微积分第五章多元函数的微分学

1、calculus 5.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 5.2 多元函数的偏导数多元函数的偏导数 5.3 多元函数的全微分多元函数的全微分 5.4 多元复合函数及隐藏函数求导法则多元复合函数及隐藏函数求导法则 5.5 多元函数的极值多元函数的极值 5.6 多元函数微分法在经济上的应用多元函数微分法在经济上的应用 第五章第五章 多元函数的微分学多元函数的微分学 calculus 5.1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 一、平面点集一、平面点集 ( , ) ( , )Ex yx yP满足条件 2 ( , ), XOY Rx yxy 平面上所有点的集合例例1: 2 1 ( , )Ex

2、y yx 例例2: y x o 2 yx calculus x -r r r 222 2 ( , )Ex y xyr 例例3: y -r o (0)r calculus 二、邻域二、邻域 222 00 00000 ( , ) ()(),0 (,)(, ). x yxxyy P xyU PP 点集称为点 的 邻域.记为称为邻域的 中心， 为邻域的半径； 0 P 0 P 22 00 000 ( , )|0()()0 (,) x yxxyy P xy 点集， 称为点的空心 邻域. calculus EEAA EAE 设有点集 和属于 的一点 ，如果存在点 的一个 邻域，此邻域内的点都属于 ，则称 为

3、点集 的 内点. 内点内点: EEBB EB E 设有点集 和不属于 的一点 ，如果存在点 的一 个邻域，此邻域内的点都不属于 ，则称 为点集 的外点. 外点外点: ECCEE CE ECEE E 设有点集 和一点 ， 可以属于 也可以不属于 如果 点的任何一个邻域内既有属于 的点又有不 属于 的点，则称 为点集 的边界点. 点集 的边 界点的全体称为点集 的边界. 界点界点: calculus E 边界点边界点 外点外点 内点内点 A B C calculus E . 1 P 2 P E E 如果点集的每一点都是内点，则称点集 为开集. 开集开集: 12 ,EP PE E 若对于开集中的任意

4、两点都有 中的折线连接起来，则称为开区域. 开区域开区域: calculus 注意：开集不一定是开区域注意：开集不一定是开区域 3 ( , )0Ex y xy例如： 1 P 2 P 3 E 是开集， 但不是开w区域.（ hy?） y x o calculus 开区域连同它的边界的集合称为闭区域.闭区域闭区域: 区域区域:开区域，闭区域或开区域连同它的部分 边界的集合称为区域. 0 xy x y o 不包含边界的区域称为开区域 4 ( , )0Ex y xy例如：是开区域 calculus x y 2 5 ( , ) 01,02Ex yxy是区域 1o 1 2 x y 22 6 ( , )14E

5、x yxy是闭区域 calculus E若区域 可以包含在以原点为中心的一个圆内，则 称它是一个有界区域,否则，就称为无界区域. 4 ( , )0Ex y xy例如：是无界区域， 有界区域与无界区域有界区域与无界区域 5 ( , ) 01,02Ex yxy是有界区域, 22 6 ( , )14Ex yxy是有界区域. calculus 二、空间解析几何简介二、空间解析几何简介 1. 空间直角坐标系空间直角坐标系O-XYZ(右手法则右手法则) o o x y z 坐标轴坐标轴: oxoyoz 坐标原点坐标原点: 坐标平面坐标平面: xoyyozxoz 卦限卦限:八个卦限八个卦限 x y z o

6、2.空间任意一点的坐标空间任意一点的坐标 P P 0 P x y z ),(zyx ( ,0,0)x(0, ,0)y(0,0, ) z (0,0,0) ( , ,0)x y(0, , )y z( ,0, )xz calculus 12 3PP、空间任意两点的距离 1111222212 12 (),()P x y zP xyzPP PP 设有空间两点, ,过点 、 各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，这六个平 面围成一个长方体. 是它的一条对角线. 222 12212121 ()()()PPxxyyzz 2222 1212 222 212121 ()()() PPPAABBP xxyyzz 如图:

7、 calculus 222 1212 PPPBBP O 2 x x y z 1 x A B 1 P 2 P 1 y 2 y 222 12 PAABBP 222 212121 ()()()xxyyzz 222 12212121 ()()()PPxxyyzz calculus 4、空间曲面与曲面方程空间曲面与曲面方程 定义定义 ( , , )0, ( , , )0,( , , )0 ( , , )0 S F x y zS F x y zF x y zS SF x y z 如果曲面 上任意一点的坐标都满足方程 而不在曲面 上的点都不满足方程 那么方程称为曲面 的 方程，而曲面 称为方程的曲面. (1

8、) 0 , , ,0. AxByCzD A B C DA B C 平面方程的一般形式 其中均为常数; 不全为 calculus 1 ( ,0,0),(0, ,0),(0,0, ) 0,0,0. xyz abc abcx yzabc （2）平面方程的截距式 且为此平面分别与 轴 轴， 轴的交点. (3)特殊平面的方程 0 xoyz 平面：； 0yozx 平面：； 0 xozy 平面：； (0)xoyzcCzD平行于平面的平面: yozxa平行于平面的平面: xozyb平行于平面的平面: calculus (4) 球面方程 0000 (),P xyzR球心为点,半径为 的球面方程 (),P x y

9、 z设, , 为球面上任意一点 则 0 P PR o x y z 222 000 ()()()xxyyzzR即 2222 000 ()()()xxyyzzR球面方程为 calculus 000 2222 00,0 xyz xyzR 当球心为原点，即, 球面方程为 222 zRxy且为上半球面 222 zRxy 且为下半球面 calculus (5) 柱面方程 M C L L C ML L C 如图：设有动直线 沿一给定的 曲线 移动，移动时始终与给定 的直线平行，这样由直线 的 轨迹所行成的曲面称为柱面. 动直线 称为柱面的母线， 定曲线 称为柱面的准线. ( , )0zF x y 母线平行于

10、 轴的柱面方程为： calculus 222 xyR圆柱面： o x y z 2 20(0)xpyp抛物柱面： x y z o ( , )0 ( , )0 xoyF x y oxyzF x yz 注意：在平面上表示一条曲线,在空间 坐标系中表示一个母线平行于 轴的柱面. ( , )0 ( , )0 xF y z yF x z 同理：母线平行于 轴的柱面方程： 母线平行于 轴的柱面方程： calculus 2222 xya z 圆锥面方程 (6) o x y z calculus 222 222 1 xyz abc o x y z 椭球面方程(7) calculus 22 22 xy z ab

11、椭圆抛物面方程(8) x o z y calculus 22 22 yx z ba -5 0 5 -10 0 10 -4 -2 0 2 4 -5 0 5 -10 0 10 双曲抛物面方程 (9) 马鞍面 calculus 三、多元函数的极限与连续三、多元函数的极限与连续 1、多元函数的定义多元函数的定义 定义定义1: , , , ( , ) ( , ) x y zx y Dx y zf zxy zf x y 设有三个变量若当变量在其允许的 范围 内任意取定一对有序数组时，变 量 依某一确定的法则 有唯一确定的值与之 对应，则称变量 为变量 与 的二元函数, 记为 ( ). xyzf DzD f

12、 其中 、 称为自变量， 也称因变量， 称为对应法 则， 称为函数 的定义域，记为 二要素：定义域，对应法则；值域随之而定. n同理可定义三元函数以及 元函数. 二元及二元以上的函数称为多元函数二元及二元以上的函数称为多元函数 calculus 2、二元函数的几何意义、二元函数的几何意义 ( )yf xxoy一元函数表示平面上的一条曲线 ( , ) ( ) zf x yoxyz D fxoy 二元函数对应空间坐标系中的 一张曲面，其定义域恰好是该曲面在 平面上的投影 D x z y o p x y M ( , )zf x y calculus ( , ) ( , )( , ) zf x y f

13、 x yx y 如果不考虑实际应用，二元函数的定义域 是指使函数有意义的点组成的平面区域 3、定义域的求法、定义域的求法 22 0 1 yx x xy 22 ln() 1 x zyx xy 求函数的定义域例例1: 22 0 0 10 yx x xy 由 解解: calculus 22 ( )( , )10D fx y xyyxx 定义域为： 且且 y x o yx 22 1xy calculus arcsin()zxy求函数 =的定义域 例例2: 解解: ( )( , )11D fx yxy 定义域为： x y 1xy 1xy o calculus 4、对应关系的求法、对应关系的求法 例例3:

14、 32 1 2 ( , )23,(1,1),( ,)f x yxxyyff x y 设求 解解: 32 1 1 (1,1)(23)2 x y fxxyy 32 ( , )23f x yxxyy 32 1 21122 ( ,)( )2( ) ( )3( )f x yxxyy 32 1412 xxyy calculus 22 ()( , ) y f xyxyf x y x 设，求 222 22 2 (1)(1) ()()() 11(1)1 uuvuvuv f uv vvvv ， 例例4: 解解: 1 11 yu uxyyuxvv xx uuv xy vv 令，； 则， 2 (1) ( , ) 1

15、xy f x y y calculus 22 2 22 2 ()() () ()(1)()(1) 11 ()(1)()(1) 1 ()(1) 1 y f xyxyxyxy x yxy xyxxy xxyx yy xyxy xyy xx xx y xy x y x ， 2 (1) ( , ) 1 xy f x y y calculus 5、二元函数的极限、二元函数的极限 000 0 0 00 ( , )(,) ( , )(,) ( , ) ( , ) ( , ), lim( , )lim( , ) 2 xxx yxy yy zf x yP xy PP x y PP f x yA Azf x yx

16、xyy f x yAf x yA 000 0 设函数在点的某一去心邻域 内有定义(在点 是否有定义不予考虑)，是该去 心邻域内的任一点，如果 以任何方式趋近于 时，函 数的对应值都趋近于同一个确定的常数 ，则称 是函数当时的极限（又称 二重极限） ，记 作 定义 ： 或 0,0 ( , )()f x yAxx yy 0000 00 ( , )(,) 00 P x yP xyPP xxyy 注：趋近于是指 与 的距离趋近于零 等价于且 calculus 例例1:22 ,0 ( , ) 00 xy x y xyf x y xy 不同时为 0 0 lim( , ) x y f x y 讨论 解解:

17、(00)(0 0)()0 ( , )( ,0)0(00) (00)(0 0)()0 ( , )(0)0(00) Pxxyf xy f x yf xxy Pyxyf xy f x yfyxy 当点 沿 轴 此时，趋近于原点 ，时， 故有 ， 当点 沿 轴 此时，趋近于原点 ，时， 故也有, ， 2 22222 0 0 (0 0) ( , )(00) ()(1)1 ( , ) lim( , ) x y Pymx x mxmxm f x yxymx xmxmxm f x ymm f x y 然而当点 沿直线趋近于原点 ，时，有 ， 此时趋近于一个与 有关的常数，它随 不同而不同，故 不存在. cal

18、culus calculus 例例2: 2 22 ,0 ( , ) 00 x y x y f x yxy xy 不同时为 0 0 lim( , )0 x y f x y 求证： 22 2222 00 00 0 0 0( , ) 000000 lim()=0lim( , ) =0 lim( , )0 xx yy x y x yx f x yyyxy xyxy xyxy xyf x y f x y 证明:因为 当且时，且 即由夹逼定理 所以 calculus 22 , xy ex ey 22 22() 11 0() xy x y xyxyxy xyee xye eeeeee ( , )(,) 11

19、 lim()0 xy x y ee 22() ( , )(,) lim() x y x y xye 解：因为解：因为x, y 充分大时，充分大时， 由夹逼定理得由夹逼定理得 又因为又因为 0 22() ( , )(,) lim() x y x y xye 所以所以 求求 calculus 6、二元函数的连续性、二元函数的连续性 定义定义3 00 00 ( , )(,) lim( , )(,) x yxy f x yf xy 若若 则称函数则称函数),(yxf在点在点),( 00 yx处处连续连续 若函数若函数),(yxfz 在区域内每一点都连续，在区域内每一点都连续， 则称函数则称函数),(y

20、xf在内在内连续，连续，或称或称),(yxf是内的连续函数是内的连续函数 若函数若函数),(yxf在点在点),( 00 yx处不连续，处不连续， 则称点则称点),( 00 yx为为),(yxf的的间断点 间断点 例如，例如，, 1 1 sin 22 yx z 间断点为：间断点为：1| ),( 22 yxyx calculus 2 22 ,0 ( , ) 00 x y x y f x yxy xy 不同时为 0 0 lim( , )0 x y f x y (0,0)0f因为 所以函数所以函数),(yxf在点在点(0,0)处处连续连续 0 0 lim( , )(0,0) x y f x yf 即

21、calculus 在有界闭区域上二元连续函数具有性质：在有界闭区域上二元连续函数具有性质： 性质性质（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 在有界闭区域上的连续函数，必定在在有界闭区域上的连续函数，必定在D上有界，且能取得它的上有界，且能取得它的 最大值和最小值最大值和最小值 性质性质（介值定理）（介值定理） 在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最在有界闭区域上的连续函数，一定能够取得介于最大值和最 小值之间的任何数值小值之间的任何数值 二元初等函数二元初等函数在其定义区域内连续在其定义区域内连续 结论结论 二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数二元连续函数

22、的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数 二元连续函数的复合函数仍为连续函数二元连续函数的复合函数仍为连续函数 calculus ( , )(1,2) (1).lim x y xy xy 例例3 ( , )(1,2) xy f x y xy （因为是初等函数，点是其定义域内的点） . 2 3 21 21 ( , )(0,0) 24 (2).lim x y xy xy ( , )(0,0) lim (24) x y xy xyxy ( , )(0,0) 1 lim 24 x y xy . 4 1 calculus 一元函数的导数定义一元函数的导数定义 复习回顾复习回顾 0 00 00 0 0

23、0 ()() limlim ( )() lim xx xx f xxf xy xx f xf x x xx 定点 0 ()fx 0 0 ( )lim ()( ) lim( , ) x x y fx x f xxf x xa b x calculus 5.2 多元函数的偏导数多元函数的偏导数 00 (,)(,)fyfy 定义定义1设函数设函数),(yxfz 在点在点),( 00 yx某邻域内有定义，某邻域内有定义， 当固定当固定, 0 yy 而而x在在 0 x处有增量处有增量 x 时，函数有增量时，函数有增量 一、偏导数定义一、偏导数定义 0 xx 0 x 若极限若极限 0000 0 (,)(,

24、) lim x f xx yf xy x 存在，存在， 则称此极限值为函数则称此极限值为函数),(yxf在点在点 ),( 00 yx 处对处对x的偏导数的偏导数. 记作记作: , x z yy xx 0 0 , x f yy xx 0 0 0 0 ,x x x y y z 或或 00 (,). x fxy calculus 即即 00 (,) x fxy 0000 0 (,)(,) lim x f xx yf xy x 00 (,) x fxy 0 000 ),(),( lim 0 xx yxfyxf xx calculus ),(yxf在点在点),( 00 yx 处对处对的偏导数定义为的偏导

25、数定义为:类似类似,函数函数y 0000 0 (,)(,) lim y f xyyf xy y 00 (,) y fxy 00 (,) y fxy 0 000 0 (, )(,) lim yy f xyf xy yy 也记作也记作 , 0 0 yy xxy z 0 0 , x x y y f y 0 0 , x x y y y z 00 (,). y fxy 结论结论 00 (,) x fxy),( 0 yxf是一元函数是一元函数在点在点 0 x 处的导数处的导数, 00 (,) y fxy 0 ( , )f x y是一元函数是一元函数在点在点 0 y处的导数处的导数. 是数是数 calcul

26、us ( , ) x fx y x yxfyxxf x ),(),( lim 0 ( , ) y fx y 0 ( ,)( , ) lim y f x yyf x y y 视视 y 为常量，为常量， 对对 x 求导求导. 视视 x 为常为常 量，量， 对对 y 求导求导. 若函数若函数),(yxf 在区域在区域D内每一点内每一点),(yx 处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在, 偏导数就是偏导数就是yx,的函数的函数, 称为函数 称为函数),(yxf对对x的偏导的偏导(函函)数数. 记作记作 , x z , x f , x z ( , ) x fx y 类似定义函数类似定义函数),(yxf对

27、对的偏导数的偏导数.y 记作记作:, y z , y f ,z y ( , ) y fx y calculus 说明说明 偏导数偏导数 x u 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分; 对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时对二元函数求关于某一个自变量的偏导数时, 只需视其它变量为常量只需视其它变量为常量, 求导即可求导即可. 根据一元函数的求导根据一元函数的求导 公式和求导法则公式和求导法则, 同理可定义多元函数的偏导数同理可定义多元函数的偏导数 calculus 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义: 0 x x y z M o 0 y 00 (,) x fxy ),

28、( 0 yxf是一元函数是一元函数 在点在点 0 x 处的导数处的导数,由一元函数导数的几何意义知 由一元函数导数的几何意义知 00 (,) x fxy 在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线 0 ( , )zf x y yy 00 (,)xy( , )zf x y 0 ( ,)zf x y 在点在点),( 000 zyxM处的切线对处的切线对x轴的斜率轴的斜率. 类似类似, 00 (,) y fxy 在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线 0 ( , )zf x y xx 0 (, )zf xy 在点在点),( 000 zyxM处的切线对处的切线对轴的斜率轴的斜率.y calculus

29、二、偏导数的计算二、偏导数的计算 例例1.求求yxz2sin 2 的偏导数的偏导数. 解解 x z 2 (sin2 )2 sin2 x xyxy 22 (sin2 )2cos2 y z xyxy y 例例2.求求 22 3yxyxz处的偏导数处的偏导数.在点在点)2 , 1 ( 解解 x z 23 ,xy32 . z xy y 1 2 8 x y z x 1 2 7 x y z y calculus 例例3.求求 ) 1, 0(xxxz y 的偏导数的偏导数. 解解 x z zx ,yx y 1 z y y za ln . y xx 例例4.求求 222 uxyz的偏导数的偏导数. 解解 22

30、2 222 1 () 2 x u xyz x xyz 222 2 2 zyx x , x u u y 222 2 2 y xyz , y u u z 222 2 2 z xyz . z u calculus 例例5.已知已知 2 ( , )(1)arcsin x f x yxy y 求求: )1 , 2( x f 解解: 2 1( ,)( ,1)yf x yf xx把代入得 ( ,1)2 x fxx所以有 2( ,1)(2,1)4 xx xfxf把代入得 calculus 例例6.求函数求函数 在原点处的偏导数在原点处的偏导数. 解解 (0,0) x f 0 ( ,0)(0,0) lim 0

31、x f xf x x x x x 0 0 0 lim 2 0 , 0 (0,0) y f 0 (0, )(0,0) lim 0 y fyf y 2 0 0 0 0 lim y y y y 0. 二元函数在某一点处偏导数存在二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续但未必连续. 不存在不存在22 ( , )(0,0) lim x y xy xy ( , )(0,0)f x y 在点不连续. ( , )(0,0) lim( , ) x y f x y 而 22 0 () 00 xy xy xyf xy xy ， 不同时为 ， calculus 2 cos(5) zz zxy xy （1）设，求， a

32、rctan xy y zzz x （2）设，求 ， calculus 解解 答答 22 22 1sin(5) 55sin(5) sin(5) 22 sin(5) z xyxy x z xyyyxy y （） 2 2 2 222 22 1 ( ) 1 1 () xx y z yx x x y xyx y xy （2） 2 2 2 22 22 1 ( ) 1 1 yy y z yx x x xyx x xy calculus 作业作业 先看书 再做练习 练习练习5.2 P223： T1(1),(3), (6) T2 calculus 三、高阶偏导数三、高阶偏导数 设函数设函数 ),( yxfz 在

33、区域在区域D 内有偏导数内有偏导数 ( , ) x z f x y x ( , ) y z fx y y 若这两个函数的偏导数存在，若这两个函数的偏导数存在， 称其为函数称其为函数 ),( yxfz 的的二阶偏导数二阶偏导数 () z xx 2 2 z x ( , ) xx fx y () z yy 2 2 y z 2 2 f x xx z 2 2 f y yy z ( , ) yy fx y calculus () z yx yx z 2 xy z ( , ) xy fx y () z xy xy z 2 yx z ( , ) yx fx y 混合偏导数混合偏导数 类似可定义三阶、四阶及更高

34、阶的偏导数，类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数， 23 22 () zz yxxy 三阶偏导数三阶偏导数 3 2 个 四阶偏导数四阶偏导数 4 2 个 二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数. calculus , yyyx 322 33 x z y z 2 2 x z 解解 ,xxyyx 23 92 例例7.设设求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数. ,xyxyyxz13 323 () z xx ,xy 2 6 yx z 2 () z yx ,yyx196 22 xy z 2 () z xy ,yyx196 22 2 2 y z () z yy 3 218 .

35、xxy 3 3 y z 2 2 () z yy 18 , x 再求再求 yx z 2 32 2 () z yx 12.xy calculus 2 2 x z 例例8.验证函数验证函数 22 yxlnz 满足方程满足方程 . y z 0 2 2 证证 22 1 ln() 2 zxy x z y z 2 2 x z 2 2 y z , yx x 22 22 ( y xy 对称性） 22 222 ()2 () xyxx xy , )( 222 22 yx xy 22 222 ()2 () xyyy xy 22 222 () xy xy 2 2 x z 2 2 y z 22 222 () yx xy

36、22 222 () xy xy 0. calculus 00 0000 ( , ) ( , ) ( , ),(,) (,)(,) xy yx xyyx zf x yD fx y fx yxyD fxyfxy 设函数在区域 内连续，并且存在 一阶偏导数及二阶混合偏导数和 如果在某点这两个二阶 混合偏导数连续，则必有 定理定理1 若函数若函数 ),(yxfz 在区域在区域D 内的两个内的两个二阶混合偏导数连续二阶混合偏导数连续, 则在该区域内这两个则在该区域内这两个混合偏导数必相等混合偏导数必相等. calculus 5.3 多元函数的全微分多元函数的全微分 一、一、 全微分的定义与计算全微分的定

37、义与计算 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(yx某邻域内有定义，某邻域内有定义， 分别给分别给 yx, 一增量一增量, yx 函数相应的全增量函数相应的全增量 ),(),(yxfyyxxfz 若全增量可表示为若全增量可表示为: ),(oyBxAz 其中其中BA,仅与仅与yx,有关，与有关，与yx ,无关，无关， ,)()( 22 yx 则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微. 定义定义1 calculus yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx处的全微分处的全微分. 即即yBxAdz 记作记作dz,( , )df x y dzxy由定义知：

38、是与的线性函数， zdz 与之差是比 更高阶的无穷小量. 00 ( ) limlim0 zdzo 即：. ( , )( , )( , )zf x yx yzf x y在点处可微，则在该点必连续. 0 0 0 ( ),limlim0 x y zA xB yozz 由可得 若函数若函数),(yxfz 在区域在区域D内各点处都可微内各点处都可微, 则称函数在则称函数在D内可微内可微. ?AB ， =? calculus 定理定理1(必要条件必要条件)若函数若函数),(yxfz 在点在点),(yx 处可微处可微, 则该函数则该函数在点在点),(yx的偏导数的偏导数 y z x z ,必定存在必定存在,

39、 且 z A x ， z B y 证证 ( , )( , )zf x yx y因为在点处可微， (,)( , ) ( ), zf xx yyf x y A xB yo 故 其中其中BA,仅与仅与yx,有关，与有关，与yx ,无关，无关， ,)()( 22 yx , 0y取 |,|x有 calculus (, )( , )f xx yf x y于是|),(|xoxA x yxfyxxf x ),(),( lim 0 0 () lim x ox A x A x z 同理可证同理可证B y z calculus ,dxx ,dyy 类似于一元函数类似于一元函数,记记 有有 dy y z dx x z

40、 dz 或或 dyfdxfdz yx 0 0 0000 (,)(,) x xxy y y dzfxy dxfxy dy 注意注意 若函数若函数 在点在点),(yxfz 存在存在,),(yx处的偏导数处的偏导数 函数在该点也不一定可微函数在该点也不一定可微. 偏导数存在是全微分存在的必要条件偏导数存在是全微分存在的必要条件, 但不是充分条件但不是充分条件. calculus 例例函数函数 00 0, ),( 22 yx yx yx xy yxf 不同时为 在原点的两个偏导数存在在原点的两个偏导数存在,但不可微但不可微. 证证 由前面例子知由前面例子知 (0,0) x f , 0(0,0) y f

41、 , 0 在原点的两个偏导数存在在原点的两个偏导数存在 calculus 函数函数 ),(yxf在原点的全增量在原点的全增量 ) 0 , 0()0 ,0(fyxfz 22 ()() x y xy ),(oyBxAz yfxfz yx )0 , 0()0 , 0(从而 22 ()() x y xy 但但 22 00 0 (0,0)(0,0) limlim ()() xy x y zfxfy x y xy 不存在不存在 所以所以 由定义知函数在原点不可微由定义知函数在原点不可微. calculus 定理定理2 (充分条件充分条件) 若函数若函数( , )zf x y 处连续处连续,( , )x y

42、则函数在该点可微则函数在该点可微. 且且 dy y z dx x z dz 的偏导数的偏导数( , ) x fx y( , ) y fx y 、 在点在点 或或 dyfdxfdz yx ( , ) ( , ) zf x y x y 在点 处可微 ( , ) x fx y ( , ) y fx y 存在存在 连续连续 calculus 若函数若函数 dz z u dy y u dx x u du ( , , )uf x y z在点在点 可微可微 ( , , )x y z 则则 xyz duu dxu dyu dz 解解 dy y z dx x z dz dxye xy dyxe xy 2 . 0

43、21 . 0 22 2 . 0 1 . 0 )1 , 2( eedz dy dx 2 5 . 0 e 例例1.求函数求函数 xy ez 在点在点 (2,1) 处当处当2 . 0, 1 . 0yx 时的全微分和全增量时的全微分和全增量. ) 1 , 2()2 . 01 , 1 . 02(ffz) 1( 52. 02 ee dyedxedz 22 )1 , 2( 2 calculus 例例2.求下列函数的全微分求下列函数的全微分: 22 (1).,(2).(0,1) yz zx yyuxxx 解解(1). zz dzdxdy xy 2xydxdyyx)2( 2 dz z u dy y u dx x

44、 u du ).2( 1yz yzxdx ln yz zxxdyln yz yxxdz calculus 若函数若函数),(yxfz 在点在点 00 (,)xy处可微处可微, |,|xy当很小时，有 0000 (,)(,) xy zdzfxy dxfxy dy 00000000 (,)(,)(,)(,) xy f xx yyf xyfxyxfxyy 即 近似计算公式： 00000000 (,)(,)(,)(,) xy f xx yyf xyfxyxfxyy calculus 5.4 多元复合函数及隐函数求导法则多元复合函数及隐函数求导法则 一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则

45、定理定理1 设函数设函数),(),(yxvyxu在点在点),(yx处处 有偏导数有偏导数, 而函数而函数( , )zf u v在对应点在对应点( , )u v处可微处可微 则复合函数则复合函数),(),(yxyxfz在点在点),(yx处有偏导数处有偏导数, 且且 x z x u u z x v v z y z y u u z y v v z x z y z xu f xv f yu f yv f z u v u x y v x y 连锁法则连锁法则 calculus 例例1.xyvyxuvuzsin,cos, 22 ,求求 . y z , x z 解解 v z x u y x y z x x

46、v v z x u u z xyvyucos)2(cos2 xyyx2sincos2 22 z y zuzv uyvy xvyuxsin)2()sin(2 xyyx 22 sin22sin calculus 2 sin ,2 , x zz zey xst yt s st 求例例2. 设设 解解 zzxzy sxsys sin2cos2 xx eyteys 222 2 sin()cos() st ettssts zzxzy txtyt sin2cos1 xx eysey 222 2 sin() cos() st eststs y x z s t s t calculus 例例3 22 (,),

47、xy zf xyxyzz求 v z u y x x y v z x y u y v z x y u y v z x y x u y v z x y 解解 xyvyxu, 22 设 ),(vufz 则 x z ux fu vx f v yfxf vu 2 y z yu uf yv vf xfyf vu 2 calculus ),(yxu),(yxufz 设 则复合函数则复合函数,),(yxyxfz 连锁法则连锁法则 z u x y x y x z fu ux f x y z y u u f y f calculus 设yxueyxufz uyx sin,),( 2 222 ，求 x z 例例4

48、y z 解解 x u y z x y x z x u u f x f 222 2 uyx ue u f 222 2 uyx xe x f 222222 2sin22 uyxuyx xeyxue ) 1sin2(2 22sin2 422 yxxe yxyx y z y u u f y f 222 2 xyu f ye y 222222 2cos2 2uyxuyx yeyxue )cossin(2 4sin2 422 yyyxe yxyx calculus 作业作业 先看书 再做练习 练习练习5.3 P230：T2, T3. 练习练习5.4 P237:T1(1). calculus ( , ,),

49、( , ,)us t m vs t m),(vufz 则复合函数则复合函数 ),(),(mtsmtsfz 连锁法则连锁法则 z u v s t m s z s u u z s v v z t z t u u z t v v z m z m u u z m v v z calculus 若函数若函数( ),( )ux vx都在点都在点 x 处可导处可导, 函数函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu处可微处可微, 则复合函数则复合函数 ( ),( )zfxx在点在点 x 处可导处可导, 且且全导数全导数 推论推论1. z u v x x dx dv v z dx du u z dx dz

50、dx dz u f v f calculus 推论推论2.函数函数( , )zf x y( )yx而 则复合函数则复合函数 , ( )zf xx 在点在点 x 处可导处可导 全导数全导数 z x y x dx dy y z x z dx dz dx dz x f y f 说明说明 以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形以上公式都可推广到中间变量或自变量多于两个的情形. calculus 例例5. 23 ,sin , xy zext yt 求求 dz dt 解解 dz dt z x y t t z dxz dy x dty dt 2 cos xy et 22 ( 2) 3 xy et

51、3 sin22 (cos6 ). tt ett 例例6. .cos,sintveutuvz t 求求 dt dz 解解 dz dt z u v t t t z duz dvz u dtv dtt t v e( sin )ut cost (cossin )cos t ettt calculus 解解 设设 ( ) ( ),( ),( ),(0) g tv uf tvg tzf tuu则 因此因此 dzz duz dv dtu dtv dt 1 ( )ln( ) vv vuf tuu g t ( ) 1 ( ) ( )( )( ) ( )ln( )( ) g t g t g t f tft f t

52、f t g t 例例7. ( ) ( ),( )0, ( ), ( ) g t d f tf tf t g t dt 求其中均可导 v ut t z calculus 若用一元函数的方法如何求？若用一元函数的方法如何求？ ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ln( )ln( ) 11 ( )ln( )( )( ) ( ) 1 ( )( )ln( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )ln( )( ) g t g t g tg t zf t zg tf t zg tf tg tft zf t zf tg tf tg tft f t g t f tftf tf t g t calc

53、ulus 例例8. 2 22 2 , uz zuxy vxy vx 设求 解解 zzuzv xuxvx 22 12 ()2 uyxu yx vvvv 2 22 2 () zyxu xx vv 2 ()2() yxu xvxv 1 ()() y y xvxv 而而 sv x y 22 1 ,svxy v 设 22 112 ()() 2 dvxy yyx dvvxvv calculus 2 ( , ) xu g x u v v x x u v y x y 22 vxy uxy 2232 2 223 2 ()() 2 4 xuxxuu yx xvvvv uxyx u vvv calculus 22

54、,uxy vxy 也可也可: 2222 22 24 2 24 223 ()()() () 2 22 xx x xuuuu xx x vxvvx v u vu vu x vv yvuv vu x vv uxyux x vvv 2 223 4uxyx u vvv 还可还可: 22 22 ()( , ), uu h u vuxy vxy x vv 令 calculus 于是于是 2233 22223223 2462 2() () zxyuxyx uxyx y xvvvvxy 也可以在求出一阶偏导数后也可以在求出一阶偏导数后,把代入再求二阶偏导数把代入再求二阶偏导数,u v 32 2222 2 ()

55、zyxuyx y xvvxy 233 2223 62 () zxyx y xxy 则 calculus 例例9设设 f x y xyfxz),( 3 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求 ., 2 2 y z y z 解解令uxy x y v 则则 3 ( , )zx f u v y z f v u x y x y 3342 1 ()() uyvyuvuv xfufvxfxfx fx f x 2 42 2 () uvy z x fx f y u f v f 4 ( uuy xfu) uvy fv 2 () vuyvvy xfufv 42 533 11 ()() uuuvvuvv uuuv

56、vuvv xfxfxfxf xx x fx fx fxf () uvvu ff 53 2 uuuvvv x fx fxf calculus 二、一阶全微分形式不变性二、一阶全微分形式不变性 则则 zz dzdudv uv ( , )( ,)zf u vu v具有连续偏导数自变量 ( , )zf u v( , ),( , ) ( ,)ux y vx yu v中间变量 z 且函数 ,也具有连续偏导数，对于复合函数 则仍有则仍有 zz dzdudv uv calculus 复合函数复合函数 ( , ), ( , )zfx yx y zz dzdxdy xy ( zu ux ) zv dx vx ()

57、 zuzv dy uyvy ()() zuuzvv dxdydxdy uxyvxy v u z x y x y zz dudv uv calculus sin(),. xy zz zexydz xy 已知求 例例10 解解: ,sin u uxy vxyzev设，则 sincos uu zz evev uv zz dzdudv uv sincos uu evduev dv uu dudxdyydxxdy xy vv dvdxdydxdy xy calculus sincos sin()cos () ( sincos )( sincos ) uu uu uu dzevduev dv ev ydx

58、xdyev dxdy eyvv dxexvv dy sin()cos() sin()cos() xy xy eyxyxy dx exxyxy dy 于是于是 sin()cos() xy z eyxyxy x sin()cos() xy z exxyxy y calculus 三、隐函数求导法则三、隐函数求导法则 000 000000 2():( , , ) (,) , (,)0(,)0 xyz z F x y z xyz F F F F xyzF xyz 定理 隐函数存在定理设函数满足下列 条件 （1）在点的某一邻域内连续，且具有连续 的偏导数 （2）， 00 000 ( , , )0(,)

59、( , ),(,) F x y zxy zf x yzf xy 则方程唯一地确定一个定义在 的某一邻域内的单值连续且具有连续偏导数的二 元函数它满足条件，并有 z y z x F F y z F F x z , calculus ),(0),(yxfzzyxF 方程两边对方程两边对求偏导求偏导x z ( , , )uF x y z x y y x 0 xzx zFF 得得 z x x F F z 同理同理 z y y F F z calculus 例例1. 设设 222 40 xyzz 求求 y z x z , 解解 方法方法1 zzyxzyxF4),( 222 2 x Fx 2 y Fy 2

60、4 z Fz z x x z F F 2 x z . 2 y z z y y z F F 方法方法2 两边关于两边关于x求求偏偏导导 ( , , )F x y z x y z y x 2(24)0 2 xx x xzzz z 解得 两边关于两边关于y求求偏偏导导 2(24)0 2 yy y yzzz z 解得 calculus 方法方法3 方程两边求微分方程两边求微分 222222 (4 )040d xyzzdxdydzdz 04222dzzdzydyxdx dy z y dx z x dz 22 , 2z x zx z y z y 2 ( , )0( )F x yyf x特别地，设方程确定隐