弧长和扇形面积

1、AO D C B 牡丹江市大团逸夫学校牡丹江市大团逸夫学校 李李 晶晶 24.4 24.4 弧长和扇形面积弧长和扇形面积 创创 设设 情情 境境 如图，如图，ACAC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，是汽车挡风玻璃前的雨刷器， 如果如果AO=45cmAO=45cm，CO=5cmCO=5cm，当，当ACAC绕点绕点O O顺时针顺时针 旋转旋转9090到达到达BDBD时，则雨刷器时，则雨刷器ACAC扫过的面扫过的面 积为多少积为多少cmcm2 2（结果保留（结果保留） AO D C B （1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,周长是多少？周长是多少？C=2RC=2R （3 3）1 1圆心角所对弧长是多

2、少？圆心角所对弧长是多少？ 180360 2RR （4 4）140140圆心角所对的弧圆心角所对的弧 长是多少？长是多少？ 9 7 180 140RR （2 2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所 对的弧？对的弧？ 180 Rn l n n A A B B O O 若设若设O O半径为半径为R R，n n的圆心角所对的弧长为的圆心角所对的弧长为 360360 探究新知探究新知 弧长公式弧长公式 若设若设OO半径为半径为R R，n n的圆心角所对的圆心角所对 的弧长为的弧长为l l，则，则 180 Rn l l l A A B B OO n n在应用弧长公式在

3、应用弧长公式 进行计算时进行计算时, ,要注意公式中要注意公式中n n的意义的意义, ,n n表示表示1 1 圆心角的倍数圆心角的倍数, ,它是不带单位的它是不带单位的. . 180 Rn l 注意：注意： 例例题题1 1：制造弯形管道时，要先按中心线计算制造弯形管道时，要先按中心线计算“展展 直长度直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长，再下料，试计算图所示管道的展直长 度度L L( (单位：单位：mmmm，精确到，精确到1mm)1mm) 解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧ABAB的长的长 因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为297

4、0mm2970mm 180 n R l 29705007002L 100 900 500 180 1.如图：在如图：在AOC中，中，AOC=900，C=150， 以以O为圆心，为圆心，AO为半径的圆交为半径的圆交AC于于B点，若点，若OA=6， 求弧求弧AB的长的长为多少？为多少？ A C B O 180 n R l = (1) (1)已知圆的半径为已知圆的半径为10cm,10cm,半圆的弧长为半圆的弧长为( )( ) (2) (2)已知圆的半径为已知圆的半径为9cm 9cm ，6060圆心角所对的弧长为圆心角所对的弧长为 ( )( ) (3) (3)已知半径为已知半径为3 3，则弧长为，则弧

5、长为的弧所对的圆心角为的弧所对的圆心角为 _ _ (4)(4)已知圆心角为已知圆心角为150150，所对的弧长为，所对的弧长为2020，则圆的，则圆的 半径为半径为_。 10cm 600 24 3cm B B B B1 1 3 4 l B B2 2 3. 3.一块等边三角形的木板一块等边三角形的木板, ,边长为边长为1,1,现将现将 木板沿水平线翻滚木板沿水平线翻滚( (如图如图),),那么那么B B点从开始至点从开始至 B B2 2结束所走过的路径长度结束所走过的路径长度_._. ( +4 ) 5.如图所示，分别以如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，边形的顶点为圆心， 以单位以单位1为半径画

6、圆，则图中阴影部分的弧长之为半径画圆，则图中阴影部分的弧长之 和为和为 22 6 6. . 如图如图,A,A、BB、CC、DD相互外离相互外离, , 它们的半径都是它们的半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到四顺次连接四个圆心得到四 边形边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形( (空白部分空白部分) )的的 弧长之和是弧长之和是_._. A B C D 22 如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和 圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形是围成的图形是扇形扇形。 半径半径 半径半径 OO B B A A 圆心角圆心角 弧弧 OO B B A A 扇形扇形

7、 精讲点拨精讲点拨 （1 1）半径为）半径为R R的圆的圆, ,面积是面积是_ S=RS=R2 2 （3 3）圆心角为）圆心角为1 1的扇形的面积是的扇形的面积是 _ 360 R 2 （4 4）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是圆的扇形的面积是圆 心角为心角为1 1的扇形的面积的的扇形的面积的_倍倍, , n n （5 5）圆心角为）圆心角为n n的扇形的面积是的扇形的面积是_ _ 360 2 Rn 探究新知探究新知 A A B B OO n n （2 2）圆的面积可以看作是）圆的面积可以看作是_度的度的 圆心角所对的扇形圆心角所对的扇形 360360 扇形面积公式扇形面积公式 若设若设O

8、O半径为半径为R R，圆心角为，圆心角为n n的扇形的面积的扇形的面积 S S扇形 扇形，则 ，则 注意注意: : （1 1）公式中）公式中n n的意义的意义n n表示表示1 1圆心角的圆心角的 倍数，它是倍数，它是不带单位不带单位的；的； （2 2）公式要）公式要理解记忆理解记忆（即按照上面推导（即按照上面推导 过程记忆）过程记忆）. . 360 2 Rn S 扇形 问题问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？ lRS 2 1 扇形 360 2 Rn S 扇形 180 Rn l

9、精讲点拨精讲点拨 R RnRRn S 1802 1 2180 扇形 lR 2 1 ahS 2 1 1 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为2 2， 则这个扇形的面积则这个扇形的面积S S扇形 扇形= =_ _ . . 3 1 3 4 2 2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为6060， 则这个扇形的半径则这个扇形的半径R=_R=_ 3 3、已知半径为、已知半径为2cm2cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 ， 则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，S S扇形 扇形= = 3 4 3 4 2 例例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截：如图、水平

10、放置的圆柱形排水管道的截 面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm，求截面，求截面 上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。）。 0 BA C D 弓形的面积弓形的面积 = S扇 扇- S 变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面，求截面 上有水部分的面积上有水部分的面积.（精确到（精确到0.01cm）. 0 AB D C E 弓形的面积弓形的面积 = S扇 扇+ S S弓形 弓形=S扇形扇形-S三角形三角形 S弓形 弓形=S扇形扇形+S

11、三角形三角形 规律提升规律提升 00 0 弓形的面积是扇形的面积与三角形弓形的面积是扇形的面积与三角形 面积的和或差面积的和或差 解解 决决 问问 题题 1 1、如图，、如图，ACAC是汽车挡风玻璃前的雨刷是汽车挡风玻璃前的雨刷 器，如果器，如果AO=45cmAO=45cm，CO=5cmCO=5cm，当，当ACAC绕点绕点O O顺顺 时针旋转时针旋转9090到达到达BDBD时，则雨刷器时，则雨刷器ACAC扫过扫过 的面积为多少的面积为多少cmcm2 2（结果保留（结果保留） AO D C B O A B D C 解解 决决 问问 题题 1 1、如图，、如图，ACAC是汽车挡风玻璃前的雨刷是汽车

12、挡风玻璃前的雨刷 器，如果器，如果AO=45cmAO=45cm，CO=5cmCO=5cm，当，当ACAC绕点绕点O O顺顺 时针旋转时针旋转9090到达到达BDBD时，则雨刷器时，则雨刷器ACAC扫过扫过 的面积为多少的面积为多少cmcm2 2（结果保留（结果保留） SS大 大扇形扇形 S BODS扇 扇小小形形 S AOC 500 2 2、如图，、如图， A、 B、 C、 D两两不两两不 相交，且半径都是相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面，求图中阴影部分的面 积积. A B C D 1212 3、如图所示，分别以如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，边形的顶点为圆心， 以单位以单位1为

13、半径画圆，则图中阴影部分的面积之为半径画圆，则图中阴影部分的面积之 和为和为 个平方单位个平方单位 4、.如图，正三角形如图，正三角形ABC的边长为的边长为a， 分别以分别以A、B、 C 为圆心，以为圆心，以 为半径的为半径的 圆相切于点圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的，求图中阴影部分的 面积面积 2 a A B C F E D 5、如图，、如图，A是半径为是半径为1的圆的圆O外一点，外一点， 且且OA=2，AB是是 O的切线，的切线，BC/OA，连，连 结结AC，则阴影部分面积等于，则阴影部分面积等于多少？多少？ O A BC 通过本节课的学习，通过本节课的学习， 我知道了我知道了 学

14、到了学到了感受到了感受到了 体会分享体会分享 1.弧长公式：弧长公式： 2.扇形面积公式扇形面积公式： 3 3. .扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关扇形的弧长和面积大小与哪些因素有关？ （1 1）与圆心角的大小有关）与圆心角的大小有关 （2 2）与半径的长短有关）与半径的长短有关 180 Rn l 360 2 Rn S 扇形 lR 2 1 组合图形的面积：组合图形的面积： （1）割补法）割补法 （2）组合法）组合法 其中：其中： 当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时 S弓形 弓形= S扇形扇形-S 当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时 S弓形 弓形= S扇形扇形+S 1.1.如图，已

15、知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径为的半径为 10cm10cm，AOB=60AOB=60，求弧，求弧ABAB的长的长 和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积( (写过程）写过程） 当堂测验当堂测验 2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_ 8 1 3 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为6cm,6cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cm,cm, 则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2, ,扇形的圆心角扇形的圆心角 为为_. . cm 3 10 2 3 50 cm 4545 3 3030 AB CD 4、如图，等边、如图，等边ABC的边长为的边长为12cm，内，内 切切 O切边切边BC于于D点，则图中阴影部分的面积点，则图中阴影部分的面积 为（为（ ） 2 3 cm 2 2 cm 2 3 cm 3 2 cm C