材料力学复习总结.

1、第一部分第一部分 杆件的强度与刚度杆件的强度与刚度 下面框图表示了求解过程：下面框图表示了求解过程： 杆件的强度与刚度杆件的强度与刚度 包括了基本变形与组合变形包括了基本变形与组合变形 1. 内力的概念内力的概念 2. 内力的计算方法内力的计算方法 3. 内力图作法内力图作法 一、内力一、内力 物体受外力作用，物体内各部分之间因相对位置的物体受外力作用，物体内各部分之间因相对位置的 变化而引起的相互作用变化而引起的相互作用. . 必须必须注意：注意： 1 1 内力不是物体内各质点间相互作用力内力不是物体内各质点间相互作用力. . 2 2 内力是由外力引起的物体内部各部分之间附加相互内力是由外力

2、引起的物体内部各部分之间附加相互 作用力，即作用力，即 附加内力附加内力. . 3 3 作用在截面上的内力是一连续的分布力系作用在截面上的内力是一连续的分布力系. 通常杆件的内力有6个分量，它们是轴力 FN、剪力Fsy、Fsz，扭矩T和弯矩My、Mz 等，称之为内力分量，如图所示。 应用截面法应用截面法 符号规定：拉伸为正，压缩为负符号规定：拉伸为正，压缩为负. 轴向拉伸轴向拉伸一个内力参数：轴一个内力参数：轴 力力 PP PFN P FN FN = PFN = P 扭转变形 Tm 一个内力参数：一个内力参数：扭扭 矩矩 m m m T m T 扭矩扭矩T T的符号规定的符号规定： mT n

3、n m T m T 弯曲变形 ab l x P AB 弯曲变形有几个内力参数？弯曲变形有几个内力参数？ 弯曲变形有弯曲变形有两两个内力参数：个内力参数： 剪力剪力Fs和弯矩和弯矩M RA RlP b A RB R P b l A l aP R B MRx P bx l A a b l x P RA RB x M M P AB 1、求支反力、求支反力 2、1-1面上的内力面上的内力 1 1 Fs Fs Fs = RA = P b l 剪力符号规定：剪力符号规定： 弯矩符号规定：弯矩符号规定： 左上右下为正左上右下为正 下侧受拉下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆上凹下凸、左顺右逆)为正为正 或使该段梁顺

4、或使该段梁顺 时针转动为正时针转动为正 MMMM Fs Fs FsFs 1、轴力、轴力方程、轴力图、轴力、轴力方程、轴力图 （1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图轴力图。 150kN100kN 50kN （2）轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。轴力图中：横坐标代表横截面位置，纵轴代表轴力大小。 标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。标出轴力值及正负号（一般：正值画上方，负值画下方）。 （3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。 FN + - -

5、 例例 作图示杆件的轴力图，并指出作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max I I II II | FN |max=100kN FN2= - -100kN 100kN II II FN2 FN1=50kN I FN1 I 50kN 50kN 100kN 2 2、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 1.横截面上的内力：横截面上的内力：扭矩扭矩(MT) 2.扭矩图扭矩图：与轴力图作法完全相同：与轴力图作法完全相同(纵坐标改为扭矩大小纵坐标改为扭矩大小)。 例二例二 计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。计算例一中所示轴的扭矩，并作扭矩图。 MA MBMC BC A D MD 解：已知解：已知 mN637

6、 mN5 .477 mN1592 D CB A M MM M 477.5Nm 955Nm 637Nm MT + - 作扭矩图如左图示。作扭矩图如左图示。 )( )( SS xMM xFF 1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线 方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。 例例1 作图示悬臂梁作图示悬臂梁AB的的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 - - FxxM FxFs )( )( 剪力、弯矩方程：

7、x Fs F Fl M FlM FFs max max | | F l A B Fs M 2 ql FF BA 由对称性知： - - 222 )( 2 )( 22 A A qxqLxqx xFxM qx ql qxFxFs 8 2 2 max max ql M ql F s 例例2 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪的作用，作该梁的剪 力图和弯矩图。力图和弯矩图。 F s l A B x 解：解： 1、求支反力、求支反力 FA FB 2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程 2/ql 2/ql 8/ 2 ql 例例3 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处

8、作用一集中力点处作用一集中力F，作作 该梁的剪力图和弯矩图。该梁的剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪 力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突 变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。 F a b C l A B 解：解： 1、求支反力、求支反力 l Fa F l Fb F BA ； 2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程 ax l Fbx xFxM ax l Fb FxF AC段 s 0)( 0)( : A A

9、x FA FB - - - lxaxl l Fa xlFxM lxa l Fa FxF CB段 s B B )( )( : Fs lFb/ lFa/ M lFab/ 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯在集中力偶作用点，弯 矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例例4 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力偶点处作用一集中力偶M ，作该梁的剪力图和弯矩图。作该梁的剪力图和弯矩图。 a b C l A B M 解：解： 1、求支反力、求支反力 l M F l M F BA -； 2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和

10、弯矩方程 ax l Mx xFxM ax l M FxF AC段 s 0)( 0)( : A A x FA FB - - - lxaxl l M xlFxM lxa l M FxF CB段 s B B )( )( : Fs lM / M lMa/ lMb/ x Fs F Fl M F l A B a b C l A B Mx FA FB Fs lM / M lMa / lMb / F ab C l A B x FA FB Fs lFb / lFa / M lFab / Fs M F s l A B x FA FB 2/ql 2/ql 8/ 2 ql 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系载荷集度、剪力

11、和弯矩的微分关系: : d) d () Fs( x x qx d() d ) Mx x Fs( x d() d d) d () 2 2 Mx x Fs( x x qx 剪力图和弯矩图是内力图的难点和重点剪力图和弯矩图是内力图的难点和重点 1. 应力的概念应力的概念 2. 应力的计算方法应力的计算方法 3. 强度条件强度条件 F F 1 1 2 2 1 1 2 2 假设：假设： 平面假设平面假设 横截面上各横截面上各 点处仅存在正应点处仅存在正应 力并沿截面均匀力并沿截面均匀 分布分布。 ：横截面面积 ：横截面上的轴力 A F A F A F N N 拉应力拉应力为为正正， 压应力压应力为为负负

12、。 对于等直杆对于等直杆 当当有多段轴力有多段轴力时，最大轴力所对应的时，最大轴力所对应的 截面截面-危险截面。危险截面。 危险截面上的正应力危险截面上的正应力-最大工作应力最大工作应力 A F max,N max FN F F N F 一、轴向拉压杆横截面上的应力一、轴向拉压杆横截面上的应力 A FN max max 根据强度条件可进行强度计算：根据强度条件可进行强度计算： 强度校核强度校核 (判断构件是否破坏判断构件是否破坏) 设计截面设计截面 (构件截面多大时，才不会破坏构件截面多大时，才不会破坏) 求许可载荷求许可载荷 (构件最大承载能力构件最大承载能力) n u -许用应力许用应力

13、u- 极限应力极限应力 FN-安全因数安全因数 强度条件强度条件 拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件 max N max )( A F N A F 1.1.由由 校核杆件的强度；校核杆件的强度； N F A2.2.由由 设计截面的尺寸；设计截面的尺寸； N AF 3.3.由由 确定许可载荷。确定许可载荷。 ：点到截面形心的距离 ：横截面上的扭矩 T I T p t W T I Tr p max r I W p t 二、圆轴横截面应力与强度二、圆轴横截面应力与强度 1)横截面上任意点：横截面上任意点： 2)横截面边缘点：横截面边缘点： 其中：其中： max d/2 O T 抗扭截面系数抗扭

14、截面系数 32 4 p d I 16 3 d Wt )1 ( 3232 4 4 44 p - D dDI)1 ( 16 4 3 - D Wt max D/2 O T d/2 空心圆空心圆实心圆实心圆 强度条件强度条件 强度条件强度条件： ， 许用切应力许用切应力； t max ma W T x 根据强度条件可进行：根据强度条件可进行： 强度校核强度校核; 选择截面选择截面; 计算许可荷载。计算许可荷载。 1 max Z M y I yyy 12 max 当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时： 2 max Z M y I - maxmaxmax - M WZ max max M

15、 y I Z 三、（三、（1）梁的弯曲正应力及强度条件）梁的弯曲正应力及强度条件 WWz z：抗弯截面系数（模量）抗弯截面系数（模量） W I y z z m ax 公式适用条件：公式适用条件： 1 1）符合平面弯曲条件）符合平面弯曲条件( (平面假设，横截面具有一对称轴）平面假设，横截面具有一对称轴） 2 2）p p( (材料服从胡克定律）材料服从胡克定律） 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形， 使横截面发生翘曲，不再保持为平面。使横截面发生翘曲，不再保持为平面。 弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于弹性力学精确分析结果指

16、出：当梁的跨高比大于5时，切应时，切应 力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此 由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的 梁中，误差不超过梁中，误差不超过1% %。 横力横力弯曲时，弯矩不再是常量。弯曲时，弯矩不再是常量。 ( ) z M xy I 梁的正应力梁的正应力 tt max max 等直梁等直梁 max max z M W 对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用 弯曲拉应力和许用弯曲压应

17、力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。 请注意：请注意：梁的最大工作拉应梁的最大工作拉应 力和最大工作压应力有时并不力和最大工作压应力有时并不 发生在同一截面上。发生在同一截面上。 cc max 三三. .（2 2）梁的弯曲）梁的弯曲 maxmax max SZ Z FS I b 等直等直梁梁： max :许用剪应力 注意： maxmaxS MF与不一定在同一截面上 梁的抗弯强度条件梁的抗弯强度条件 梁的弯曲正应力强度条件梁的弯曲正应力强度条件 等截面直梁 W M max max 变截面梁 max max W M 注意：如 tc tt max cc max 分别是梁内的 最大弯曲拉应

18、力与最大弯 曲压应力。 maxmaxct 、 梁的弯曲切应力强度条件：梁的弯曲切应力强度条件： 截面直梁 bI SF z z * maxsmax max 变截面梁 max z * maxs max bI SF z 强度计算： 强度校核、确定许可载荷、设计截面尺寸。 在以下几种特殊情形下，应校核梁的切应力：在以下几种特殊情形下，应校核梁的切应力： 1)1)梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时。梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时。 2)2)在焊接或铆接的组合截面钢梁中，当其横截面腹在焊接或铆接的组合截面钢梁中，当其横截面腹 板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时。板部分的宽度与梁高之比小

19、于型钢截面的相应比值时。 3)3)木梁，木材在其顺纹方向的抗剪强度较差，在横木梁，木材在其顺纹方向的抗剪强度较差，在横 力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性 层发生剪切破坏。层发生剪切破坏。 四、剪切和挤压的实用计算四、剪切和挤压的实用计算 剪力剪力 Fs = P 式中， Fs 为受剪面上的剪力 为受剪面的面积。 A 假设受剪面上各点的切应力相假设受剪面上各点的切应力相 等，则受剪面上的等，则受剪面上的为为 P P m m mm P (b) Fs 剪切面剪切面 铆钉剪切应力铆钉剪切应力 A F s 1、剪切、剪切 剪切的强度剪切的强度条件

20、为条件为 A F s P P m m mm P (b) Fs 剪切面剪切面 为材料的许用切应力。且 n u 极限切应力 安全系数 螺栓与钢板相互接触的侧面上，发螺栓与钢板相互接触的侧面上，发 生的彼此间的局部承压现象，称为挤生的彼此间的局部承压现象，称为挤 压。压。 2 2、挤压、挤压 在接触面上的压力， 称为挤压力， 并记为 Pbs 。 PP P P 挤压面 受剪 面 挤压破坏的两种形式 （1）螺栓压扁 （2）钢板在孔缘压皱 在挤压实用计算中，假设名义挤压应力的计算式为 A P bS bS bS Abs为计算挤压面的面积 Pbs为接触面上的挤压力 d h 挤压现象的实际受力如图 c 所示。

21、图图 c A P bS bS bS 1 1、当接触面为圆柱面时、当接触面为圆柱面时, , 计算挤压面积计算挤压面积 A Abs bs 为实际接 为实际接 触面在直径平面上的投影面触面在直径平面上的投影面 积积 hd AbS 实际接 触面 直 径 投 影 面 铆钉挤压铆钉挤压 (b) P P 2 2、当连接件与被连接的接触面为平面时、当连接件与被连接的接触面为平面时, , 计算挤压计算挤压 面面积面面积A Abs bs 就是实际接触面的面积 就是实际接触面的面积，如图如图b b所示。所示。 杆杆原长原长为为l，直径为，直径为d。受一对轴向拉力受一对轴向拉力F的作用，发生的作用，发生 变形。变形后

22、杆长为变形。变形后杆长为l1，直径为直径为d1。 其中：其中：拉应变拉应变为正，为正， 压应变压应变为负。为负。 l l l ll - 1 1、纵向应变、纵向应变： 3.研究一点的线应变：研究一点的线应变： 取单元体积为取单元体积为xyz xx xx x x d d lim 0 该点沿该点沿x轴轴方向的线应变为：方向的线应变为： x方向原长为方向原长为x，变形变形 后其长度改变量为后其长度改变量为x 一、轴向拉（压）杆的变形一、轴向拉（压）杆的变形 胡克定律胡克定律 O x y z x 2.横向应变横向应变： d d d dd - 1 纵向和横向应变纵向和横向应变 若为矩形截面，边长分别若为矩

23、形截面，边长分别h与与b 则横向应变则横向应变： b b h h 横向横向应变与纵向应变之比为一常数应变与纵向应变之比为一常数 -称为称为泊松比泊松比 - E - 胡克定律胡克定律 EA lF EA Fl l N 其中：其中：E-弹性模量，单位为弹性模量，单位为Pa; EA-杆的抗拉（压）刚度。杆的抗拉（压）刚度。 胡克定律的另一形式：胡克定律的另一形式： E 4.4.横向应变与纵向应变的关系横向应变与纵向应变的关系 计算目的计算目的：刚度计算、为解超静定问题作准备。：刚度计算、为解超静定问题作准备。 l l x GI T 0 p dd相对扭转角相对扭转角： GIp抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗

24、扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 刚度条件刚度条件 180 max max GI T 其中：其中： ， ，许用扭转角， 许用扭转角， 取值可根据有关设计标淮或规范取值可根据有关设计标淮或规范 确定。确定。 二、二、圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度条件刚度条件 单位长度的扭转角单位长度的扭转角： p d d GI T x p GI lT rad rad/m x GI T dd p x GI T l d p p d d GI T x d 一、单位长度相对扭转角 相对扭转角 N F l l EA 比较拉压变形比较拉压变形： 公式适用条件：公式适用条件： 1、当、当p（剪切比例极

25、限）公式才成立剪切比例极限）公式才成立 2、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立）、仅适用于圆杆（平面假设对圆杆才成立） 4、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算、对于小锥度圆杆（截面缓慢变化）可作近似计算 3、扭矩、面积沿杆轴线不变化（、扭矩、面积沿杆轴线不变化（T、Ip为常量）为常量） P GI 称为抗扭刚度称为抗扭刚度 p GI Tl constT则若, 若圆轴的(T/GIP) 分段为常数，其两端面间的 相对扭转角为 pii ii i IG lT 除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其 正常工作。正常工作。 在工程中，通常

26、对梁在工程中，通常对梁 的的挠度挠度加以控制，例如：加以控制，例如： 1000 1 250 1 l w 梁的梁的刚度条件刚度条件为：为： max max l w l w 通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄 时，刚度条件也起控制作用。时，刚度条件也起控制作用。 三、梁的刚度校核三、梁的刚度校核 1000 250 ll w 或 1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。 B A B1 F

27、 x w y x 2.梁位移的度量：梁位移的度量： 挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正，向上的挠度为正 转角转角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度 ，逆时针转动为正，逆时针转动为正 挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x) 转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系 )( d d tanxf x w 图中图中 与与w的正负？的正负？ 梁的挠曲线梁的挠曲线 积分法求梁的挠曲线积分法求梁的挠曲线 挠曲线方程。 转角方程； 再积分一次 积分一次 21 1 )( )(

28、CxCdxdxxMEIw EICdxxMEIw 2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件: )(xMwEI 1. 式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 1) 支承条件：支承条件： 2) 连续条件：连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的挠曲线是光滑连续唯一的 - - CxCxCxCx vw|， y 0w y 0w y 0; 0ww l l y lw F AB C 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷当梁上同

29、时作用几个载荷时，各个载荷 所引起的变形是各自独立的，互不影响。所引起的变形是各自独立的，互不影响。 若计算几个载荷共同作用下在某截面上引若计算几个载荷共同作用下在某截面上引 起的变形，则可分别计算各个载荷单独作起的变形，则可分别计算各个载荷单独作 用下的变形，然后叠加。用下的变形，然后叠加。 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移 第二部分第二部分 应力状态与强度理论应力状态与强度理论 一点一点的应力状态的应力状态 1.一点的应力状态一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面通过受力构件一点处各个不同截面 上的应力情况上的应力情况。 2.研究应力状态的目的研究应力状态的目的：找出该点的最大正应

30、力和切应力：找出该点的最大正应力和切应力 数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。析。 一、一、应力状态应力状态的概念的概念 研究研究应力状态的方法应力状态的方法单元体法单元体法 1.单元体单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。：围绕构件内一所截取的微小正六面体。 x O z y dz dx dy X Y Z O y y z z zy yz yz zy yx yx xy xy x x zx xz zx xz （1）应力分量的）应力分量的角标规定角标规定：第一角标表示应力作用面，第二：第一角标表示应力作用面，第二 角标

31、表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。 （2）面的方位用其法线方向表示）面的方位用其法线方向表示 yxxyxzzxzyyz ， 3.截取原始单元体的方法、原则截取原始单元体的方法、原则 用三个坐标轴在一点截取，因其微小，统一看成微小正用三个坐标轴在一点截取，因其微小，统一看成微小正 六面体六面体 单元体各个面上的应力已知或可求；单元体各个面上的应力已知或可求； 几种受力情况下截取单元体方法：几种受力情况下截取单元体方法： 2.单元体上的应力分量单元体上的应力分量 平面应力平面应力分析的解析法分析的解析法 1.平面应力状态图示：平

32、面应力状态图示： 二、二、平面应力平面应力状态下的状态下的应力研究应力研究 y yx xy x x x xy y y x yx 2.任意任意 角斜截面上的应力角斜截面上的应力 x xy y y x yx A B x y n t x xy yx y x dA x y xy yx - - - 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 符号规定：符号规定： 角角以以x轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负轴正向为起线，逆时针旋转为正，反之为负 拉为正，压为负拉为正，压为负 使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负使微元产生顺时针转动趋势者为正，反之为负 3.主应力及其

33、方位：主应力及其方位： 由主平面定义，令由主平面定义，令 =0，得：，得： yx xy - - 2 2tan 0 可求出两个相差可求出两个相差90o的的 0值，对应两个互相垂直主平面。值，对应两个互相垂直主平面。 令令 0 d d yx xy - - 2 2tan 0 得：得： 即主平面上的正应力取得所有方向上的即主平面上的正应力取得所有方向上的极值极值。 主应力大小：主应力大小： )( 22 2 2 min max - xy yxyx 由由 、 、0按代数值大小排序得出：按代数值大小排序得出： 1 2 3 判断判断 、 作用方位作用方位(与两个与两个 0如何对应如何对应) xy箭头指向第几象

34、限箭头指向第几象限 (一、四一、四)，则，则 (较大主应较大主应 力力)在第几象限，即先判断在第几象限，即先判断 大致方位，再判断其与大致方位，再判断其与 算得的算得的 0相对应，还是与相对应，还是与 0+90o相对应。相对应。 o 90yx xy 0 * x y 0 * 4.极值切应力：极值切应力： 令：令： ，可求出两个相差，可求出两个相差90o 的的 1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。，代表两个相互垂直的极值切应力方位。 0 d d xy yx 2 2 1 - tan 极值切应力：极值切应力： 2 2 2 xy 2 yx - - - - 1 0 2 1 2 tg -tan (极值切应

35、力平面与主平面成极值切应力平面与主平面成45o) 2 31 - max 实际计算中应用公式为 主应变主应变：沿主应力方向的应变，分别用：沿主应力方向的应变，分别用 1 2 3表示；表示； 正应力只引起线应变，切应力只引起剪应变；正应力只引起线应变，切应力只引起剪应变； - - - )( 1 )( 1 )( 1 2133 1322 3211 E E E 以主应力表示以主应力表示 - - - GGG E E E zxzxyzyzxyxy yxzz xzyy zyxx / )( 1 )( 1 )( 1 ， 二、二、广义胡克定律广义胡克定律 一般情况一般情况 - - - )( ) 1 1 213 12

36、2 211 E E E （ ）（ 以主应力表示以主应力表示 - - - G E E E xyxy yxz xyy yxx / )( ) 1 ) 1 （ （ 一般情况一般情况 若为平面应力状态若为平面应力状态 第第4强度理论强度理论 形状改变形状改变 比能理论比能理论 第第1强度理论强度理论 最大拉应最大拉应 力理论力理论 第第2强度理论强度理论 最大伸长最大伸长 线应变理论线应变理论 11 r 3212 - - r 第第3强度理论强度理论 最大剪应最大剪应 力理论力理论 313 r - - 2 13 2 32 2 214 2 1 - r 第一类强度理论第一类强度理论 （脆断破坏的脆断破坏的 理

37、论）理论） 第二类强度理论第二类强度理论 （屈服失效的屈服失效的 理论）理论） 强度理论的分类及名称强度理论的分类及名称 相当应力表达式相当应力表达式 按某种强度理论进行强度校核时，按某种强度理论进行强度校核时， 要保证满足如下两个条件要保证满足如下两个条件: 1. 所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏所用强度理论与在这种应力状态下发生的破坏 形式相对应形式相对应; 2. 用以确定许用应力用以确定许用应力 的的,也必须是相应于该破也必须是相应于该破 坏形式的极限应力。坏形式的极限应力。 第一、二部分的应用第一、二部分的应用 1.组合变形组合变形： 2.分类分类-两个平面弯曲的组合两个平面弯

38、曲的组合(斜弯曲斜弯曲) 拉伸拉伸(或压缩或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压与弯曲的组合，以及偏心拉、压 扭转与弯曲或扭转与拉伸扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩压缩)及弯曲的组合及弯曲的组合 3.一般不考虑剪切变形；一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，含弯曲组合变形，一般以弯曲为主， 其危险截面主要依据其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。一般不考虑弯曲剪应力。 杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。 用强度准则进行强度计算用强度准则进行强度计算 1.叠加原理叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组

39、载荷引起：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起 的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加；的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加； 基本解法基本解法( (叠加法叠加法) ) 2.基本解法：基本解法： 外力分解或简化外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一：使每一组力只产生一个方向的一 种基本变形种基本变形 分别计算各基本变形下的内力及应力分别计算各基本变形下的内力及应力 将各基本变形应力进行叠加将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点主要对危险截面的危险点) 对危险点进行应力分析对危险点进行应力分析( 1 2 3) 基本研究步骤基本研究步骤 1 1、分解、分解：简化荷载：用静力等效

40、的载荷，使：简化荷载：用静力等效的载荷，使 每一组只引起一种基本变形。每一组只引起一种基本变形。 2 2、分别计算、分别计算：按基本变形求解每组载荷作用：按基本变形求解每组载荷作用 下的应力、位移。下的应力、位移。 3 3、叠加、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的解。：按叠加原理叠加求出组合变形的解。 一、斜弯曲一、斜弯曲 对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面， 最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据 梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压

41、应力所在位置， 无需确定中性轴位置。无需确定中性轴位置。 y y z z y y z z W M W M z I M y I M max max max max max max max max max max y y z z W M W M 对于圆截面对于圆截面 合成后总弯矩为：合成后总弯矩为： 22 max min 1.41 115 zy c d MMMKN m M MPa W 矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。 此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合 成后，还是一

42、个平面弯曲的问题。危险截面成后，还是一个平面弯曲的问题。危险截面A截面上弯矩的截面上弯矩的 合成由矢量来表示。总弯矩的矢量方向与中性轴重合，说明合成由矢量来表示。总弯矩的矢量方向与中性轴重合，说明 总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂直）离中总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂直）离中 性轴最远的两点（性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。是正应力最大和最小的点。 A截面应力分布图截面应力分布图 二、拉伸（压缩）与弯曲组合变形二、拉伸（压缩）与弯曲组合变形 当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所当杆上的外力除横向力外，还受有轴向拉（压）力时，所 发生的组合

43、变形。发生的组合变形。 计算方法：计算方法： 1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力； 2.按叠加原理求正应力的代数和。按叠加原理求正应力的代数和。 注意注意 如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受 拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并 分别按拉伸、压缩进行强度计算。分别按拉伸、压缩进行强度计算。 偏心拉伸（压缩）也归结为拉（压）与弯曲组合变形的问题偏心拉伸（压缩）也归结为拉（压）与弯曲组合变形

44、的问题 1.求内力求内力 ),(轴力FF N ),(剪力qxFF Ays - ),( 2 1 2 弯矩qxxFM Ay - 2.求应力求应力 ),(均布 A F N ),(线性分布 z I My z N I My A F 3.建立强度条件建立强度条件 max min max z N W M A F L A B q F F 拉伸与平面弯曲的组合拉伸与平面弯曲的组合 O z y O O x y z y p y y z P z z I zPz I zM I yPy I yM A P - - - )1 ( 22 y P z P i zz i yy A P - A P e zP yP yP zPA y

45、B z P Mz =PyP My=PzP D1 az D2 ay 偏心拉伸或压缩偏心拉伸或压缩 横截面上任意点的应力：横截面上任意点的应力： 压缩与斜弯曲的组合压缩与斜弯曲的组合 三、弯曲与扭转组合变形三、弯曲与扭转组合变形 P AB C l l 这类问题与前面两类问题有很大的不同，即危险点处于平这类问题与前面两类问题有很大的不同，即危险点处于平 面应力状态，必须应用应力状态与强度理论来解决面应力状态，必须应用应力状态与强度理论来解决 A截面为危险截面截面为危险截面 一、简化外力一、简化外力： P弯曲变形弯曲变形 Mn=-Pa扭转变形扭转变形 二、分析危险截面：二、分析危险截面： 三、分析危险

46、点：三、分析危险点： M Pl T Pa P Pa BA l l MPl TPa - - k1 k 2 0 22 2 2 2 3 1 t W T W M 133r - 22 4 222 1223314 1 ()()() 2 r - 22 3 Wt =2W 33 , 3216 p dd WW t 2 t 2 4 W T W M W TM 22 W TM 22 75. 0 解组合变形的一般步骤解组合变形的一般步骤 第三部分第三部分 稳定性稳定性主要针对细长压杆主要针对细长压杆 稳定性：稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，是构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，是 杆件承载能力的一

47、个方面。杆件承载能力的一个方面。 QQQ FFcr Q Q Q Q Q 受压直杆平衡的三种形式受压直杆平衡的三种形式 如何判断杆件的稳定与不稳定？如何判断杆件的稳定与不稳定？ 临界载荷欧拉公式的一般形式临界载荷欧拉公式的一般形式: : 一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 2.02.0 一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 : : 0.70.7 两端固定两端固定 : : 0.50.5 两端铰支两端铰支 : : 1.01.0 2 2 cr )( l EI F 柔度柔度(细长比细长比)： i L l 1.细长压杆的临界应力细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积临界力除以压杆横截面面积

48、 得到的压应力，用得到的压应力，用 cr表示；表示； 2 2 2 2 )/()(iL E AL EI A F cr cr 横截面对微弯中性轴的横截面对微弯中性轴的惯性半径惯性半径； A I i 欧拉临界应力公式：欧拉临界应力公式： 2 2 l E cr 欧拉公式应用范围：欧拉公式应用范围： 线弹性状态：线弹性状态： cr p，即即 p 2 2E l l p 2 p p 2 EE l l l l，则则 l ll lp细长杆细长杆(大柔度杆大柔度杆)，欧拉公式的适用范围；，欧拉公式的适用范围； 对于对于Q235钢，钢，E=200GPa， p=200MPa： 100 10200 10200 6 92

49、 lp 用柔度表示的临界压力：用柔度表示的临界压力： A E Fcr 2 2 l 2.非细长压杆临界应力的经验公式非细长压杆临界应力的经验公式 s cr p时采用经验公式：时采用经验公式： l l- - ba cr 1) cr s， ，lba s - b a s s l - 2 2 l lpl ll lS中长杆中长杆(中柔度杆中柔度杆)； 3) 对于对于A3钢：钢： 60 12. 1 240304 - - b a s s l cr= S时时: 强度破坏，采用强度公式。强度破坏，采用强度公式。 l l l lS粗短杆粗短杆(小柔度杆小柔度杆)； 直线公式直线公式 得到：得到： s 2 2 cr

50、E l l 粗粗 短短 杆杆 细长杆细长杆 中中 长长 杆杆 C l lp p l l cr O 采用直线经验公式采用直线经验公式 的临界应力总图的临界应力总图 A cr= s l ls B cr=a- -bl l D 三、临界应力总图三、临界应力总图 压杆按柔度分类：压杆按柔度分类： 中长杆中长杆(中柔度杆中柔度杆) 细长杆细长杆(大柔度杆大柔度杆) p sp 粗短杆粗短杆(小柔度杆小柔度杆) s 直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与松木等中柔度压杆。 三类不同的压杆三类不同的压杆 例例 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆吨双动薄板液压

51、冲压机的顶出器杆 为一端固定、一端铰支的压杆。已知杆长为一端固定、一端铰支的压杆。已知杆长l=2m, , 直径直径d=65mm,d=65mm,材料的材料的E=210GPa, =288MPa,E=210GPa, =288MPa,顶杆顶杆 工作时承受压力工作时承受压力F=18.3F=18.3吨，取稳定安全系数吨，取稳定安全系数 =3.0=3.0。试校核该顶杆的稳定性。试校核该顶杆的稳定性。 p st n 解：解： 1 1、计算顶杆的柔度、计算顶杆的柔度 0.7 4 264 4 d I i dA 16.25 4 d mm 3 0.7 2 86.2 16.25 10 l i l - 2 2、计算临界柔

52、度、计算临界柔度 3 3、稳定性校核、稳定性校核 29 6 210 10 84.6 288 10 p P E l P l l 412 29 2 22 6510 (210 10 ) () 64 925.2 ()(0.7 2) cr EI FNk l N - 应用欧拉公式应用欧拉公式 cr F n F 3 3 925.2 10 5.16 18.3 109.8 3.0 st n 该杆该杆满足稳定性要求满足稳定性要求 第四部分第四部分 前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、 稳定性的计算都是在稳定性的计算都是在静荷载静荷载作用下进行的，即认为荷

53、载从零作用下进行的，即认为荷载从零 开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，荷开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，荷 载加到最终值后也不再变化。载加到最终值后也不再变化。 在工程实际问题中：在工程实际问题中： 一些一些高速运动高速运动的构件或零部件，以及的构件或零部件，以及加速提升加速提升的构件，的构件， 其质点具有明显其质点具有明显加速度。加速度。 再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件，冲击的构件， 更是在瞬间速度发生急剧改变。更是在瞬间速度发生急剧改变。 显然这些倩况不能作为静荷载来考虑，称之为显然这些倩况不能作为静

54、荷载来考虑，称之为动荷载动荷载，在，在 动荷载作用下的构件的计算称为构件的动力计算。动荷载作用下的构件的计算称为构件的动力计算。 概述概述 构件的动力计算，包括构件的荷载和内力分析；应力与强度、构件的动力计算，包括构件的荷载和内力分析；应力与强度、 变形与刚度的分析与计算。变形与刚度的分析与计算。 对动力学的学习与研究对动力学的学习与研究( (基本定理与动静法基本定理与动静法) )提供了构件动力提供了构件动力 计算分析的前提。计算分析的前提。 在静荷载下对杆件基本变形及组合变形的内力、应力、变形在静荷载下对杆件基本变形及组合变形的内力、应力、变形 分析，为构件的动荷载下的应力与变形计算奠定了基

55、础。把两方分析，为构件的动荷载下的应力与变形计算奠定了基础。把两方 面结合起来应用于杆件的动力计算。面结合起来应用于杆件的动力计算。 对动荷载作用下的构件，只要应力不超过比例极限对动荷载作用下的构件，只要应力不超过比例极限F F，胡，胡 克定律仍然适用弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳克定律仍然适用弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳 定性的条件均与静荷载作用下相同，只不过将其公式中的静荷载定性的条件均与静荷载作用下相同，只不过将其公式中的静荷载 与静应力、静变形以动荷载与动应力、动变形代之。与静应力、静变形以动荷载与动应力、动变形代之。 一、作匀加速一、作匀加速直线直线运动构件运动

56、构件 一、匀加速运动构件的应力与强度一、匀加速运动构件的应力与强度 惯性力法惯性力法 设有等直杆：长设有等直杆：长L L，截面积截面积A A, ,比重比重 ，受拉力，受拉力F F 作用作用, ,以等以等 加速度加速度a a 运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。 m a P d q AL Pg gAL P m F a / L P a g A qd 1 x dx 1.1.动静法动静法( (达朗贝尔原理达朗贝尔原理) ) 对作等加速度运动或等速转动构件进行受力对作等加速度运动或等速转动构件进行受力 分析时，可以认为构件的每一质点上作用着分析时，可以认为

57、构件的每一质点上作用着与加与加 速度速度a a方向相反的虚加惯性力方向相反的虚加惯性力, ,其大小等于其大小等于质量与质量与 加速度的乘积加速度的乘积。从而使质点系上的真实力系与虚。从而使质点系上的真实力系与虚 加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达 朗贝尔原理即动静法。朗贝尔原理即动静法。 当构件作匀速直线运动时，加速度等于零，当构件作匀速直线运动时，加速度等于零， 惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止 状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静 荷载的作用

58、。荷载的作用。 例例1 1 一吊车以匀加速度起吊重物一吊车以匀加速度起吊重物Q Q, ,若吊索的横截面积为若吊索的横截面积为A A，材料材料 比重为比重为 ，上升加速度为，上升加速度为a a，试计算吊索中的应力。试计算吊索中的应力。 Q a m m x Q x )(xFNd a g Q a g Ax Ax 解解： 惯性力为：惯性力为： a g Ax a g Q ， 吊索截面上的内力：吊索截面上的内力：)(xFNd 根据动静法，列平衡方程：根据动静法，列平衡方程： 0 X 0)(-a g Q Qa g Ax AxxFNd 解得：解得： )1)()( g a QAxxFNd 重物重物与与吊索吊索的重力的重力：AxQ, 吊索中的动应力为：吊索中的动应力为： )1