职高数学_9.4.5__球

1、立体几何 立体几何 立 体 几 何 立体几何 9.4.5球球 下面的物体呈现什么形状？下面的物体呈现什么形状？ 当当半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的 曲面叫做球面球面所围成的几何体，叫做球体，简曲面叫做球面球面所围成的几何体，叫做球体，简 称球称球 一、球的结构特征一、球的结构特征 一、球的结构特征一、球的结构特征 O O 球心球心 半径半径 A B 1.球的定义：球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，以半圆的直径所在直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称 球。球。 （1）半圆的半径叫做

2、）半圆的半径叫做球的半径。球的半径。 （2）半圆的圆心叫做）半圆的圆心叫做球心。球心。 （3）半圆的直径叫做球的）半圆的直径叫做球的直径直径。 (4)球面球面:半圆弧旋转所半圆弧旋转所 成的曲面成的曲面. 2. 球的元素球的元素 O 半径半径 球心球心 球面球面可以看作空间中与定点（球心）距离空间中与定点（球心）距离等于等于定长定长 （半径）的点的全体构成的集合（轨迹）（半径）的点的全体构成的集合（轨迹）； 同样，球体球体也可以看作空间中与定点距离空间中与定点距离等于或小等于或小 于于定长的点的全体构成的集合定长的点的全体构成的集合 直径直径 球心；球心； 球的半径；球的半径； 球的直径；球的

3、直径； 3、球的表示：球的表示：用表示球心的字用表示球心的字 母表示母表示 如如球球O 一、球的结构特征一、球的结构特征 22 dRr 性质性质1:用一个平面去截一个球，截面是圆面用一个平面去截一个球，截面是圆面 性质性质2:球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心和截面圆心的连线垂直于截面； 4.球的球的性质性质 想一想想一想:用一个平面去截一用一个平面去截一 个球个球, 截面是什么图形？截面是什么图形？ 性质性质3:球心到截面的距离球心到截面的距离 d 与球的半径与球的半径 R, 有下面的关系有下面的关系: a O O dR r P 一、球的结构特征一、球的结构特征 （1）大圆）大圆 （2）小

4、圆）小圆 被不经过球心的平面被不经过球心的平面 截得的圆叫做截得的圆叫做小圆小圆 球面被经过球心的平面球面被经过球心的平面 截得的圆叫做截得的圆叫做大圆大圆 O R A B R 一、球的结构特征一、球的结构特征 5.球的截面球的截面 O 纬线 赤道 经线 北极北极 南极南极 (2)经度和纬度的规定：经度和纬度的规定： (1) 经线和纬线的规定：经线和纬线的规定： 过南北极的半个大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬过南北极的半个大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬 线线 思考：思考：假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机,设想一下设想一下 ，它需要沿着怎样的航线飞行呢？航程大约

5、是多少呢？，它需要沿着怎样的航线飞行呢？航程大约是多少呢？ (3) 这无数条弧长哪条最短？这无数条弧长哪条最短？ (1) 济南和广州间的距离是一条线段的长吗？济南和广州间的距离是一条线段的长吗？ (2) 经过球面上的这两点有多少条弧呢？经过球面上的这两点有多少条弧呢？ 不是，是一段圆弧的长不是，是一段圆弧的长. 无数条无数条 球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度. 球心O A B 大圆圆弧 O A B 大圆劣弧的圆心角为弧 度，半径为R，则弧长为 L=R O R A B R 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆 在这两点间的一段劣弧的长度，我们

6、把这个弧长叫做两两 点的球面距离点的球面距离 球面距离 练习：练习：已知地球的半径为已知地球的半径为R,R,在地球的赤道在地球的赤道 上经度差为上经度差为1201200 0的两点间距离的两点间距离. . o A B 答案： 3 2 120 0 Rd 3 2 球面距离为 例例1 我国首都北京靠近北纬我国首都北京靠近北纬 40 纬线上纬线上 ，求北纬，求北纬 40 纬线纬线 的长度约为多少？（地球半径约的长度约为多少？（地球半径约 6 370 km） O A K B 40 解：如图，解：如图，A 是北纬是北纬 40 圈上的一点，圈上的一点， AK 是它的半径，所以是它的半径，所以 OK AK A北

7、京北京 O K 设设 c 是北纬是北纬 40 的纬线长，的纬线长， 因为因为AOB=OAK=40 ， 所以所以 c 2 AK 答：北纬答：北纬40 纬线长约为纬线长约为 30658 km. c30658（km）. 23.141663700.7660， 2 OAcos OAK 由计算器算得由计算器算得 40cos2OA O A K B 40 （1 1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球（）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球（ ） （2 2）在空间，到定点的距离等于定长的所有点）在空间，到定点的距离等于定长的所有点 的集合叫球的集合叫球 （ ） （ （3 3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个）

8、球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个 小圆所在平面小圆所在平面 （ ） （4 4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆（）经过球面上不同的两点只能作一个大圆（ ） （5 5）球半径是）球半径是5 5，截面圆半径为，截面圆半径为3 3，则球心到，则球心到 截面圆所在平面的距离为截面圆所在平面的距离为4 4 （ ） 判断正误：判断正误： 球面面积等于大圆面积的四倍球面面积等于大圆面积的四倍 例例 2 已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径，已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径， 求证求证:球球的表面积等于圆柱的侧面积；的表面积等于圆柱的侧面积； 由球的半径由球的半径 R 计算球表面积计算球表面积

9、S 的公式：的公式： S4 R2 二二.球的表面积球的表面积 例例2如如图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。图：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证：求证： R 证明：证明：设球的半径为设球的半径为R，则圆柱的底面半径为，则圆柱的底面半径为R，高，高 为为2R， 球的表面积等于圆柱的侧面积。球的表面积等于圆柱的侧面积。 得得 2 球 R4S 2 S2R2R4R 圆圆柱柱侧侧 所以，所以， 圆柱侧球 SS (1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的 2 2 倍，倍， 则半径变为原来的则半径变为原来的 倍倍. . (2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的 2 2 倍，倍

10、， 则表面积变为原来的则表面积变为原来的 倍倍. . 2 4 注意：注意：影响球的表面积及体积的只有影响球的表面积及体积的只有 一个元素，就是球的半径一个元素，就是球的半径. . 1. 球面是指球面是指 ；球是指；球是指 2. 的平面截球面，所得截线是大圆；的平面截球面，所得截线是大圆； 的平面截球面，所得截线是小圆的平面截球面，所得截线是小圆 3. 球面的表面积是球面的表面积是 教材教材 P 151，练习练习 A 组第组第 1 题题 练习练习 B 组组 教材教材 P 151，练习练习 A 组第组第 2 题题 必做题：必做题： 选做题：选做题： nn mile指海里，为长度单位。 海里：航空航海上度量距离的单位。没有统一符号，中华人民共和 国法定计量单位所用的符号是n mile。它等于地球椭圆子午线上纬 度1分（一度等于六十分，一圆周为360度）所对应的弧长。由于地球 子午圈是一个椭圆，它在不同纬度的曲率是不同的，因此，纬度1分 所对应的弧长也是不相等的。1海里=子午线长度的两倍 360601852.25-9.31cos（2）(m)。是纬度。当=0度，即在 赤道上时，1n mile的长度最短，为1842.94m；在两极最长（=90 度），为1