材料力学第10章压杆稳定

1、第第1010章章 压杆稳定压杆稳定 第第1010章章 压杆稳定压杆稳定 目录 10.1 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 10.2 10.2 铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力 10.4 10.4 临界应力欧拉公式的适用范围临界应力欧拉公式的适用范围 10.5 10.5 压杆的稳定压杆的稳定计计算算 10.6 10.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 10.3 10.3 其他支承情况下细长压杆的其他支承情况下细长压杆的 临界力临界力 10.1 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 在材料力学中，衡量构件是否具有足够的承载能力，要从三个方面来在材料力学中，衡量构件是否具有

2、足够的承载能力，要从三个方面来 考虑：强度、刚度、稳定性。考虑：强度、刚度、稳定性。 稳定性稳定性 构件在外力作用下，保持其原有构件在外力作用下，保持其原有 平衡状态的能力。平衡状态的能力。 工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆稳定问题，这类问工程实际中有许多稳定性问题，但本章主要讨论压杆稳定问题，这类问 题表现出与强度问题截然不同的性质。题表现出与强度问题截然不同的性质。 10.1 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 所谓压杆的稳定是指受压杆件其所谓压杆的稳定是指受压杆件其 平衡状态的稳定性。平衡状态的稳定性。 对一压杆取一横向力对一压杆取一横向力F1， 10.1 10.1 压

3、杆稳定的概念压杆稳定的概念 结论：结论： （1）同一杆件其直线状态的平衡是）同一杆件其直线状态的平衡是 否稳定取决于否稳定取决于F值大小。值大小。 F很小时，去很小时，去 掉掉F1，杆仍能，杆仍能 恢复直线恢复直线 F很大时，去很大时，去 掉掉F1，杆继续，杆继续 弯曲。弯曲。 （2）F值小于某一值时。直线状态值小于某一值时。直线状态 的平衡是稳定的，大于该值便是不稳的平衡是稳定的，大于该值便是不稳 定的。定的。 （3）其界限值称为临界力，用）其界限值称为临界力，用Fcr表表 示。示。 当当F=Fcr，压杆处于稳定与不稳定平，压杆处于稳定与不稳定平 衡的临界状态。衡的临界状态。 概念延伸：概念

4、延伸： 压杆的临界力即压杆压杆的临界力即压杆保持直线形式保持直线形式 平衡状态平衡状态所能承受的所能承受的最大最大载荷，或载荷，或 使压杆使压杆丧失直线形式丧失直线形式（变成曲线）（变成曲线） 平衡状态所需的平衡状态所需的最小最小载荷。载荷。 不稳定平衡不稳定平衡稳定平衡稳定平衡 微小扰动就使小球远离原来的微小扰动就使小球远离原来的 平衡位置平衡位置 微小扰动使小球离开原来的平衡微小扰动使小球离开原来的平衡 位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡 位置位置 10.1 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 压力等于临界力压力等于临界力压力大于临界力压力大于临界力压力小

5、于临界力压力小于临界力 10.1 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 压杆丧失压杆丧失直线直线 状态的平衡状态的平衡，过渡，过渡 到到曲线状态的平衡曲线状态的平衡。 称为丧失稳定，简称为丧失稳定，简 称称失稳，失稳，也称为也称为屈屈 曲曲 压力等于临界力压力等于临界力 压杆的稳定性试验压杆的稳定性试验 10.1 10.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 一压杆受一压杆受Fcr作用（仍处于弹性阶段）处作用（仍处于弹性阶段）处 于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态。于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态。 10.210.2铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力（公式推导）（公式推导） 现令杆处于微弯状态

6、，其任一截面上现令杆处于微弯状态，其任一截面上 存在弯矩存在弯矩M(x) yFxM cr (a) 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 y EI F EI xM dx yd cr 2 2 (b) 令：令：2 k EI F cr (c) 则则(b)式变为：式变为：0 2 2 2 yk dx yd (d) 10.210.2铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力（公式推导）（公式推导） 0 2 2 2 yk dx yd (d) (d)式通解为：式通解为： kxCkxCycossin 21 (A) 边界条件：边界条件： 0, 0yx 0,ylx 0 2 C 0sin 1 klC0 1 C则：则：0s

7、inkl 所以：所以： )3 , 2 , 1 , 0(nnkl 2 22 2 l n k 10.210.2铰支细长压杆的临界力铰支细长压杆的临界力（公式推导）（公式推导） 2 22 2 l n k 2 k EI Fcr ), 2 , 1 , 0( 2 22 n l EIn Fcr 当当n=0时，时，Fcr=0，与此题不符。，与此题不符。 n应取不为应取不为0的最小值，即的最小值，即n=1。 所以：所以： 2 2 l EI Fcr （10-1) 上式即为上式即为欧拉公式。欧拉公式。 注意：注意：（1）10-1式是式是两端均为球铰两端均为球铰的铰支压杆导出的。的铰支压杆导出的。 （2）式中的）式中

8、的I值取值取最小值最小值。即。即Iz、Iy中的较小者。中的较小者。 10.3 10.3 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力 一端固定一端自由一端固定一端自由 2 2 cr )2( l EI F 对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法：对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法： 1 1、从挠曲线微分方程入手、从挠曲线微分方程入手2 2、比较变形曲线、比较变形曲线 A B C l l 目录 10.3 10.3 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力 一端固定一端自由一端固定一端自由 2 2 cr )2( l EI F 对于其他支座条

9、件下细长压杆，求临界压力有两种方法：对于其他支座条件下细长压杆，求临界压力有两种方法： 1 1、从挠曲线微分方程入手、从挠曲线微分方程入手2 2、比较变形曲线、比较变形曲线 A B C l l 目录 l A B C 0.7l cr F 4 l 4 l A B C D 2 l cr F 两端固定两端固定 2 2 cr )5 . 0(l EI F 一端固定一端固定 一端铰支一端铰支 2 2 cr )7 . 0(l EI F 目录 10.3 10.3 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力 10.3 10.3 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力 明确两

10、点：明确两点： （1）同一受压杆，两端支撑情况不同，对杆件变形的约）同一受压杆，两端支撑情况不同，对杆件变形的约 束作用也不同，其临界力值必然不同。束作用也不同，其临界力值必然不同。 （2）不同支撑形式临界力公式可统一表示为）不同支撑形式临界力公式可统一表示为 长度因数长度因数（无量纲）（无量纲） （计算长度）（相当长度相当于（计算长度）（相当长度相当于 两端铰支杆）两端铰支杆） l 欧拉公式的普遍形式：欧拉公式的普遍形式： 2 )( 2 l EI F cr （10-2） 10.3 10.3 其他支承情况下细长压杆的临界力其他支承情况下细长压杆的临界力 10.4 10.4 临界应力临界应力 欧

11、拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 1 1、临界应力、临界应力 2 2 E cr 目录 （10-3） 或称长细比或称长细比 欧拉公式只适用于大柔度杆欧拉公式只适用于大柔度杆 杆长杆长 l 约束条件约束条件 截面形状尺寸截面形状尺寸 i 集中反映了杆长、约束条件、截面集中反映了杆长、约束条件、截面 形状尺寸对形状尺寸对 的影响。的影响。 cr 2 2、欧拉公式适用范围、欧拉公式适用范围 p pcr E 2 2 当当 p E 2 即即 p p E 2 令令 目录 10.4 10.4 临界应力临界应力 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 （10-4） 满足满足 胡克胡克 定律定律 例例10-1 1

12、0-1 悬臂式压杆为悬臂式压杆为20a20a工字型钢，已知杆长工字型钢，已知杆长 l l=1.5m=1.5m，材料的比例极限，材料的比例极限p p=200MPa=200MPa，弹性模，弹性模 量量E=2.06E=2.0610105 5MPaMPa。试计算压杆的临界力。试计算压杆的临界力。 10.4 10.4 临界应力临界应力 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 解：查表得，解：查表得， 44 2370158cmIcmI yz 所以所以 i l 中的中的i应为，应为， miz0212. 0 杆的长细比则为：杆的长细比则为： 142 0212. 0 5 . 12 m m i l z 而：而： 1

13、00 200 1006. 2 14. 3 5 p p E p ，所以欧拉公式适用，临界力为：，所以欧拉公式适用，临界力为： kN m mPa l EI F z cr 357 5 . 12 101581006. 2 2 2 48112 2 2 3 3、中小柔度杆临界应力计算、中小柔度杆临界应力计算 2 ba cr b a s 2 (小柔度杆小柔度杆) (中柔度杆中柔度杆) scr a、b 材料常数材料常数 pcrs 当当 p2 即即 我国经验公我国经验公 式式 （抛物线公式）（抛物线公式） scr b a s 2 令令 目录 10.4 10.4 临界应力临界应力 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用

14、范围 进入弹塑性阶段进入弹塑性阶段 （10-5） i l 压杆柔度压杆柔度 A I i 五种取值情况，五种取值情况， 临界柔度临界柔度 P p E 2 P 比例极限比例极限 b a s 2 s 屈服极限屈服极限 2 (小柔度杆小柔度杆) 2 p (中柔度杆中柔度杆) 临界应力临界应力 p (大柔度杆大柔度杆)欧拉公式欧拉公式 2 2 E cr 2 ba cr 抛物线公式抛物线公式 强度问题强度问题 scr 目录 10.4 10.4 临界应力临界应力 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 目录 10.4 10.4 临界应力临界应力 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围 FF st cr n F

15、st n 稳定安全系数稳定安全系数,1 st cr n F F n工作安全系数工作安全系数 压杆稳定性条件压杆稳定性条件 st cr n F F n cr F 压杆临界压力压杆临界压力F 压杆实际压力压杆实际压力 10.5 10.5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算（建立稳定条件）（建立稳定条件） 一、安全因数法一、安全因数法 工作压力工作压力 F最大轴向压力最大轴向压力（10-7）压杆的稳定条件压杆的稳定条件 从安全系数考虑：从安全系数考虑： 一般情况下稳定安全系数大于强度安全系数。一般情况下稳定安全系数大于强度安全系数。 例例10-4 10-4 两端铰支（球铰）矩形截面木压杆如图，已知该杆为两

16、端铰支（球铰）矩形截面木压杆如图，已知该杆为 大柔度杆，大柔度杆，F=40kNF=40kN，杆长，杆长l l=3m=3m，b=120mmb=120mm，h=160mmh=160mm，材料的的，材料的的 弹性模量弹性模量E=10E=1010103 3MPaMPa，若稳定安全系数，若稳定安全系数n nst st=3.2 =3.2。试校核该杆。试校核该杆 的稳定。的稳定。 解：该杆为大柔度杆，其临界力为：解：该杆为大柔度杆，其临界力为： kN m mPa l EI F z cr 6 .252 31 12 12. 016. 0 1010 2 2 4 3 92 2 2 10.5 10.5 压杆的稳定计算

17、压杆的稳定计算（建立稳定条件）（建立稳定条件） FkN kN n F st cr 9 .78 2 . 3 6 .252 满足稳定条件。满足稳定条件。 st cr nA F st n 稳定安全系数稳定安全系数,1 10.5 10.5 压杆的稳定计算压杆的稳定计算（建立稳定条件）（建立稳定条件） 二、稳定因数法二、稳定因数法 工作应力工作应力 （10-8）压杆的稳定条件压杆的稳定条件 将将 st cr n 写成写成 st cr n 由此得：由此得： st cr n 稳定因数或折减因数稳定因数或折减因数 ，此值小于，此值小于1。 A F 或 A F 欧拉公式欧拉公式 2 2 )( l EI Fcr

18、越大越稳定越大越稳定 cr F 减小压杆长度减小压杆长度 l 减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束） 增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状） 增大弹性模量增大弹性模量 E（合理选择材料）（合理选择材料） 10.6 10.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 目录 减小压杆长度减小压杆长度 l 目录 10.6 10.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 减小长度系数减小长度系数（增强约束）（增强约束） 目录 10.6 10.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 增大截面惯性矩增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状） 目录 10.6 10.6 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定