第16章(压杆稳定问题)

1、 中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第十六章第十六章 压杆稳定压杆稳定 16-1 16-1 稳定性概念稳定性概念 足够的强度足够的强度 足够的稳定性足够的稳定性 足够的刚度足够的刚度 构件抵抗破坏的能力构件抵抗破坏的能力 构件抵抗变形的能力构件抵抗变形的能力 构件保持原有平衡状态的能力构件保持原有平衡状态的能力 一、稳定失效实例一、稳定失效实例 压杆稳压杆稳 定失效定失效 二、

2、平衡的稳定性二、平衡的稳定性 非稳定的平衡非稳定的平衡稳定的平衡稳定的平衡 三、压杆的稳定性问题三、压杆的稳定性问题 压杆平衡稳定压杆平衡稳定 当压力小于某值，当压力小于某值， 压杆保持直线平衡，在压杆保持直线平衡，在 任意小的扰动下，压杆任意小的扰动下，压杆 偏离直线平衡位置。但偏离直线平衡位置。但 当扰动除去后，压杆回当扰动除去后，压杆回 到原来直线平衡位置。到原来直线平衡位置。 压力小于一定的数压力小于一定的数 值时，压杆的直线平衡值时，压杆的直线平衡 是稳定的。是稳定的。 压杆平衡非稳定压杆平衡非稳定 当压力达到一定数值，当压力达到一定数值， 压杆仍具有直线平衡方式；压杆仍具有直线平衡

3、方式； 在外界扰动下，压杆偏离直在外界扰动下，压杆偏离直 线平衡位置，但当扰动除去线平衡位置，但当扰动除去 后，在某一弯曲状态下达到后，在某一弯曲状态下达到 新的平衡新的平衡 压力达到一定的数值压力达到一定的数值 时，压杆存在直线和弯曲时，压杆存在直线和弯曲 两种平衡形式，压杆的直两种平衡形式，压杆的直 线平衡是不稳定的。线平衡是不稳定的。 当压力超过某一数当压力超过某一数 值，压杆直线平衡形式值，压杆直线平衡形式 突然转变为弯曲形式，突然转变为弯曲形式， 致使构件丧失正常功能致使构件丧失正常功能 压杆失稳压杆失稳 FFcr FFcr FFcr Fcr为稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状为

4、稳定直线平衡状态的最高载荷，弯曲平衡状 态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。态的最低载荷，即压杆失稳的临界载荷。 压杆失稳：压杆失稳：压杆不能保持其直线平衡形态而变弯的现象。压杆不能保持其直线平衡形态而变弯的现象。 一、两端铰支细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界载荷 弯矩方程弯矩方程 ( )( )M xF w x 压杆挠曲轴近似微分方程压杆挠曲轴近似微分方程 2 2 d( )( ) d w xM x xEI F x l F 16-2 16-2 临界载荷的欧拉公式临界载荷的欧拉公式 细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态，细长压杆在临界载荷作用处于不稳定的直线形态， 但其材料处于线

5、弹性范围内。但其材料处于线弹性范围内。 线弹性稳定问题线弹性稳定问题 思路：压杆在微弯时的最小压力思路：压杆在微弯时的最小压力Fmin = Fcr。 方程一般解方程一般解 ( )sincosw xAkxBkx 边界条件边界条件 0 x (0)010wAB xl ( )sincos0w lAklBkl 0B sin0kl 解得：解得： （为什么（为什么A 、B 不能同时等于不能同时等于0 ？）？） 设设 2 F k EI 2 2 2 d( ) ( )0 d w x k w x x ( )( )M xF w x 2 2 d( )( ) d w xM x xEI F x l F sin0kl kln

6、 22 2 (1,2,.) nEI Fn l 由于临界载荷是由于临界载荷是F 的最小值，所以取的最小值，所以取n = 1 2 min cr2 EI F l 两端铰支细长压杆的临界载荷两端铰支细长压杆的临界载荷 当截面对不同方向弯曲中性轴的惯性矩不一样当截面对不同方向弯曲中性轴的惯性矩不一样 时应取时应取I Imin min的方向计算。 的方向计算。 二、两端非铰支细长压杆的临界载荷二、两端非铰支细长压杆的临界载荷 支承对压杆临界载荷的影响表现为确定常数所支承对压杆临界载荷的影响表现为确定常数所 用边界条件不一样。用边界条件不一样。 2 cr2 ()1 EI F l 2 cr2 ()2 EI F

7、 l 2 cr2 0.)5( EI F l 2 cr2 0.)7( EI F l 杆端约束条件杆端约束条件长度系数长度系数 两端铰支两端铰支1.0 一端固定一端自由一端固定一端自由2.0 两端固定两端固定0.5 一端固定一端铰支一端固定一端铰支0.7 2 cr2 () EI F l l相当长度相当长度 长度系数长度系数 相当长度相当长度 ( ) 例：例：两端铰支压杆如图，杆的直径两端铰支压杆如图，杆的直径d = 20mm ，长度，长度l = 800mm ， 材料为材料为Q235钢。求压杆的临界载荷。钢。求压杆的临界载荷。 解：解：根据欧拉公式根据欧拉公式 此时横截面上的正应力此时横截面上的正应

8、力 23439412 cr222 200 102010 24.2kN ()64 ()64 (1 0.8) EIEd F ll 3 cr 26 4 24.2 10 77MPa 2010 P F A 表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。表明压杆处于线弹性范围，所以用欧拉公式计算无误。 16-3 16-3 临界应力与临界应力总图临界应力与临界应力总图 一、临界应力与柔度一、临界应力与柔度 1.1.临界应力临界应力 压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力压杆处于各种临界状态时横截面上的平均应力 cr cr F A 2.2.柔度柔度 对于细长杆对于细长杆 22 cr cr22 () FEI

9、E AlA 柔度柔度 l i I i A （截面对弯曲中性轴的惯性半径）（截面对弯曲中性轴的惯性半径） I i A （截面对弯曲中性轴的惯性半径）（截面对弯曲中性轴的惯性半径） 圆截面：圆截面： 矩形截面：矩形截面： 4 2 /64 /44 Idd i Ad 3 min /12 2 3 Ihbb i Abh 空心圆截面：空心圆截面： 4422 22 ()/64 ()/44 IDdDd i ADd 二、三类不同压杆及其临界应力表达式二、三类不同压杆及其临界应力表达式 1.1.大柔度杆（细长杆）大柔度杆（细长杆） 在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公式计算。在线弹性范围内失稳，临界应力采用欧拉公

10、式计算。 2 cr2 E 2 P E 大柔度杆：大柔度杆： 2 cr2 E P 2 P P E P P 2.2.中柔度杆（中长杆）中柔度杆（中长杆） 中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临中柔度杆发生弹塑性失稳，欧拉公式不适用。临 界应力一般采用经验公式计算。界应力一般采用经验公式计算。 直线经验公式直线经验公式 cr ab ( (a 、b是是与材料性质有关的与材料性质有关的 常数，可查阅有关工程手册常数，可查阅有关工程手册) ) cr ab s a b s cr ab s s a b sP s 中柔度杆中柔度杆 3.3.小柔度杆（粗短杆）小柔度杆（粗短杆） 小柔度杆发生屈服（塑性材料）或

11、断裂（脆性材小柔度杆发生屈服（塑性材料）或断裂（脆性材 料），临界应力料），临界应力 s cr b （塑性材料）（塑性材料） （脆性材料）（脆性材料） s () 抛物线公式抛物线公式 2 cr11 ab P (0) ( (a1 、b1是是与材料性质有关的常数，可查阅有与材料性质有关的常数，可查阅有 关工程手册关工程手册) ) 三、临界应力总图三、临界应力总图 例：例：图所示压杆，其直径均为图所示压杆，其直径均为d ，材料都是，材料都是Q235，但二者，但二者 的长度和约束都不同。的长度和约束都不同。 分析哪一根杆的临界载荷较大。分析哪一根杆的临界载荷较大。 若若d = 160mm ，E = 2

12、05GPa ，计算二杆的临界载荷。，计算二杆的临界载荷。 解：解： 计算柔度，判断临界应力大者计算柔度，判断临界应力大者 圆截面圆截面 4 d i 两端铰支约束的压杆两端铰支约束的压杆 1 1 1 1 1 20l id 两端固支约束的压杆两端固支约束的压杆 2 0.5 2 2 2 18l id 所以两端固支的压杆具有较大的临界压力。所以两端固支的压杆具有较大的临界压力。 2 cr2 E 12 cr1cr2 计算给定参数下压杆的临界载荷计算给定参数下压杆的临界载荷 两端铰支约束的压杆两端铰支约束的压杆 1P3 2020 125101 160 10d 属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆

13、，欧拉公式计算临界载荷 2292-6 cr1cr122 1 205 1016010 2600kN 1254 E FAA 两端固支约束的压杆两端固支约束的压杆 2P3 1818 112.5 160 10d . 22926 cr2cr2 22 2 205 1016010 3210kN 112 54 E FAA 属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，欧拉公式计算临界载荷 例：例：Q235 钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束状况如图 所示，其中所示，其中a 为为正视图，正视图，b 为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知为俯视图。在二处用螺栓夹紧。已知l =

14、 2.3m ，b = 40mm ，h = 60mm ，材料的弹性模量，材料的弹性模量E = 205GPa ，求此杆的临界载荷。，求此杆的临界载荷。 解：解：在正视图平面（在正视图平面（xy 平面）内失稳，平面）内失稳，A 、B 处可处可 自由转动，即两端为铰链约自由转动，即两端为铰链约 束束 1 3 /12 2 3 z z Ibhh i Abh 3 1 2.3 2 3 132.8 60 10 z z l i 在俯视图平面（在俯视图平面（xz 平面）内失稳，平面）内失稳，A 、B 处不可自由转动，即处不可自由转动，即 两端为固定约束两端为固定约束 0.5 3 /12 2 3 y y I hbb

15、i Abh 3 0.5 2.3 2 3 99.6 40 10 y y l i zy 压杆在正视图平面内失稳定压杆在正视图平面内失稳定 P 132.8 z 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 229 6 crcr22 205 10 40 60 10275kN 132.8 z E FAbh 16-4 16-4 压杆稳定条件与计算压杆稳定条件与计算 一、压杆稳定条件一、压杆稳定条件 cr st st F FF n cr st st n 二、安全因数法二、安全因数法 工作安全因数工作安全因数 压杆安全工作条件压杆安全工作条件 crcr F n F st nn 三、

16、折减因数法三、折减因数法 cr st st n 压杆安全工作条件压杆安全工作条件 st 稳定安全因素稳定安全因素 折减因素折减因素 st cr st F nn F 根据压杆的稳定条件，可进行三类压杆稳定问题计算：根据压杆的稳定条件，可进行三类压杆稳定问题计算： 1.压杆稳定校核：压杆稳定校核： 1）计算压杆柔度）计算压杆柔度 ， ， ， 判断压杆类型；判断压杆类型； P s 2）根据压杆类型选择不同公式计算压杆的临界载荷）根据压杆类型选择不同公式计算压杆的临界载荷 ； cr F 3）计算压杆的工作安全因素）计算压杆的工作安全因素n，与规定的稳定安全因素，与规定的稳定安全因素nst 比较，就可判

17、定压杆是否安全。比较，就可判定压杆是否安全。 2.确定许可载荷：确定许可载荷： 3.设计压杆截面尺寸：设计压杆截面尺寸：需要试算。需要试算。 1）计算压杆柔度）计算压杆柔度 ， ， ， 判断压杆类型；判断压杆类型； P s 2）根据压杆类型选择不同公式计算压杆的临界载荷）根据压杆类型选择不同公式计算压杆的临界载荷 ； cr F 3） cr st F F n 例：例：由由Q235钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度钢制成的压杆，两端铰支，其屈服强度s = 235MPa ，比例极限，比例极限P = 200MPa ，弹性模量，弹性模量E=200GPaE=200GPa， 杆长杆长l = 700mm ，截

18、面直径，截面直径d = 45mm ，杆承受，杆承受Fmax = 100kN 。稳定安全因数。稳定安全因数nst = 2.5。试校核此杆的稳定性。试校核此杆的稳定性。 解：解： 计算压杆柔度计算压杆柔度 11.25mm 4 d i 两端为铰链约束两端为铰链约束 1 3 1 0.7 62.2 11.25 10 l i 229 P6 P 200 10 100 200 10 E s s 304235 61.6 1.12 a b sP 压杆属于中柔度杆，临界应力采用直线经验公式计算压杆属于中柔度杆，临界应力采用直线经验公式计算 62.2 P 100 计算临界载荷计算临界载荷 cr 3041.12 62.

19、2234.34MPaab 226 6 crcrcr 4510 234.34 10372.7kN 44 d FA 校核压杆稳定性校核压杆稳定性 cr st Nmax 372.7 3.7 100 F nn F 所以压杆的稳定性是安全的。所以压杆的稳定性是安全的。 例：例：钢柱长为钢柱长为l = 7m ，两端固定，材料是，两端固定，材料是Q235钢，钢， 规定稳定安全因数规定稳定安全因数nst = 3 ，横截面由两个，横截面由两个10号槽钢组成号槽钢组成 。已知。已知E = 200GPa ，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱，试求当两槽钢靠紧和离开时钢柱 的许可载荷。的许可载荷。 解：解： 两槽钢靠紧两槽

20、钢靠紧 查型钢表得查型钢表得 2 2 12.7425.48cmA 4 min 2 54.9109.8cm y II min 109.8 2.08cm 25.48 y y I ii A 两端固定两端固定 0.5 2 0.5 7 168 2.08 10 y l i P P 168 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 2294 crcr22 200 1025.48 10 181.8kN 168 E FAA 钢柱的许可载荷钢柱的许可载荷 cr 1 st 181.8 60.6kN 3 F F n 两槽钢离开两槽钢离开 查型钢表查型钢表 2 2 12.7425

21、.48cmA 4 2 198.3396.6cm x I 396.6 3.95cm 25.48 x x I i A 24 2 (25.63.0212.74)285cm y I min 3.32cm y ii 285 3.32cm 25.48 y y I i A 4 min 285cm y II 两端固定两端固定 0.5 2 0.5 7 105.5 3.32 10 y l i 钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷钢柱属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 2294 crcr22 200 1025.48 10 473kN 105.5 E FAA 钢柱的许可载荷钢柱的许可载荷 cr 2 st 473

22、 157.7kN 3 F F n P 例：例：图所示结构中，梁图所示结构中，梁AB 为为No.14 普通热轧工字钢，支承的普通热轧工字钢，支承的 杆直径杆直径d = 20mm ，二者的材料均为，二者的材料均为Q235钢。结构受力如图所示，钢。结构受力如图所示， A 、C 、D 三处均为球铰约束。已知三处均为球铰约束。已知F = 25kN ，l1 = 1.25m ，l2 = 0.55m ，E = 206GPa 。规定稳定安全因数。规定稳定安全因数nst = 2.0 ，梁的许用应力，梁的许用应力 = 170MPa 。试校核此结构是否安全。试校核此结构是否安全。 解：解： 梁的强度校核（拉伸与弯曲的

23、组合）梁的强度校核（拉伸与弯曲的组合） 经过分析，经过分析，AB 的危险截面为的危险截面为C 截面截面 o N cos3025 0.86621.65kNFF o 1 sin3025 0.5 1.2515.63kN m y MFl 查型钢表查型钢表 63 102 10 m y W 42 21.5 10 mA 33 N max46 21.65 1015.63 10 163MPa 21.5 10102 10 y y M F AW 所以所以AB 梁是安全的。梁是安全的。 压杆压杆CD 的安全校核的安全校核 由平衡条件可求得压杆由平衡条件可求得压杆CD 所受力所受力 o NCD 2sin3025kNFF

24、 20 5mm 44 d i 压杆压杆CD 属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷属于大柔度杆，用欧拉公式计算临界载荷 22926 crcr22 206 102010 52.8kN 1104 E FAA cr st NCD 52.8 2.11 25 F nn F 所以压杆所以压杆CD 是安全的。是安全的。 P3 1 0.55 110 5 10 l i 例：例：图所示压杆，两端为球铰约束，杆长图所示压杆，两端为球铰约束，杆长l = 2.4m ，杆由两，杆由两 根根12512512 的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为的等边角钢铆接而成。铆钉孔直径为23mm 。若。若 压杆承受轴向压力压杆承受轴向压力F = 750kN ，材料为，材料为Q235 钢，钢， = 160MPa 。 试校核此结构是否安全。试校核此结构是否安全。 解：解： 压杆稳定校核压杆稳定校核( (折减因素法）折减因素法） 两根角钢铆接，失稳形成一整体挠曲两根角钢铆接，失稳形成一整体挠曲 ，其横截面绕惯性矩最小的主轴，其横截面绕惯性矩最小的主轴y 轴弯曲轴弯曲 查型钢表，单个角钢查型钢表，单个角钢 38.3mm y i 22 28.9 10 mmA 两根角钢铆接后两根角钢铆接后 22 257.8 10 mmA A 2 38.3mm 2 yy yy II ii AA 38.3mm y i 1 2.4 62.66 0.0383 y