李雅普诺夫方法分析控制系统稳定性0306

1、 第二章 李雅普诺夫方法分析控制 系统稳定性 2.1 稳定性基本概念稳定性基本概念 2.2 Lyapunov意义下的稳定性意义下的稳定性 2.3 Lyapunov第一法第一法 2.4 Lyapunov第二法第二法 2.5 Lyapunov方法在线性系统中的应用方法在线性系统中的应用 2.6 Lyapunov方法在非线性系统中的应用方法在非线性系统中的应用 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普洛夫意义下的 稳定性概念 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近稳 定性分析方法 重点内容： 李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理，李 雅普诺夫函数的构造 线性定常

2、系统与非线性系统稳定性定理与判别 李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别 v研究的目的和意义:稳定性是自动控制 系统正常工作的必要条件，是一个重 要特征。 v要求：在受到外界扰动后，虽然其原 平衡状态被打破，但在扰动消失后， 仍然能恢复到原来的平衡状态，或者 趋于另一平衡状态继续工作。 v稳定性：系统在受到小的外界扰动后 系统状态方程解的收敛性，与输入无 关。 v经典控制理论稳定性判别方法：代 数判据，Nquist稳定判据，根轨迹 判据等 v非线性系统：相平面法(适用于一， 二阶非线性系统) v1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的 稳定性定理采用了状态向量来描述， 适用于单变量，线性，非线性，

3、定常， 时变，多变量等系统。 v应用：自适应，最优控制，非线性控 制等。 主要内容： n李氏第一法（间接法）：求解特征方 程的特征值 n李氏第二法（直接法）：利用经验和 技巧来构造李氏函数 2.1 稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 =Ax+Bu(u=0) 2.初态 =f(x,t)的解为 初态 3.平衡状态： 系统的平衡状态 a.线性系统 A非奇异： A奇异： 有无穷多个 x x 00 ( ;, )x t x t 0000 ),(xtxtx 0),(txfx ee e x Axx n Rx 00 ee xAx 0 e Ax e x b.非线性系统 可能有多个 例如： 令 0),(tx

4、fx e e x 3 2212 11 xxxx xx 0 1 x 0 2 x 0 0 1 e x 1 0 2 e x 1 0 3 e x 4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态 的充分小的领域内不存在别的平衡状 态。对于孤立的平衡状态，总可以经 过适当的坐标变换，把它变换到状态 空间的原点。 2.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定 如果对每个实数 都对应存在另 一个实数 ，使得由满足 0 0),( 0 t ),( 00 txx e 的任意初始态 出发的运动轨迹 0 x 00 ( ;, )x t x t ，在 都满足：t 000 ( ;, ) , e x t x txtt 则称 是李

5、雅普诺夫意义下稳定的。 时变： 与 有关 定常系统： 与 无关， 是一致稳定的。 注意： 向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。 e x e x 0 t 0 t 2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定 2） 一致渐进稳定 3.大范围内渐进稳定性 对 都有 00 lim( ;, )0 e t x t x tx 无关与 0 t )( 0 sx 00 lim( ;, )0 e t x t x tx x ( ),s 大范围稳定 e x e x 初始条件扩展到整个空间，且是渐进稳定性。 v线性系统(严格)：如果它是渐进稳定的，必 是有大范围渐进稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。 v非线性系

6、统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。 v当 与 无关 大范围一致渐进稳定。 4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要 内由 出发的轨迹超出 以外，则称此 平衡状态是不稳定的。 0 t )(s 0 x)(s 线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 部发散的轨迹。至于是否 趋于无穷远, 域外是否存在其它平衡状 态并不确定。若存在极限环，则系统仍是李雅 普诺夫意义下的稳定性。 )(s 3.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据： 1）李氏稳定的充要条件： 即

7、系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。 Axx 0 )0(xx0t Re()0 i ni, 2 , 1 2.非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： 在平衡状态 附近存在各阶偏导 数，于是： )(xfx )(xf-非线性函数 0 e x ()()( ) e ee T x x f xf xxxg x x 其中： )(xg-(级数展开式中二阶以上各项之和) n nnn n T x f x f x f x f x f x f x f 21 1 2 1 1 1 n上式为向量函

8、数的雅可比矩阵。 令 则线性化系统方程为： T n ffff 21 T n xxxx 21 () e xxf x e xxx e xx T x f A xA x 结论： 1) 若 ，则非线性 系统在 处是渐进稳定的，与 无关。 2) 若 则不稳定。 3) 若 ，稳定性与 有关， Re()0 i ni, 2 , 1 e x)(xg Re()0 i Re()0 j nji, 1 Re()0 i )(xg 3.4 李雅普诺夫第二法(直接法) v稳定性定理： 设系统状态方程： 其平衡状态满足 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( )，并设 在原点邻域存在 对 x 的连续一阶偏 导数。 ),(txfx 0

9、), 0(tf 0 e x ),(txV n定理1：若(1) 正定； (2) 负定； 则原点是渐进稳定的。 说明： 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态不 恒为零，则原点是渐进稳定的。 如果V(x)还满足 则原点是大范围渐进稳定的。 ),(txV ),( . txV ),( . txV ),(txV ),( . txV . 0 ( ;, ), V x t x t t lim( ) x V x v定理3：若(1) 正定； (2) 负半定； (3) 在非零状态存 在恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳 定的。 ),(txV ),( . tx

10、V . 0 ( ;, ), V x t x t t v定理4：若(1) 正定； (2) 正定 则原点是不稳定的。 说明： 正定 能量函数随时间增 大， 在 处发散。 ),(txV ),( . txV ),( . txV 00 ( ;, )x t x t e x 线性系统不稳定 非线性系统不一定 v推论1：当 正定， 正半定， 且 在非零状态不恒为零时,则 原点不稳定。 v推论2： 正定， 正半定，若 ， ，则原点是李雅普诺夫 意义下稳定(同定理3)。 原点不稳定 ),(txV),( . txV . 0 ( ;, ), V x t x t t ),(txV),( . txV 0 x 0),( .

11、 txV 几点说明： 1) 选取不唯一，但没有通用办法， 选取不当，会导致 不定的结果。 2) 这仅仅是充分条件。 -单调衰减(实际上是衰减振荡) ),(txV ),( . txV ),(txV ),( . txV 李氏第二法的步骤： 1)构造一个 二次型； 2)求 ，并代入状态方程； 3)判断 的定号性； 4)判断非零状态情况下， 是否为 零。 ),(txV ),( . txV ),( . txV . 0 ( ;, ), V x t x t t 渐进稳定 李氏稳定 不稳定 n令 若 成立 李氏意义 下稳定 若仅 成立 渐进稳定 0),( . txV 0),( . txV 0),( . txV

12、 0,x 0,x 例1：已知非线性系统的状态方程为： 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解： )( 2 2 2 112 1 . xxxxx )( 2 2 2 121 2 . xxxxx 令 0 1 . x 0 2 . x 0 1 x 0 2 x 原点是唯一平衡点 设 则 2 2 2 1 )(xxxV 2 . 2 1 . 1 . 22)(xxxxxV 22 2 2 1 . )(2)(xxxV 0)( 0 . xVx 0)( 0 . xVx )( . xV 负定 1)原点是渐进稳定的； 2) 因为 ，该系统是大范围渐进 稳定的； 定理1 lim( ) x V x 例2：试判断下列线性系统平衡状态

13、的稳定性。 解：1) 2 1 . xx 21 2 . xxx 令 0 2 . x 0 1 x 0 2 x 0 1 . x 即原点是平衡状态。 2 2 2 1 )(xxxV 2 2 . 2)(xxV 设 则： . ( )V x负半定 令 0)( . xV 0 1 x 0 2 x 只有全零解 0 x非零状态时 0)( . xV 原点 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 0 e x 定理2 例3：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解：由于 设 则 故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。 )0( 2 1 . kkxx 1 2 . xx 0 2 . 1 . xx 0 21 xx 则原点是平衡状态。 2

14、 2 2 1 )(kxxxV . 1212 ( )220V xkx xkx x 定理3 ( )V x 正（负）半定 例4：试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。 解: 即 设 则 可见 与 无关，故非零状态(如 )有 ，而对其余任意状态 有 21 2 . 2 1 . xxxxx 0 2 . 1 . xx0 21 xx 0 e x 2 2 2 1 )(xxxV 2 2 . 2)(xxV )( . xV 1 x0 1 x 0 2 x0)( . xV 0)( . xV 故 正半定。 令 即非零状态时， 不恒为零，则原点不稳 定即系统不稳定。 )( . xV 0, 00)( 12 . xxxV )( .

15、 xV 推论1 2.5 线性系统的线性系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 1. 线性时不变系统的线性时不变系统的Lyapunov稳定性稳定性 设系统状态方程为： 为唯一平衡状态。 设选取如下的正定二次型函数 为李氏函数 则： Axx A-非奇异矩阵 0 e x )(xV ( ) T V xx Px ，将 代入：Axx . ( )() TTTT V xx Pxx P xxA PPA x 令 由渐进稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)， 则系统是大范围渐进稳定。 定理定理：系统 大范围渐进稳定的充要条件为： 给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正 定实对称矩阵P使 成立，则 为系统的一个Ly

16、apunov函数。 T A PPAQ QxxxV T )( . )( . xV Axx T A PPAQ ( ) T x PxV x 例1： 解：选取 xx 11 10 0 e x ( ) T V xx Px T A PPAQ 11121112 12221222 0101 1111 10 01 pppp pppp 12 12 p 0 221211 ppp 122 2212 pp 1 2 1 2 1 2 3 2212 1211 pp pp 0 2 3 11 p 0 1 2 1 2 1 2 3 2212 1211 pp pp P正定 是大范围一致渐进稳定 e x 22 1122 1 (322)0

17、2 T Vx Pxxx xx )( 2 2 2 1 . xxV n推论推论 系统 所有特征值实部都小 于负常数-a的充要条件是：对任意给定的正 定矩阵Q，都存在正定矩阵P满足方程 Axx 2 T A PPAaPQ 2. 线性时变系统的线性时变系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 设系统方程为 系统在平衡点xe=0大范围渐进稳定的充要条件 是：对任意给定的连续正定对称矩阵Q(t)， 存在一个连续正定对称矩阵P(t)使得 V(x(t),t)为系统的Lyapunov函数。 ( )( ) ( ) 0 e x tA t x t x 证明：取Lyapunov函数 V(x(t), t)=xT(t) P

18、(t) x(t) P为正定对称阵，且为时间的连续函数，则 由上式可知 上式是黎卡提方程的特殊情况，解为 式中 ( , t)系统 (t) = A(t)x(t)的状态转移 矩阵。当取Q(t) = I时 x 显然，当选取Q(t) = I时，可以通过系统 的状态转移矩阵 ( , t)计算矩阵P(t)，并 根据矩阵P(t)是否连续、对称、正定性来 分析线性时变系统的稳定性。 3. 线性定常离散系统的线性定常离散系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析 设系统状态方程： 其中 -非奇异阵， 是平衡状态。 设 )() 1(kxkx 0 e x ( )( )( ) T V x kxk Px k ( ) (1

19、) ( ) (1)(1)( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) TT TT TT V x kV x kV x k xkPx kxk Px k x kPx kxk Px k xkPP x k 令 T PPQ 李氏代数方程 )()()(kQxkxkxV T 定理：系统 渐进稳定的 充要条件为： 给定任一正定实对称阵Q，存在一个正实 对称P，使式 成立，则 是系统的一个李氏函数。 )() 1(kxkx T PPQ ( )( ) T xk Px k 4. 线性时变离散系统的Lyapunov稳 定性分析 设线性时变离散系统方程为 则系统在平衡状态大范围渐进稳定的充要条 件是：对于任给定正

20、定对称矩阵Q(k)存在一 个正定对称矩阵P(k+1)使得 并且 上面的差分方程的解 式中P(0)为初始条件。当Q(i)=I时 2.7 系统响应快速性的估计系统响应快速性的估计 2.7.1 系统动态性能系统动态性能 定义 (x)与V(x)比值的负值为 对于渐进稳定系统， 恒取正值， 越大渐进稳 定的运动x(t)趋于平衡点越快。解上式得到 V 其中x0，t0分别是系统的初始状态和初始时刻。为方便 讨论，定义 将 带入前面的V(x) 中，得到 显然 给出了V(x)趋于平衡点的速度估计。 是表 征Lyapunov函数V(x)趋于平衡点快慢的最大时间常数， 该常数约为用传统控制理论计算出的系统自由响应时

21、 间常数的一半。 m m /1 m 2.7.2 线性定常系统 的计算 设线性定常系统为 ，矩阵A的所有 特征值都有负实部，即线性系统渐进稳定。则 式中P为正定对称矩阵，Q= - (ATP+PA) Axx 求上式的极值 令 ，带入上式，得到 由于x为非零向量，所以 必为QP-1的一个特征值。 因此， 等于QP-1的最小特征值 。 Pxx Qxx T T m min 1 ()0, ()0QP xQPI x 或 例如： 系统为 试求取系统的Lyapunov函数，以及从封闭曲线 V(x) = 150边界上一点到封闭曲线V(x) = 0.06内 一点响应时间上界。 解: (1) 设Q=I, 根据 ATP

22、+PA=-Q 求矩阵P,即 15 . 0 5 . 05 . 1 P 则Lyapunov函数及其导数为 则 0 1 dx d 0 dx d 令 ，由 得到 把以上结果带入到 中，得到 =0.553， =1.447，由于 ，取 =0.553。 (2) 也可由QP-1矩阵的最小特征值求得。 根据 ，考虑到Q=I, 求出矩阵QP-1的两个特征值 因此 =0.553。 1m 12mm 2m 15 . 0 5 . 05 . 1 P 1mm m 0 1 IQP m 553. 0,447. 1 21 (3) 求从封闭曲线V(x) = 150到封闭曲线V(x) =0.06 的过渡过程时间，因为 所以 从曲线V(

23、x) = 150上出发任一轨迹，进入V(x) =0.06 所包围的区域内，所需时间不超过14.148个时间单 位 。如果 是Lyapunov 收敛时间常数，则自 由响应时间常数上限为.618. 3/2 mM T m /1 参数的最优化设计参数的最优化设计 设线性系统状态方程为 其中，系统矩阵A(a)的某些元素依赖于可选参数 a。参数a选择原则是使二次型积分指标 达到最小，其中Q为正定或半正定常数矩阵。矩 阵A(a)所描述的系统渐进稳定，由性能指标中 xaAx)( 中给定正定或半正定Q可通过方程 解出正定的含参数a的矩阵P(a)。性能指标J可化为 QaPAPaA T )()( 显然，性能指标是a的函数，其极值的充要条件是 例：系统状态方程为 0; 0 2 2 a J a J 确定阻尼比 0并使得性能指标 J 达到最小。 解：由于A是稳定矩阵，所以J=xT(0)Px(0),而P可 由矩阵方程ATP+PA=-Q确定，即 解矩阵方程，得到 0 J 性能指标J 为 将x1(0)=1, x2(0)=0带入上式，得到 令 ，得到使性能指标达到极值时的 状态反馈的设计状态反馈的设计 系统状态方程为 选择 ，当u =0时