功能原理(大学物理)

1、R M m M m k 物体之间或物体内部各部分之间相对位置发生物体之间或物体内部各部分之间相对位置发生 变化的过程叫机械运动变化的过程叫机械运动。它是最简单它是最简单、最普遍最普遍 的运动形式的运动形式。在研究运动形式相互转换过程中在研究运动形式相互转换过程中 建立了功和能的概念建立了功和能的概念。本节研究机械运动过程本节研究机械运动过程 中与功密切相关的另一个重要概念机械动能中与功密切相关的另一个重要概念机械动能 （动能势能动能势能），以及机械能守恒的规律以及机械能守恒的规律。 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律 在由若干个质点在由若干个质点（物体物体）组成的质点系统内组成的质

2、点系统内，各个各个 质点既受到外力的作用又受到质点之间相互作用的质点既受到外力的作用又受到质点之间相互作用的 内力内力，那么这些内那么这些内、外力作功的情况又是怎样的呢外力作功的情况又是怎样的呢？ 一一、质点系的动能定理质点系的动能定理 设设：作用于各个质点作用于各个质点 的力所作的功分别为的力所作的功分别为 W1、W2、W3 。 。 根据质点的动能定根据质点的动能定 理可列出下列方程理可列出下列方程： 1 3 F1 2 F2 F3 F21 F 12 F 31 F 13 F 23F 32 W1E k1 Ek10 设设：作用于各个质点作用于各个质点 的力所作的功分别为的力所作的功分别为 W1、W

3、2、W3 。 。 根据质点的动能定根据质点的动能定 理可列出下列方程理可列出下列方程： 1 3 F1 2 F2 F3 F21 F 12 F 31 F 13 F 23F 32W2E k2 Ek20 W3E k3 Ek30） WiEki ki0 E i1 n i1 n i1 n 在在n 个质个质 点上力作点上力作 功之和。功之和。 n 个质点个质点 的末动能的末动能 之和。之和。 n 个质点个质点 的初动能的初动能 之和。之和。 - - 质点系的动能定理质点系的动能定理 作用于质点系的力作用于质点系的力 所作的功所作的功 ，等于该等于该 质点系的动能增量质点系的动能增量 必须特别注意必须特别注意：

4、 必须特别注意到在质点系中的质点既受到必须特别注意到在质点系中的质点既受到外力外力 的作用又受到质点之间的作用又受到质点之间内力内力的作用的作用。 Wi i1 n 外力对质点系内外力对质点系内 质点所作的功质点所作的功 内力对质点系内内力对质点系内 质点所作的功质点所作的功 是是之和之和 Wi i1 n Wi i1 n W i i1 n 外力外力内力内力 W外力 外力W内力内力 WiEki ki0 E i1 n i1 n i1 n 由由： W外力 外力W内力内力 E kiki0 E i1 n i1 n 上式是质点系动能定理的另一种数学表达式上式是质点系动能定理的另一种数学表达式 它表示它表示：

5、质点系动能的增量等于作用于质点质点系动能的增量等于作用于质点 系的一切外力和内力作的功之和系的一切外力和内力作的功之和。 二二、 质点系的功能原理质点系的功能原理 又注意到又注意到：作用于质点系的力作用于质点系的力，还有还有保守力保守力和和非保守非保守 力力之分之分，那么质点系内那么质点系内一切内力一切内力所作的功应该是所作的功应该是：保保 守内力作的功守内力作的功和和非保守内力作的功非保守内力作的功之和之和。 质点系动能的增量等于作用于质点质点系动能的增量等于作用于质点 系的系的一切外力一切外力和和内力内力作的功之和作的功之和。 W 内力内力 W 非保守内力非保守内力 W 保守内力保守内力

6、由于质点系内保守内力作的功是由于质点系内保守内力作的功是： W 保守内力保守内力Pi Pi0 ()=EE i1 n i1 n 系统内质点势系统内质点势 能增量的负值能增量的负值 Wi i1 n W外力 外力W内力内力W外力 外力W 非保守内力非保守内力 W 保守内力保守内力 W外力 外力W内力内力 E kiki0 E i1 n i1 n Wi i1 n W外力 外力W内力内力W外力 外力W 非保守内力非保守内力 W 保守内力保守内力 E kiki0 E i1 n i1 n 质点系的质点系的 动能定理动能定理 Pi Pi0 ()EE i1 n i1 n W外力 外力W 非保守内力非保守内力 E

7、kiki0 E i1 n i1 n E ki i1 n ( ki0 E i1 n Pi E i1 n ） ( Pi0 E i1 n ） 动能动能势能势能 机械能机械能 质点系的质点系的 末机械能末机械能E 质点系的质点系的 初机械能初机械能E0 W 外力外力 W 非保守内力非保守内力E E 0 质点系的功能原理质点系的功能原理 W 外力外力 W 非保守内力非保守内力E E 0 质点系的功能原理质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于作用在质点系机械能的增量等于作用在 该质点系的外力和非保守内力作功之和该质点系的外力和非保守内力作功之和。 三三、机械能守恒定律机械能守恒定律 当外力和非保守内力对

8、当外力和非保守内力对 质点系作功之和为零时质点系作功之和为零时 E ki i1 n ( ki0 E i1 n Pi E i1 n ）=( Pi0 E i1 n ） E=E0 Ek EP E i1 n - ki0 E i1 n = Pi E i1 n Pi0 E i1 n -）( -( ） ki E=E0 Ek EP E i1 n - ki0 E i1 n = Pi E i1 n Pi0 E i1 n -）( -( ） ki 机械能机械能 守恒定律守恒定律 功与能有密切联系功与能有密切联系，功是能量变化与转换的功是能量变化与转换的 一种量度，能量代表质点系统具有的一种量度，能量代表质点系统具有的

9、作功本领作功本领。 在机械能守恒定律中在机械能守恒定律中，机械能是一个不变量机械能是一个不变量， 其动能和势能的转换是通过保守力其动能和势能的转换是通过保守力作功来实现作功来实现的的。 当作用于质点系的外力和非保守内力不作当作用于质点系的外力和非保守内力不作 功时功时（或或W外力 外力W非保守内力非保守内力0）质点系的机械 质点系的机械 能是守恒的能是守恒的。质点系内的动能和势能之间可质点系内的动能和势能之间可 以相互转换以相互转换，但动能与势能之和是不变的但动能与势能之和是不变的。 例题例题：一质量为一质量为m 的物体的物体，在半径为在半径为R 的半球形容的半球形容 器中器中，由由静止静止开

10、始自边缘上的开始自边缘上的A点滑下点滑下 ，如图所示如图所示。 到达最低点到达最低点B 时时，它对容器的正压力为它对容器的正压力为N 。 求求： 物体自物体自A滑到滑到B 的过程中的过程中，摩擦力对其作的功摩擦力对其作的功。 （练习册P24选择题8） B R A 0 m m N 解解：由功能原理由功能原理 E ki i1 n ( ki0 E i1 n Pi E i1 n ） ( Pi0 E i1 n ） W外力 外力W 非保守内力非保守内力E E 0 物体自物体自A滑到滑到B 的的 过程中无外力作用过程中无外力作用 W 外力外力0 只有摩擦力作功只有摩擦力作功 在整个系统中摩擦力在整个系统中摩

11、擦力 是内力是内力，是非保守力是非保守力。 W f EE 0 末机械能末机械能初机械能初机械能 B R A 0 m m N W f EE 0 末机械能末机械能初机械能初机械能 E ki i1 n ( ki0 E i1 n Pi E i1 n ） ( Pi0 E i1 n ） 设设：B 点为零势能点点为零势能点， 小球在小球在B 点受力分析点受力分析 mg B 点具有末机械能点具有末机械能： 2 1 mv 2 0 A 点具有初机械能点具有初机械能： mg 0R 小球从小球从A点静点静 止开始沿半球止开始沿半球 形边缘滑下形边缘滑下， 因此动能为因此动能为0 W f EE 0 2 1 mv 2 0

12、（） mg 0R （） 小球在小球在B 点受向心力点受向心力 Nmg 作圆周运动作圆周运动 Nmgm v R 2 W f EE 0 2 1 mv 2 0（） mg 0R （） 小球在小球在B 点受向心力点受向心力 Nmg 作圆周运动作圆周运动: : Nmgm v R 2 B R A 0 m m N mg Nmg m R v 2 （ ） Nmg m R（） W f 2 1 m mg R 2 1 R（N3mg） 本题结束本题结束 分析分析：物体在运动时受到外力物体在运动时受到外力、摩擦力的作用所以机械能不再摩擦力的作用所以机械能不再 守恒守恒，解题时要用功能原理解题时要用功能原理，还要考虑弹性力作

13、功的因素还要考虑弹性力作功的因素。 列方程：列方程： x= k 2 ()Fmg u 得：得： 再由：再由： E P= 2 2 1 kx 代入代入x 中得中得： = k 2 ()Fmg u E P 2 物体离开平衡位置的最大距离物体离开平衡位置的最大距离 Fx umgx = 2 2 1 kx 拉力作的功转换为摩擦力拉力作的功转换为摩擦力 作的功和弹性力作的功。作的功和弹性力作的功。 m F k 例题例题：如图所示如图所示，有劲度系数为有劲度系数为k 的轻弹簧水平放置的轻弹簧水平放置， 一端固定一端固定，另一端系质量为另一端系质量为m 的物体的物体，物体与水平面间物体与水平面间 的摩擦系数为的摩擦

14、系数为 。开始时开始时，弹簧不伸长弹簧不伸长，现以恒力将物现以恒力将物 体自平衡位置开始向右拉动体自平衡位置开始向右拉动，求求：系统的最大势能系统的最大势能。 m (练习册P28选择题4) 本题结束本题结束 例题例题：劲度系数为劲度系数为k 的弹簧的弹簧, ,下端固定在水平面上下端固定在水平面上， 如图所示如图所示，今将一质量为今将一质量为m的物体轻轻放在弹簧上的物体轻轻放在弹簧上， 立即松手立即松手，欲求弹簧的最大压缩量欲求弹簧的最大压缩量，你采用什么规律你采用什么规律？ 关系式是关系式是_；结果是结果是_。 m （练习册练习册P25填充题填充题7） 分析分析：根据题意根据题意，松手后弹簧的

15、松手后弹簧的弹性弹性 力力克服物体的克服物体的重力重力作功作功，是属于是属于保守保守 力作功力作功所以采用所以采用：机械能守恒机械能守恒的规律的规律 关系式关系式： mgx= 2 2 1 kx结果是结果是 x mg = 2 k 本题结束本题结束 例题例题：已知地球的半径已知地球的半径RE 约为约为6.4103km今有质量今有质量m 为为3.0103kg的人造地球卫星的人造地球卫星，从半径从半径2RE的圆形轨道的圆形轨道 上从上从a飞行到半径为飞行到半径为4RE的的b 点点，问问：卫星完成了变轨过卫星完成了变轨过 程中获得了多少能量程中获得了多少能量？ a b RE 4RE va vb 2RE

16、设设：卫星在卫星在a 点的速率为点的速率为va 所受的向心力是由万有引力所受的向心力是由万有引力 提供提供，由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得： Gm E 2 2RE（ ）2R va 2 m m E Fma v 2 m R 向心力 v g R E 2 a Gg E 2 R m E m m G g E 2 R m E 代入上式得：代入上式得： Gm E 2 2RE（ ）2R va 2 m m E a b RE 4R E va vb 2R E v g R E 2 卫星在卫星在a点和点和b点点 的机械能分别为的机械能分别为： 2 1 mv 2 G m E 2R m m E a Ea 4 1 gRE

17、 2 1 mv 2 G m E 4R m m E b Eb 8 1 gRE 动能动能引力势能引力势能 E （ ）EaEbm 8 1 gRE 本题结束本题结束 E （ ）EaEbm 8 1 gRE 8 1 6.4 10 6 3.0 10 3 9.8 2.35 10 6 (J) 这个能量是由这个能量是由 卫星上的小火卫星上的小火 箭提供的箭提供的。 类似以上的计类似以上的计 算算，可以得到可以得到： 地面上发射人造地球地面上发射人造地球 卫星的最小速度卫星的最小速度： （第一宇宙速度第一宇宙速度） 7.910 3 ( m/s ) 脱离地球引力作用范围在地脱离地球引力作用范围在地 面上必须具有的最小

18、发射速面上必须具有的最小发射速 度度：（第二宇宙速度第二宇宙速度） 11.210 3 ( m/s ) 脱离太阳引力的束缚飞出脱离太阳引力的束缚飞出 太阳系太阳系，最小发射速度最小发射速度： （第三宇宙速度第三宇宙速度） 16.410 3 ( m/s ) 37 碰撞碰撞 两个物体在碰撞过程中两个物体在碰撞过程中，它们之间相互它们之间相互 作用的内力要大大于其它物体对它们作作用的内力要大大于其它物体对它们作 用的外力用的外力，所以在碰撞物体中所以在碰撞物体中，可以将可以将 其它物体对它们的作用外力忽略不计其它物体对它们的作用外力忽略不计。 一一. . 碰撞的分类碰撞的分类 碰撞碰撞 对心碰撞对心碰

19、撞 斜向碰撞斜向碰撞 完全弹完全弹 性碰撞性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 （塑性碰撞塑性碰撞） 二二、 碰撞的特点碰撞的特点（只研究对心碰撞只研究对心碰撞） 1. 完全弹性碰撞完全弹性碰撞： 遵守动量守恒定律遵守动量守恒定律： m2m1vo1vo2m2m1v1v2 两物体碰撞之前的动量之和两物体碰撞之前的动量之和 碰撞之后的动量之和碰撞之后的动量之和 遵守机械能守恒定律遵守机械能守恒定律： 2 vo1m1 1 2 vo2m2 1 2 2 v1m1 1 2 2 v2m2 1 2 2 两物体碰撞之前的动能之和两物体碰撞之前的动能之和 碰撞之后的动能之和碰撞之后的动能之和 2. 完全非弹性碰撞

20、完全非弹性碰撞：（塑性碰撞塑性碰撞） 遵守动量守恒定律遵守动量守恒定律： m1vo1m2m1（ V） m2vo2 m1m2 2. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞：（塑性碰撞塑性碰撞） 遵守动量守恒定律遵守动量守恒定律： m1vo1m2m1（ V） m2vo2 两物体碰撞之前的动量之和两物体碰撞之前的动量之和 碰撞之后的碰撞之后的 动量动量（两物体的总质量与共同速度的乘积两物体的总质量与共同速度的乘积） 但但不遵守机械能守恒定律不遵守机械能守恒定律。机械能转换为热能机械能转换为热能、声声 能能、化学能等等化学能等等，机械能不守恒机械能不守恒，而遵守能量守恒而遵守能量守恒。 例题例题： 小球的质量为

21、小球的质量为m 沿着光滑的弯曲轨道由静止沿着光滑的弯曲轨道由静止 开始滑下开始滑下 （1）要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离 轨道轨道，问小球至少应从多高的地方问小球至少应从多高的地方H 滑下滑下？（2）小球小球 在圆圈的最高点在圆圈的最高点A 受到哪几个力的作用受到哪几个力的作用。（3）如果小如果小 球由球由H =2R 的高处滑下的高处滑下，小球的运动将如何小球的运动将如何？ 例题例题： 小球的质量为小球的质量为m 沿着光滑的弯曲轨道由静止开始滑下沿着光滑的弯曲轨道由静止开始滑下 （1）要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离轨道要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离

22、轨道，问小球至少问小球至少 应从多高的地方应从多高的地方H 滑下滑下？（2）小球在圆圈的最高点小球在圆圈的最高点A 受到哪几受到哪几 个力的作用个力的作用。（3）如果小球由如果小球由H =2R 的高处滑下的高处滑下，小球的运动小球的运动 将如何将如何？ A BR H 0 C (1)系统机械能守恒系统机械能守恒解解： 设设A为零势能点为零势能点 理由理由：在小球运动过程中在小球运动过程中，无摩擦无摩擦 力力，仅靠重力仅靠重力（保守力保守力）作功作功。 =ECEA ()2RHmmv 2 12 = A 0g-0 C 点的动能点的动能势能势能A 点的动能点的动能势能势能= ()2RHmmv 2 12

23、= A 0g-0 C 点的动能点的动能势能势能A 点的动能点的动能势能势能= 小球在小球在A点的受力分析点的受力分析： 小球的重力小球的重力 和轨道对小和轨道对小 球的正压力球的正压力 A BR H 0 C mg N N=+ gm mv 2 A R (1 ) 0 不脱轨的条件为不脱轨的条件为：N=gm mv 2 A R 2 (2)gm mvA R 由由(1)(2)得得： 小球将不能到达小球将不能到达A点就掉下来了点就掉下来了。 (3)如果小球由如果小球由H =2R 的高处滑下的高处滑下 A BR H 0 C mg N N=+ gm mv 2 A R (1) 2 (2)gm mvA R ()2R

24、Hmmv 2 12 = A 0g-0 ()2RHm 2 1 g-mgR 2RH 2 1 +R 2 5 R (2)小球在小球在 A 点受重力点受重力mg 及及 轨道对小球的正压力轨道对小球的正压力N 作用作用。 本题结束本题结束 例题例题： 如图所示如图所示，子弹水平地子弹水平地射入射入一端固定在弹簧上一端固定在弹簧上 的的木块内木块内，已知已知：子弹质量子弹质量是是0.02kg ，木块质量是木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块子弹射人木块 后后，弹簧被压缩弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系设木块与平面间的滑动摩擦系 数为数为0.2，求

25、求: :子弹的速度子弹的速度。 M m k v0=? 解解:因为子弹进入木块内没因为子弹进入木块内没 有出来有出来，是属于塑性碰撞是属于塑性碰撞 由系统动量守恒得由系统动量守恒得： mvv0Mm +()= + m v v0 M m = xk 2 12 弹簧压缩后弹簧压缩后 的弹性势能的弹性势能: : v 2 12 M m+() 碰撞后系碰撞后系 统的动能统的动能: : 压缩过程摩擦力的功压缩过程摩擦力的功: : + m v v0 M m = xk 2 12 弹簧压缩后弹簧压缩后 的弹性势能的弹性势能: : v 2 12 M m+() 碰撞后系碰撞后系 统的动能统的动能: : M m k 由功能

26、原理由功能原理: : g = xM m+()m Wf- g=x M m+()m- xk 2 12 v 2 12 M m+()- = 2 gx Mm+()mx 2 1 M m+() k 2 1 2mv0 M m+ ()+ 上式可理解为上式可理解为：子弹射入木块后它们具有的动能子弹射入木块后它们具有的动能 转换为弹簧压缩后的势能和克服摩擦力作的功转换为弹簧压缩后的势能和克服摩擦力作的功。 M m k = 2 gx Mm+()mx 2 1 M m+() k 2 1 2mv0 M m+ ()+ 上式可理解为上式可理解为：子弹射入木块后它们具有的动能子弹射入木块后它们具有的动能 转换为弹簧压缩后的势能和

27、克服摩擦力作的功转换为弹簧压缩后的势能和克服摩擦力作的功。 xk 2 12 gx M m+()m v0 2 = M m+ () 2 1m 2 2 用已知条件代入用已知条件代入： m0.02kg M8.98kg x0.01m k100N/m = 10.1810 4 v0= 319( m/s ） 子弹的速度子弹的速度 v0=? 本题结束本题结束 例题例题：质量为质量为M =1.5kg的物体的物体， 用一根长为用一根长为l =1.25m 细绳悬挂在天花板上细绳悬挂在天花板上，今有一质量为今有一质量为m =10g 的子弹以的子弹以 v0=500m/s的水平速度射穿物体的水平速度射穿物体，已知刚穿出物体

28、时子已知刚穿出物体时子 弹的速度大小为弹的速度大小为v =30m/s ，设穿透时间极短设穿透时间极短。 求求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小子弹刚穿出时绳中张力的大小 （2）子弹在穿透过程中所受的冲量子弹在穿透过程中所受的冲量。 （练习册练习册P6计算题计算题1） v0v m M l 提示提示：涉及到涉及到 1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞 2.圆周运动圆周运动 3.动量定理动量定理 课内讲解课内讲解 例题例题：一轻质弹簧的劲度系数为一轻质弹簧的劲度系数为k ，一端固定另一端一端固定另一端 连结一质量为连结一质量为M 的物体的物体，静止于光滑水平面上静止于光滑水平面上，如图所如图所 示示。一质

29、量为一质量为m 的泥浆以速度的泥浆以速度v 水平飞向物体水平飞向物体，并并粘于粘于 物体一起运动物体一起运动。求求： （1）泥浆与物体开始运动的速度泥浆与物体开始运动的速度 （2）弹簧的最大压缩量弹簧的最大压缩量。 （练习册P27计算题3） M m k v 提示提示：涉及到涉及到 1.完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 2.机械能守恒机械能守恒 课内讲解课内讲解 例题例题：如图所示如图所示 ，光滑的光滑的斜面与水平面的夹角为斜面与水平面的夹角为 30，轻质弹簧的上端固定轻质弹簧的上端固定，弹簧的另一端轻轻地挂上弹簧的另一端轻轻地挂上 质量为质量为M 1.0kg的的木块木块，则木块沿斜面向下滑动则木块

30、沿斜面向下滑动。当当 木块向下滑木块向下滑x30cm时时，恰好有恰好有一质量为一质量为m0.01kg 的子弹的子弹，沿水平方向以速度沿水平方向以速度v200m/s射中木块并射中木块并陷陷 在其中在其中，设弹簧的弹性系数为设弹簧的弹性系数为k10N/m 。 求求： 子弹和木块的共同速度子弹和木块的共同速度。 (练习册练习册P9计算题计算题3) m m k M v x 分析分析：涉及到涉及到 1.完全非弹性碰撞的动量守恒完全非弹性碰撞的动量守恒 （合外力为合外力为0） 2.机械能守恒机械能守恒（仅保守力作功仅保守力作功） 3.注意到斜面的问题注意到斜面的问题 设设：沿斜面向上为正建坐标沿斜面向上为

31、正建坐标， 并对研究对象进行受力分析并对研究对象进行受力分析。 v cos30 m k M x v x Mg x sin30 设设：沿斜面向上为正建坐标沿斜面向上为正建坐标， 并对研究对象进行受力分析并对研究对象进行受力分析。 由于在过程中仅保守力作功由于在过程中仅保守力作功机械能守恒机械能守恒。 木块沿斜面下滑木块沿斜面下滑x 距离距离（高度差），所具有所具有 的势能转化为木块的动能和对弹簧作的功的势能转化为木块的动能和对弹簧作的功。 2 1 MV 木块木块 2 2 1 kx 2 Mgsin30 x M 1.0kg x30cm k10N/m 1.09.80.3 2 1 2 1 1.0 V 木

32、块木块 2 2 1 100.3 2 例题例题：如图所示如图所示 ，光滑的光滑的斜面与水平面的夹角为斜面与水平面的夹角为 30，轻质弹簧的上端固定轻质弹簧的上端固定，弹簧的另一端轻轻地挂上弹簧的另一端轻轻地挂上 质量为质量为M 1.0kg的的木块木块，则木块沿斜面向下滑动则木块沿斜面向下滑动。当当 木块向下滑木块向下滑x30cm时时，恰好有恰好有一质量为一质量为m0.01kg 的子弹的子弹，沿水平方向以速度沿水平方向以速度v200m/s射中木块并射中木块并陷陷 在其中在其中，设弹簧的弹性系数为设弹簧的弹性系数为k10N/m 。 求求： 子弹和木块的共同速度子弹和木块的共同速度。(练习册练习册P9

33、计算题计算题3) v cos30 m k M x v x Mg x sin30 1.09.80.3 2 1 2 1 1.0 V 木块木块 2 2 1 100.3 2 V1.43 子弹射入木块属于完全非弹子弹射入木块属于完全非弹 性碰撞性碰撞，过程中合外力为过程中合外力为0， 因此遵守动量守恒规律因此遵守动量守恒规律。 v cos30 m k M x v x Mg x sin30 子弹射入木块属于完全非弹子弹射入木块属于完全非弹 性碰撞性碰撞，过程中合外力为过程中合外力为0， 因此遵守动量守恒规律因此遵守动量守恒规律。 V共同 共同 MV木块 木块 cos30mvMm（) 1.0 200（1.4

34、3)0.01 2 3 V （) 1.00.01 共同共同 1.01 V共同 共同 1.431.73 0.297 0.30 . (m/s) 子弹和木块子弹和木块 的共同速度的共同速度本题结束本题结束 例题例题：两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2物体物体A和和B ，用一个质用一个质 量忽略不计量忽略不计，倔强系数为倔强系数为k 的弹簧连接的弹簧连接，放置在光滑水放置在光滑水 平面上平面上，使使A紧靠墙壁紧靠墙壁，用力推物体用力推物体B 使弹簧压缩使弹簧压缩xo ， 然后释放然后释放。已知已知: m1m 、m23m 求求：（1）释放后释放后A、 B 两物体速度相等时的瞬时速度的大小两物体速度相

35、等时的瞬时速度的大小 （2）释放后释放后，弹簧的最大伸长量弹簧的最大伸长量。 (练习册练习册P31计算题计算题1) 提示提示：先用完全非弹性碰撞先用完全非弹性碰撞 的动量守恒规律的动量守恒规律，求出两物求出两物 体的共同速度体的共同速度。再用功能原再用功能原 理计算出弹簧的最大伸长量理计算出弹簧的最大伸长量 k AB m1m2 推力推力 2 xo xmax= （2） 课内讲解课内讲解 V = 4 xo （1） 3k m 例题例题：质量为质量为m 的球的球，从质量为从质量为M 的圆弧形槽中自的圆弧形槽中自静止静止 滑下滑下，设圆弧形槽的半径为设圆弧形槽的半径为R 。若所有摩擦都可忽略若所有摩擦都

36、可忽略。 求求：小球刚离开圆弧形槽时小球刚离开圆弧形槽时，它们的速度它们的速度各是各是多少多少？ M R m 0 解解：设设m 刚离开圆弧轨道时的速度为刚离开圆弧轨道时的速度为v，M 的速度为的速度为V 整个过程动量守恒整个过程动量守恒、机械能守恒机械能守恒： 0=+ m v MV R gm mv 2 1 2 =MV 2 + 2 1 设小球离开设小球离开 圆弧槽时为圆弧槽时为 零势能点。零势能点。 2 M m+ =v 2R g M 解得解得：2 M m+ =v R g M V= m M v=m 2 M m+ R g M（） 负号负号说明说明：圆弧槽圆弧槽 的速度方向与小球的速度方向与小球 运动

37、的方向相反运动的方向相反。 例题例题：一弹簧原长为一弹簧原长为l0 、劲度系数为劲度系数为k ，上端固定上端固定， 下下 端挂质量为端挂质量为m 的物体的物体，先用手托住先用手托住，使弹簧不伸长使弹簧不伸长。 （1）将物体托住慢慢放下达静止将物体托住慢慢放下达静止（平衡位置平衡位置）时时，弹弹 簧的最大伸长量和弹性力是多少簧的最大伸长量和弹性力是多少？（2）如将物体突然如将物体突然 放手放手，物体到达最低位置时物体到达最低位置时，弹簧的伸长量和弹性力各弹簧的伸长量和弹性力各 是多少是多少？（3）物体经过平衡位置时的速度是多少物体经过平衡位置时的速度是多少？ k m lo 解解：（1）在物体在物

38、体m上进行受力分析上进行受力分析： mg F 在物体在物体m上有重力上有重力mg 和弹性力和弹性力F 两力平衡两力平衡F mg0 x kF= max gm= x 设设弹簧最大伸长为弹簧最大伸长为：max k = 可得到可得到： x max gm 最大伸长量最大伸长量 F = gm 弹性力弹性力 k m lo mg F (2) 若将物体突然释放到最大位置若将物体突然释放到最大位置，选选 最低点为参考点最低点为参考点。由机械能守恒由机械能守恒，得得： kx 2 1 2 xgm= max max xkF=gm= 2 max 由由： x= max gm2 k 得得： 最大伸长量最大伸长量弹性力弹性力

39、（3）物体经过平衡位置时的速度是多少？物体经过平衡位置时的速度是多少？ 物体在过平衡位置时物体在过平衡位置时：xkF= 0 gm= 选平衡位置为参考点选平衡位置为参考点，由机械能守恒由机械能守恒，得得： xgmmv 2 1 2 =kx 2 + 2 1 0 0 0 x= 0 gm k 将将： 代入上式可得代入上式可得： （3）物体经过平衡位置时的速度是多少？物体经过平衡位置时的速度是多少？ 物体在过平衡位置时物体在过平衡位置时：xkF= 0 gm= 选平衡位置为参考点选平衡位置为参考点，由机械能守恒由机械能守恒，得得： xgmmv 2 1 2 =kx 2 + 2 1 0 0 0 x= 0 gm

40、k 将将： 代入上式可得代入上式可得： k m lo mg F gm mv 2 1 2 =k 2 + 2 1 0 gm k gm k () =v 2 0 g m k 2 整理后得整理后得： =v0 g m k 本题结束本题结束 例题例题：有一冰块有一冰块，在半径为在半径为R 的光滑半球形屋面的最的光滑半球形屋面的最 高点由静止下滑高点由静止下滑，若摩擦力不计若摩擦力不计，求求：此冰块离开屋面此冰块离开屋面 的位置和在该位置时的速度的位置和在该位置时的速度。 A B R m 解解：受力分析受力分析：冰块在下冰块在下 滑的过程中只受到滑的过程中只受到：重力重力 mg 和球面对它的和球面对它的： 正

41、压正压 力力N mg N 将重力将重力mg 分解为分解为切向切向分力分力 mgsin 和和法向法向分力分力mgcos mg N B mgsin mgcos 设设：冰块在最高点冰块在最高点A。 离开圆弧面的位置为离开圆弧面的位置为B点点。 冰块在下滑过程中只有重冰块在下滑过程中只有重 力作功因此机械能守恒力作功因此机械能守恒。 本题在第二章里用牛顿定律解本题在第二章里用牛顿定律解 过过，在此用机械能守恒定律解在此用机械能守恒定律解 mg N B mgsin mgcos 设设：冰块在最高点冰块在最高点A。离开圆弧面离开圆弧面 的位置为的位置为B点点。 冰块在下滑过程冰块在下滑过程 中只有重力作功因

42、此机械能守恒中只有重力作功因此机械能守恒 。 取地面为零势能点取地面为零势能点 A点的机械能点的机械能：mgR0 B点的机械能点的机械能：mv 2 12+ R gmcos A点的机械能点的机械能B点的机械能点的机械能 mgRmv 2 12+ R gmcos 冰块沿圆弧冰块沿圆弧 面在圆周运动面在圆周运动 m v 2 gm cos N R v 2 gR （1cos ) (1) 2 A B R m mg N 地面地面 mg N B mgsin mgcos 冰块沿圆弧冰块沿圆弧 面在圆周运动面在圆周运动 m v 2 gm cos N R 由于冰块在由于冰块在B点离开圆弧面点离开圆弧面 N0 m v

43、2 gm cos R m 2 gm cos R gR （1cos ) v 2 gR （1cos ) (1) 2 2 cos 3 48.2 冰块离冰块离 开屋面开屋面 的位置的位置 (2) v 2 gR （1cos ) (1) 2 =v g 2 R 3 冰块离冰块离 开屋面开屋面 的速度的速度 速度的方向为：与重力速度的方向为：与重力mg 的夹角的夹角90o48.2o=41.8o A B R m mg N 本题结束本题结束 例题例题：一个质量为一个质量为m 的小球系在悬挂在屋顶上的绳子的小球系在悬挂在屋顶上的绳子 的一端的一端，已知已知：绳子长度是绳子长度是l，小球从水平位置小球从水平位置静止静

44、止开始开始 下落下落。求求：摆线为摆线为 时时，小球的小球的速度速度和绳子的和绳子的张力张力。 l 0 m d 一一、用牛顿第二定律用牛顿第二定律： 对小球进行受力分析对小球进行受力分析 mgcos mg mgsin 解解：这类题型可以有两种解法这类题型可以有两种解法： 一是用牛顿第二定律一是用牛顿第二定律。 二是用机械能守恒定律二是用机械能守恒定律。 切向分力切向分力： 数学处理数学处理：上式两边上式两边dS mgcos ma t m dv dt dSdSmgcos m dv dt 数学处理数学处理：上式两边上式两边dS dSdSmgcos m dv dt 上式为上式为： l 0 m d m

45、gcos mg mgsin dg cos vdvl dSl d dS dt v= 上式两边进行积分上式两边进行积分： dg cos v dvl 0 v 0 解后可得解后可得：g sinl 2 2 1 v =vg 2 l sin 摆线为摆线为 时时 小球的小球的速度速度 l 0 m d mgcos mg mgsin T 法向分力法向分力： mgsinma n m v l 2 T mgsinm v l 2 T 代入上式得代入上式得： =vg 2 l sin 将将 mgsinm l T g 2 lsin mg sin= T 3 摆线为摆线为 时时 绳子的绳子的张力张力 分析分析：以小球和地球作为研究

46、系统以小球和地球作为研究系统，设悬挂点设悬挂点0为重力势为重力势 能零点能零点。在小球下落的过程中绳子的张力在小球下落的过程中绳子的张力（外力外力）始终垂始终垂 直于小球的运动速度直于小球的运动速度，所以外力所以外力T 不作功不作功，小球只是在重小球只是在重 力（保守力）作用下运动力（保守力）作用下运动 。因此因此，系统的机械能守恒系统的机械能守恒。 二二. 用机械能用机械能 守恒定律守恒定律: : A 0 B l v hB T 二二. 用机械能守恒定律用机械能守恒定律: : A点的机械能为点的机械能为： 0 取取A点为零势能点点为零势能点，小球小球 从水平位置静止开始运动从水平位置静止开始运动 B点的机械能点的机械能：mv 2 12+ h gm B B l sin hB vvB B点的机械能点的机械能：mv 2 12 l gm sin A点的机械能点的机械能B点的机械能点的机械能 mv 2 12 l g m sin =0 =vg 2 l sin 摆线为摆线为 时时 小球的小球的速度速度 （绳子的张力绳子的张力T，解解 法与前解相同法与前解相同，略略） 例题例题：有一个弹性系数为有一个弹性系数为k 的弹簧的弹簧，一端固定一端固定，另一端另一端 紧靠着一个质量为紧靠着一个质量为m 的小球的小