第11章 磁场和它的源

1、11-1 如图所示，电流如图所示，电流I沿三种不同形状的导线流动，求下列各种沿三种不同形状的导线流动，求下列各种 情况下情况下O点处的磁感应强度大小。点处的磁感应强度大小。 解：解： R I B 2 0 圆心 r I B 2 0 长直 I O R R (2) (1) R I O 几型载流导线的磁场公式几型载流导线的磁场公式 (1) 长直圆心 BBBO R I R I 22 00 ) 1( 2 0 R I r I B 4 0 半长直 取向内为正取向内为正B (3) I a )cos(cos 4 21 0 r I B直 2 2 0 R I B 弧心 （ 为弧所对应的圆周角）为弧所对应的圆周角） 半

2、圆心半长直 BBBO 2 (2) 各段电流在各段电流在 O 点产生的点产生的 均向内均向内 B )2( 4 0 R I (3) 正方形的每条边在正方形的每条边在O 处产生的处产生的 均相同均相同 2 2 4 2 00 R I R I I O R R (2) (3) I a a2 2 ) 4 3 cos 4 1 (cos 2 a 4 )cos(cos 4 00 21 0 II r I B o 直 1 2 O B 则则 一条边在一条边在O 处产生的处产生的 由下式给出（方向垂直向里）由下式给出（方向垂直向里） B a 22 a2 2 44 00 II BB o o 直 z y x R O I 11

3、-2 载有电流载有电流I的导线由两根半无限长直导线和半径为的导线由两根半无限长直导线和半径为R的、的、 以以Oxyz坐标系原点坐标系原点O为中心的为中心的3/4圆弧组成，圆弧在圆弧组成，圆弧在Oyz平面平面 内，两根半无限长直导线分别在内，两根半无限长直导线分别在Oxy平面和平面和Oxz平面内且与平面内且与x 轴平行，电流流向如图所示求轴平行，电流流向如图所示求O点的磁感应强度点的磁感应强度 。 k R I B 4 0 入 i R I B 4 3 2 0 弧 j R I B 4 0 出 2 2 3 8 0 kji R I B 解：解： a b 1 2 I O O点在导线点在导线 1 和和 2

4、的延长线上的延长线上, B1 = B2 = 0 11-3 电流由长直导线电流由长直导线 1 沿半径方向经沿半径方向经 a 点流入一电阻均匀分布的圆点流入一电阻均匀分布的圆 环，再由环，再由 b 点沿半径方向从圆环流出，经长直导线点沿半径方向从圆环流出，经长直导线 2 返回电源，返回电源， 如图所示。已知长直导线上电流强度为如图所示。已知长直导线上电流强度为 I，求圆心，求圆心 O 点的磁感应点的磁感应 强度强度. 解：解： 设环的半径设环的半径 a , 两导线夹角两导线夹角 ，环的电阻，环的电阻 率率, 横截面积横截面积 S , 则二段弧的电阻分别为则二段弧的电阻分别为 S a R I R I

5、R I 2 r I 2 0 8 2 0 BBB 环 B 向里向里 B 向外向外, 22 0 r I B 2 2 2 20 r I B I I 并联并联 r I 2 0 8 2 21 BBBBO 环 0 S a R )2( 2 )2( S a R I R IR I 2 2 11-4 如图所示，一宽度为如图所示，一宽度为a的无限长金属薄板中通有电流的无限长金属薄板中通有电流I，电流，电流 沿宽度方向均匀分布，求在薄板平面内距板一边距离为沿宽度方向均匀分布，求在薄板平面内距板一边距离为b的的P点的点的 磁感应强度大小和方向。磁感应强度大小和方向。 I ab P dx xbaa I xba dI dB

6、 )(2)(2 00 解：解： I ab P x Ox dx 无限长薄板电流可视为由无数无限长薄板电流可视为由无数 根长直电流构成根长直电流构成 如图，在距原点如图，在距原点x远处取宽度远处取宽度dx的薄板，为的薄板，为 一长直电流一长直电流 ， 它在它在P点的点的磁感应强磁感应强 度方向垂直向里，大小为度方向垂直向里，大小为 dx a I dI 则整个薄板形电流在则整个薄板形电流在P点的点的磁感应强度大小为磁感应强度大小为 b baI dx xbaa I dBB a ln a2 )(2 0 0 0 方向垂直向里方向垂直向里 11-5 如图如图, 半径为半径为 R, 电荷线密度电荷线密度 (

7、0 ) 的均匀带电的圆线圈绕的均匀带电的圆线圈绕 过圆心与圆平面垂直的轴以角速度过圆心与圆平面垂直的轴以角速度 转动转动, 求轴线上任一点的磁感求轴线上任一点的磁感 应强度应强度 . B 解：解： lqdd 取取 t q I d d 则圆形电流的电流强度大小为则圆形电流的电流强度大小为 将将 带入上式得带入上式得 2322 3 0 )(2Rx R B dR R t R d d 带电的圆线圈转动时，等价为一圆形电流带电的圆线圈转动时，等价为一圆形电流 半径为半径为R，电流为，电流为I的圆形电流在其轴线上离圆心的圆形电流在其轴线上离圆心x远处一点远处一点 的磁感应强度大小为（参见张三慧编的磁感应强

8、度大小为（参见张三慧编大学物理学大学物理学第三版第三版 上册上册 P273，式（，式（11.11） 2322 2 0 )(2Rx IR B RI 方向沿轴线且与电流方向成右手螺旋关系方向沿轴线且与电流方向成右手螺旋关系 R O a b O Ia Ib 同理同理 4 0 b B同理同理 a I B a a 2 0 4 0 T q Ia a 2 1 a 2 和和 均垂直均垂直向外向外 a B b B 电流电流定义为定义为 1 秒钟内通过某秒钟内通过某 截面的电荷量截面的电荷量, 等效等效圆形圆形(平均平均) 电流电流 bI b 2 1 解：解： 11-6 有一闭合回路由两个半径为有一闭合回路由两个

9、半径为 a 和和 b 的同心共面半圆连接而成，的同心共面半圆连接而成， 如图所示，其上均匀分布线密度为如图所示，其上均匀分布线密度为 的电荷，回路以角速的电荷，回路以角速 度度 绕过绕过 O 点垂直于回路的轴转动点垂直于回路的轴转动, 求圆心求圆心 O 点处的磁感应强点处的磁感应强 度度 . O B O 点处点处总总磁感应强度的磁感应强度的大小大小： r r 2 d 0 b ar rd 2 0 a b ln 2 0 rba BBBB )ln( 2 0 a b rr BBd则则 所有所有的的 垂直垂直向外向外.B d dIr dIr Ia Ib a b O dr drr T q I r d 2d

10、 rd 2 2 方向方向：垂直：垂直向外向外B rd r I B r r 2 d d 0 而而两两直线段上元电荷直线段上元电荷 dq 旋转形成旋转形成 等效等效圆形圆形(平均平均)电流电流 0I bra )( )( 22 22 ar ab I I br II 取半径为取半径为 r 的安培环路，根据环路定理的安培环路，根据环路定理 IrB 0 2 有有 r I B 2 0 ar 对于对于 0B )(2 )( 22 22 0 abr arI B r I B 2 0 解：解： Il dB L 0 11-7 如图所示，有一很长的载流导体直圆管，内半径为如图所示，有一很长的载流导体直圆管，内半径为 a,

11、外半径外半径 为为 b，电流强度为，电流强度为 I，电流沿轴线方向流动，电流沿轴线方向流动,并且均匀地分布在管壁并且均匀地分布在管壁 的横截面上空间某一点到管轴的垂直距离为的横截面上空间某一点到管轴的垂直距离为 r，求，求 r a，a r b 等各区间的磁感应强度等各区间的磁感应强度 a b 11-8 一根很长的铜导线均匀载有电流一根很长的铜导线均匀载有电流I，截面半径为，截面半径为R，在导线内，在导线内 部作一平面部作一平面 S ，如图所示，试计算通过，如图所示，试计算通过 S 平面的磁通量平面的磁通量 (沿轴线沿轴线 方向取长为方向取长为l的一段作计算的一段作计算).（铜的磁导率（铜的磁导

12、率 ） 0 以轴为中心作半径以轴为中心作半径 r 的圆环的圆环 解：解： 则环上则环上 当当 0rR 时：时： I R r I 2 2 内2 0 2 R Ir B SB dd m mm d B 沿环的切向沿环的切向. rBldSBd R r R Ir l 0 2 0 d 2 R rBl 0 d 4 0Il r I B 2 0 内 S r dr l B I 11-9 无限长平行直导线与一矩形共面，各部分尺寸如图所示。无限长平行直导线与一矩形共面，各部分尺寸如图所示。 已知导线中的电流为已知导线中的电流为I，求矩形回路的磁通量。，求矩形回路的磁通量。 I a b x 解：解： I a b x y

13、y dy o 取如图所示的取如图所示的y轴，在距原点轴，在距原点y处取宽度处取宽度dy的的 窄条。无限长平行（与此窄条平行）直线电窄条。无限长平行（与此窄条平行）直线电 流的磁场分布为流的磁场分布为 ，对此窄条的磁通量，对此窄条的磁通量 为为 BbdyBdSSB dd m )| (SdB B y I B 2 0 则对矩形回路的磁通量为则对矩形回路的磁通量为 )ln( 22 d 00 m x xaIb bdy y I Bbdy ax x ax x m 11-10 两无限长平行直导线与一直角三角形共面，各部分尺寸如两无限长平行直导线与一直角三角形共面，各部分尺寸如 图所示。已知两导线中的电流均为图

14、所示。已知两导线中的电流均为I，求三角形回路中的磁通量。，求三角形回路中的磁通量。 I a b I r1 r2 解：解：取如图所示的 取如图所示的x轴，在距原点轴，在距原点x远处取宽度远处取宽度dx 的窄条，其高度为的窄条，其高度为 x I a b I r1 r2 x o dx )(2 21 0 2 rrx I B 则窄条的磁通量为则窄条的磁通量为 )( 1 xra a b h 窄条面积为窄条面积为 dxxra a b hdxdS)( 1 左、右二长直导线电流在窄条处的磁场分别为左、右二长直导线电流在窄条处的磁场分别为 x I B 2 0 1 （垂直向外）（垂直向外）（垂直向里）（垂直向里）

15、dxxra a b xrrx I dSBB)() 11 ( 2 )(d 1 12 0 12m 则三角形则三角形 回路中的回路中的 磁通量为磁通量为 )( )( ln)( a2 Ib )() 11 ( 2 d 12 21 1 0 1 12 0 m 1 1 rar rar ra dxxra a b xrrx I ra r m 11-11 如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路如图所示，平板电容器（忽略边缘效应）充电时，沿环路 L1、L2的的磁感应强度为磁感应强度为B的环流中，必有的环流中，必有 ”或或“ ”或或“ = ”） 1 d L lB 2 d L lB L1 L2 显然，有显然，

16、有 )( dco L IIl dB 解：解： L1 L2 在电容器二极板间取一和极板边缘一样的在电容器二极板间取一和极板边缘一样的 回路回路L（下图中红色虚线所示）（下图中红色虚线所示） L l dBl dB LL 1 忽略边缘效应且认为导线处的忽略边缘效应且认为导线处的 ； 无导线处，即电容器极板间，无导线处，即电容器极板间， 。 又，普遍的安培环路定理又，普遍的安培环路定理 l dBIIl dB L dc L 00 2 0 c I 则由全电流连续原理知，导线处的传导电流则由全电流连续原理知，导线处的传导电流 与极与极 板间的位移电流板间的位移电流 相等相等 0 d I c I d I l

17、dBl dB LL 21 （穿过（穿过L的位移电流显然比的位移电流显然比 穿过穿过L1的大，再利用普遍的大，再利用普遍 的安培环路定理即可推得）的安培环路定理即可推得） 11-12 半径为半径为R的两块圆板，构成平行板电容器放在空气中，的两块圆板，构成平行板电容器放在空气中， 现对电容器匀速充电，使两板间的电场的变化率为现对电容器匀速充电，使两板间的电场的变化率为 ， P点是两极板之间到对称轴距离为点是两极板之间到对称轴距离为r的任意一点，求的任意一点，求P点处的磁点处的磁 感应强度。感应强度。 adtdE 22 ra dt dE r dt d e 在平行板间取一半径为在平行板间取一半径为r 的圆形回路的圆形回路 穿过该回路的电通量随时间的变化率穿过该回路的电通量随时间的变化率 解：解： r P arB o0 2 1 2 0 2rarB o )( dt d IldB e oco L 又 极板间极板间 0 c I 11-13 如图所示的为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场如图所示的为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一