材料力学-第8章 应力状态

1、2021-6-231 材料力学材料力学 2021-6-232 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-233 FF N F A 应力计算公式：应力计算公式： 强度条件：强度条件： max F A 其中，许用应力：其中，许用应力： u n 实验测得材料相应的极限应力实验测得材料相应的极限应力 安全因数（安全系数）安全因数（安全系数） 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-234 应力计算公式：应力计算公式： 强度条件：强度条件： 其中，许用应力：其中，许用应力： b n 单向拉伸实验单向拉伸实验测得材料的极限应力测得材料的极限应力 安全因

2、数（安全系数）安全因数（安全系数） MM M z My I max 2 z h M I 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-235 TT T p T I 应力计算公式：应力计算公式： 强度条件：强度条件： max P TR I 其中，许用切应力：其中，许用切应力： u n 剪切实验剪切实验测得材料的极限应力测得材料的极限应力 安全因数（安全系数）安全因数（安全系数） 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-236 可见，对于材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题可见，对于材料的拉伸、压缩、弯曲和扭转问题 其共同特点是其共同特点是： 一是材料

3、的危险截面危险点只承受正应力一是材料的危险截面危险点只承受正应力或切应力或切应力 二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则二是需要实验直接确定失效时的极限应力，并依此建立强度准则 但是，对于工程上的复杂结构但是，对于工程上的复杂结构 危险点同时受正应力危险点同时受正应力和切应力作用和切应力作用，很难用实验确定极限应力，很难用实验确定极限应力 如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？如何分析材料危险受力情况以及极限荷载？ 应力状态应力状态 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-237 1. 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 2. 平面应力状态应力分

4、析平面应力状态应力分析 3. 应力圆应力圆 4. 主应力与主平面主应力与主平面 5. 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 6. 应力应变关系应力应变关系 7. 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-238 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-239 应力状态的概念应力状态的概念过一点、在不同方向面过一点、在不同方向面 上应力的集合，称之为这一点的上应力的集合，称之为这一点的应力状态应力状态 （State

5、 of the Stresses of a Given Point）。 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2310 应力的点的概念应力的点的概念 同一截面上不同点的应力各不相同同一截面上不同点的应力各不相同 横截面横截面上切应力分布上切应力分布横截面横截面上正应力上正应力分布分布 Mz 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2311 应力的面的概念应力的面的概念同一点处不同同一点处不同方向面上的应力各不相同方向面上的应力各不相同 受力之前受力之前, ,杆件

6、表面同一点处取一正方形杆件表面同一点处取一正方形 受拉后，正方形变成了受拉后，正方形变成了 矩形，直角没有改变。矩形，直角没有改变。 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 受拉后，正方形变受拉后，正方形变成菱形。成菱形。 2021-6-2312 低碳钢拉伸实验低碳钢拉伸实验铸铁拉伸实验铸铁拉伸实验 韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2313 应力的面的概念应力的面的概念过同一点不同方向面上的应力各不相

7、同过同一点不同方向面上的应力各不相同 x 斜截面上存在正应力和切应力 横截面上只有正应力 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2314 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2315 为什么脆性材料扭转时沿为什么脆性材料扭转时沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？ 低碳钢扭转实验低碳钢扭转实验铸铁扭转实验铸铁扭转实验 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2316 同同一点不同方向面上的应力也是

8、各不一点不同方向面上的应力也是各不相同，相同， 此此即即应力的面的概念。应力的面的概念。 指明 哪一点？ 哪个方向面？ 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2317 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力。 不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜 截面上的应力截面上的应力 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2318 微元及其各面上微元及其各面上一点应一点应 力状态力状态

9、的的描述描述 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2319 三向（空间）三向（空间）应力状态应力状态 ( Three-Dimensional State of Stresses ) y x z x y z xy yx yz zy zx xz 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2320 平面（二向）应力状态平面（二向）应力状态 y x z x y z xy yx yz zy zx xz 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力

10、状态分析应力状态分析 y y z z zy yz y y z z zy yz 2021-6-2321 x yx xy ( One Dimensional State of Stresses ) ( Shearing State of Stresses ) 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 ( Plane State of Stresses ) 2021-6-2322 三向应力状态三向应力状态 平面应力状态平面应力状态 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2323 F

11、例：画出图示例：画出图示矩形截面梁在红线截出横截面矩形截面梁在红线截出横截面内不同点的应内不同点的应 力状态力状态 Q M y z 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 A 2021-6-2324 T 例例2：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态：画出图示螺旋桨轴杆表面一点的应力状态 1. 1. 螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力螺旋桨带动轴杆向前，产生拉力 F F 2. 2. 轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用轴杆带动螺旋桨旋转，有扭转作用 T 应力状态的基本概念应力状态的基本概念 材料力学第材料力学第8章章

12、 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2325 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2326 x xy y yx 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 平面应力状态分析的目的：平面应力状态分析的目的： 分析过一点任意角度方向面上的应力分布分析过一点任意角度方向面上的应力分布 分析方法：分析方法： 将所求方向的斜截面与微元所形成三角形微元取将所求方向的斜截面与微元所形成三角形微元取 出，通过平衡方程求解出，通过平衡方程求解 y x xy yx 2021-6-2327 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第

13、材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2328 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2329 yx xy 切应力切应力： 引入正负号之后引入正负号之后 xyyx 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2330 方向角方向角 由 x 轴指向逆时针方向为正； 反之为负。 y x x y 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 dA 2021-6-2331 y yx 平衡对象平衡对象 x xy 平面应力状

14、态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2332 xy y yx dA x dA (d sin)sin y A (d cos)sin xy A 0 (d cos)cos x A (d sin)cos yx A 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2333 xy y yx dA x 课堂思考：根据课堂思考：根据 y y 方向的方向的 平衡条件写出平衡条件写出 的表达式的表达式 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2

15、334 x y x xy yx x y dA 根据根据 和和 方向上的平衡条件：方向上的平衡条件： x y 0 x F 0 y F 由三角倍角公式，可得到任意方向面上由三角倍角公式，可得到任意方向面上 的正应力的正应力和切应力：和切应力： cos2sin2 22 xyxy xy sin2cos2 2 xy xy 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2335 50 70 100 30 70 例题例题1：图示微元，表面正应力图示微元，表面正应力与切应力已知与切应力已知。求法向与。求法向与x轴正向成轴正向成 30的斜面上所受正应力的斜

16、面上所受正应力与切应力。与切应力。所示应力单位为所示应力单位为MPa。 解：解：50, 100, 70, 30 xyxy 30 cos2sin2 22 xyxy xy 30 sin2cos2 2 xy xy 50 10050 100 cos60( 70)sin60 22 73.1()MPa 50 100 sin6070cos60 2 30()MPa 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2336 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 例题例题2：两端密封圆柱形压力容器，圆筒部分由壁

17、厚为两端密封圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为，宽度为，宽度为b 的塑条压成螺旋状并熔接而成。圆筒内径的塑条压成螺旋状并熔接而成。圆筒内径 ，容器承受，容器承受 内压强内压强p，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉，若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉 应力的应力的80%80%，试求塑条许可宽度，试求塑条许可宽度b。 D 2021-6-2337 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2338 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 l p 1 2 1 = ? 2 = ? 2

18、 2 2 D 2 4 D p 2 2 4 D Dp 2 4 pD 2021-6-2339 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 p 11 1 (2 l ) p pDl l 1 2 2021-6-2340 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2341 平面应力状态分析平面应力状态分析 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 D b 22 () sin; cos Dbb DD 由几何关系由几何关系 代入代入 表达式，并考虑表达式，并考虑 1 0.8 得：得：2.43bD

19、 若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的若熔接部分承受的拉应力不得超过塑条中最大拉应力的80%， 试求塑条许可宽度试求塑条许可宽度b 2021-6-2342 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2343 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2344 cos2sin2 22 xyxy xy sin2cos2 2 xy xy 由微元任意方向面上的正应力由微元任意方向面上的正应力和切应力公式和切应力公式 cos2sin2 22 xyxy xy sin2cos2 2 xy xy 两方程等号左右两边同时平方后相加：两

20、方程等号左右两边同时平方后相加： 2 2 222 1 ()4 22 xy xyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 x xy y yx 2021-6-2345 应力圆方程：应力圆方程： 2 2 222 1 ()4 22 xy xyxy 该方程描述了以该方程描述了以 为横轴，为横轴， 为纵轴的坐标系。这种圆称为为纵轴的坐标系。这种圆称为 应力圆（应力圆（stress circle）或莫尔圆（）或莫尔圆（Mohr circle）。应力圆的）。应力圆的 圆心位于横轴，圆心位于横轴， 圆心坐标为：圆心坐标为： 圆半径为：圆半径为： (,0) 2 xy 22 1 ()

21、4 2 xyxy O 2 xy R 22 1 ()4 2 xyxy R 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 x xy y yx , xxy , , yyx 2021-6-2346 O a( x , xy) y yx B y yx B b( y , yx) xy A y yx B x x xy A x xy A y yx B y yx B 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 c (,0) 2 xy 2021-6-2347 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2348 y yx xy x

22、A A(,) 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2349 y yx xy x A D n x A D 2 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2350 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2351 O c a( x , xy) y yx B y yx B b( y , yx) xy A y yx B x x xy A x xy A y yx B y yx B 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2352 材料力

23、学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 课堂练习课堂练习 画出下图应力状态的应力圆：画出下图应力状态的应力圆： 140MPa 80MPa (-140,-80) (0,80) (-70,0) 2021-6-2353 已知某点两截面应力已知某点两截面应力(MPa)(MPa)，试画出该点应力圆，并求出，试画出该点应力圆，并求出 图中两截面夹角。图中两截面夹角。 40 10 30 20 A B 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2354 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2355 x

24、x o 245 245 B E A D ad c b e E E B B 4545 拉中有剪的例子：拉中有剪的例子： 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2356 c o 245 245 ad b e x x E B E B x x 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2357 E B x x 轴向拉伸时，轴向拉伸时，45方向方向面上面上既既 有正应力又有正应力又有有切应力切应力，正应力不正应力不 是最大值是最大值，切应力切应力却却最大。最大。 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力

25、圆应力圆 2021-6-2358 o 245 245 y x B E D A A d(0,- ) C a (0, ) e b 剪中有拉的例子：剪中有拉的例子： 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2359 y x B E D A A y x B E 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2360 在纯切应力状态下，在纯切应力状态下，4545 方向面上方向面上只有只有正应力没有剪正应力没有剪 应力，而且正应力为最大值。应力，而且正应力为最大值。 D A A y x B E 材料力学第材料力学第8章章 应力状

26、态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2361 例题例题3： 图示圆杆分别采用低碳钢（图示圆杆分别采用低碳钢（a）和铸铁（）和铸铁（b）进行扭转实验，）进行扭转实验， 低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成低碳钢断裂面垂直于轴线，铸铁的断裂面与轴线成45角。角。 试采用应力圆分析该两种材料不同的断裂特性。试采用应力圆分析该两种材料不同的断裂特性。 （a）低碳钢低碳钢 （b）铸铁铸铁 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 2021-6-2362 解：解：圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面微元，可知该圆杆扭转，微元为平面应力状态。取圆杆表面微元，

27、可知该 微元的应力状态为纯剪。微元的应力状态为纯剪。 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 x y x O A A B B C max C 2021-6-2363 最大切应力的最大切应力的方向角方向角s0 与低碳钢的断裂面一致，与低碳钢的断裂面一致， 所以所以低碳钢是剪力引起破坏低碳钢是剪力引起破坏。 与铸铁的断裂面一致，所以与铸铁的断裂面一致，所以 铸铁这种脆性破坏是拉应力引起铸铁这种脆性破坏是拉应力引起。 最大拉应力的方向角最大拉应力的方向角0 045 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应力圆应力圆 A B C x y x O A B C

28、max 2021-6-2364 思考思考： 1. 正应力最大时的方向角正应力最大时的方向角与切应力最大与切应力最大时的方向角时的方向角 有什么关系？有什么关系？ 2. 正应力最大的平面正应力最大的平面上切应力是否上切应力是否一定为零？一定为零？ 3. 切应力最大切应力最大的平面上正应力是否一定为零？的平面上正应力是否一定为零？ 5. 平面内平面内最大切应力是否最大切应力是否是过一点所有方向面是过一点所有方向面中切中切 应力的应力的最大值？最大值？ 4. 平面内最大正应力与平面内最大正应力与最大切应力之间最大切应力之间有何关系？有何关系？ 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 应

29、力圆应力圆 O x y x 2 xy R 2021-6-2365 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2366 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 问题：问题： 1. 1. 过一点所有方向面上的最大正应力、最过一点所有方向面上的最大正应力、最 大切应力是多少？大切应力是多少？ 2. 2. 最大正应力所在平面？最大正应力所在平面？ 2021-6-23 67 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 , xxy , yxy x xy y 2 max2 min 1 4 22 xy

30、 xyxy 2 2 max 1 4 2 xyxy 极值正应力极值正应力 最大切应力最大切应力 最大正应力最大正应力 所在平面所在平面 0 2 1 arctan 2 xy xy xy 2 xy 0 2 0 min max max 2021-6-23 68 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 , xxy x xy y 主平面主平面: : 主方向：主方向： 主应力：主应力： xy 2 xy 0 2 0 min max max max min 定义定义 切应力为零的平面切应力为零的平面 （极值正应力所在平面）（极值正应力所在平面） 主平面外法线方向主平面

31、外法线方向 主平面上的正应力主平面上的正应力 （极值正应力）（极值正应力） 2021-6-23 69 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 相邻主平面一定两两相互垂直，由三对互相邻主平面一定两两相互垂直，由三对互 垂主平面所构成的微体成为垂主平面所构成的微体成为主平面微体主平面微体 主应力：主应力： 3 3个个 （平面内（平面内2 2个平面外个平面外1 1个）个） x xy y 0 问：空间内一点有几个主应力、主平面、主方向？问：空间内一点有几个主应力、主平面、主方向？ 主平面和主方向：主平面和主方向： 3 3对对 问：主平面之间的相互关系？问：主

32、平面之间的相互关系？ 平面应力状态是主应力平面应力状态是主应力 的特殊情况的特殊情况 主应力排序主应力排序 0 123 2021-6-2370 0 0 0 2 tan2 xy xy 由主方向方向角公式：由主方向方向角公式： 0 0 2 22 22 1 ()4 22 1 ()4 22 0 xy xyxy xy xyxy cos2sin2 22 xyxy xxy 解析法求平面应力状态下的三个主应力解析法求平面应力状态下的三个主应力 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2371 22 22 1 ()4 22 1 ()4 22 0 xy x

33、yxy xy xyxy 将以上三个主应力将以上三个主应力 按照按照代数值代数值由大到小排列，并由大到小排列，并 分别用分别用 表示表示 , 123 , 123 则有：则有： 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2372 F F F F F F 123 , F A 0, 0 123 , 0 F A 123 , 0, FF AA , F A 0 , F A 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2373 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力

34、与主平面 应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同 2 2 4 2 1 2 xyyx yx 2 2 4 2 1 2 xyyx yx 0 2 p xy xo c b e a d 1 2 3 2021-6-2374 主应力排序主应力排序 xy x o a d c b e 1 2 0 3 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同 2021-6-2375 xy xo a d c b e 1 0

35、 2 3 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同应力圆处于坐标轴不同位置时，三个主应力的排序略有不同 主应力排序主应力排序 2021-6-2376 y yx xy x x y y x x y 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2377 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2378 例 题 4 应力状态如图所示。应力状态如图所示。 1.确定主应力确定主应力 1写出主应力写出主

36、应力 1、 2、 3的表达式；的表达式； 2若已知若已知 x63.7 MPa， xy=76.4 MPa，当坐标轴，当坐标轴x、y反时针方向反时针方向 旋转旋转 =120 后至后至x、y ，求，求: x、xy 。 应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 2 2 1 4 22 xy xyxy 2 2 1 4 22 xy xyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2379 1.确定主应力确定主应力 应用平面应力状态主应力公式应用平面应力状态主应力公式 因为因为 y0，所以有，所以有 04 2 1 2 22 xyx x 0

37、4 2 1 2 22 xyx x 又因为是平面应力状态，故有又因为是平面应力状态，故有 0 2 2 1 4 22 xy xyxy 2 2 1 4 22 xy xyxy 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2380 于是，根据于是，根据 1 2 3的排列顺序，得的排列顺序，得 22 3 2 22 1 4 2 1 2 0 4 2 1 2 xyx x xyx x 04 2 1 2 22 xyx x 04 2 1 2 22 xyx x 0 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-23

38、81 2.计算方向面法线旋转后的应力分量计算方向面法线旋转后的应力分量 将已知数据将已知数据 x63.7 MPa， y0， xy yx=76.4 MPa， =120 等代入任等代入任 意方向面意方向面上应力分量的表达式上应力分量的表达式 ，求得：，求得： 66 6 63 70 10 cos 2 1202 76 4 10 sin 2 120 2 82.1 10 Pa82.1MPa x . . 66 637 0 10sin 2 120764 10 cos 2 120 2 xy . . MPa865Pa10865 6 . 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主

39、平面 2021-6-2382 p F p F e M e M 30 D x xD 例题例题5： 如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径如图，薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用。圆管平均直径D 50mm，壁厚，壁厚2mm。外加力偶矩。外加力偶矩Me600Nm，轴向载荷，轴向载荷 2 2 p D W Fp20kN。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为。薄壁管截面的扭转截面模量可近似取为 。 1. 求圆管表面上过求圆管表面上过D点与母线夹角为点与母线夹角为30的斜截面上的应力。的斜截面上的应力。 2. 求求D点的主应力与点的主应力与最大切应力。最大切应力。 30 120 120 120 材料力学第

40、材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2383 解：解：1. 取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面上的应力：取微元，利用拉伸和圆轴扭转公式计算微元各面上的应力： 3 2 20 10 63.7/63.7 502 pp FF N N mmMPa ADmmmm 2. 求斜截面上的应力，首先：求斜截面上的应力，首先： xD x 30 120 120 120 63.7, 0, 76.4, 120 xyxy MPaMPa 120 cos2sin2 22 xyxy xy 120 sin2cos2 2 xy xy 则则 2323 22 600 76.4

41、(50 10)(2 10) ee p MMN m MPa WDmm 50.3MPa 10.7MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2384 解：解：3. 确定主应力与确定主应力与最大切应力：最大切应力： 根据最大主应力计算公式根据最大主应力计算公式 22 1 ()4 22 xy xyxy 114.6, 50.9MPaMPa求得面内主应力求得面内主应力 0 另因为平面应力状态，有另因为平面应力状态，有 按照代数值大小排序，按照代数值大小排序，D点的三个主应力为：点的三个主应力为： 123 114.6, 0, 50.9MPaMPa

42、 D点的点的最大切应力为最大切应力为： 13 max 114.6( 50.9) 82.75 22 MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 主应力与主平面主应力与主平面 2021-6-2385 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2386 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 O x y x 2 xy 22 max 1 ()4 2 xyxy R 22 max 1 ()4 22 xyxy x y z xy yx yz zy zx xz 2021-6-2387 材料力学第材料力学第8章章 应力

43、状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 x y z xy yx yz zy zx xz 2021-6-23 88 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 xy x I 2 3 第第I I组组方向面内的方向面内的最大切应力最大切应力 23 2 所在平面内的应力不受所在平面内的应力不受 的影响的影响 23 , 1 2021-6-23 89 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 第第IIII组组方向面内的方向面内的最大切应力最大切应力 13 2 所在平面内的应力不受所在平面内

44、的应力不受 的影响的影响 13 , 2 II I 2 3 xy x O 1 2021-6-23 90 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 第第IIIIII组组方向面内的方向面内的最大切应力最大切应力 12 2 所在平面内的应力不受所在平面内的应力不受 的影响的影响 12 , 3 II I xy x O 3 III 2 1 2021-6-2391 对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微对任意一个应力状态，均可以找到一个特殊的方向角，使得微 元上仅有三个主应力元上仅有三个主应力 作用。作用。 123 (,) 1 2 3 2 3

45、 1 3 1 2 23 2 13 2 12 2 123 13 max = 2 最大切应力 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2392 1 II I 3 III 2 O xy x 微元微元任意方向面上的应力任意方向面上的应力 对应着对应着三向应力圆阴影区三向应力圆阴影区 域某域某一点的坐标。一点的坐标。 max1 min3 13 max 2 最大正应力：最大正应力： 最大切应力：最大切应力： 最小正应力：最小正应力： 三向应力状态下：三向应力状态下： 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空

46、间应力状态的概念 三向三向应力圆应力圆 2021-6-2393 三向应力状态如图所三向应力状态如图所 示，图中应力的单位为示，图中应力的单位为MPa。 例例 题题 6 主应力及微元内的主应力及微元内的最最 大切应力。大切应力。 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2394 故微元上平行于故微元上平行于 的方向面上的应力值与的方向面上的应力值与 无关。因此，无关。因此， 当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主当确定这一组方向面上的应力，以及这一组方向面中的主 应力应力 和和 时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态

47、。时，可以将所给的应力状态视为平面应力状态。 所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即所给的应力状态中有一个主应力是已知的，即 60MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2395 这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下这与平面应力状态相类似。于是，平面应力状态下主应主应 力力 和和 公式可直接应用公式可直接应用 04 2 1 2 22 xyx x 04 2 1 2 22 xyx x 所给的应力状态中有一个主应所给的应力状态中有一个主应 力是已知的，即力是已知的，即 60MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力状态

48、分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2396 本例中本例中 x x=20 Mpa， xy xy= 40 MPa。据此，求得。据此，求得 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa=31.23MPa 22 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa51.23MPa 22 60MPa 04 2 1 2 22 xyx x 04 2 1 2 22 xyx x 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2397 根据根据 1 2 3的排列顺序，可以写出的排列顺序，可以写出 MPa

49、2351 MPa2331 MPa60 3 2 1 . . 微元内的微元内的最大切应力最大切应力 55.6MPaMPa1055.6Pa 2 1023511060 2 6 66 31 max . 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa=31.23MPa 22 6 22 66 2010 1 20 10440 10Pa51.23MPa 22 60MPa 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2398 例例 题题 7 yx x o max 200 300 50 (MPa) 平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1

50、1、 2 2 、 3 3和和 最大切应最大切应 力力 max。 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-2399 x O x y 200 50 300 50 (MPa) max 平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、 3 3 和和最大切应力最大切应力 max。 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-23100 O x x y 300 100 (MPa) max 例例 题题 9 平面应力状态的主应力平面应力状态的主应力 1 1、 2 2 、

51、 3 3和和 最大切应力最大切应力 max。 a b 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 空间应力状态的概念空间应力状态的概念 2021-6-23101 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-23102 1 1 泊松比泊松比 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-23103 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-23104 y x 对于平面应力状态，广义胡克定律为对于平面应力状态，

52、广义胡克定律为 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-23105 证明：对于各向同性材料，三个弹性常数满足以下关系 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 例 题 2 1 E G 2021-6-23106 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 解：解：构造一个剪中有拉的应力状态 O 0 , 0 , / xyxy G 45 22 xy G 45135 , 4545135 1 (

53、) 1 () 1 E E E 2 1 E G 2021-6-23107 如图，边长为a的钢块嵌在理想刚性的槽内，并受集中力F 作用。 已知钢块弹性模量E，泊松比，求钢块的主应力，主应变。 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 例题 F a aa a x y z 1 0 xxyz E 0 z / y FA 其中 xyz F A 2 1 1 yyzx F EEA 1 1 zzxy F EEA 2021-6-23108 一大小未知的矩形平板双向受拉，拉应力已知，平板弹性模 量E，受力前在平板内画有一个半径为a的圆。 问：受力后该圆的面积为多少？ 各向同性材料的应力应变关系各向同性材料的应力应变关系 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 例题 x y 2021-6-23109 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-23110 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-23111 空间应力状态下的应变能密度空间应力状态下的应变能密度 材料力学第材料力学第8章章 应力状态分析应力状态分析 2021-6-2311