第10章滑移线理论及应用

1、第第1010章章 滑移线理论及应用滑移线理论及应用 第10章 滑移线理论及应用 10.1 10.1 滑移线基本概念滑移线基本概念 10.2 10.2 滑移线的沿线力学方程滑移线的沿线力学方程汉盖应力方程汉盖应力方程 10.3 10.3 滑移线的几何性质滑移线的几何性质 10.4 10.4 应力边界条件应力边界条件 10.5 10.5 滑移线场的建立滑移线场的建立 10.6 10.6 滑移线应用滑移线应用 塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为塑性变形体内各点最大剪应力的轨迹称为滑移线滑移线。 由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两由于最大剪应力成对正交，因此，滑移线在变形体内成两 族

2、正交的线网，组成所谓族正交的线网，组成所谓滑移线场滑移线场。 滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面应变问题的精确理 论。论。 根据变形过程，建立滑移场根据变形过程，建立滑移场 求解塑性成性问题求解塑性成性问题 （应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸）（应力分布、变形力、分析变形和毛坯的外性尺寸） 10.1 10.1 滑移线基本概念滑移线基本概念 G2 0;)( 2 1 E 1 0 G2 0;)( 2 1 E 1 G2 ;)( 2 1 E 1 zy xyz xz zxyy xy xyzyxx )( 2 1 xyz zyxyxzyx )( 2

3、1 )( 3 1 )( 3 1 m 一、平面变形应力状态的特点一、平面变形应力状态的特点 平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发平面变形：某一方向相关的应变为零，即变形仅发 生在一个坐标平面内。由万能胡克定律：生在一个坐标平面内。由万能胡克定律： 得：得： 平均应力为：平均应力为： p)( 2 1 )( 3 1 213321m p p称为静水压力称为静水压力 一、平面变形应力状态的特点 kcos2 ksin2pksin2 ksin2pksin2 xy my m x 因主应力状态有因主应力状态有= =/4/4： k-pk p k-pk m3 m2 m1 为最大切应力为最大切应力maxmax

4、方向与坐标方向与坐标oxox轴的夹角。轴的夹角。 22 31max 2/ )(2/ )( xyyx 二、最大切应力轨迹线-滑移线形成 对于理想刚塑材料，材料对于理想刚塑材料，材料 的屈服切应力的屈服切应力k k为常数。为常数。 在在x-yx-y坐标平面上任取一坐标平面上任取一 点点P1P1，平面塑性变形时，平面塑性变形时， 最大切应力成对出现，并最大切应力成对出现，并 相交。相交。 三、滑移线和三、滑移线和 角规定角规定 n与与滑移线滑移线规定规定 设设与与线构成右手坐标系，线构成右手坐标系， 设代数值最大的主应力设代数值最大的主应力1 1 作用线在第一与三象限，作用线在第一与三象限，则：则：

5、 线两侧最大切应力线两侧最大切应力顺时针顺时针 方向。方向。 线两侧最大切应力线两侧最大切应力逆逆 时针时针方向。方向。 或：或：1 1方向方向顺时针转顺时针转4545得到得到线线 由由1 1的方位线顺时针转的方位线顺时针转4545到达的滑移线称到达的滑移线称线，而由线，而由 3 3线的方位线顺时针转线的方位线顺时针转4545到达的滑移线称为到达的滑移线称为线。线。线与线与 的方向按右旋规则人为规定的方向按右旋规则人为规定，即又即又线的正向逆时针转过线的正向逆时针转过 9090达到达到线的正向。线的正向。 n角规定角规定 角是角是线线在任意点在任意点P P的切线正方向与的切线正方向与oxox轴

6、的夹角。轴的夹角。 oxox 轴正向轴正向逆时针逆时针旋转为旋转为正正角，角，顺时针顺时针旋转为旋转为负负角角 1 3 金属向力大方向流动金属向力大方向流动顺时针顺时针方向切应力方向切应力 对应对应线线 四、滑移线微分方程 滑移线的微分方程为滑移线的微分方程为 对对线线 对对线线 tg dx dy ctg) 2 (tg tg dx dy 10.2 10.2 滑移线的沿线力学方程滑移线的沿线力学方程汉盖应力方程汉盖应力方程 kcos2 ksin2pksin2 ksin2pksin2 xy my m x 0 yx yx x 0 yx yxy 代入平面应变问题的微分平衡方程代入平面应变问题的微分平衡

7、方程 0 y cos2 x sin22k x 0 y sin2 x cos22k x m m =0,dx=ds,dy=ds 取滑移线本身作为坐标轴，设为轴取滑移线本身作为坐标轴，设为轴a和和轴。轴。这样，滑移这样，滑移 线场中任何一点的位置，可用坐标值线场中任何一点的位置，可用坐标值a和和表示。当沿着表示。当沿着a坐标坐标 轴从一点移动到另一点时，坐标值轴从一点移动到另一点时，坐标值不变，当然沿着坐标轴不变，当然沿着坐标轴 从一点移动到另一点时，坐标轴从一点移动到另一点时，坐标轴a也不变。也不变。 将将xy坐标原点置于两条滑移线的交点坐标原点置于两条滑移线的交点a上，并使坐标轴上，并使坐标轴x

8、、 y分别与滑移线的切线分别与滑移线的切线x 、y重合。重合。 在离在离a点无限邻近处点无限邻近处，坐标轴，坐标轴a和和的微分弧可认为与切的微分弧可认为与切 线重合，故有：线重合，故有： 当沿当沿 族族a（或（或族）中族）中同一条滑移线移动时同一条滑移线移动时，任意函数，任意函数 （或（或）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时，）为常数，只有从一条滑移线转到另一条时， （或（或）值才改变。）值才改变。 0 s 2k s 0 s 2k s m m 线）（沿 线）（沿 2k 2k m m 10.3 10.3 滑移线的基本性质滑移线的基本性质 一、沿线特性一、沿线特性 同一条同一条滑移线上滑移线上，

9、任取两点，任取两点a a，b b，由，由 同理同理 2k m bmbama 2k2k bambma 2k bmbama 2k2k bambma 2k 得得： 即：即： 结论结论1 1：同一滑移线平均应力：同一滑移线平均应力m m变化与变化与角变化成角变化成 正比。正比。 沿沿线线 沿沿线线 具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变具有重要的意义，它指出了滑移线上平均应力的变 化规律。化规律。 当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若当滑移线的转角越大时，平均应力的变化越大。若 滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相滑移线为直线，即转角为零，则各点的平均应力相 等。等。 2k 2k

10、 m m 结论结论2：若滑移线场确定，只要知道任一点的：若滑移线场确定，只要知道任一点的 平均应力，其余节点的平均应力即可求得。平均应力，其余节点的平均应力即可求得。 汉基第一定理 汉盖第一定理：汉盖第一定理： 同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点同一族滑移线与另一族滑移线相交，在两交点 处的切线间夹角处的切线间夹角与与平均应力变化平均应力变化m m均为常均为常 数数。 const const mdcbma dcba 2, 12, 21 , 11 , 2 2, 12, 21 , 11 , 2mmmmm 对于图中的节点对于图中的节点(1,1)(1,1)、(1,2)(1,2)、(2,1)(2,

11、1)、(2,2)(2,2)有：有： 常数常数 常数常数 在同一族（例如在同一族（例如a族）的两条滑移线（例如族）的两条滑移线（例如a 1和和a 2线）与另线）与另 一族（例如一族（例如族）的任一条滑移线（例如族）的任一条滑移线（例如1和和2线）的两个线）的两个 交点上，其切线夹角交点上，其切线夹角与平均应力的变化与平均应力的变化m 均保持常均保持常 数，如下图所示数，如下图所示: 线）（沿 线）（沿 2k 2k m m )( 4 1 )( 2 1 m K )( 2 1 11m1,1 )( 4 1 111 , 1 K )( 2 1 12m2,1 )( 2 1 21m1,2 )( 2 1 22m2

12、,2 )( 4 1 211 , 2 K )( 4 1 122, 1 K )( 4 1 222, 2 K 2, 12, 21 , 11 , 2 2, 12, 21 , 11 , 2mmmmm 常数常数 常数常数 汉基第二定理 沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线在与该 滑移线交点处的曲率的变化，等于沿该线移动所经滑移线交点处的曲率的变化，等于沿该线移动所经 过的距离，即过的距离，即 SR SR ； S S其中其中（或（或 线被相邻两条线被相邻两条（或（或）线所截的）线所截的 微分弧长（见下图所示）微分弧长（见下图所示） ）是）是（或（或） 10.4

13、应力边界条件和滑移线场的绘制 应力边界条件应力边界条件 1 1）自由表面）自由表面 2 2）光滑（无摩擦）接触表面）光滑（无摩擦）接触表面 3 3）摩擦切应力为最大值的接触表面）摩擦切应力为最大值的接触表面 4 4）摩擦切应力为中间值的接触表面）摩擦切应力为中间值的接触表面 1）自由表面 自由表面：表面上无应力作用，即：自由表面：表面上无应力作用，即：n n=0=0， 单元体应力状态单元体应力状态（1 1）1 1=2K=2K； 3 3=0=0 （2 2）1 1=0=0， 3 3=-2K=-2K 0kcos2 xy 2）光滑（无摩擦）接触表面 n光滑接触表面：接触表面无摩擦，即光滑接触表面：接触

14、表面无摩擦，即=0=0 n通常在塑性加工中，施加压力，且：通常在塑性加工中，施加压力，且：n n= = 3 3。 。 3）摩擦切应力为最大值的接触表面 n摩擦切应力为最大值的接触表面：摩擦切应力为最大值的接触表面：=K=K 4）摩擦切应力为中间值的接触表面 n0 K nn 0 10.5 滑移线场的建立方法 一、常见的滑移线场一、常见的滑移线场 1.1.均匀场均匀场 特点：特点：1）ma= mb= mc=； 2）ma= mb= mc=。 为常数 xyyxm , 2.2.简单简单场场 特点：特点：1 1）一簇一簇滑移线为直线滑移线为直线； 2 2）另）另一簇则与一簇则与直线正交的曲线直线正交的曲线

15、。 3 3均匀场与简单场的组合均匀场与简单场的组合 与均匀场相邻的区域，滑移线场必定是简与均匀场相邻的区域，滑移线场必定是简 单场单场，因为其中有一族滑移线只能是由直线，因为其中有一族滑移线只能是由直线 所组成。所组成。 4 4由两族互相正交的光滑曲线构成的滑移线场由两族互相正交的光滑曲线构成的滑移线场 1) 1) 圆形界面为自由表面或作用均布法向应力，滑移线圆形界面为自由表面或作用均布法向应力，滑移线 场为正交的对数螺旋线网。场为正交的对数螺旋线网。 2) 2) 粗糙刚性的平行板间压缩，在接触面上摩擦切应力粗糙刚性的平行板间压缩，在接触面上摩擦切应力 达到最大值达到最大值K K的那的那段塑性

16、变形区，滑移线场为正段塑性变形区，滑移线场为正 交的圆摆线。交的圆摆线。 3) 3) 两个等半径圆弧所构成的滑移线场，或称扩展的有两个等半径圆弧所构成的滑移线场，或称扩展的有 心扇形场。心扇形场。 10.6 10.6 滑移线应用滑移线应用 n冲头压入半无限体冲头压入半无限体( (半无限体是指加工件的宽度比冲半无限体是指加工件的宽度比冲 头的宽度大得多。由于冲头的长度比宽度大得多，可以认为头的宽度大得多。由于冲头的长度比宽度大得多，可以认为 是平面塑性应变状态。这类问题用工程法是无法解决的，而是平面塑性应变状态。这类问题用工程法是无法解决的，而 用滑移线法求解却十分方便。用滑移线法求解却十分方便

17、。) ) 步骤：步骤： 1.1.根据受力条件画出滑移线场，确定根据受力条件画出滑移线场，确定和和。 AD为自由表面，为自由表面，AO为光滑受力面，为光滑受力面， ADC和和AOB为均匀滑移线场，为均匀滑移线场，ABC 与均匀场相邻，为简单滑移线场与均匀场相邻，为简单滑移线场 2 2. .根据受力条件确定根据受力条件确定x x和和y y ADAD面：面：y y=0=0，x x0 0 AOAO面：面：y yx x0 0 3.屈服准则确定屈服准则确定m： 1-3=2K m= （1+3 ）/2 AD面：面： y=0， x=-2K，mF=-K。 AO面：面： y =-p， x=2K-p， mE=K-p

18、AD C x0 4.确定确定角角 ADC场：场： F =/4， AOB场：场： E =-/4 5.由汉基方程求平均压力：由汉基方程求平均压力： mF-2KF = mE-2KE K -2K/4=K-p 2K/4 P=2K(1+ /2) A E x 0 2图二所示的一尖角为图二所示的一尖角为2 2 的冲头在外力作用下插入具的冲头在外力作用下插入具 有相同角度的缺口的刚塑性体中，有相同角度的缺口的刚塑性体中，接触表面上的摩接触表面上的摩 擦力忽略不计擦力忽略不计，其接触面上的单位压力为其接触面上的单位压力为p p，自由表，自由表 面面ABCABC与与X X轴的夹角为轴的夹角为 。 求：求：(1)(1

19、)证明接触面上的单位证明接触面上的单位 应力应力p=2Kp=2K（1+1+ + + ）；）； (2)假定冲头的宽度为假定冲头的宽度为2b， 求变形抗力求变形抗力P； 证明：在在AC边界上：边界上： K K mC xy C )( 2 1 2 0 4 31 3 1 在在AO边界上：边界上： )p(p, 0, 4 3xyO 取正值 31 K2 31 pK)( 2 1 K2p 31mo 1 根据变形情况：根据变形情况： 按屈服准则：按屈服准则： )1(2 22 0 Kp KK cmcmo 则： 沿沿 族的一条滑移（族的一条滑移（OFEB）为常数为常数 sin b L )1 (4)1 (2sin sin 2sin2 bKK b LpP 设设AO的长度为的长度为L， 变形抗力变形抗力 3图所示的一平冲头在外力作用下压入两边为斜面图所示的一平冲头在外力作用下压入两边为斜面 的刚塑性体中，的刚塑性体中，接触表面上的摩擦力忽略不计，接触表面上的摩擦力忽略不计， 其接触面上的单位压力为其接触面上的单位压力为q，自由表面，自由表面AH、BE与与 X轴的夹角为轴的夹角为，求：，求： 1）证明接触面上的单位）证明接触面上的单位 应力应力q=K（2+2 2）假定冲头的宽度为）假定冲头的宽度为2b， 求单位厚度的变形抗力求单位厚度的变形抗力P； ）；）