第6章弹性体的一维振动题解

1、习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v向右运动，求下列情况中杆的自由振动(1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为： 由式(8-15),(8-16)可知,由归一化条件得即正则振型为由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为，i=1，3，5，由式（）得，进而有： (2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：由式(8-15),(8-16)可知,由归一化条件得即正则振型为由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为，i=1，3，5，由式（）得，进而有： 6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。(1) 常力F作用于杆的中点

2、，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；题6-2图(3) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。解： （1） 根据题意 ，时杆内的应变 杆的初始条件为 因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型 得到以正则坐标表示的初始条件为 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动 （2） 根据题意 ，时杆内的应变 杆的初始条件为 因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型 得到以正则坐标表示的初始条件为 得到以正

3、则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动 （3） 根据题意 ，时杆内的应变 杆的初始条件为 因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型 得到以正则坐标表示的初始条件为 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动 题6-3图6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力的作用，求分布力突然移去时杆的响应。解：杆左端固定端，右端为自由端边界条件 得固有频率，主振型 i=1,2,杆在x处的应变初始条件由，得 再利用三角函数正交性 得解二：用直接法。因为= 其中，杆的初始条件为 =由于此题为一端自由一端固定，则由公式可直接得出

4、杆的固有频率及主振型将主振型代入归一化条件得得得到正则振型为 i=1,3,5则得到正则坐标表示的初始条件为= i=1,3,5以正则坐标表示对初始条件的响应为得到杆对初始条件的总响应 即 6-4 假定一轴向常力F突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。解：由题意知，边界条件为由此解出固有频率 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型 由因为为集中力，不是分布力所以由上式得稳态响应（i=1，2，3）6-5 假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的干扰力，求该杆的稳态强迫振动。解：因为杆是一端固定，可得固有频率和主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型

5、 又第i个正则方程为 所以可得正则坐标的稳态响应为 杆的稳态响应振动为u（x，t）其中。6-6 一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力，其中F1、t1为常数，假设起初杆处于静止，求杆的响应。解： 由题意知，边界条件为 由这些边界条件得，所以 所以 由 所以 所以 由 由于集中力，而非分布力所以 ，因为是在中央作用力，所以所以 ，由上式求得稳态响应 当时，当时，所以 6-7 一根等直圆轴的两端连接着两个相同的圆盘，如题6-7图所示，已知轴长l，轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为Is及I0，求系统扭转振动的频率方程。题6-7图解： （）设代入运动微分方程得上式的解可表示为其边界条件当x=0时，

6、当x=l时， U（0）=U(l) , 其中 题6-8图6-8 题6-8图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为GJp，质量密度为，长度为l，弹簧的扭转刚度为，求系统扭转的频率方程。解： 一维振动波方程为 （）设代入运动微分方程得： (为波动频率)上式的解可表示为 （a）其边界条件为 ：在x = 0 处 ， （b）在处 （c）将（a）代入（b）得： （d）将（d）代入（c）得：得关于频率的频率方程为 , 其中 6-9 写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。题6-9图解： 该题中杆的振动方程为：其中由于边界条件中U（0）=0代入U（x）中得C

7、=0再将U（x）代入中 ，由知：=再由边界知：EA得：即： 已知方程由乘并对杆积分得所以由得： 所以，其解为正交。6-10 试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振型(1) 两端固定；一端固定、一端简支；一端简支、一端自由。6-11 求下列情况中常力F突然移去时等截面简支梁的自由振动(1) 常力F作用于x = a处，如题图6-11(a)所示；(2) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一点及四分之三点处，如题图6-11(b)所示。题6-11图6-12 假定上题的简支梁承受强度为p0的均匀分布力，求分布力突然移去时梁的响应。6-13 一简支梁在t = 0时除两端点外梁上所

8、有点都得到横向速度v，求梁的响应。6-14 一常力F突然加在简支梁的中点，求梁的响应。6-15 一简支梁在距左端和处作用有两个横向干扰力，求梁的稳态响应。6-16 一简支梁在左半跨上作用有强度为的分布力，求梁中央处的振幅。6-17 试求简支梁在正弦分布的横向干扰力作用下的稳态响应。6-18 简支梁受分布干扰力作用，求梁的稳态响应。6-19 简支梁受分布干扰力的作用，求梁的稳态响应。6-20 一简支梁在x = l端的支座有的横向运动，求梁的稳态响应。6-21 如题6-21图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支撑，其弹簧刚度为k，求频率方程和主振型的正交性条件。6-22 试求两端附有集中质量m的自由等截面梁的频率方程及主振型正交性条件。题6-21图 题6-23图6-23 如题6-23图所示，简支梁上附有两个相等的集中质量m，m值等于全梁质量的一半，试用瑞利法求系统的基频，并用里兹法求基频和第二阶固有频率。6-24 如题6-24图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l，厚度为b，横截面积A按直线规律变化，其中为自由端的截面积，试用里兹法求纵向振动的第一及第二阶固有频率。假设基频函数题6-25图题6-24图 题6-26图6-25 两端固定的等