结构动力学(运动方程)

1、张系斌 2015.5. 运动方程的建立运动方程的建立 建立动力体系运动方程常用的三种方法是直接 平衡法、虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法；运 动方程可用上述三种方法中的任一种建立。对于简 单体系，最明了的方法是采用直接平衡法建立包括 惯性力在内的作用于体系上的全部力的平衡关系， 得出运动方程。对于更复杂的体系，直接建立矢量 平衡关系可能是困难的，此时采用功和能等标量建 立平衡关系更为方便；其中包括虚位移原理方法和 哈密尔顿原理方法。上述三种方法的结果是完全相 同的，采用何种方法取决于是否方便、个人的喜好 以及动力体系的性质。 牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律 直接平衡法直接平衡法 通过动力体系

2、各质点的力矢量平衡关系建立运动方程的 方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向 相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把运 动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用于 质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力、抵抗速度的粘滞 阻尼力以及其它独立确定的外荷载。因此，运动方程的表 达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡表 达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程的 最直接而且方便的方法。 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平

3、衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。 当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。 哈密尔顿原理哈密尔顿原理 u c u m 1s F 2s F uu u k u h EI FF ss 2 12 3 21

4、)(tPkuucum vmf I vcfd EI l 48 3 )( Id fftPv )(vcvmtPv u c u m EI h 24 3 1M u )(ucumtPu vmf I vcfd )(2tPRvcvm )(tPkuvcvm vmf I vcfd 3 48lEI P vcvmv )( 3 )(11768ltPEI P umf I ucfd kufe )(tPkuvcvm )(tPkuvcvm eq umf Ix vcucf xyxxdx 2M 1M vmf Iy vcucf yyyxdy 2M 1M 3 11 3lEI 3 12 2lEI 3 22 43lEI )( )( 12

5、11 dyIyy dxIxx fftP fftPu )( )( 22 21 dyIyy dxIxx fftP fftPv v u cc cc v u m m tP tP v u y x 2221 1211 2221 1211 0 0 )( )( )(dCdMPfd d d 2 1 7 18 l EI M 1M 2M 2 2 7 30 l EI M 2 3 7 12 l EI M 2 4 7 6 l EI M 2 1 7 18 l EI M 1M 2M 2 2 7 30 l EI M 2 3 7 12 l EI M 2 4 7 6 l EI M 3 11 7 48 l EI k 3 21 7 1

6、8 l EI k 3 12 7 18 l EI k 3 22 7 12 l EI k ;umf Ix ;vcucfdx 1211 ;vmf Iy ;vcucfdy 2221 vkukfex 1211 vkukfey 2221 y x P P v u kk kk v u cc cc v u m m 2221 1211 2221 1211 0 0 2111 kkk 221 kk 212 kk 222 kk ;umf I11 2121111 ucucfd 22 umf I ;ucucfd 2221212 ;ukukfe 2121111 2221212 ukukfe 2 1 2 1 2221 1211 2 1 2221 1211 2 1 0 0 P P u u kk kk u u cc cc u u m m umf Ix vcucfdx 1211 vmf Iy vcucfdy 2221 3 11 3lEI 3 12 2lEI 3 22 43lEI 2M 1M PdyIy dxIx ff ffu 112 11 )( )( PdyIy dxIx ff ffv 222 21 )( )( 3 1 1748PlEI P 3