二、单自由度系统阻尼自由振动

1、单自由度系统阻尼自由振动单自由度系统阻尼自由振动 引言 惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。 引言 对于实际的振动系统，由于不可避免的存 在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化 为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最 后振动完全停止。 阻尼定义 阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能 力的物理量 。 线性阻尼 又称粘性阻尼，由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小与相对速度成正比，方向与速 度方向相反。阻尼系数为常数。 为了研究方便，通常将阻尼进行线

2、性化， 线性化的方法是等效原则。即在运动过程 中，线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量 一样多。 车辆中广泛存在的阻尼 在车辆当中，广泛存在的阻尼有，悬挂/悬 架系统的减振器，轮胎的橡胶和其他各种 橡胶支撑，液体（浸没在液体中振动物 体），摩擦表面（离合器），金属橡胶等。 液压减振器工作原理 活塞 活塞缸 液流方向 活塞运动方向 阻尼孔 流体具有黏滞性而产生能耗及阻尼作用，称黏性阻尼；制有小 孔的阻尼器，当流体通过小孔时，形成涡流并损耗能量，所以 小孔阻尼器的能耗损失实际上包括黏滞损耗和涡流损耗。 轮胎的阻尼 轮胎变形量 轮 胎 恢 复 力 压缩 复原 O 耗能量由分析恢复力轮胎变形所包围的面积得

3、到 单自由度粘性阻尼的自由振动 以物体的平衡位 置为原点，水平 方向为x轴正向， 建立如图所示的 坐标系。 kx cx c k x m m x O 微分方程的建立 根据受力分析，和初始条件，可以得到下 面的微分方程。 00 0 (0),(0) mxcxkx xxxx 方程求解 由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式： 将解的形式带入微分方程： st xe 2 0 st ck sse mm 特征方程及其解 由于 ，因此，要想方程成立； 必须：称为微分方程 的特 征方程 可以解出它的两个根： 0 st e 2 0 ck ss mm 2 1,2 22 cck s mmm 微分方程的通解 微分

4、方程的通解为： 为任意常数，由运动的初始条件决定。 而解的形式，决定于 。随着阻尼系数 的不同，特征方程可以有两个不等的负实 根，相等的负实根和一对共轭复根。 12 s ts t xBeDe ,B D 12 ,s s 临界阻尼系数 使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数 值，称为临界阻尼系数（critical damping coefficient）记为， c c 22 cn ckmm 阻尼比 令 ，称为阻尼比或者相 对阻尼系数。是一个无量纲的数， 是一个重要 振动参数。 表征一个振动系统阻尼的大小： 表示大阻尼， 表示临界阻尼， 表示小阻尼。 22 cn ccc cmkm 1 1 1 微分方程

5、和解的表达方式 由 ，和 原来的微分方程可以改写成： 特征根： n k m 2 2 cn n c cc cm mc mm 2 20 nn xxx 2 1,2 1 n s 大阻尼情况的讨论 当 ，方程的特征根 ， 均为实数，方程的通解为： 与初始条件 有关， 1 2 1,2 1 n s 22 11 12 nnn ttt xeAeA e 12 ,A A 00 ,x x 00 1,20 2 1 2 1 n n xx Ax 大阻尼系统的运动特点 可以证明， 越过平衡位置的次数至多有一次。 22 11 12 nnn ttt xeAeA e t xx t x t x0 x0 x0 x0 x0 x0 临界阻

6、尼情况的讨论 当 ，特征方程的根 由微分方程的理论，方程的解为： 代入初始条件可得： 1 1,2n s 12 nn tt xAeA te 10200 , n AxAxx 临界阻尼系统的运动特点 可见，临界阻尼下的系统的运动也不是振 动，但在相同的条件下，临界阻尼的系统 的自由运动最先停止，因此，仪表都将系 统的阻尼设置为临界阻尼。 小阻尼系统的运动特点 当 ，特征方程的根 令： 1 2 1,2 1 nn sj 2 1 dn 解的三角形式 方程可以写成： 由初始条件， 12 cossincos() nn tt ddd xeCtCtAet 10 Cx ， 00 2 n d xx C 2 2 00

7、0 n d xx Ax ， 1 00 0 tan n d xx x 小阻尼的运动曲线 如图所示的为衰减振 动。在 的时候，物体的运动 曲线和曲线： 相切， 在切点的x值的绝对 值 称为振幅。 cos()1 dt nt xAe nt Ae 05101520 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 时间 振幅 小阻尼振动曲线 阻尼振动的特点 由于有衰减项的存在，因此阻尼振动既不 是简谐的，也不是周期的。而是随着时间t 趋于无穷时，振幅逐渐衰减为零，系统趋 于静止。这是阻尼自由振动和无阻尼自由 振动的主要区别之一。 阻尼振动的数字特征 习惯上，将函数 的周期称为衰 减振动的周期，故衰减

8、振动的周期和频率 分别为： cos() dt 22 22 11 d d n T T 2 2 1 1 22 nd d ff 阻尼对频率和周期的影响 可见，阻尼的存在，使系统的振动频率降 低，振动周期延长。但有的时候，阻尼的 存在对于周期和频率的影响，可以略去不 计。 22 2 11 1() 2 1 xo x x 222 1 11() 2 xxo x ( ) 0 0 0 () ( ) () ! n n n fx f xxx n 忽略阻尼影响的条件 根据上述展开，大家可以口算当 和 时，系统的周期和频率变化幅度。 所以，当时 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响 0.05 0.3 0.3 阻尼对振

9、幅的影响 阻尼对与振幅的影响非常大。设 和 分别 是相邻两次的振幅，对应的时间分别为： 和 ，则： 可得： 在一个周期后，幅值缩减到原来的 1 x 2 x 1 t 2 t 1 1 1 2 n n d nd t T tT xAe e xAe 1 n d T e d Ttt 12 衰减数据 在 的情况下，在一个周期振幅减小27%， 经过10个周期，振幅减小到原来的4.3%。可见， 只要有微弱的阻尼，就可以使振动迅速衰减。 从上式可以看出，如果两个振动系统的固有频率相 同，则阻尼比较大的系统自由振动衰减得较快，这 也说明阻尼比表示了系统消耗振动能量的能力。如 果两个振动系统的阻尼比相同，则固有频率比

10、较大 的系统自由振动衰减得较快，这也就是常说的； “高频成分衰减快”在单自由度系统时的情况。 0.05 对数缩减率 前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数，称为对数缩减率，记为： 由于： 可得： 当在小 的时候，有 1 2 ln nd x T x 2 1 d T T 2 2 1 12 对数缩减率的作用 由 ，可以求出 当在 的时候， ， 为了便于测量， 通常由 获得 2 2 1 22 4 12 2 11 ln t n t n x nnx 例子 试证明：在衰减振动中，在相邻两个位移 最大值消耗的机械能 ，与开始时的机械 能 之比为常量，在阻尼很小的时候， 有： U 1 U 1 2 U U 证明 设第一个位移最大值 ，相邻的位移最大 值 ，则相应的机械能为：