[数学]沪教版初二下数学详细讲义

1、第16章 二次根式第一节 二次根式【知识要点】1.二次根式 代数式叫做二次根式。读作“根号”，其中叫被开方数.2.二次根式有意义 有意义的条件是3二次根式的性质 性质一 性质二 性质三 性质四 4.最简二次根式 在化简后的二次根式里： (1)被开方数中各因式的指数都为1； (2)被开方数中不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二 次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】 1.二次根式的判定【例1】 下列式子

2、中哪些是二次根式？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.【分析】 二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数 必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当即时，才是二次根式，（10）中只有当时，才是二次根式. 2.二次根式有意义的条件【例2】当实数取何值时，下列各式有意义？（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。【答案】 （1）； （2）取任何实数； （3）； （4）； （5） 且； （6）。【分析】（1）由，得，所以当

3、时，有意义；（2）无论取什么实数，都有，所以当取任何实数时，都有意义；（3）由，且，得，所以当时，有意义；（4）由，即，得，所以当时，有意义；（5）由且，得且，所以当且时，有意义；（6）由且，即，得，所以当时，有意义; 3.二次根式的化简 【例3】化简下列二次根式；（1）； （2） ；（3）； （4）。【答案】（1）；（2）； （3）； （4）【解答】（1）原式； （2）原式； （3）由且，得，所以 原式= ； （4）由且，得，所以 原式。【例4】下列根式中哪些是最简二次根式？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）【答案】（1）、（5）、（7）是最简二次根式.【解析

4、】因为与它们的被开方数中各因式的指数不都是，所以 （2）、（6）不是最简二次根式. 因为与，它们的被开方数含有分母，所以（3）、（4）不是最简二次根式.4.同类二次根式的判定【例5】下列各式中，哪些是同类二次根式？（1）； （2）； （3）； （4）； （5）；（6）； （7）； （8）。【答案】 （1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）因为，所以，于是 ；（8）因为，所以，于是 。因此（1）、（5）、（7）是同类二次根式；（3）、（6）是同类二次根式；（4）、（8）是同类二次根式.【基础训练】1成立的条件是_.2当x_时，式子有意义.3当a_时，；当a_时，.4.代数式

5、 中，字母x的取值范围是 _.5.若 ，则_.6若m0，化简=_.7.若 ，则 _.8下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.9.式子成立的x取值范围为ABCDx取任意实数10.下列各组式子中，同类二次根式的是（ ）. A. B. C. D. 11的值（ ）.A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负12.xy，那么化简为（ ）.A.0 B.2y C.2x D.2y2x13.化简下列各式：（此题中的字母均为正数）（1） （2） （3）（4） （5） （6）【能力提高】1. 化简并计算:己知x,y为实数,且,求：的值.2.己知与是同类根式，求的值.3. 已知，求

6、的值.4. 在实数范围内分解因式（1）4x4 1 （2）x3-x2-2x+2 第2节 二次根式的运算【知识要点】1.二次根式的加减法 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.2二次根式的乘除法 二次根式的乘法：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.3分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化.4. 有理化因式 两个含有二次根式代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个含有二次根 式的代数式互为有理化因式.5二次根式的混合运算 在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算性质规定都实用.【学习目

7、标】1. 会进行二次根式的四则混合运算.2. 会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【典型例题】 1.二次根式的四则混合运算【例1】计算： （1）； （2）； （3）；【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】（1）原式； （2）原式 = （3）原式 ；【例2】计算：（1） ； （2）（其中）；【答案】（1）； （2）【解析】（1）原式 ； （2）因为，所以由根式可知，再由根式可知. 原式= 2.分母有理化【例3】把下列各式分母有理化：（1）； （2）。【答案】（1）； （2）。【解析】（1）原式= （2）原式。【例4】 计算： （1）； （2）； （3）； （4）。【答案】（1）； （2

8、）； （3）； （4）。【解析】（1）原式 = ； （2）原式 = ； （3）原式 ； （4）原式 【例5】计算：（1）（2）；（3）；【答案】（1）； （2）； （3）； 【解析】（1）原式 =； （2）原式 ； （3）解法一： 原式 解法二： 原式 3.二次根式比较大小的常见方法（1）平方法：平方法比较两数、的大小时，当时，如果，那么；如果，那么。当时，如果，那么；如果，那么；（2）作差法： 作差法比较两数、的大小时，如果，那么；如果，那么 （3）作商法：作商法比较两数、的大小时，当时，如果，则；如果，则；当时，如果，则；如果，则；（4）倒数法（分子有理化法）倒数法比较两数、的大小时，当时

9、，如果，则；如果，则；当时，如果，则；如果，则；【例6】 比较下来各式的大小：（1）与； （2）与；（3）与； （4）与。【答案】（1）； （2）； （3）； （4）。【解析】第（1）题可以用“平方法“比较，第（2）题可用“作差法”比较，第（3）题 可用“作商法”比较，第（4）题可用“分子有理化法”比较. 4.一类特殊的二次根式求和问题 用拆项相消的技巧往往使某些求和问题运算比较简便.【基础训练】1.计算：_.2.计算：=_.3.计算： ， .4.计算： ， .5.计算： ， .6.计算： ， .7.分母有理化： ； .8.计算： .9.的倒数为_10.若，y是x的有理化因式则y= ，则 ，

10、.11.下列各式运算结果正确的是（ ）ABCD12.下列各式化简结果正确的是（ ） ABCD13.根式化简结果正确的是（ ）ABCD14.的计算结果正确的是（ ）ABCD15.的倒数是（ ）ABCD16. 设的小数部分为b ,那么 （4+b）b 的值是（ ） .是一个有理数；.无法确定。17. 18.19.20.【能力提高】1. 化简与计算：己知，求的值.2.已知，,求和的值.3.已知，求下列各式的值. ；二次根式单元测试题（时间100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1.在根式、中，最简二次根式有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.在下列各式的化简

11、中，化简正确的有( )a 5x-4x6a +10 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.已知二条线段的长分别为cm、cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线 段的长是（ ）A.1cm B C.5cm D.1cm或cm4.已知a0，化简：的结果是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2a5.的积为( ) A.1 B.17 C. D. 6.当a0，b0时，n是正整数，计算：-的结果是( ) A.(b-a) B.(anb3-an+1b2) C.(b3-ab2) D.(anb3+an+1b2)二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7.a-的有理化因式是_.8.当mn时，化简：(m-n

12、)_.9.已知-2m-1，化简：-_.10.当a-b1时，化简：的结果为_.11._.12.计算：(a+2+b)(+)-(-)_.13.化简：x2y2 (a0，b0)_.14.若菱形两对角线长分别为(2+3)和(2-3)，则菱形面积_.15.已知b0，化简：-+_.16._.17.计算 ； 。18.比较大小： ； .三解答题：（本大题共七题，满分78分）19.（本题满分为10分） 计算：(+)+20（本题满分10分） 化简： （x0,y0)21（本题满分10分） 已知，求的值。22.（本题满分10分） 计算：23 （本题满分12分）先化简，再求值：，其中24 （本题满分12分） 设x、y是实数

13、，且x2+y2-2x+4y+50，求. 25 （本题满分14分） 已知（）， 求代数式的值。第17章 一元二次方程 第一节 一元二次方程的概念【知识要点】1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。其实质是： 整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 其中“未知数的最高次数是2”是指在合并同类项之后而言的.2.一元二次方程的一般式 一元二次方程的一般式，其中叫做二次项，为二次项系数； 叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项。任何一个一元二次方程都可以化成一般形式.3.二次项系数含有字母的一元二次方程 二次项系数含有字母的方程是否是一元二次

14、方程，需要对二次项系数进行讨论，要保证未 知数的最高次数2，只需要二次项系数不为4对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断未知数的一个值是不是这个方程的根.5特殊根的一元二次方程的系数和常数项的特征 依据方程的根的意义，找出如果一元二次方程有一个根为、或的一元二次方程的系 数和常数项的特征。如一元二次方程，当时，有一根为.【知识要点】5. 掌握一元二次方程的概念.6. 一元二次方程的一般形式，能找出方程中各项的系数.【典型例题】 1.一元二次方程的判定 【例1】判断下列方程哪些是一元二次方程 （1） （2） （3） （4） （5） 【分析】本题是概念判断题，要牢记符合一元二次方程应满足的条

15、件. 【解答】（1）移项得： 是一元二次方程 （2） 方程分母含有未知数，不是整式方程 它不是一元二次方程（3） 方程中含有两个未知数 它不是一元二次方程（4） 符合一元二次方程的条件 它是一元二次方程（5）整理得： 移项、合并得： 二次项系数合并后为，未知数最高次数为1 它不是一元二次方程。【注意】 判断一个方程是否是一元二次方程，要先对方程进行整理，然后再根据条件： 整式方程 只含有一个未知数 未知数最高次数为2只有当这三个条件全部满足时，才能判断为一元二次方程. 2.一元二次方程的一般式及各项系数的求法【例2】把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数（1） （2）（3

16、） （4）是已知数【分析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式的前提下而言的. 所以解此题的关键是准确把方程化简为一元二次方程的一般形式.【解答】（1）移项，得方程的一般形式： 可知，方程中的二次项是， 二次项系数是；一次项是，一次项系数是； 常数项是 （2）整理，得方程的一般形式：可知，方程中的二次项是， 二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是 （3）整理，得方程的一般形式：可知，方程中的二次项是， 二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是。 （4）方程的一般式为：是已知数可知，方程中的二次项是， 二次项系数是；一次项是，一次项系数是；常数项是【点评】 要认真

17、区别方程的各项与各项的系数。特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号。对于字母系数方程的整理，应先明确其未知数，再确定各项系数 .【例3】当为何值时，关于的方程是一元二次方程？【分析】在一元二次方程中，是一元二次方程的必要条件否则它 就不是一元二次方程.【解答】移项、合并同类项得： 当即时方程为一元二次方程。【点评】要先把方程整理为一般式，然后再确定二次项的系数的条件. 3.一元二次方程根的判别【例4】判断3, -4 是不是一元二次方程的根.【分析】能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的根。所以只需把代 入原方程检验方程左右两边的值是否相等.【解答】把分别代入方程的左

18、右两边，得 坐左边的值为 右边的值为 因为 方程左右两边的值相等，所以是这个一元二次方程的根. 把分别代入方程的左右两边，得 坐左边的值为 右边的值为 因为 方程左右两边的值不相等，所以不是这个一元二次方程的根.【点评】 从这个一元二次方程看到，它的根的个数与一元一次方程是不同的.【例5】在下了方程中，哪些方程有一个根为？哪些方程有一个根为？哪些方程有一 个 根为？（1） （2）（3） （4）（5） （6）【分析】根据方程的根的意义，分别把或代入原方程即可.【解答】根据方程根的意义，可知方程（1）、（2）有一个根为；方程（3）、（4）有一个根 为；方程（5）、（6）有一个根为.【点评】有一个根

19、为0、1或-1的一元二次方程的系数和常数的特征是：如果常数项为0，则有一根为0；如果二次项系数与一次项系数的和等于常数项的相反数，则有一根为1；如果二次项系数与常数项的和等于一次项系数，则有一根为-1.【例6】方程（1）取何值时，是一元二次方程？并求出此方程的解；（2）取何值时，方程是一元一次方程？【分析】解此题的关键是对一元二次方程和一元一次方程电脑概念的理解，不仅要对未知数 的系数讨论，还应注意未知数的最高次.【解答】（1）当且时，方程为一元二次方程. 由 解得 又得 时方程为一元二次方程。 将代入原方程， 得方程无实数解. （2）由得，且这时方程为一元一次方程. 时，和均无解【点评】此题

20、应注意对项的指数与系数的讨论.【例7】已知是方程的根，化简.【分析】可将方程的跟代入方程，求出的值，再代入已知代数式化 简之.【解答】将代入方程 得, 解得m=2【点评】方程的根就是能够使方程左右两边值相等的未知数的值，所以我们可以把它代入到 原方程中，从而求出方程中其他字母的值.【基础训练】1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x2=8 (a3) B.ax2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D.2.下列方程中,常数项为零的是( ) A.x2+x=1 B.2x2-x-12=12； C.2(x2-1)=3(x-1) D.2(x2+1)=x+23.把方程化成一

21、般式，则、的值分别是( ) A. B. C. D. 4.如果是一元二次方程，则 ( ) A. B. C. D.5.关于的一元二次方程有一根为，则的值 （ ） A. B. C. 或 D. 6 关于的一元二次方程的一个根为2，则的值是（ ） A. B. C. D. 7.方程(x1)(2x+1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .8.关于x的方程(m3)xx=5是一元二次方程，则m=_.9.关于x的方程(m216)x2+(m+4)x+2m+3=0是一元一次方程，则m= .10.写一个一元二次方程，使它的二次项系数是3，一次项系数是2： .11.若1是方程x2+bx5=0的一个根，则b=_.12

22、.已知方程ax2+bx+c=0的一个根是1，则ab+c=_.13.若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_.14.若一元二次方程(m2)x2+3(m2+15)x+m24=0的常数项是0，则m为_.15.如果x4是一元二次方程的一个根，那么常数a的值是_.16 把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项与各项的系数(1) (x+3)(x-2)=x+5 (2)2(x2-1)=3(x-1) (3)17.已知函数，当时，, 求的值.18. 已知x2+（+1）x-2=0，求m2-3x+2的值19.若3x2-x-1=0，求6x3+7x2-5x+2005的值 20.已知方程3ax2-bx-1=

23、0和ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,求a,b的值.第二节 一元二次方程的解法（1）【知识要点】一一元二次方程的解法1.开平方法方程左边是喊未知数的完全平方式，右边是非负数常数形式，可用开平方法求解.2.因式分解法一元二次方程的一边是0，另一边易于分解成两个一次因式时，就可以先考虑用因式分 解法求解.3.配方法为了能用开平方法解一般形式的一元二次方程，必须将方程形为的形式。配方法的步骤是：把二次项系数化为1；移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；将原方程变形为的形式.2 一元二次方程解法的运用及其思想方法配方法对所有的一元二次方程都适用，

24、开平方法和因式法只对具备相应特征的方程才适用.我们在解一元二次方程时一定要根据具体问题选择恰当的方法，从而使解题过程准确、简捷.一般情况下：（1）形如的一元二次方程用开平方法或因式分解法（平方差公式）解；（2）形如的一元二次方程用因式分解法（提取公因式法）来解；（3）形如的一元二次方程用因式分解法（十字相乘法）来解.【学习目标】第17章 学会直接开平方法，因式分解法解一元二次方程.第18章 掌握配方法解方程及配方法的技巧.【典型例题】【例1】用开平方法解下列方程（1） （2）（3） （4）【分析】用开平方法解方程，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数常数的形式，再根据平方的定

25、义求解。另外，“整体”思想在解方程时还是十分有用的.【解答】（1）移项得： 将方程各项都除以4得： 所以，原方程的根是（2）将方程两边同时除以得： 即 所以原方程的根是。 （3） 利用开平方法，得或解得或 所以，原方程的根是 （4）利用开平方法，得或 解得或 所以原方程的根是：【点评】对于第（2）题无理数系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过注意二次根 式的简化，而第（3）、（4）是利用“整体”思想解方程.【例2】 用因式分解解下列方程（1） （2）（3）【分析】因式分解法的依据是如果两个两个因式的积等于零，那么这 两个因式中至少有一 个等于零；反之也同样成立，由此可得方程的根。所以可以把

26、方程等号一边化为零，另一边分解成两个一次因式的积的形式而求出方程的解.【解答】（1）原方程可变形为 把方程左边分解因式，方程可化为 得或 解得 所以原方程的解为。（2） 原方程可变形为 把方程左边分解因式，方程可化为得或 解得或 所以原方程的根是（3） 原方程可变形为 把方程左边分解因式，方程可化为 得或 解得或 所以原方程的根是【点评】在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了.【例3】用配方法解方程 （1） （2）【分

27、析】对于二次项系数是1的方程，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平凡即可完 成配方。对于二次项系数部不为1，则先将方程各项同时除以二次项系数后，再配方.【解答】（1）移项，得 两边同时加上一次项系数的一半的平方，得 即 开平方，得 即或 所以原方程的根为（2） 两边同时除以3，得移项，得 方程；两边都加上一次项系数的一半的平方，得 即 所以，原方程的解为。【点评】“方程两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方”这一步，是配方法的关键。“将二次项系数化为1”是进行这一关键步骤的重要前提.【例5】 用适当的方法解下列方程（1） （2） （3）（用配方法） （4）【分析】此题是解一元二次方程的四种方

28、法的综合运用，在解题时，一定要根据具体问题选择恰当方法，从而使解题过程准确、简捷.【解答】（1）移项，得 方程两边都除以2，得 解这个方程，得 即所以，原方程的根是（2）展开，整理，得 方程可变形为 或 所以，原方程的根是（3）移项，得 方程两边同时除以3，得 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，得 解这个方程得： 所以，原方程的根是（4）移项，得 提取公因式，得 整理，得 或 所以，原方程的根是【点评】当一元二次方程本身特性不明显时，需要先将方程化为一般形式，若，异号时，可用开平方法求解，如题（1）。若时，可用因式法求解，如题（2）。式法求解，配方法做为一种重要的数学方法，也应掌握，如题（

29、3）。而有一些一元二次方程有较明显的特征时，不一定都要化成一般式，如题（4）。方程不必展开整理成一般式，因为方程两边都有，移项后提取公因式，得，用因式分解法求解，得，对于这样的方程，一定注意不能把方程两边同时除以，这回丢掉一个根。也就是方程两边不能同时除以含有未知数的整式.【基础训练】1.方程的根是 ，方程的根是 .2.方程的两根为.3已知与的值相等，则的值是 .4（1），（2）5.已知6x2+xy-2y2=0，则的值为_6.一个两位数的个位数字与十位数字的平方和等于29，且个位数字与十位数字之和为7，则这个两位数为_7. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为ab=a2-b2,根据这个规则，

30、方程(x+2) 5=0的解为 .8.若一个等腰三角形的两边长是方程的两根，则这个三角形的周长是_. 9.若x2kx+4满足完全平方公式，则k= .10.用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）A. B. C. D. 11.下列方程适合用分解因式解法解的是（ ） Ax2-3x+2=0 B2x2=x+4 C（x-1）（x+2）=70 Dx2-11x-10=0 12.关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ） A.6 B.7 C.8 D.913.已知直角三角形的三边恰好是三个连续整数，则这个直角三角形的斜边长是( )A. 5 B.5 C.4 D.不能确定14（直接开平方法） 15.（因式分解法）16.

31、 （配方法） 17.解方程： 9（x-1）2=4（x+1）2 18. 解方程： 2y2-7y-4=0 19. 解方程： (x+3)(x1)=5 20. 解方程： 21已知关于x的一元二次方程的一个根为0，求k的值和方程的另外一个根.22 若分式的值为零，求的值.23.对于二次三项式x2-10x+36，小颖同学作出如下结论：无论x取什么实数，它的值一定大于零。你是否同意她的说法？说明你的理由.24.已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程=3的解相同.(1)求k的值;(2)求方程x2+kx-2=0的另一个解. 第3节 公式法解一元二次方程【知识要点】1.一元二次方程的解法：公式法一元二次

32、方程求根公式。它对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。如：，化成一般式，得利用求根公式来求出方程的根.2. 公式法的运用及其思想方法公式法对所有的一元二次方程都适用，形如的一元二次方程用因式分解法（十字相乘法）或公式法来解.3.一元二次方程根的判别式 我们把叫做的根的判别式，用符号来表示。对于一元二次方程，其根的情况与判别式的关系是：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.特别的：当时，方程有两个实数根.上述判断反过来说，也是正确的。即当方程有两个实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；4.一元二次方

33、程的根的判别式的应用不解方程判别方程根的情况，即先把方程化为一般形式，然后求出判别式的值，最后根据的符号来确定根的情况；根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围，即先把方程化成一般形式并求出它的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式，最后解这个不等式或方程，但要去掉使方程二次项系数为零的字母的值。若问题中没有这个限制条件，就要对二次项系数（含字母）是否为零进行讨论；证明一元二次方程根的情况,可先把原方程化为一般形式,求出根的判别式,然后用配方法或因式分解法确定判别式的符号,并由此得出结论.5.利用根的判别式解题时的几点注意运用“”时必须把方程化为一般式;不解方程判定方程的

34、根的情况要由“；的符号判定；运用判别式解题时，方程二次项系数一定不能为零；【学习目标】1. 会用公式法解一元二次方程.2. 利用根的判别式确定根的情况.【典型例题】 1.公式法解一元二次方程【例1】用公式法解方程（1） （2）（3） （4）是已知数【分析】应用求根公式解一元二次方程，通常写成一般形式，并写出的数值以及 计算的值.【解答】（1）这里 即或 所以原方程的根为（2）移项，得 这里即或所以，原方程的解是（3）把原方程化成一般式，得 这里 即或 所以原方程的根为（4）这里即或所以原方程的解是【点评】用公式法解一元二次方程的一般步骤是：把一元二次方程化成一般式；确定 的值；求出的值（或代数

35、式）；若，则可用求根公式求出方程的解，这样可以减少许多不必要的计算要求。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程. 2.根的情况的判定【例2】 不解方程，判别下列方程的根的情况（1） （2）（3）【分析】一元二次方程根的情况是由根的判别式的符号决定的，所以在判别方程的根的情况 时，要先把方程化为一般式，写出方程的，计算出的值，判断的符号.【解答】（1）即方程有两个不相等的实数根.（2）将方程整理为一般式：即方程有两个相等的实数根.（3）将方程化为一般式： 即方程没有实数根.【点评】运用根的判别式判断方程的根的情况时，必须把方程化为一般式，然后正确地确定各项系

36、数，再代入判别式进行计算，得出判别式的符号.【例3】求证方程必有两个不相等的实数根.【分析】 欲证明此方程必有两个不相等的实数根，只需要证明不论取任何实数，都有即可.【证明】 此方程是关于的一元二次方程 不论取任何不为1的值时都有 即 方程必有两个不相等的实根.【点评】证明时应先说明二次项系数不为零，也即保证方程是一元二次方程的前提下判别式的符号才有意义.【例4】 当为何值时，关于的方程（1） 有两个不相等的实根？（2） 有两个相等的实根？（3） 无实数根？【分析】根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围，是一元二次方程的根本判别式的另一类典型运用。此题中二次项系数不含字母，则直

37、接运用判别式可求出字母系数的取值范围.【解答】（1） 若方程欲有两个不相等的实根，只需 即 当时，方程有两个不相等的实根 （2）若方程欲有两个相等的实根，只需 即 当时，方程有两个相等的实根（3）若方程无实根，只需 即 当时，方程无实根【点评】：正确算出方程的判别式，然后根据根的情况列出判别式的方程或不等式.【例5】 已知关于的方程有实根，求的最大整数.【分析】解此题时，首先要准确地计算出判别式的值或它的表达式，然后再分别根据题目的要求，进行分析、判断，计算出正确答案.【解答】 已知方程有实根 即 解出。 由于，所以满足条件的最大整数是【点评】一元二次方程有实根，包括有不等两根或相等两根的情况

38、，所以。同时要注意解不等式时的变不变号的问题.【例6】 解关于的方程【分析】字母系数的一元二次方程同样可以有几种不同的解法，也要根据题目的特点选用较简单的解法.【解答一】原方程可变形为 或 因为，所以或 所以，原方程的根为。【解答二】这里 又， 所以原方程的根是【点评】解字母系数方程时，除了要分清已知数和未知数，还要注意题目中给车的条件，要根据条件说明方程两边除以的代数式的值不等于零.【例7】 已知，试解关于的方程【分析】由，容易得到或，整理关于的方程，得。题目中没有指明这个方程是一元二次方程，因此得对二次项系数要进行讨论，当时，方程是一元一次方程；当时，方程是一元二次方程。【解答】由，得 整

39、理原式，得 当，原方程为，解得 当，原方程为，解得 综上，当时，原方程的根是 当时，原方程的根是忘记绝对值的运算法则；解一元二次方程一般情况下先化为一般式，再确定解法.【例8】 解关于的方程【分析】此方程的字母没有任何限制，则为任何实数，所以次方程不一定是一二次方程，因此需分和，两种情况讨论.【解答】（1）当且（即有）时，原方程可变为 所以（2）当时，因为 所以 所以【点评】通过此题，在加强练习公式法的基础上，渗透分类的思想.【例9】 取何值时，关于的方程有实数根？【分析】由于“解关于的方程”与“解关于的二次方程”是不同的，所以应注意区分 两种情况求解.【解答】当时，原方程变为，此时方程有实数

40、根 当时，是关于的一元二次方程. 若要方程有实根，须， 即，解得 所以，综上所述，当时，原方程有实数根.【点评】 在没有具体说明的情况下，应对字母系数进行讨论求解.【例10】 已知是三角形的三边，求证：方程没有 实数根.【分析】因为是三角形三边，均为正值，的系数，所以原方程为一元二次方程。欲证方程无实根，只需证证明：是三角形三边 方程为一元二次方程 为三角形的三边 原方程无实数根.【点评】 三角形的三边，均为正值，且在证明的过程中还要应用三角形中三边间的关系为论证的依据.【基础训练】1.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取 值范围是（ ） A. B. 且 C. D.且2.已知a

41、、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情况是 （ ） A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根3. 关于的方程有实数根，则整数的最大值是（ ） A.6B.7 C.8 D.94.关于的方程的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.不能确定5. 如果关于x的方程：有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_.6.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2，x1x2.根据该材料填空：已知

42、x1、x2是方程x2+6x+30的两实数根，则+的值为 7.方程(x2)(x1)=0的解为 8.如果关于的方程有两个相等的实数根，那么 9.请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 10.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？11.关于x的二次方程中系数a,b,c分别是ABC的三边长，判别此方程根的情况。12.已知两个关于x的二次方程有且仅有一个相同的实根。求（1）m的值；（2）两个方程相同的根；（3）两个方程不相同的根 第四节 一元二次方程的应用（1）【知识要点】一.二次三项式的因式分解1二次三项式在实数范围内的因式分解公式 设是方程的两实根，则任何一个二次三项式均可 在实数范围内因式分解为，即=。2二次三项式在实数范围内的分解因式当时，方程有两个不相等的实根，可分解为；当时，方程有两个相等的实根，可分解为一个完全平方式；当时，方程没有实根，在实数范围内不能分解.3二次三项式在实数范围内的因式分解的一般步骤求出方程的两个实根；写出分解式，注意分解式中的因数不要漏写.二.一元二次方