高中数学 第二章 平面向量 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示（第二课时）示范教案 新人教A版必修4

1、学必求其心得，业必贵于专精第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时教学分析1前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算2本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律3引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如

2、果存在实数,使得ab，那么a与b共线），本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的三维目标1通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示2引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体3在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识重点难点教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解

3、课时安排1课时导入新课思路1。向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系关于x、y的二元一次方程axbyc0（a、b不同时为零）何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现?思路2。对于平面内的任意向量a，过定点o作向量a，则点a的位置被向量a的大小和方向所唯一确定如果以定点o为原点建立平面直角坐标系，那么点a的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示,这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将

4、数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？推进新课我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a(x1,y1)，b(x2，y2)，你能得出ab，ab，a的坐标表示吗?如图1，已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2x1，y2y1)的p点吗？标出点p后，你能总结出什么结论?活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤可得:图1ab（x1iy1j)（x2iy2j)(x1x2)i（

5、y1y2)j,即ab（x1x2，y1y2）同理ab(x1x2,y1y2)又a（x1iy1j）x1iy1j。a（x1，y1）教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为:两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量平移,使得点a与坐标原点o重合，则平移后的b点位置就是p点向量的坐标与以原点为始点，点p为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系学生通过平移也可以发现：向量的模与向量的模是相等的由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式：|。教师对总结完全的同学进行

6、表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新,展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获讨论结果：能(x2，y2)（x1，y1)（x2x1，y2y1）结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标如何用坐标表示两个共线向量？若a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么是向量a、b共线的什么条件？活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a(x1,y1），b（x2，y2），其中b0。我们知道，a、b共线，当且仅当存在实数，使ab.如果用坐标表示，可写为(x1，y1）（x2,y2),即消去后得x1y2x2y10.这就

7、是说，当且仅当x1y2x2y10时向量a、b（b0）共线又我们知道x1y2x2y10与x1y2x2y1是等价的，但这与是不等价的因为当x1x20时，x1y2x2y10成立，但与均无意义因此是向量a、b共线的充分不必要条件由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用，让学生仔细体会这点讨论结果：x1y2x2y10时，向量a、b（b0)共线充分不必要条件a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数使得ab，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a（x1，y1）,b（x2，y2），其中ba，由ab，（x1，y1）（x2，y2)消去,得x1y2x2y10.讨论结果：ab（b

8、0）的充要条件是x1y2x2y10。教师应向学生特别提醒感悟：(1）消去时不能两式相除,y1、y2有可能为0，而b0,x2、y2中至少有一个不为0。(2)充要条件不能写成(x1、x2有可能为0)（3）从而向量共线的充要条件有两种形式：ab(b0）思路1例1已知a(2，1),b（3，4）,求ab，ab,3a4b的坐标活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化可由学生自己完成

9、解：ab（2，1)(3，4）（1,5)；ab(2，1）(3,4)（5，3）;3a4b3(2,1）4（3,4)(6，3）（12，16)(6,19)点评:本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式。变式训练已知平面向量a(1,1)，b（1,1)，则向量ab等于( ）a(2，1） b（2，1）c（1，0) d(1，2)答案:d例2如图2，已知abcd的三个顶点a、b、c的坐标分别是(2，1)、(1,3)、（3，4),试求顶点d的坐标图2活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方

10、法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点d的坐标解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考,将顶点d的坐标表示为已知点的坐标解：方法一:如图2，设顶点d的坐标为（x，y)(1（2），31）(1,2)，（3x，4y）由，得（1，2)（3x，4y）顶点d的坐标为(2，2)方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则,可知(2（1)，13)（3（1)，43)(3,1），而（1，3)(3，1)（2，2），顶点d的坐标为（2,2)点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练如图3,已知平面上三点的坐标分别为a(2，1)，b(1,3）

11、，c(3,4）,求点d的坐标，使这四点构成平行四边形四个顶点图3解：当平行四边形为abcd1时，仿例2得：d1（2,2）；当平行四边形为acd2b时，仿例2得：d2（4，6)；当平行四边形为d3acb时，仿例2得：d3（6，0).例3已知a(1，1），b（1,3），c（2，5),试判断a、b、c三点之间的位置关系活动:教师引导学生利用向量的共线来判断首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式解：在平面直角坐标系中作出

12、a、b、c三点，观察图形，我们猜想a、b、c三点共线下面给出证明(1(1)，3（1）)(2，4),(2（1）,5（1）)（3，6），又26340，且直线ab、直线ac有公共点a，a、b、c三点共线点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的。变式训练已知a(4,2)，b（6，y）,且ab，求y。解：ab,4y260。y3。思路2例1设点p是线段p1p2上的一点，p1、p2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2）(1）当点p是线段p1p2的中点时，求点p的坐标；（2)当点p是线段p1

13、p2的一个三等分点时，求点p的坐标活动：教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗？即当时，点p的坐标是什么?师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有的学生可能提出如下推理方法：设p（x,y），由，知(xx1，yy1)(x2x，y2y），即这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质时间允许的话，可以探索的取值符号对p点位置的影响,也可鼓励学生课后探索解：（1）如图4,由向量的线性运算可知图4（）(，)，所以点p的坐标是（，)（2)如图5，当点p是线段p1p2的一个三等分点时，有两种情况，即或2.如果(图5(1)，那么图5

14、（）(,)，即点p的坐标是(,)同理，如果2(图5(2）)，那么点p的坐标是(，)点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.变式训练在abc中，已知点a（3，7）、b（2,5）若线段ac、bc的中点都在坐标轴上，求点c的坐标解：(1）若ac的中点在y轴上,则bc的中点在x轴上，设点c的坐标为(x,y），由中点坐标公式，得0，0,x3，y5,即c点坐标为(3，5）(2）若ac的中点在x轴上，则bc的中点在y轴上,则同理可得c点坐标为（2，7）综合（1)(2)，知c点坐标为(3，5)或(2,7).例2已知点a(1,2)，b（4，5),o为坐标原点，t.若点p在第二象限，求实

15、数t的取值范围活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励教师要让学生明白“化归”思想的利用不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组）的解集解:由已知(4,5）（1,2)（3,3）(1，2）t（3，3)（3t1,3t2）若点p在第二象限，则t。故t的取值范围是（,）点评：此题通过向量的坐标运算，将点p的坐标

16、用t表示，由点p在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围课本本节练习解答:1(1)ab(3，6)，ab（7,2);(2)ab(1，11），ab(7,5)；（3)ab（0，0），ab（4，6）；（4)ab(3,4），ab（3，4)22a4b（6，8），4a3b（12,5）3（1)(3,4），（3，4)；(2)(9，1)，（9，1）；（3)（0,2），(0，2）;(4)（5，0），（5,0）4abcd。证明：（1，1）,（1，1），所以。所以abcd.点评：本题有两个要求：一是判断，二是证明通过作图发现规律，提出猜想，然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程5(1

17、）（3,2);（2）(1，4);（3)（4，5)6（，1)或(，1)7解:设p（x，y），由点p在线段ab的延长线上,且|，得(x2,y3）(x4,y3)，即解之，得所以点p的坐标为（8,15）点评：本题希望通过向量方法求解，培养学生应用向量的意识1先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示2教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础课本习题2。3 a组5、6。1本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量

18、的代数运算这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究本教案设计流程符合新课改精神教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力2平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等3通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力一、求点p分有向线段所成的比的几种求法（1）定义法：根据已知条件直接找到使的实数的值例1已知点a（2，3)，点b（4,1)，延长ab到p，使3|，求点p的坐标解:因为点在ab的延长线上，p为的外分点,所以，0,又根据3，可知3,由分点坐标公式易得p点的坐标为(7,3)(2）公式法：依据定比