材料力学 第09章

1、1 2 1917年 加拿大魁北克大桥二度坍塌 3 鱼洞长 江大桥 边跨现 浇支架 失稳 4 5 9 91 1 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 9 94 4 压杆的稳定校核及其合理截面压杆的稳定校核及其合理截面 9 92 2 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式 9 93 3 超过比例极限时压杆的临界应力超过比例极限时压杆的临界应力 6 91 压杆稳定性的概念压杆稳定性的概念 构件的承载能力：构件的承载能力： 强度强度 刚度刚度 稳定性稳定性 工程中有些构工程中有些构 件具有足够的强度、件具有足够的强度、 刚度，却不一定能刚度，却不一定能 安全可靠地工作。安全可靠地工作。 7 P

2、工程背景工程背景 8 9 10 工程机械工程机械 11 一、稳定平衡与不稳定平衡一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡不稳定平衡 12 2. 2. 稳定平衡稳定平衡 13 3. 3. 稳定平衡和不稳定平衡稳定平衡和不稳定平衡 14 二、压杆失稳与临界压力二、压杆失稳与临界压力 ： 1.1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：压杆的稳定平衡与不稳定平衡： 15 F FP P F FPcr Pcr : :在扰动作用下， 在扰动作用下，直线平衡直线平衡 构形转变为弯曲平衡构形，构

3、形转变为弯曲平衡构形，扰动除扰动除 去后，不能去后，不能恢复到直线平衡构形，恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形是则称原来的直线平衡构形是不稳定的。不稳定的。 16 3.3.压杆失稳：压杆失稳：4.4.压杆的临界压力压杆的临界压力 临界状态临界状态 临界压力临界压力: : Pcr 过过 度度 对应的对应的 压力压力 17 92 细长压杆临界力的欧拉公式细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界力: PyyxM),( 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。从挠曲线入手，求临界

4、力。 y EI P EI M y 0 2 ykyy EI P y EI P k 2 :其中 P x L P x y P M 18 xBxAycossin 0)()0(Lyy 0cossin 00 : kLBkLA BA 即0 cos sin 1 0 kLkL 0sin kL EI P L n k 临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将 绕惯性矩最小的轴弯曲。 2 min 2 L EI Pcr 同时可以得到 19 二、此公式的应用条件： 三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式 1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为球铰支座。 长度系数（或约束系数）。 两端铰支压杆临

5、界力的欧拉公式两端铰支压杆临界力的欧拉公式 压杆临界力欧拉公式的一般形式压杆临界力欧拉公式的一般形式 2 2 L EI Pcr min 2 2 )( min L EI Pcr 20 0.5l 表101 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式 支承情况两端铰支 一端固定 另端铰支 两端固定 一端固定 另端自由 两端固定但可沿 横向相对移动 失稳时挠曲线形状 Pcr A B l 临界力Pcr 欧拉公式 长度系数 2 2 l EI P cr 2 2 )7 . 0(l EI P cr 2 2 )5 . 0(l EI P cr 2 2 )2( l EI P cr 2 2 l EI P cr =

6、1 0.7=0.5=2=1 Pcr A B l Pcr A B l 0.7l C C D C 挠曲 线拐点 C、D 挠 曲线拐点 0.5l Pcr Pcr l 2l l C 挠曲线拐点 21 P M kyky 22 MPyxMyEI )( EI P k 2 :令 0,; 0, 0 yyLxyyx 解解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为： 边界条件为: 例例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力 公式。 P L x P M0 P M0 P M0 x P M0 P M kxdkxcysincos kxckxdysincos 22 nkLnkLd P M c 2, 0,并 2 2 2

7、2 )2 /( 4 L EI L EI P cr 2kL 为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取： 所以，临界力为： 2 nkL = 0.5 23 压杆的临界力 例例2 求下列细长压杆的临界力。 , 12 3h b I y =1.0， 解：绕 y 轴，两端铰支： 2 2 2 L EI P y cry , 12 3 bh I z =0.7， 绕 z 轴，左端固定，右端铰支： 2 1 2 )7 . 0(L EI P z crz ) , min( crzcrycr PPP y z L1 L2 y z h b x 24 4912 3 min m1017. 410 12 1050 I 2 1

8、min 2 )(l EI P cr 48 min m1089. 3 z II 2 2 min 2 )(l EI P cr 例例3 求下列细长压杆的临界力。已知： L=0.5m ， E=200GPa. 图(a) 图(b) 解：图(a) 图(b) kN14.67 )5 . 07 . 0( 20017. 4 2 2 kN8 .76 )5 . 02( 200389. 0 2 2 50 10 P L P L (4545 6) 等边角钢 y z 25 26 93 中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力 A P cr cr 一、一、 基本概念基本概念 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力

9、。 3.柔度： 2 2 2 2 2 2 )/()( E iL E AL EI A P cr cr 2.细长压杆的临界应力： 惯性半径。 A I i ）杆的柔度（或长细比 i L 2 2 E cr 即：即： 27 4.大柔度杆的分界： Pcr E 2 2 欧拉公式求。长细杆），其临界力用的杆称为大柔度杆（或满足 P P P E 2 求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其 P 二、中小柔度杆的临界应力计算二、中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 PS 时： scr ba s s b a 界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临 Ps ba cr 28 i L cr 界应力为屈服极限。

10、的杆为小柔度杆，其临 S 2 2 E cr 临界应力总图 S 时： scr ba cr P S s b a s P P E 2 29 2.抛物线型经验公式 2 11 ba cr S c E AA 56. 0 43. 016 2 53 ，锰钢：钢和钢、对于 。时，由此式求临界应力 c 我国建筑业常用： Ps 时： 2 1 c scr s 时： scr 30 例例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两端铰 支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公式 求临界压力和稳定安全系数nst。 4 1 2 1 cm63.23 ,cm367.8 y IA zy II

11、cm68. 1 367. 82 26.47 min A I i 1233 .89 68.1 150 c i l 解解：一个角钢： 两根角钢图示组合之后 4 1min cm26.4763.2322 yy III 所以，应由抛物线公式求临界压力。 y z 31 MPa7 .181) 123 3 .89 (43. 01 235)(43. 01 22 c scr kN304107 .18110367. 82 64 crcr AP 02. 2 150 304 P P n cr st 安全系数 32 94 压杆的稳定校核及其合理截面压杆的稳定校核及其合理截面 一、压杆的稳定许用应力一、压杆的稳定许用应力:

12、 : 1.安全系数法确定许用应力: st cr st n 2.折减系数法确定许用应力: st , 1,折减系数其值与材料性能及压杆 柔度有关。 二、压杆的稳定条件二、压杆的稳定条件: : st A P 影响压杆承载能力的因素: 2 2 L EI Fcr AF crcr Aba AF crcr A s 提高压杆承载能力的主要途径 为了提高压杆承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合 理性以及材料性能等因素的影响。可能的措施有以下几方面： （1）尽量减少压杆杆长 对于细长杆，其临界荷载与杆长平方成反比。因此，减少杆长 可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或 增加支点可以达到减小

13、杆长从而提高压杆承载能力的目的。 两种桁架中的、杆均为压杆，但图b中压杆承载能力要远远高于图a中的 压杆。 )(a F C BA )(b F C BA （2）增强支承的刚性 提高压杆承载能力的主要途径 支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大。如， 将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将呈 数倍增加。 （3）合理选择截面形状 当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有相同的约束条件时,压杆 将在刚度最小的平面内弯曲.这时如果只增加截面某个反方向的惯 性矩,并不能提高压杆的承载能力,最经济的办法是将截面设计成空 的, 从而加大截面的惯性矩.并使截面对各个方向轴的惯性矩均相 同.因

14、此,对一定的横截面面积,正方形截面或圆截面比矩形截面好, 空心截面比实心截面好. 当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时,应采用最大 与最小惯性矩不等的截面,并使惯性矩较小的平面内具有较强刚性 的约束. （4）合理选用材料 在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提 高细长压杆的承载能力。例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制 压杆的临界载荷。但是，普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹 性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对 压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。 但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈 服强度有关，这时选用高强度钢会使

15、临界载荷有所提高。 37 因愈大，则cr 和Pcr愈低，而， =l/i, 所以提高压杆承 载能力的措施为： （1）减小压杆的长度l； （2）增强杆端的约束； （3）加大杆截面的惯性矩i，并且在各个方向约束条件相同 的条件下，使Iy=Iz； （4）合理选用材料。 提高压杆承载能力的措施提高压杆承载能力的措施 压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸,（ ） 和（ ）对临界压力的综合影响。 两根细长压杆a与b的长度、横截面面积、约束状态及 材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则 二压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为（ ）。 A.Facr=Fbcr；B.FacrFbcr；C.FacrFb

16、cr；D.不确定 材料和柔度都相同的两根压杆（ ）。 A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C. 临界应力和压力都一定相等； D. 临界应力和压力都不一定相等。 图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（ ）。 A.临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于xy面内； B.临界压力Fcr2EIy/L2，挠曲线位于xz面内； C.临界压力Fcr2EIz/L2，挠曲线位于xy面内； D.临界压力Fcr2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。 L F y z x h b z y 图示二根压杆，横截面面积及材料各不相同， 但它们的（ ）相同。 A.长度

17、因数；B.相当长度；C.柔度；D.临界压力。 l 5 . 0 F l 2 F 在下列有关压杆临界应力cr的结论中， （ ）是正确的。 A. 细长杆的cr值与杆的材料无关； B. 中长杆的cr值与杆的柔度无关； C. 中长杆的cr值与杆的材料无关； D. 短粗杆的cr值与杆的柔度无关。 图示各杆横截面面积相等，在其它条件均 相同的条件下，压杆采用图（ ）所示截 面形状，其稳定性最好。 将低碳钢改为优质高强度钢后，并不能提 高（ ）压杆的承压能力。 A. 细长； B. 中长； C. 短粗 D. 非短粗。 由低碳钢组成的细长压杆，经冷作硬化 后，其（ ） 。 A. 稳定性提高，强度不变； B. 稳定

18、性不变，强度提高； C. 稳定性和强度都提高； D. 稳定性和强度都不变。 44 例例5 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m， =11MPa， 直径： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。 80 3 . 0 461 i L xy 解：折减系数法 最大柔度 x y面内， =1.0 z y面内， =2.0 160 3 . 0 462 i L zy T1 A B W T2 x y z O 45 st kN911011117. 0 4 3 . 0 6 2 stBCBC AP 求折减系数 求许用压力 117. 016030003000,80: 22 时木杆 46 4 1 4 1 0 2 1

19、 cm6 .25,cm3 .198 ,cm52. 1,cm74.12 yz II zA 4 1 cm6 .3963 .19822 zz II )2 /( 2 2 011 azAII yy )2 /52. 1 (74.126 .252 2 a 时合理即 2 )2/52. 1 (74.126 .253 .198 :a 例例6 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3钢 E=200GPa， ，下端固定，上端为球铰支座， 试问 a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？ 解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。 两根槽钢图示组合之后， cm32. 4a y1 P L z0 y z1 C1 a MPa p 200 47 5 .106 1074.122 106 .396 67 . 0 2 67 . 0 4 8 1 A Ii L z 3 .99 10200 10200 6 922 P p E kN8 .443 )67 . 0( 106 .396200 )( 2 22 2 2 l EI P cr 求临界力： 大柔度杆，由欧拉公式求临界力。 48 第十章 练习题 一、如何区别压杆的稳定平衡和不稳定平衡？ 二、压杆因失稳而产生弯曲变形，与梁在横向 力作用下产生弯曲变形，在性质上有何区别？ 三