第一章 现代测试技术

1、第一章 信号及其描述 第一节 信号的分类与描述 第二节 周期信号与离散频谱 第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 第四节 随机信号 一、信号的分类一、信号的分类 1.确定信号与随机信号确定信号与随机信号 确定性信号确定性信号若信号可以表示为一个确定的时间若信号可以表示为一个确定的时间 关系式，因而可确定其任何时刻的量值，这种信号称为关系式，因而可确定其任何时刻的量值，这种信号称为 确定性信号。确定性信号。 随机信号是一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法随机信号是一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法 用数学关系式来描述的信号。用数学关系式来描述的信号。 周期信号周期信号周期信号是按一定时间间隔周周期

2、信号是按一定时间间隔周 而复始，无始无终，不断重复出现的信号。而复始，无始无终，不断重复出现的信号。 0 ( )()(1,2,3)x tx tnTn 例： 00 00 00 ( )sin() , 2 /, 2 / k x txt m x m k t k m Tk m 0 取决于初始条件的常数 质量 弹簧刚度 时刻 其周期为T 圆频率 非周期信号 将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号 称为非周期信号。 准周期信号是由两种以上的周期信号合成 的，但其组成分量间无法找到公共周期，因而无 法按某一时间间隔周而复始重复出现。 瞬变非周期信号除准周期信号之外的其他 非周期信号，是一些或在一定时间区间内

3、存在， 或随着时间的增长而衰减至零的信号。 例如 是两个正弦信号的 合成，其频率比 ，不是有理数， 不成谐波关系。 ( )sinsin2x ttt 12 /1/2 图1-1所示的振动系统， 若加上阻尼装置后 000 ( )sin() at x tx et 随机信号是一种不能准确预测其未来瞬时值， 也无法用数学关系式来描述的信号。 但是，它具有某些统计特征，可以用概率统 计方法由其过去来估计其未来。随机信号所描述 的现象是随机过程。 自然界和生活中有许多随机过程，例如汽车奔 驰时产生的振动、环境噪声等。 2连续信号和离散信号连续信号和离散信号 (数学表达式中连续变量数学表达式中连续变量,函数的定

4、义域函数的定义域) 连续信号连续信号若信号数学表达式中的独立变量若信号数学表达式中的独立变量 是连续的是连续的,称为连续时间信号，简称为连续信号称为连续时间信号，简称为连续信号 或连续数据或连续数据(图图1-3a)。 离散信号离散信号若信号数学表达式中的独立变量若信号数学表达式中的独立变量 是离散的，简称离散信号或离散数据是离散的，简称离散信号或离散数据(图图13b)。 这里“离散”是指函数的定义域时间是 离散的，它只取某些规定的值。 即在一些离散时间tk(k=0,1,2,)有信号， 在其余的时间，函数没定义。时刻tk和tk+1之 间的间隔Tk=tk+1-tk可以是常数，也可以随k 而变化。一

5、般只讨论Tk等于常数的情况。 序列。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的，时间和幅值均为连 续的信号常称为模拟信号。对离散信号中，幅值为离散的信号，称为 数字信号。在实际应用中，连续信号与模拟信号两个名词常常不予区 分，离散信号与数字信号两个名词也常互相通用。一般，在研究理论 问题时常用“连续”、“离散”二词，而讨论具体的实际问题时常用 “模拟”、“数字”二词。 连续性的周期信号可表示为 x(t)=x(t+nT0) (n=0,1，2，) 离散性的周期信号可表示为 x(n)=x(n+mk) (m=0, 1, 2,) 只要给出周期信号在任一周期的函数或波形，便可确知它在任一时刻 的数值。

6、例如 集中参量的单自由度振动系统（图2-3）作无阻尼自由振动时， 其位移x(t)就是确定性的，可用式（2-3）来确定质点的瞬时位置 非周期信号将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期 信号。包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。 准周期信号准周期信号是由有限个周期信号合成的，但各周期分量之间无 法找到公共周期，因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。 例如 是两个正弦信号的合成，其频率比 ，不是有理数，不成谐波关系。 瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，或随着时间的增长而衰减至 零的信号。 如有阻尼振动系统的位移信号、用锤子敲击 物体时的敲击力信号。图2-4是后者的波形， 其数学表达式

7、为式 (0t) （25） ( )sinsin2x ttt 12 /1/ 2 sin t FAet 3.能量信号与功率信号 能量信号在无限时间周期内，信号的总能量是个有限的数值而非 无穷大，这种信号我们称之为能量信号。 例如 单个方波、单个三角波 功率信号在无限时间周期内，信号的总能量为无穷大，但其平均 功率不为无穷小，而为有限值。这种信号我们称之为功率信号。 例如 周期方波、周期三角波等 （15） （16） 2 ()xtdt 2 1 2 2 21 ( ) 1 ( ) t t xtd t xtd t tt 4实信号与复信号 实信号物理可实现的信号都是时间的实函数，其在各时刻的函数值 均为实数。

8、例如，单边指数信号、正弦信号、余弦信号等，统称为实信号。 复信号虽然实际上不能产生复信号，但为了 理论分析的需要，常常利用复信号的概念。在连 续信号中最常用的是复指数信号。 复指数信号可表示为 ( )(1 9) st x tet 式中 s=j复数； s的实部，常记做Res； s的虚部，常记做Ims； 根据欧拉公式，上式可展开为 () ( )cossin(1 10) jttt x teetjet 实部 表示余弦指数； R e c o s, s tt eet 虚部 表示正弦指数。 I m s i n, s tt eet 复指数的一些重要性质： 1）它对时间的微分和积分仍然是复指数信号。 2）任何时

9、间信号总可以表示成为复指数信号的离散和或连续和。 实信号示例 周期方波、周期三角波、准周期信号等。 信 号 非确定性信号 平稳随机过程 非平稳随机过程 非周期信号 瞬变非周期信号 准周期信号 复杂周期信号 简单周期信号周期信号确定性信号 各态历经随机过程各态历经随机过程 非各态历经随机过程非各态历经随机过程 三、信号的时域描述和频域描述 时域描述又称为波形描述是指测 量中所观测到或记录到的信号以时间 为独立变量，则称为信号的时域描述。 信号的时域描述一般能反映信号的幅 值随时间变化状态，但不能直接反映 信号中的频率信息。 频域描述又称频谱描述是指测量中所观测到或记录到的信号转换成以 频率作为独

10、立变量来描述信号称为信号的频域描述。它可表述信号的频率 结构、各频率成分的幅值、相位关系。信号的时域描述和频域描述可以通 过适当的方法相互转换，而且包含同样的信息量。 用坐标图描述信号时，若横坐标为时间t，纵坐标为幅值的描述方 式称为时域描述。若横坐标为频率f(或圆频率)，则称为频域描述。 这时实际上也是将信号中的各频率成分按序排列，故称之为信号的“频 谱”。对横坐标为频率，纵坐标为幅值的称为幅频谱；而对横坐标为频 率，纵坐标为相位的称为相频谱，图25为一个周期方波信号的时域及 幅频谱、相频谱的图形。 信号时域波形 信号频域幅频谱 第二节 周期信号与离散频谱 一、周期信号的分解 傅立叶级数任何

11、周期信号在有限区间上，当其满足狄里赫来 条件时，都可展开成一系列正交函数的线性组合的无穷级数。 傅立叶级数有多种形式 三角展开式、复指数展开式是常见的形 式 1、傅立叶级数三角展开式 00 1 ( )sin(),(1,2,3,) nn n x taAntn 把x(t)展开成下式 展开过程如下： 000 1 ( )(cossi,(1,n2),3,) nn n nx taantbt 式中 a0常值分量 an余弦分量的幅值 bn正弦分量的幅值 T0周期； 0园频率， n1，2，3， 0 0 / 2 0 / 2 0 1 ( ) T T ax t dt T 0 0 /2 0 /2 0 2 ( )cos

12、T n T ax tntdt T 0 0 / 2 0 / 2 0 2 ( )sin T n T bx tntdt T 0 0 2 T (2-12) n次谐波的振幅，它是n的偶函数； 可见，周期信号是由一个或几个，乃至无穷多个不同频率的谐波叠 加而成的。 其中第一项a0是常值项，它是周期信号中所包含的直流分量； 第二项中 称为谐波，An是n次谐波的振幅，n是 其初相角。 表示周期信号可以分解为各次谐波之和。 通常把0称为基频，n是整数序列，各次谐波成份的频率都是0的 整倍数。 相邻频率的间隔 02/T0 。 三角展开式中 22 nnn Aab n次谐波的相位，它是n的奇函数； arc tan n

13、 n n a b 0 sin() nn Ant 讨论： 如果x(t)为偶函数 a00,an0,bn=0 傅立叶级数为 常数项+余弦项 如果x(t)为奇函数 a0=an=0,bn0 傅立叶级数为 正弦项 如果为x(t)=-x(t+T/2)称旋转对称函数 a0=0,a2n=0,b2n=0;a2n+10,b2n+10, 傅立叶级数为奇次谐波函数 用正交函数集来表示周期信号，另一种常用的方法是傅立叶级 数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。 三角级数与指数级数并不是两种不同类型的级数，而只是同一 级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化 更便于计算。 根据欧拉公式 2、傅立叶级数的复指

14、数展开式 cossin,cossin 1 cos 2 1 sin 2 j tj t j tj t j tj t etjt etjt tee tjee 式（1-7）改写为 0000 00 000 1 0 1 0 1 ( )(cossin) 1 ()() 22 11 ()() 22 nn n jntjntjntjnt nn n jntjnt nnnn n x taant bnt j aaeebee aajb eajb e 令 00 1 () 2 1 () 2 nnn nnn cajb cajb ca 上式可化为： 00 0 0 11 ( ) ( )0, 1, 2,) jntjnt nn nn jn

15、t n n x tcc ec e x tc en 即：（ 0 0 2 00 0 2 2 12 ( )cossin 2 nn n T T ajb c x tntjnt dt T 0 0000 0 0 0 0 2 0 2 2 0 2 111 ( ) 222 1 ( ) T jntjntjntjnt n T T jnt T j cx teejeedt T x t edt T 22 arctan n n j nnRnIn nI nnRnI nR c ccjcc e c ccc c n 在一般情况下 是复数，可以写成 式中： ， 负频率说明 000 22 11 (),() 22 11 22 nnnnnn

16、 nnnnn C aA Cajb Cajb CCAab 三、周期信号的强度表述 周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和 平均功率来表述 1.峰值和峰峰值 max ( ) p pp xx t x 为最大瞬时值与最小瞬时值之差 对信号的峰值和峰一峰值应有足够的估计，以便 确定测试系统的动态范围。 一般希望信号的峰一峰值 在测试 系统的线性区域内，使所观测(记 录)到的信号正比于被测量的变化 状态。如果进入非线性区域， 则 信号将发生畸变，结果不但不能正 比于被测信号的幅值，而且会增生 大量谐波。 2。均值和绝对均值 0 0 00 00 1 () 1 () T x T x uxtd t T uxt

17、d t T 信号的常值分量和周期信号全波整流后的均值 3。均方值和均方根值 （有效值） 0 0 2 00 2 m a x 00 1 () 1 () T a v T Pxtd t T xxtd t T 信号的峰值、绝对均值和有效值可用三值电 压表来测量，也可用普通的电工仪表来测 量。 峰值可根据波形折算或用能记忆瞬峰示值的 仪表测量，也可以用示波器来测量。 均值可用直流电压表测量。 当信号是周期交变的，如果交流频率较 高，交流成分只影响表针的微小晃动，不 影响均值读数。 当频率低时，表针将产生摆动，影响读 数。这时可用一个电容器与电压表并接， 将交流分量旁路，但应注意这个电容器对 被测电路的影响

18、。 值得指出，虽然一般的交流电压表均按有效 值刻度，但其输出量(例如指针的偏转角) 并不一定和信号的有效值成比例，而是随着 电压表的检波电路的不同，其输出量可能与 信号的有效值成正比例，也可能与信号的峰 值或绝对均值成比例。 不同检波电路的电压表上的有效值刻度，都 是依照单一简谐信号来刻度的。 这就保证了用各种电压表在测量单一简 谐信号时都能正确测得信号的有效值，获 得一致的读数。 然而，由于刻度过程实际上相当于把检 波电路输出和简谐信号有效值的关系“固 化”在电压表中。这种关系不适用于非单 一简谐信号，因为随着波形的不同，各类 检波电路输出和信号有效值的关系已经改 变了，从而造成电压表在测量

19、复杂信号有 效值时的系统误差。这时应根据检波电路 和波形来修正有效值读数。 三、周期信号的频域描述 幅频谱 幅频谱是指周期信号各谐波分量的幅 值与频率或角频率之间的关系。 单边幅频谱图An 双边幅频谱图Cn 实频谱图Re(Cn) 虚频谱图Im(Cn) 相频谱 相频谱是指周期 信号各谐波分量的初 相与频率之间的关系。 0 arctan arctan90 n n n n n n nn n n a b b a 为奇函数 例1-1 求图1-6中周期性三角波的傅立叶级数并 画出其频谱图。 解 在的一个周期信号可 表示为: 0 0 0 0 2 ,0 2 ( ) 2 ,0 2 TA Att T x t TA

20、 Att T 例-1 求图2-6中周期性三角波的傅立叶级数。 解: 在的一个周期信号可表示为 常值分量的幅值 0 0 0 0 2 0 2 ( ) 2 0 2 TA Att T x t TA Att T 0 2 0 0 00 22 () 2 T A aAt dt TT A 余弦分量的幅值为 0 0 0 0 2 00 0 2 2 0 000 2 00 0000 2 ( )cos 42 ()cos 412 ()cos() T T T T ax tntdt T A Atntdt TT A Atntd nt TnT cos )( 2 )(sin 2 1 sin 2 sin 2 )sin( 2 2 0 0

21、 2 0 2 0 0 00 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 00 T T T TT tn n A tntdn nT A n tdtn T A tnt T A tnA n 2 2 0 0 22 2 0 0 2 0 0 0sin)( 1 ,6,4,2,0 ,5,3,1, 4 cos1 )( 2 2 cos1 )( 2 T T n tdtntx T b n n n A n n A T n n A 该周期性的傅立叶级数展开为 各频率分量的幅值 各频率分量的相位 000 222 0 22 1 000 000 222 0 0 22 1 411 ( )(coscos3cos5) 23

22、5 41 cos(1,3,5,) 2 411 sin(90 )sin(390 )sin(590 ) 235 41 sin(90 )(1,3,5,) 2 n n AA x tttt AA ntn n AA ttt AA ntn n 222 nnnnn Aabaa 0 arctan90 n n n a b 从幅频图上可见谐波 的幅值是以 的规 律收敛。 2 1 n 例1-2 画出余弦、正弦函数的频谱图。 解：根据式1-15得 余弦函数只有实频谱图，且与纵轴偶对称； 正弦函数只有虚频谱图，且与横轴奇对称； 00 00 0 0 1 cos() 2 1 sin() 2 jtjt jtjt tee tje

23、e 图是这两个函数的频谱图 四、周期信号幅频谱具有三个特点 周期信号的频谱是离散的离散性 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基 波频率是诸分量频率的公约数谐波性 各频率分量的谱线的高度表示该谐波的 幅值。工程上常见的周期信号，其谐波幅 值总的趋势是随谐波次数的增高而减少 收敛性 有了收敛性在谱分析中就没有必要取那些 阶次过高的谐波分量。 时域收敛越快，则频域收敛越慢，反之 亦然。 第三节 瞬变非周期信号极其连续频谱 一、瞬变非周期信号的 谱密度与傅立叶变换 一）公式推导 周期为T0的信号x(t)其频谱是离散的 当x(t)的周期 时，则该信号就成为非周期信号了 周期信号频谱谱线的频率间隔为 ，

24、 当周期趋于无穷大时，其频率间隔趋于无穷小，谱 线无限靠近，变量 连续取值以致离散谱线的顶 点最后演变成一条连续曲线。 所以非周期信号的频谱是连续的。可以将非周期信 号理解为由无限多个、频率无限接近的频率成分所 组成的。 0 T 0 0 2 T 周期信号x(t)的傅立叶级数复指数形式为： 0 ( ) jnt n n x tc e 0 0 0 2 0 2 1 ( ) T jnt n T cx t edt T 0 00 0 2 0 2 1 ()() T j ntj nt nT xtxted te T 当周期趋于无穷大时，有 0 ,dn 于是有 ( )( ) 2 1 ( ) 2 1 ()( ) 2

25、jtjt jtjt jt d x tx t edt e x t edt ed Xx t edt 令 ： 于是有如下式子： 1 ()() 2 ()() ()() 1 ()() 2 jt jt jt jt Xxted t xtXed Xfxted t xtXed 和 称为傅立叶变换对，也可以写成 和 2 2 ( )( ) ( )( ( ) 2 )2) jft jft X fx t edt f X x fX tX f edt 把的关系代入上式，则可得如下傅立叶变换对 其中 和 有： 一般X(f)是实变量f的复函数，可以写成 式中: X(f) 为信号x(t)的连续幅值谱， (f)为信号x(t)的连续相

26、位谱 () ( )( )(1 30) jf X fX fe 由于当周期无限增长时，各频率分量的幅度也都趋近于 无穷小，因此X(f)不是频率为f的分量的幅值，而是f分 量邻近单位频宽上的幅值，量纲是单位频率的幅值。 它类似于物质的密度定义，故称X(f)为频谱密度。本 书为了方便起见，在不会引起紊乱的情况下，仍称 X(f)为频谱。 傅立叶积分的物理意义： 如信号x(t)符合以下两个条件: （1）在无限区间上满足狄里赫来条件； （2）在无穷区间上绝对可积. 则该信号可以分解为无穷多个幅值无穷小的谐 波分量之和即积分。 ()xtd t 二）瞬变非周期信号的描述 时域描述 频域描述 幅频谱 幅频谱是指非

27、周期信号频率分量的幅值密度与频率之间的 关系。即X(f)f; 相频谱 相频谱是指非周期信号各频率分量的相位频率之间的关系。 即(f)f 例2-3 求矩形窗函数w(t)的频谱。 解：函数w(t)(图2-12)的表达式为 1 2 ( ) 0 2 T t w t T t 常称为矩形窗函数，其频谱为 2 2 2 2 ( )( ) 1 () 2 jft T jft T j Tfj Tf W fw t edt edt ee jf 将 代入上式得 1 sin()()() 22 jfTjfTjfTjfT j fTeeee j sin() ( )sin ()(1 33) fT W fTTcfT fT 式中T称为

28、窗宽。其频谱见图(2-13) W(f)函数只有实部，没有虚部。其幅值频谱为 其相位谱视sinc(fT)的符号而定。 当sinc(fT)为正值时相角为零，当sinc(fT)为负值时相角为。 在这里我们定义了一个函数sinc=sin/，该信号在信号分析中 很有用，它有很多名称，采样函数、抽样函数、滤波函数、内插函 数等。 ( )sin ()(2 38)W fTcfT 它的图形见图2-14，有以下主要性质： 1.以2为周期，随自变量增大而做衰减振荡。 2.sinc函数为偶函数 3.时域有限，频域无限 4.值为窗的面积；频谱的第一个过零点为窗长的倒数 三）瞬变非周期信号幅频谱具有三个特点 瞬变非周期周

29、期信号的频谱是连续的连续性。 因为基波为无穷小谱线是连续的出现在任何频率上，基波频率 是诸分量频率的公约数非谐波性。 各频率分量的谱线的高度表示该谐波的幅值。其谐波幅值总的 趋势是随谐波次数的增高而减少收敛性。 二、傅立叶变换的主要性质 1、函数的奇偶虚实性 2、线性叠加性 3、对称性 4、时间尺度改变特性 5、时移、频移特性 6、卷积特性 7、微积分特性 奇偶虚实性 2 ()( ) ( ) cos 2( ) sin 2 R e()Im() jft Xfx t edt x tftdtjx tftdt XfjXf 如果x(t)为实偶函数，则X(f)为实偶函数 如果x(t)为实奇函数，则X(f)为

30、虚奇函数 如果x(t)为虚偶函数，则X(f)为虚偶函数 如果x(t)为虚奇函数，则X(f)为实奇函数 例如：矩型窗函数 、线性叠加性 11 1 ( )( ), ( )( ) ( )( )( )( ) FF FF F F x tX fy tY f x tby taX fbY f 如 则a 其中：a、b为常数 、对称性 1 1 ( )( ) ( )() F F F F x tX f txf 如 则X 证明如下： 2 2 2 ( )( ) ()( ) ()( ) () jft jft jft x tX f edf tt xtX f edf tf xfX t edf xf -1 F F 以替换 得 将

31、 和 互换，即得 所以X(t) 证毕 、时间尺度改变特性 1 1 ()() ( )( ) 1 ()() 11 () F F F F f kt ft k x tX f f x ktX kk dtd kt kk -j2 -j2 - 如 则 证明如下： f x(kt)ex(kt)eX() k 时域扩展，比例缩小 （k1，k=2）; 则，频域宽度变宽，幅值降低，能量往高频段分散； 对后续设备、仪器的频带要求高，但效率高； 例如：磁带慢录快放； 、时移和频移特性 1 0 1 0 1 2 0 2 0 ( )( ) ()( ) ( )() F F F jft F F jf t F x tX f x ttX

32、f e x t eX ff 如 则 和 、卷积特性 11 1 1 1122 1212 1212 2 12 2 12 2 12 ( )( ),( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )*( ) ( )() ( )() ( )( ) FF FF F F F F jft jft j x tXfx tXf x tx tXf Xf x t x tXfXf xx tdedt xx tedt d xXf e 如 则 现以时域卷积为例证明如下： 2 21 12 ( )( ) ( )( ) f jf d Xfxed Xf Xf = 、微积分特性 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( 2)(

33、) ( ) 2)( ) 1 ( )( ) 2 F F F n n F n F n n F t F F x tX f x t jfX f dt d X f jtx t df x t dtX f jf n 如 d 则 和 （ 同样： 三、几种典型信号的频谱 、矩形窗函数 2、函数及其频谱 函数的定义 在时间内激发一个矩形脉冲S(t)(或三角形脉冲、双边指数脉冲 、钟形脉冲等)，其面积为1(图116)。当0时，S(t)的极限 就称为函数，记作(t)。函数也称为单位脉冲函数。 (t)的特点有： 从函数值极限的角度 ,0 ( ) 0,0 t t t 从面积的角度来看 0 ( )lim( )1x dtt

34、dt 函数的采样性质 如果函数与某一连续函数f(t)相乘，显然其乘积仅在，t=0处为 f(0)(t)，其余各点(t0)之乘积均为零。 其中f(0)(t)是一个强度为f(0)的函数； 从函数值来看，该乘积趋于无限大，从面积(强度)来看，则为f(0) 。 ( ) ( )( ) (0) (0)( )(0)(149) t f t dtt fdt ft dtf 同理，对于有延时t0的函数 (t-t0)，它与连续函数f(t)的乘积只 有在(,)时刻不等于零，而等于强度为f(t0)的函数； 在(,)区间内，该乘积的积分为 000 0 () ( )() ( ) ( )(1 50) ttf t dtttf t

35、dt f t (141)和(142)表示函数的采样性质。此性质表明任何函数f(t)和 (t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的函数(t-t0)，而该乘积在无 限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。 这个性质是连续信号离散采样的依据。 函数与其他函数的卷积 任何函数和函数卷积是一种最简单的卷积积分。 例如，一个矩形函数x(t)与占函数的卷积为(图216a)： 同理，当函数为(tt0)时（图1-16b), ( )( )( ) () ( ) ()( )(1 43) x ttxtd xt dx t 00 0 ( )()( ) () ()(1 44) x tttxttd x tt

36、可见函数x(t)和函数的卷积的结果，就是在发生函数的坐标位置上 (以此作为坐标原点)简单地将x(t)重新构图。 函数的频谱 将的傅立叶变换和逆变换为下式，其图形见图(2-17)进行傅里 故知时域的函数具有无限宽 广频带的频谱，而且在所有的 频段上都是等强度的(图2-17)， 这种频谱常称为“均匀谱” (t)的傅立叶逆变换 (t)的傅立叶变换 20 ( )( )1 jft ft edte 2 ( )1 jft tedf 根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质，可以得到下列傅里叶 变换对： 3、正、余弦函数的频谱密度函数 由于正、余弦函数不满足绝对 可积条件，因此不能直接应用 式(232)进行傅

37、里叶变换， 而需在傅里叶变换时引入函 数。 根据欧拉公式正、余弦函数可 以写成 可认为正、余弦函数是把频 域中的两个函数向不同方 向频移后之差或和的傅里叶 逆变换。 00 00 22 0 22 0 1 sin2() 2 1 cos2() 2 jf tjf t jf tjf t f tjee f tee 000 000 1 sin2()() 2 1 cos2()() 2 f tjffff f tffff 因而可求得正、余弦函数的傅里叶变换如下(图1) 4、周期单位脉冲序列的频谱 如图219所示的等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数，并 用comb(t,Ts)表示，即令 式中Ts为周期；n为整数

38、，n=0,1,2,。因为此函数是周期函数， 所以可以把它表示为傅里叶级数的复指数函数形式 式中fs=1Ts，系数Ck为 ( , )()(1 58) ss n comb t Tt nT 2 ( , )(1 59) s jkf t sk k comb t TCe 2 2 2 1 ( ,) s s s T jkf t Tks s Ccomb t T edt T 因为在(-Ts/2，Ts/2)区间内，式(2-50)只有一个函数，而当t=0 时， ，所以 20 1 s jf t ee 2 2 2 11 ( ) s s s T jkf t Tk ss Ct edt TT 因为 这样，式(1-59)可写成

39、于是comb(t,Ts)的频谱(图120)，comb(f,fs)，也是梳状函数 2 1 ( ,) s jkf t s k s comb t Te T 2 () s jkf t s efkf 11 ( , )()()(1 60) ss nn sss k comb f ffkff TTT 由图1-20可见，时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。 若时域周期为Ts，则频域脉冲序列的周期为1/Ts； 时域脉冲强度为1，频域中强度为1/Ts。 总结 傅立叶积分的公式推导 傅立叶变换的物理意义 瞬变非周期信号的频域描述 傅立叶变换的主要性质 几种典型信号的频谱 本章思考题 1、信号有几种常用的分类方

40、法？ 2、信号频域描述有什么用处？ 3、频谱、频谱图、谱线、单边幅频图、双边 幅频图等概念？ 4、在测试中如何应用傅立叶积分的性质和典 型信号的频谱来对动态测试信号进行频域 描述？ 5、周期信号、非周期信号幅值频谱的特点？ 6、随机信号的主要特征参数有哪些？ 7、描述周期信号、非周期信号所采用的数学工具分 别是什么？他们的物理意义是什么？ 8、单边频谱与双边频谱的关系？ 9、信号分析的实质是什么？ 10、抽样函数的频谱是什么？ 11、幅频谱的物理意义是什么？ 12、矩形窗函数、Comb函数在测试中各有有什么 作用？ 13、准周期信号是能量信号还是功率信号？它的频 谱图是什么？ 14、如何用简谐

41、信号合成一个周期信号？ 第四节 随机信号 一、概述 1、样本函数对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录被称 为样本函数。 2、样本记录对随机信号按时间历程所作的各次有限长时间观测记录 被称为样本记录。 3、随机过程在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是 随机过程。 x(t)=x1(t),x2(t),xi(t), （161） 4、集合平均随机过程的各种均值（均值、 方差、均方值和均方根值）的计算是将集 合中所有样本函数对同一时刻的观测值取 平均。 5、时间平均随机过程的各种均值（均值、 方差、均方值和均方根值）的计算如果是 按某单个样本函数的时间历程进行平均的 计算叫作时间平均。

42、 根据集合平均和时间平均的关系不同可对随机过程进行 分类。 随机过程分类：平稳随机过程和非平稳随机过程。 而平稳随机信号又分为各态历经平稳随机过程和非各态 历经平稳随机过程 信 号 非确定性信号 平稳随机过程 非平稳随机过程 非周期信号 瞬变非周期信号 准周期信号 复杂周期信号 简单周期信号周期信号确定性信号 各态历经随机过程 非各态历经随机过程 二、随机信号的主要特征参数 描述各态历经随机信号的主要特征参数有： 1)均值、方差和均方值； 2)概率密度函数； 3)自相关函数； 4)功率谱密度函数。 1均值、方差和均方值 （1）均值 （2）方差 （3）均方值 0 1 lim( )(162) T x T x t dt T 22 0 1 lim ( )(1 63) T xx T x tdt T 22 0 1 lim( )(1 64) T x T x t dt T 均值、方差和均方值之间的关系是 对于集合平均，则时刻的均值和均方值为 式中 M样本记录总数 i样本记录序号 ti观测时间 222 (165) xxx 1 ,1 1 1 lim( )(1 66) M x ti M i x t M 1 22 ,1 1 1 lim( )(1 67) M x ti M i xt M 2.概率密度函数随机信号的概率密度函数是表示幅值落在指定区间 内的概率。 当样本函