0

25、2 0246810 0 10 20 Q(1) Q(2) Q(3) Q(4) Q 响 应 分 解 0246810 -2 0 2 0246810 -0.2 0 0.2 0246810 -0.2 0 0.2 0246810 -0.1 0 0.1 0246810 -1 0 1 x(1) x(2) x(3) x(4) x 无始有终无始有终： 非周期性的任意激励情况： 有始有终有始有终： 有始无终有始无终： 这三种形式的激励具有瞬时性，没有周期性，称为瞬态激励。 瞬态激励下系统没有稳态振动，只有瞬态振动。 当激励消失后，系统按固有频率做自由振动。 这两种振动合称为系统对任意激励的响应。 如武器发射，飞机着陆。 系统上突然施加的一个常力。 系统上施加的一个常力突然卸载。 合成 （脉冲