曲线、曲面及立体相交

1、 第第6 6章章 曲线、曲面及立体相交曲线、曲面及立体相交 6.1 6.1 曲线的形成与投影曲线的形成与投影 6.2 6.2 常见曲面常见曲面 6.3 6.3 立体的三面投影立体的三面投影 6.4 6.4 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 6.5 6.5 两曲面立体相交两曲面立体相交 一、曲线概述 曲线可以看成是点的运动轨迹，也可以看作曲面与曲面或 曲面与平面的交线。 1、平面曲线：曲线上的所有点在同一平面内，如圆、双曲线、 抛物线、摆线等； 2、空间曲线：曲线上四个连续的点不在同一平面内，如螺旋线。 3、曲线投影性质：曲线的投影一般仍为曲线，其切线和割线的 同面投影一般情况下仍为曲线投影

2、的切线和割线。 6.1 6.1 曲线的形成与投影曲线的形成与投影 二、圆的投影 圆的投影一般为椭圆。 1、椭圆的常用概念和术语 椭圆的直径：过椭圆中心且两端点在椭圆周线上的直线段，如AB、CD； 共轭直径：图中点O为椭圆中心，AB是椭圆直径，过AB的平行弦MN的中 点作直径CD，则AB和CD是该椭圆的一对共轭直径，椭圆共轭直径有无穷多 对； 椭圆的长、短轴：椭圆共轭直径中互相垂直的一对共轭直径称为椭圆的 长轴和短轴。 2、圆的投影特性 1）圆上任何一对互相垂直的直径的投影必为投影椭圆的一对共轭直径； 2）圆上平行于切线的弦必被过切点的直径所平分，该性质在投影中保持 不变； 3）圆的外切正方形的

3、投影成为投影圆的外切平行四边形。 3、圆的投影作图 1) 特殊位置圆的投影作图 圆与投影面平行，在该投影面上的投影为圆，在其余两个投影面 上的投影集聚为直线；圆与投影面垂直时，在该投影面上积聚为直 线，在另两个投影面上的投影为椭圆，长轴为圆直径的实长，短轴 为圆直径实长下圆所在平面和投影面夹角的余弦的积。 2) 一般位置圆的投影作图 已知平面S及面上一点O，求平面S上以点O 为圆心、直径为20mm 的圆的投影。 三、圆柱螺旋线 1、螺旋线形成 动点M沿直线AB等速移动，同时直线AB又绕与它平行的轴线OO等速旋转， 点M的轨迹称为圆柱螺旋线。 2、螺旋线投影作图 6.2 6.2 常见曲面常见曲面

4、 曲面形成和分类曲面形成和分类 1 1、形成、形成 曲面是直线或曲线绕空间运动所形成的轨迹曲面是直线或曲线绕空间运动所形成的轨迹 2 2、分类：、分类： 运动方式：运动方式： 回转面、非回转面；回转面、非回转面； 母线形状：母线形状： 直线曲面、曲线曲面。直线曲面、曲线曲面。 6.3 6.3 立体的三面投影立体的三面投影 6.3.1 6.3.1 立体的投影立体的投影 6.3.2 6.3.2 三面投影与三视图三面投影与三视图 6.3.3 6.3.3 三视图之间的对应关系三视图之间的对应关系 6.3.4 6.3.4 平面立体平面立体 6.3.5 6.3.5 回转体回转体 常常 见见 的的 基基 本

5、本 立立 体体 平平 面面 立立 体体 曲曲 面面 立立 体体 棱柱棱柱 棱锥棱锥 圆柱圆柱 圆锥圆锥 圆球圆球 圆环圆环 V V W W H H 6.3.1 6.3.1 立体的投影立体的投影 立体的投影，实质上是构成该立体的所有 表面的投影总和。 用正投影法绘制的物用正投影法绘制的物 体的投影图称为视图。体的投影图称为视图。 6.3.2 三面投影与三视图 (1) (1) 视图的概念视图的概念 主视图立体的正面投影 俯视图立体的水平投影 左视图立体的侧面投影 (2(2）三视图的投影规律）三视图的投影规律 三等关系三等关系 主俯视主俯视图图长对正长对正 主左视主左视图图高平齐高平齐 俯左视俯左视

6、图图宽相等宽相等 长长 高高 宽宽 宽宽 长对正长对正 宽相等宽相等 高平齐高平齐 -无轴投影图无轴投影图 6.3.3 6.3.3 三视图之间的方位对应关系三视图之间的方位对应关系 主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后 上上 下下 左左右右 后后 前前 上上 下下 前前后后左左右右 上上 下下 左左 右右 前前 后后 6.3.4 6.3.4 平面立体平面立体 1 1、 棱柱棱柱 2 2 、棱锥棱锥 平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱 若平面立体所有

7、棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥 棱锥体棱锥体 平面立体：平面立体：是由若干个平面图形所围成的几 何体，如棱柱体、棱锥体等。 棱柱体棱柱体 是平面立体各表面投影的集合 -由直线段组成的封闭图形。 平面立体的投平面立体的投 影影 14 由两个底面由两个底面 和六个侧棱面组和六个侧棱面组 成。侧棱面与侧成。侧棱面与侧 棱面的交线叫侧棱面的交线叫侧 棱线，侧棱线相棱线，侧棱线相 互平行。互平行。 1）六棱柱）六棱柱 1 1、 棱柱棱柱 （1 1）六棱柱的）六棱柱的投影投影视图视图 -无轴投影图无轴投影图 16 (2) (2) 棱柱表面上取点棱柱表面上取点 a a (a )

8、(b ) b b 点的可见性点的可见性 判别：判别： 若点所若点所 在的平面的在的平面的 投影可见，投影可见， 点的投影也点的投影也 可见；若平可见；若平 面的投影积面的投影积 聚成直线，聚成直线， 点的投影也点的投影也 可见。可见。 c c c （1）三棱柱的视图）三棱柱的视图 由两个底面和由两个底面和 三个侧棱面组成。三个侧棱面组成。 侧棱面与侧棱面的侧棱面与侧棱面的 交线叫侧棱线，侧交线叫侧棱线，侧 棱线相互平行。棱线相互平行。 2 2） 三棱柱三棱柱 三棱柱的三棱柱的 两底面为水平两底面为水平 面，在俯视图面，在俯视图 中反映实形。中反映实形。 其余三个其余三个 侧棱面都是铅侧棱面都是

9、铅 垂面，水平投垂面，水平投 影积聚，与三影积聚，与三 角形的边重合。角形的边重合。 点的可见性判别：点的可见性判别： 若点所在的平若点所在的平 面的投影可见，点面的投影可见，点 的投影也可见；若的投影也可见；若 平面的投影积聚成平面的投影积聚成 直线，点的投影也直线，点的投影也 可见。可见。 由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相同。点与在平面上取点的方法相同。 m k k k m 用相对坐标，量取坐标差用相对坐标，量取坐标差 的方法在表面取点。的方法在表面取点。 m （2 2）三棱柱表面的点）三棱柱表面的点

10、 2 、棱锥 1 1）棱锥的组成）棱锥的组成 由一个底由一个底 面和若干侧棱面和若干侧棱 面组成。侧棱面组成。侧棱 线交于有限远线交于有限远 的一点的一点锥锥 顶。顶。 s B a s a c s b C A S b”(c”) a”c b 棱锥处于图示位棱锥处于图示位 置时置时, ,其底面其底面ABCABC是水是水 平面，在俯视图上反平面，在俯视图上反 映实形。侧棱面映实形。侧棱面SBCSBC 为侧垂面，另两个侧为侧垂面，另两个侧 棱面为一般位置平面。棱面为一般位置平面。 2 2）棱锥的投影三视图）棱锥的投影三视图 s (c ) s a a c b b c s b a 3 3）棱锥表面上取点）

11、棱锥表面上取点 2 2 2 3 (3 ) 3 B C A S m m N 1 M 1 n n 1 截平面截平面 断面断面 断面的边界线：断面的边界线：截平面与立体表面的交线截平面与立体表面的交线 截交线。截交线。 6.3.4 6.3.4 平面截切平面立体平面截切平面立体 一、平面立体的截交线一、平面立体的截交线 平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。 二、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的性质 三、平面立体截交线的求法三、平面立体截交线的求法 1. 1. 棱柱上截交线的求法棱柱上截交线的求法 作图方法作图方法: 1 求棱线与截平面求棱

12、线与截平面 的共有点的共有点 2 连线连线 3 根据可见性处理轮廓线根据可见性处理轮廓线 1?2? 1?2?2?2?2? 7? 7? 5? 6? 5? 6? 1 2 3 4 5 6 7 3? 4? 3? 4? 求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线 例题例题1 1 求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影 2 2棱锥上截交线的求法棱锥上截交线的求法 例题例题2 2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 s a b cc”a” b” s Pv s”

13、a b c 例题例题2 2 求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的 水平投影和侧面投影。水平投影和侧面投影。 s a b cc”a” b” s Pv s” (1) 求Pv与sa、 sb、sc的交点 1、2、3为截平 面与各棱线的交点、 、的正面投影。 1 2 3 (2) 根据线上取点的方 法，求出1、2、3和1”、 2”、3”。 1 1” 2” 2 3 (3) 连接各点的同面投 影即等截交线的三个投 影。 (4) 补全棱线的投影。 3” 具体步骤如下： a b c 1 2 3(4) 1” 3” 4” 1 2 4 3 例题例题3 3 求三棱锥被截

14、切后的水平投影和侧面投影求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影 y y 例题例题44 求立体切割后的投影求立体切割后的投影 2 3 5 4 1 1 1 6 6 54 3 2 6 4 （5） 2 （3） 1 1、 圆柱圆柱 2 2 、圆锥圆锥 3 3 、圆球圆球 4 4 、圆环圆环 6.3.6 6.3.6 回转体回转体 工程中常见的曲面立体工程中常见的曲面立体, ,是是回转体。回转体。 直母线生成的回转曲面称为直线回直母线生成的回转曲面称为直线回 转面如转面如: :圆柱面、圆锥面等。圆柱面、圆锥面等。 回转曲面回转曲面是由母线是由母线( (直线或曲线直线或曲线) )绕绕 定轴线作回转运动生成的。定

15、轴线作回转运动生成的。 曲母线生成的回转曲面称为曲线回曲母线生成的回转曲面称为曲线回 转面如转面如: :圆球面、圆环面等。圆球面、圆环面等。 回转体的表面主要由回转体的表面主要由回转曲面回转曲面构成构成。 表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。 回转面的术语回转面的术语 O O 顶圆 素线 赤道圆 喉圆 纬圆 底圆 母线 轴线 回转体（面）的形成回转体（面）的形成 圆柱面上与轴圆柱面上与轴 线平行的任一直线平行的任一直 线称为圆柱面的线称为圆柱面的 素线素线。 1 1）圆柱体的组成）圆柱体的组成 由圆柱面和上由圆柱面和上 下两底圆组成。下两

16、底圆组成。 圆柱面是由直圆柱面是由直 母线母线AAAA1 1绕与之平绕与之平 行的轴线旋转而行的轴线旋转而 成。成。 1 1、 圆柱圆柱 2 2）圆柱的投影）圆柱的投影 圆柱面的俯圆柱面的俯 视图积聚成一个视图积聚成一个 圆，在另两个视圆，在另两个视 图上分别以两个图上分别以两个 方向的外形轮廓方向的外形轮廓 线的投影表示。线的投影表示。 其上下底圆其上下底圆 为水平面为水平面, ,在俯在俯 视图上反映实形，视图上反映实形， 在另两个视图上在另两个视图上 分别积聚成为一分别积聚成为一 直线。直线。 （1 1）分析圆柱轮廓线的投影一）分析圆柱轮廓线的投影一 （1 1）分析圆柱轮廓线的投影二）分析

17、圆柱轮廓线的投影二 （2 2）圆柱投影对）圆柱投影对V V面可见性的判别面可见性的判别 前半面前半面 可见可见 后半面后半面 不可见不可见 曲面的曲面的 可见性可见性 的判断的判断 轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据 （3 3）圆柱投影对）圆柱投影对W W面可见性的判别面可见性的判别 左半面左半面 可见可见 右半面右半面 不可见不可见 曲面的曲面的 可见性可见性 的判断的判断 3 3）圆柱表面上取点）圆柱表面上取点 ( ) A (D) C c” 轮廓线的投轮廓线的投 影是判断曲面影是判断曲面 可见性的依据可见性的依据 ( ) B 利用积聚性先求出水平投影利用积

18、聚性先求出水平投影 a c 4 4）圆柱面上的曲线）圆柱面上的曲线 曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影； 然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。 利用积聚性利用积聚性 先求出侧面投影先求出侧面投影 注意求出特殊位注意求出特殊位 置的点（置的点（A A、C C） -特殊点特殊点 圆锥面圆锥面是由直母线是由直母线 SASA绕与它相交的轴绕与它相交的轴 线线OOOO1 1旋转而成。旋转而成。 1 1）圆锥体的组成圆锥体的组成 由圆锥面和底圆组成。由圆锥面和底圆组成。 S S称为称为锥顶锥顶，圆锥面上过锥

19、顶的任一直线，圆锥面上过锥顶的任一直线 称为圆锥面的称为圆锥面的素线素线。 S S A A O O O O1 1 2 2、 圆锥圆锥 2） 圆锥的投影圆锥的投影 如图示位置，俯视图为一圆。另两个如图示位置，俯视图为一圆。另两个 视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥 底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向 的两条轮廓素线的投影。的两条轮廓素线的投影。 (1) 圆锥的投影特点圆锥的投影特点 轮廓线的投影轮廓线的投影 底圆的投影底圆的投影 (2) 圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别V面面 前半面前半面 可见可见 后半面后半面 不可见

20、不可见 曲面的可见曲面的可见 性的判断。性的判断。 注意：注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断轮廓线的投影与曲面的可见性的判断 (3) 圆锥可见性的判别圆锥可见性的判别W面面 左半面左半面 可见可见 右半面右半面 不可见不可见 曲面的可见曲面的可见 性的判断。性的判断。 3） 圆锥表面上取点圆锥表面上取点 辅助素线法辅助素线法 辅助圆法辅助圆法 A a a 如何取圆的半径？如何取圆的半径？ 圆锥表面上特殊位置的取点圆锥表面上特殊位置的取点例：例： a a b b a b 4）圆锥面上的曲线）圆锥面上的曲线 求曲线上一系列点求曲线上一系列点 的投影；的投影； 注意：注意：特殊点特殊点 然后，再

21、将这些点然后，再将这些点 的投影依次光滑地连的投影依次光滑地连 接起来。接起来。 1 1）圆球的形成）圆球的形成 球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线 旋转而成。旋转而成。 3 3、 圆球圆球 2 2） 圆球的投影圆球的投影 三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。 （1）圆球的投影特点）圆球的投影特点 圆球的圆球的轮廓线的投影轮廓线的投影 （2）圆球可见性的判别）圆球可见性的判别 3 3）圆球表面上取点）圆球表面上取点 采用辅助圆法求圆

22、球面上的点采用辅助圆法求圆球面上的点 圆的半径圆的半径？ (c ) (b ) b b a a 圆球面上特殊点的求法圆球面上特殊点的求法 A为一般点；为一般点； 例：例： c a (c) B、C为特殊点。为特殊点。 4 4）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线 采用辅助圆法求圆球面上的线采用辅助圆法求圆球面上的线 注意：注意：特殊点特殊点 注意：注意：特殊点特殊点 采用辅助圆法求圆球面上的线采用辅助圆法求圆球面上的线 4 4）圆球面上的曲线）圆球面上的曲线 一圆母线绕其所在平面内的一条轴一圆母线绕其所在平面内的一条轴 线作回转而成。线作回转而成。 4 4、 圆环圆环 点击图片播放动画点击图片播放动画

23、1 1）圆环的画法）圆环的画法 2 2）圆环的投影特点）圆环的投影特点 主视图是主视图是 素线极限位置素线极限位置 和内、外环分和内、外环分 圆的投影；圆的投影； 俯视图是俯视图是 上、下环面的上、下环面的 投影；投影； 左视图与左视图与 主视图相同。主视图相同。 3 3）圆环投影可见性的判别）圆环投影可见性的判别 由前向后看，此部分可见 由上向下看，此部分可见 圆环面上的辅助圆圆环面上的辅助圆 m 1 2 4 4）圆环表面上取点）圆环表面上取点 m （n） 1 2 采用辅采用辅 助圆法求助圆法求 圆环面上圆环面上 的点或线的点或线 截交线截交线 截平面截平面截交线截交线 截平面截平面 6.4

24、 6.4 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交 一、截交线的性质：一、截交线的性质： 截交线的形状取决于截交线的形状取决于曲面立曲面立体体表表 面的形状及面的形状及截平面与截平面与曲面立曲面立体体轴轴 线的相对位置。线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形。封闭的平面图形。 截交线是截平面与截交线是截平面与曲面立曲面立体表面体表面 的的共有线。共有线。 二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状确定

25、截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，分析截平面与投影面的相对位置，明确明确截交截交 线的投影特性线的投影特性，如积聚性、类似性等。，如积聚性、类似性等。找出找出 截交线的截交线的已知已知投影，投影，预见未知预见未知投影。投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。 三、具体的作图步骤三、具体的作图步骤 四、截交线上的特殊点四、截交线上的特殊点 极限点极限点 转向点

26、转向点 特征点特征点 结合点结合点 矩形矩形椭圆椭圆圆圆 6.4.1 6.4.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 截平面垂直于圆截平面垂直于圆 柱轴线，截交线柱轴线，截交线 为为垂直于轴线的垂直于轴线的 圆圆 截平面平行于圆截平面平行于圆 柱轴线，截交线柱轴线，截交线 为为平行于轴线的平行于轴线的 两条直线两条直线 截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆 柱轴线，截交线为柱轴线，截交线为 椭圆椭圆 6.4.1 6.4.1 平面与圆柱相交平面与圆柱相交 例例1 1 求圆柱被截切后的侧面投影求圆柱被截切后的侧面投影 分析：分析：截平面与圆柱轴线斜截平面与圆柱轴线斜 交，截交线为椭圆。交，截交线为椭圆。 作图方

27、法作图方法: : 1.求特殊点求特殊点 1 1” 1 2 2” 2 3” 4” 3 4 2.适当求一般点适当求一般点 34 3.连线连线 4.处理轮廓线处理轮廓线 作图方法作图方法: : 表面取点法表面取点法 注意注意: :当截平面与圆柱轴线交线交角为当截平面与圆柱轴线交线交角为45时，时， 截交线投影为圆。截交线投影为圆。 例例22 求圆柱截交线求圆柱截交线 1 11 5 4 8 8 8 3 2 5 4 4(5) 2(3 ) 2 3 解题步骤解题步骤 1 1分析分析 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截 交线的侧面投影为圆，水平投交线的侧面投影为圆，水平投 影为椭圆；影为椭圆； 2 2求出截

28、交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 、 ； 3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 、； 4 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性； 5 5整理轮廓线。整理轮廓线。 7 6 6(7 ) 6 7 例例33 求圆柱截交线求圆柱截交线 解题步骤解题步骤 1 1分析侧面投影为圆的一部分，截分析侧面投影为圆的一部分，截 交线的水平投影为椭圆的一部分；交线的水平投影为椭圆的一部分； 2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 ； 3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 ； 4 4光滑且顺次地连接各点，作出截光滑且顺次地连接各

29、点，作出截 交线，并且判别可见性；交线，并且判别可见性； 5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 3 4 5 3 333 4 4( (5 5 ) ) 5 5 4 4 1 1(2 (2) ) 22 1 1 1 1 2 2 例例4 4 求切口圆柱的水平投影和侧面投影求切口圆柱的水平投影和侧面投影 解题步骤解题步骤 1 1 分析分析 截交线的水平投影为截交线的水平投影为 椭圆，侧面投影为圆；椭圆，侧面投影为圆； 2 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 、 ； 3 3 求出若干个一般点求出若干个一般点、 、； 4 4 光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点，作，作 出截交线，并且出截交线，

30、并且判别可见性判别可见性； 5 5 整理轮廓线。整理轮廓线。 例例55 求截切圆柱的水平投影和侧面投影求截切圆柱的水平投影和侧面投影 解题步骤解题步骤 1 分析分析 截交线的水平投影截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影为圆的一部分，侧面投影 为矩形；为矩形； 2 求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点 、； 3 顺次地连接各点顺次地连接各点，作出截，作出截 交线并交线并判别可见性判别可见性； 4 整理轮廓线。整理轮廓线。 6.4.2 6.4.2 平面与圆锥相交平面与圆锥相交 圆圆 椭圆椭圆 三角形三角形 双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段 截平面垂直于圆截平面垂直于

31、圆 锥轴线，截交线为锥轴线，截交线为垂垂 直于轴线的圆。直于轴线的圆。 截平面平行于圆锥截平面平行于圆锥 轴线，或截平面倾斜于轴线，或截平面倾斜于 圆锥轴线且过锥顶，截圆锥轴线且过锥顶，截 交线为交线为两相交直线。两相交直线。 平面截圆锥（一）平面截圆锥（一） 截平面平行于圆锥轴截平面平行于圆锥轴 线，或截平面倾斜于线，或截平面倾斜于 圆锥轴线，且圆锥轴线，且bfbfbf，截交线截交线 为为椭圆。椭圆。 截平面倾斜于圆截平面倾斜于圆 锥轴线，且锥轴线，且b=fb=f， 截交线为截交线为抛物线。抛物线。 平面截圆锥（二）平面截圆锥（二） 求圆锥截交线上点的方法求圆锥截交线上点的方法 素线法素线法

32、 纬圆法纬圆法 分析：分析：截平面过锥顶截平面过锥顶, ,截交线为截交线为 三角形。三角形。 例题例题11求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影 作图：作图： 例题例题22 求圆锥截交线求圆锥截交线 解题步骤解题步骤 1 1分析分析 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截 交线为椭圆；截交线的水平投交线为椭圆；截交线的水平投 影和侧面投影均为椭圆；影和侧面投影均为椭圆； 2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 3求出一般点求出一般点； 4 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性；出截交线，并且判别可见性；

33、5 5整理轮廓线。整理轮廓线。 3 3 3 3 3 3 截平面截圆球，截交线为截平面截圆球，截交线为圆。圆。 平平 面面 截截 圆圆 球球 纬纬圆圆法法 在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些 纬纬圆圆与与截截平面平面的的交点。交点。 求圆球截交线上点的方法求圆球截交线上点的方法 6.4.3 6.4.3 平面与圆球相交平面与圆球相交 圆圆 例例1 1 求圆球截交线求圆球截交线 解题步骤解题步骤 1 1分析分析 截平面为正垂面，截交截平面为正垂面，截交 线为圆；截交线的水平投影和侧线为圆；截交线的水平投影和侧 面投影均为椭圆；面投影均为椭圆； 2 2求出截交线上

34、的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ； 3 3求出若干个一般点求出若干个一般点A、B、C、 D； 4 4光滑且顺次地连接各点，作出光滑且顺次地连接各点，作出 截交线，并且判别可见性；截交线，并且判别可见性； 5 5整理轮廓线。整理轮廓线。 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 56 7 8 7 8 ab c d b a c d 2 1 34 56 7 8 ab cd 水平面截圆球的截交线的水平面截圆球的截交线的 投影，在俯视图上为部分圆弧，投影，在俯视图上为部分圆弧， 在侧视图上积聚为直线。在侧视图上积聚为直线。 两个侧平面截圆球的截交两个侧平面截圆球的截交 线的投影，在侧视图上为部分线的投

35、影，在侧视图上为部分 圆弧，在俯视图上积聚为直线。圆弧，在俯视图上积聚为直线。 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线 例例2 2 求圆球截交线求圆球截交线 6.5 6.5 曲面立体与曲面立体相贯曲面立体与曲面立体相贯 两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封 闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立 体表面的共有点。体表面的共有点。 相贯线是两曲面立体表面的相贯线是两曲面立体表面的共有线共有线，相贯线上的点是两曲，相贯线上的点是两曲 面立体表面的面立体表面的共有点共有点。 不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。 一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线空间曲线，特殊，特殊 情况为情况为平面曲线平面曲线或或直线直线。 1.1.两回转体相交两回转体相交, ,交线为相贯线交线为相贯线 相贯线相贯线 2.2.相贯线为二立体表面的公共线相贯线为二立体表面的公共线 3.3.相贯线一般为封闭的空间曲线相贯线一般为封闭的空间曲线 圆柱与圆锥圆柱与圆锥 相贯线为二立体表面公共线相贯线为二立体表面公共线 相贯线相贯线 相贯线相贯线 圆柱与圆柱圆柱与圆柱 封闭的空间曲线封闭的空间曲线 6.5.1 6.5.1