必修三补充2排列1

1、 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某名参加某 天的一项活动，其中天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 第第1步，确定参加上午活动的同学，从步，确定参加上午活动的同学，从3人中人中 任选任选1人有人有3种方法；种方法； 第第2步，确定参加下午活动的同学，只能从步，确定参加下午活动的同学，只能从 余下的余下的2人中选，有人中选，有2种方法种方法 根据根据，共有：共有：326 种不同的种不同的 方法方法 解决这个问题，需分解决这个问题，需分： 甲甲 乙乙 丙丙

2、 乙乙 丙丙 甲甲 丙丙 甲甲 乙乙 甲甲丙丙 乙乙甲甲 乙乙丙丙 丙丙甲甲 丙丙乙乙 甲甲乙乙 上午上午下午下午相应排法相应排法 我们把上面问题中被取的对象叫做我们把上面问题中被取的对象叫做元素元素 . 于是，所提出的于是，所提出的 问题就是从问题就是从3个不同元素个不同元素a、b、c 中任取中任取2个，然后按一定顺序个，然后按一定顺序 排成一列，求一共有多少种不同的排列方法排成一列，求一共有多少种不同的排列方法 . 所有不同排列是所有不同排列是ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb . 这些排列的种数是这些排列的种数是326 . 从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出

3、3个按照个按照 顺序排成一列，共有多少种不同的排法？顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 根据根据，共有：，共有：43224种不同的排法种不同的排法 解决这个问题，需分解决这个问题，需分： 第第1步，先确定左边的字母，在步，先确定左边的字母，在4个字母中任取个字母中任取 1个，有个，有4种方法；种方法； 第第2步，确定中间的字母，从余下的步，确定中间的字母，从余下的3个字母中个字母中 去取，有去取，有3种方法；种方法； 第第3步，确定右边的字母，只能从余下的步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母个字母 中去取，有中去取，有2种方法种方法 从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出

4、3个按个按 照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？ 由此可以写出所有的排法由此可以写出所有的排法： abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb 从从4 4个字母中选出个字母中选出3 3 个字母按不同的顺个字母按不同的顺 序排成一列序排成一列 北京、上海、成都三个民航站之间的直达航线，北京、上海、成都三个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况需要准备多少种不同的机票？试写出所有情况 起点

5、站起点站终点站终点站飞机票飞机票 北京北京 上海上海 成都成都 上海上海 成都成都 北京北京 成都成都 北京北京 上海上海 北京北京上海上海 北京北京成都成都 上海上海北京北京 上海上海成都成都 成都成都北京北京 成都成都上海上海 问题问题3： 解：解： 解决这个问题，需分解决这个问题，需分 第第1步，确定起点站，有步，确定起点站，有3种方法；种方法； 第第2步，确定终点站，有步，确定终点站，有2种方法种方法. 根据根据，共有：，共有：326种不同的排法种不同的排法 成都七中 10.10.2 2 排列（排列（1 1） 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（m mn

6、n）个元个元 素，按照素，按照一定的顺序一定的顺序( (或不同的位置或不同的位置) )排成一列，叫排成一列，叫 做从做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个个元素的一个 排列的定义中包含两个基本内容：排列的定义中包含两个基本内容： 一是一是“”； 二是二是“” 甲乙 乙甲 上午下午 两个不同情况的结果 排列的定义中包含两个基本内容：排列的定义中包含两个基本内容： 一是一是“”；二是；二是“ ”“一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也是判断就是与位置有关，这也是判断 一个问题是不是排列问题的重要标志一个问题是不是排列问题的重要标志 根据排列的定义，根据排列的定义，当且仅当，当

7、且仅当 这两个排列的这两个排列的元素完全相同元素完全相同，而且元素的，而且元素的排列顺排列顺 序也完全相同序也完全相同 如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就 可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素 完全一样，但摆的顺序不同，那么也是完全一样，但摆的顺序不同，那么也是 A A A A A 排列的第一个字母排列的第一个字母 n n n n n m m m m m 元素总数下标元素总数下标 取出元素数取出元素数 m，n所满足的条件是：所满足的条件是： mN*，nN* ； mn . 从从n个不同元素中任取个不

8、同元素中任取m（mn） 个元素的所有排列的个数，叫做从个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素个不同元素 中取出中取出m元素的元素的排列数排列数，记作，记作 . m n A 排列数定义排列数定义: 注意注意:“一个排列一个排列”与与“排列数排列数”的不同：的不同： “一个排列一个排列”是指是指“从从n个不同元素中，任个不同元素中，任 取取m个元素按照一定的顺序排成一列个元素按照一定的顺序排成一列” ； “排列数排列数”是指是指“从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数个元素的所有排列的个数” 从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出3个按照顺序排成个按照

9、顺序排成 一列，共有多少种不同的排法？一列，共有多少种不同的排法？ 问题问题2就是求从就是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的排列数，个元素的排列数， ，它记为它记为 3 4 A.24234 3 4 A已经算得已经算得 那么，从那么，从n个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的排列数个元素的排列数 是多少？是多少？ 2 n A 呢？呢？ 3 n A呢？呢？)(nmAm n 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加某天的一名参加某天的一 项活动，其中项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学参加名同学参加 下午的活动，有多少种不同的方法？下

10、午的活动，有多少种不同的方法？ 问题问题1就是求从就是求从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列数，个元素的排列数， ，它记为它记为 2 3 A.623 2 3 A已经算得已经算得 求排列数求排列数 可以这样考虑：可以这样考虑： 2 n A 每一种填法就得到一个排列；每一种填法就得到一个排列； 假定有排好顺序的假定有排好顺序的2个空位（如图），个空位（如图）， a1，a2，an 中任意取中任意取2个去填空，个去填空， 从从n个不同元素个不同元素 一个空位填一个元素，一个空位填一个元素， 所有不同填法的种数就是排列数所有不同填法的种数就是排列数. 2 n A 反过来，任一个排列总可以由

11、这样的一种填法得到反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到. nAn 1 由定义知：? 2 n A探求： nAn 1 由定义知：? 2 n A探求： 成一列个元素按不同的顺序排个元素中取出表示：从2 2 nAn 1位置2位置 11个元素放在位置个元素中选出第一步：从n 种选法有n 21) 1(个元素放在位置个元素中选出第二步：从 n 种选法有) 1( n 由分步计数原理，有由分步计数原理，有: :n(n-1) ) 1( 2 nnAn 可以按依次填可以按依次填3个空位来考虑得个空位来考虑得21 3 nnnAn ) 1( 2 nnAn 一般地，从一般地，从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个

12、不同元素个不同元素 的排列数可用占位法计算的排列数可用占位法计算 位位 位位位位 m位位 解：解：分分m个步骤完成：个步骤完成： 第一步确定第一个位置上的元素：有第一步确定第一个位置上的元素：有n 种方法种方法 第二步确定第二个位置上的元素：有第二步确定第二个位置上的元素：有（n-1）种方法种方法 第三步确定第三个位置上的元素：有第三步确定第三个位置上的元素：有（n-2）种方法种方法 第第m步确定第步确定第m个位置上的元素：有个位置上的元素：有n (m-1) =(n-m+1)种方法。种方法。 121 mnnnnAm n 121 mnnnnA m n 排列数公式的特排列数公式的特 点：点： m个

13、连续正整数的连乘积；个连续正整数的连乘积； 最大因数为最大因数为n以下依次减以下依次减1，最小因数是（，最小因数是（n-m+1）. 排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式： 全排列：全排列：从从n个不同素中取出个不同素中取出n个元素的一个排列个元素的一个排列 称为称为n个不同元素的一个全排列个不同元素的一个全排列 . n n A 阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 123n 称为称为n的阶乘，记做的阶乘，记做 n！. = n！ 排列数公式：排列数公式： 全排列数为全排列数为 1221 )()(nnn !nA n n 因此全排列数为因此全排列数为 （m，nN* 且且 mn ）

14、121 121121 mnmn mnmnmnnnn )!( ! mn n A m n 说明：说明：排列数公式两种不同形式的应用排列数公式两种不同形式的应用 一般地：连乘形式用于一般地：连乘形式用于 值的计算；阶乘值的计算；阶乘 形式用于有关形式用于有关 的式子化简。的式子化简。 m n A m n A 规定规定: 0！=1 . 121 mnnnnA m n 排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式： 解：解： 3 16 A=161514=3360 6 6 A= 654321 =720 4 6 A= 6543 =360 例1：计算： 3 16 A 6 6 A 4 6 A 的值，求：如果例mnA

15、m n 4516172 ) 1()2)(1(mnnnnAm n 解： 14,17mn 例例2：求证：求证： m n m n m n AmAA 1 1 证明证明：左式左式= + m n！ n！ （nm）！）！ （nm+1）！）！ = n！(nm+1)+n！ m (nm+1)！ = n！(n+1) (n+1m)！ = = （n+1）！）！ （n+1-m）！）！ m n A 1 =右式右式 . m n m n m n AmAA 1 1 在在A A、B B、C C、D D四位候选人中，选举正、副班长四位候选人中，选举正、副班长 各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举 结果结果 从从4个人中选出个人中选出2个人，还需考虑这两个个人，还需考虑这两个 人哪个是正班长，哪个是副班长，与顺序有关人哪个是正班长，哪个是副班长，与顺序有关 其选举结果是：其选举结果是： AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC )(1234 2 4 种解：A （1）写出由数字）写出由数字1，2，3，4组成的没有重复数组成的没有重复数 字的三位数？字的三位数？ 例例4： )(24234 3 4 种解：A （2）写出由数字）写出由数字0，1，2