计算机的运算方法-浮点表示-PART2

1、 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 6.2 数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 1. 定点表示定点表示 机器码：机器码： Sf S1S2 Sn 符号位符号位 数值部分数值部分 位位 纯小数纯小数 整数整数 小数点位置小数点位置 小数点位置小数点位置 小数点位置固定小数点位置固定- 原码原码 反码反码 补码补码 移码移码 -(2n-1) 2n-1-(1-2-n) 1-2-n -(2n-1) 2n-1-(1-2-n) 1-2-n -2n 2n-1 -1 1-2-n -2n 2n-1 定点数表示范围定点数表示范围 不是纯小数不是纯小数 或者整数时或者整数时 怎么表示？怎

2、么表示？ 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 6.2 数的定点表示与浮点表示数的定点表示与浮点表示 N = S r j S：尾数尾数 r: 基数基数 j: 阶码阶码 EX: 352.47 怎么表示？怎么表示？ 352.47 =0.0035247 105 通过乘通过乘10的不同次幂的不同次幂 2.浮点表示浮点表示 Sr j 一般一般 r =2,不需表示不需表示 N = 11.0101 = 11.0101 20 分别表示分别表示 = 1.10101 21 = 0.10101 210 = 0.00110101 2100 = 110.101 2-1 尾数无法用定点表示尾数无法用定点表

3、示 浮点数通过浮点数通过 表示表示 S为纯小数的表示有多种为纯小数的表示有多种 究竟用哪种？究竟用哪种？ =0.35247 103 =3.5247 102 =35.247 101 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY jfj1j2j3jm SfS1S2S3Sn 浮点表示浮点表示 2.1 2.1 浮点数的表示形式浮点数的表示形式 一个浮点数通过尾数一个浮点数通过尾数S S和阶码和阶码j j两个定点数两个定点数表示表示 浮点数浮点数 N 在机器中的表示形式在机器中的表示形式 阶码阶码 j尾数尾数 S(m+1位位)(n+1位位) 阶码符号阶码符号 尾数符号尾数符号 m位位 阶码数阶码

4、数 值部分值部分 n位位 尾数数尾数数 值部分值部分 阶码阶码 j 的位数的位数 - 决定了浮点数的决定了浮点数的表示范围表示范围 尾数尾数S 的位数的位数 - 决定了浮点数的决定了浮点数的表示精度表示精度 尾数尾数S 的符号的符号 - 决定了浮点数的符号决定了浮点数的符号 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数的规格化浮点数的规格化 2.2 2.2 浮点数的规格化浮点数的规格化 N = 11.0101 = 0.10101 210 = 0.00110101 2100 无数值意义无数值意义 规格化目的：规范表示，提高精度规格化目的：规范表示，提高精度 尾数尾数S真值的真值的

5、最高位应为最高位应为1 S： 0.1 xxx |S| 2-1 (0.5) 规格化要求：规格化要求： 规格化过程：规格化过程：(基数为基数为2) -左规左规 -右规右规 尾数左移一位，阶码减尾数左移一位，阶码减1 尾数右移一位，阶码加尾数右移一位，阶码加1 (基数为基数为2) 推广：推广： 基数为基数为4， |S| 4-1,左规左规/右规每次右规每次两位两位，阶码减，阶码减/加加1 基数为基数为8， |S| 8-1,左规左规/右规每次右规每次三位三位，阶码减，阶码减/加加1 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数的表示范围浮点数的表示范围 2.3 2.3 浮点数的表示范围浮

6、点数的表示范围 设：设：N=N=S r j S 尾数尾数n+1位位， j 阶码阶码m+1位位 0 正数：正数： MAX正 正 =S max正 正 2 j max 纯小数纯小数 整数整数 =(1-2-n) m (2-1 ) 2 MIN正 正 =S min正 正 2 j min= 2-n m -(2-1 ) 2 负数：负数： MAX负 负 = |S min|负 负 2 j min |Min|负 负= m -(2-1 ) 2 - 2-n MIN负 负 = 2 j max|MAX|负 负 = |S max|负负 =-(1-2-n) m (2-1 ) 2 MAX正 正 MIN正 正 MAX负 负 MIN

7、负 负 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数的表示范围浮点数的表示范围 2.3 2.3 浮点数的表示范围浮点数的表示范围 设：设：N=N=S r j S 阶码阶码n+1位位， j 尾数尾数m+1位位 0 正数：正数： MAX正 正 =S max正 正 2 j max 纯小数纯小数 整数整数 =(1-2-n) m (2-1 ) 2 MIN正 正 =S min正 正 2 j min= 2-1 m -(2-1 ) 2 负数：负数： MAX负 负 = |S min|负 负 2 j min |Min|负 负= m -(2-1 ) 2 - 2-1 MIN负 负 = 2 j max|

8、MAX|负 负 = |S max|负负 =-(1-2-n) m (2-1 ) 2 MAX正 正 MIN正 正 MAX负 负 MIN负 负 规格化表示规格化表示 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数的表示范围浮点数的表示范围 2.3 2.3 浮点数的表示范围浮点数的表示范围 设：设：N=N=S r j S尾数尾数n+1位位， j阶码阶码m+1位位 0 正数：正数： MAX正 正 =S max正 正 2 j max MIN正 正 =S min正 正 2 j min 负数：负数： MAX负 负 = |S min|负 负 2 j min MIN负 负 = 2 j max |Mi

9、n|负 负= |MAX|负 负 = |S max|负负 MAX正 正 MIN正 正 MAX负 负 MIN负 负 当阶码当阶码最大阶码时，最大阶码时，上溢上溢 绝对值非常小绝对值非常小 按按机器零机器零处理处理 数值过大，无法数值过大，无法 处理，溢出中断处理，溢出中断 下溢下溢上溢上溢上溢上溢 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数浮点数-例题例题 EX1: 设浮点数字长设浮点数字长1616位位，其中，其中阶码阶码5 5位位（含阶符（含阶符1 1位位），），尾数尾数1111位位 （含（含1 1位数符位数符），），将十进制数将十进制数 13 +128表示为表示为浮点数机器码

10、浮点数机器码 浮点数浮点数尾数为原码尾数为原码, ,阶码为补码阶码为补码形式形式 解：解： 转换为二进制形式转换为二进制形式 将尾数和阶码用定点表示将尾数和阶码用定点表示 + 13 128 = 0.0001101 真值规格化表示真值规格化表示 0.0001101 = 0. 1101 2-3 该数为纯小数，但最高数值位该数为纯小数，但最高数值位 1 1 需要需要左规左规 = 0. 1101 2- 011 尾数尾数1111位位尾数尾数原 原= 0. 1101000000 阶码阶码5 5位位阶码阶码补 补= 1, 1101 机器码机器码11101 01101000000 常用定点方式常用定点方式 尾

11、数：原码尾数：原码/补码补码 阶码：补码阶码：补码/移码移码 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数浮点数-例题例题 EX2: 设机器数字长为设机器数字长为 24 24 位位，欲表示，欲表示3 3万万的十进制数，试问在的十进制数，试问在 保证数的最大精度保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取的前提下，除阶符、数符各取1 1位外，阶码、位外，阶码、 尾数各取几位？尾数各取几位？ 分析：分析： 尾数为纯小数尾数为纯小数 浮点数的表示范围由阶码决定浮点数的表示范围由阶码决定 2 215 15=32 =32K K 阶码的阶码的最大值为最大值为+15+15即可即可 阶码最少取阶

12、码最少取4 4位位数值位数值位+1+1位符号位位符号位 机器字长共机器字长共2424位位，除去除去5 5位阶码位阶码 尾数尾数最长为最长为1919位位，含，含1 1位符号位位符号位 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 浮点数浮点数-例题例题 EX3EX3：设浮点数尾数和阶码均用设浮点数尾数和阶码均用原码原码表示，且为表示，且为规格化规格化表示表示 尾数尾数1111位，即位，即1010位位数值位数值位+1+1位符号位位符号位 阶码阶码5 5位，即位，即4 4位位数值位数值位+1+1位符号位位符号位 写出该浮点数的写出该浮点数的表示范围表示范围 分析：分析： 即求最大正数，最小正

13、数，最大负数和最小负数即求最大正数，最小正数，最大负数和最小负数 最大正数最大正数 = 最大正尾数最大正尾数 2 最大阶码 最大阶码 1-2-10 (24-1) 最小正数最小正数 = 最小正尾数最小正尾数 2 最小阶码 最小阶码 2-1 - (24-1) 最大负数最大负数 = 最小最小|负尾数负尾数 | 2 最小阶码 最小阶码 -2-1 - (24-1) 最小负数最小负数 = 最大最大|负尾数负尾数 | 2 最大阶码 最大阶码 -(1-2-10) (24-1) 如果用补码表示呢？如果用补码表示呢？ 0.111 0.100 1.111 1.100 (- ( 2-1+2-10 )补 补=1.011

14、 (- 1)补 补=1.000 (- 2-1 )补 补=1.100 补码尾数规格化标志：符号位与最高数值位相反补码尾数规格化标志：符号位与最高数值位相反 (- 1)补 补 (- ( 2-1+2-10 )补 补 - 24 - 24 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY IEEE 754标准标准 Sf 数符数符 阶码（含阶码（含1位阶符位阶符）尾数尾数 阶码：阶码：+0111偏移量的偏移量的移码移码表示表示 尾数：规格化尾数：规格化原码原码 规格化后，最高有效数值位为规格化后，最高有效数值位为1 1 不表示该位，从不表示该位，从第二位数值位第二位数值位 开始表示开始表示 IEEE标

15、准标准 符号位符号位 阶码阶码 尾数尾数 总位数总位数 短实数短实数 1 8 23 32 长实数长实数 1 11 52 64 临时实数临时实数 1 15 64 80 float double IA32浮点寄存器浮点寄存器 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 机器零机器零 浮点数为零：浮点数为零： 尾数为零尾数为零 阶码下溢阶码下溢 阶码阶码 最小值最小值 机器中的表示机器中的表示 当尾数用当尾数用补码补码表示表示 阶码用阶码用移码移码表示表示 0补 补=0.0000 最小整数值最小整数值= -2-m 最小整数值最小整数值补 补= 1,000 最小整数值最小整数值移 移= 0,

16、000 机器零的表示：机器零的表示： 0,000;0.0000 正好机器零为全零正好机器零为全零 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 6.3 定点运算定点运算 1.1.移位运算移位运算 移位的意义移位的意义 左移左移 - - 每移动一位，将绝对值每移动一位，将绝对值* *基数基数 右移右移 - - 每移动一位，将绝对值每移动一位，将绝对值/ /基数基数 利用移位配合加法，实现乘利用移位配合加法，实现乘/ /除法除法 算术移位与逻辑移位算术移位与逻辑移位 算术移位算术移位 - - 有符号数的移位有符号数的移位 逻辑移位逻辑移位 - - 无符号数的移位无符号数的移位 移位后，保持

17、符号不变移位后，保持符号不变 EX: EX: 机器码机器码 FFHFFH FFHFFH为原码为原码 算术右移算术右移1 1位位1 1，11111111111111 1 1，0 011111111111 1 FFHFFH无符号数无符号数 逻辑右移逻辑右移1 1位位1 1，11111111111111 0 0，1 111111111111 1 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 移位运算移位运算 算术移位规则算术移位规则 移位后应满足：移位后应满足： v符号位不变符号位不变 v绝对值绝对值 左移左移=*基数基数 右移右移=/基数基数 原码原码（数值位（数值位=真值）真值） 符号位

18、不变，数值位补符号位不变，数值位补0 反码反码 正数相同正数相同 负数，负数，数值位相反数值位相反 符号位不变符号位不变 正数数值位补正数数值位补0 负数数值位补负数数值位补1 补码补码 正数相同正数相同 负数，负数，右数第右数第1个零右个零右 边相同，左边相反边相同，左边相反 符号位不变符号位不变 正数数值位补正数数值位补0 负数数值位负数数值位,右移左边补右移左边补1 左移右边补左移右边补0 符号位不变符号位不变 右移补符号位右移补符号位 左移补左移补0 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 移位运算移位运算 算术移位规则算术移位规则 真值真值码码 制制移位规则移位规则 正

19、数正数原、反、补原、反、补符号位不变，数值位补符号位不变，数值位补0 0 负数负数 原码原码符号位不变，数值位补符号位不变，数值位补0 0 补码补码 左移，符号位不变，右边补左移，符号位不变，右边补0 0 右移，符号位不变，左边补右移，符号位不变，左边补 符号位符号位 反码反码符号位不变，数值位补符号位不变，数值位补1 1 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 移位运算移位运算-例题例题 EX:设机器数字长为设机器数字长为 8 位（含一位符号位位（含一位符号位），），写出写出 A = +26时，三种机器数时，三种机器数左、右移一位左、右移一位和和两位后两位后的的表示形表示形 式

20、及对应的真值式及对应的真值，并，并分析结果分析结果的正确性。的正确性。 解：解： A = +26 则则 A原 原 = A补补 = A反反 = 0,0011010 = +11010 + 60,0000110 +130,0001101 +1040,1101000 + 520,0110100 +260,0011010移位前移位前 A原 原=A补补=A反反 对应的真值对应的真值 机机 器器 数数 移位操作移位操作 1 2 1 2 右移造成精度丢失右移造成精度丢失 0, 1010000+80 3 左移造成结果错误左移造成结果错误 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 移位运算移位运算 E

21、X:EX:设机器数字长为设机器数字长为8 8位（含位（含1 1位符号位位符号位） X反 反=1.0101111 X原 原=0.0011010 X补 补=1.1010100 算术左移一位算术左移一位 X原 原=0.00110100 X补 补=1.10101000 X反 反=1.01011111 算术右移一位算术右移一位 X原 原=0. 00011010 X补 补=1.11010100 X反 反=1.10101111 算术右移两位算术右移两位 X原 原=0. 000011010 X补 补=1.111010100 X反 反=1.110101111 左移移出有效左移移出有效 位，出错位，出错 右移移出

22、有效位，精度降低右移移出有效位，精度降低 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 8086移位指令移位指令 移位指令，移位指令，4 4组，组，8 8条移位指令条移位指令 逻辑移位逻辑移位算术移位算术移位 SHSHR R SHSHL L SASAR R SASAL L 带进位的循环移位带进位的循环移位 RCRCR R RCRCL L 循环移位循环移位 ROROR R ROROL L CFCF SARSAR CFCF SHRSHR 0 0 CFCF SALSAL 0 0 SHLSHL CFCF RORROR CFCF ROLROL CFCF RCRRCR CFCF RCLRCL 鲁东

23、大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法 2.2.定点加减法定点加减法 加减法加减法补码运算补码运算 加法运算加法运算 A+B补 补 = A补补+B补补（ （MOD 2n+1） A+B补 补 = A补补+B补补（ （MOD 2） 减法运算减法运算 A-B = A+(-B) A-B补 补 = A补补+-B补补（ （MOD 2n+1） A-B补 补 = A补补+-B补补（ （MOD 2） 减法是通过减法是通过实现的实现的 Example 只取低只取低n+1位，位， 高位丢失高位丢失 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法-溢出判断溢

24、出判断 溢出溢出- -运算结果的长度运算结果的长度超出机器字长超出机器字长 判断判断与与的关系的关系 可能溢出？可能溢出？ 溢出表现溢出表现 正正数数+ +正正数数 （正正数数- -负数负数） 可能可能结果为结果为负负数数 正数正数+ +负数负数 （正数（正数- -正数正数） 不可能不可能 负负数数+ +负负数数 （负负数数- -正数）正数） 可能可能结果为结果为正正数数 负数负数+ +正数正数 （负数（负数- -正数）正数） 不可能不可能 同号相加同号相加 （异号相减）（异号相减） 结果的符号位与原操作结果的符号位与原操作 数不同，则发生溢出数不同，则发生溢出 鲁东大学鲁东大学 LUDONG

25、 UNIVERSITY 定点加减法定点加减法-溢出判断溢出判断 0, X1 X2 X3 X4 0, Y1 Y2 Y3 Y4 + 1, Z1 Z2 Z3 Z4 溢出表现：溢出表现： 最高数值位产生进位最高数值位产生进位1 10 v正数正数+正数正数 （正数正数-负数负数） 正数正数-符号位进位符号位进位0 v负数负数+负数负数 （负数负数-正数正数） 1, X1 X2 X3 X4 1, Y1 Y2 Y3 Y4 + 0, Z1 Z2 Z3 Z4 01 溢出表现：溢出表现： 最高数值位产生进位最高数值位产生进位0 负数负数-符号位进位符号位进位1 发生溢出时发生溢出时-符号位进位与最高数值位进位相反

26、符号位进位与最高数值位进位相反 机器中的实现方法机器中的实现方法 设：设： 最高数值位进位最高数值位进位C1 符号位进位符号位进位C0 溢出标志溢出标志OV OV=C0 C1 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法-溢出判断溢出判断 双符号位判溢出双符号位判溢出 0 0, X1 X2 X3 X4 0 0, Y1 Y2 Y3 Y4 + 0 1, Z1 Z2 Z3 Z4 10 v正数正数+正数正数 （正数正数-负数负数） v负数负数+负数负数 （负数负数-正数正数） 1 1, X1 X2 X3 X4 1 1, Y1 Y2 Y3 Y4 + 1 0, Z1 Z2 Z

27、3 Z4 01 双符号位双符号位-保存最高数值位和符号位的进位保存最高数值位和符号位的进位 结果双符号位不同时，溢出结果双符号位不同时，溢出 原操作数补码的两个符号位相同原操作数补码的两个符号位相同 高符号位代表真实符号高符号位代表真实符号 双符号位补码也叫做变形码双符号位补码也叫做变形码 Example 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法 EXEX：已知已知 A = 0.1011,B = -0.0101A = 0.1011,B = -0.0101，求求 A+BA+B补 补 解：解： 写出运算数的补码形式写出运算数的补码形式 作补码加法作补码加法 A =

28、 0.1011A = 0.1011AA补 补 = 0.1011 = 0.1011 B = -0.0101B = -0.0101BB补 补 = 1.1011 = 1.1011 A+BA+B补 补 = = AA补 补+ +BB补 补 0.10110.1011 1.10111.1011 + 10.011010.0110 A+BA+B补 补 = 0.0110 = 0.0110 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法 EXEX：设机器字长设机器字长8 8位，已知位，已知 A = +15,B = +24A = +15,B = +24，求求 A-BA-B补 补 解：解：

29、写出运算数的补码形式写出运算数的补码形式 作补码加法作补码加法 A = +15 = +1111A = +15 = +1111AA补 补 = 0,0001111 = 0,0001111 B = +24 = +11000B = +24 = +11000BB补 补 = 0,0011000 = 0,0011000 A-BA-B补 补 = = AA补 补+- +-BB补 补 0,00011110,0001111 1,11010001,1101000 + 1,11101111,1110111 A-BA-B补 补 = 1 = 1，11101111110111 求求-BB补 补 = 1,1101000 = 1

30、,1101000 即即 -9 -9 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法 EXEX：已知机器字长已知机器字长8 8位，位，A = -93,B = +45A = -93,B = +45，求求 A-BA-B补 补 解：解： 写出运算数的补码形式写出运算数的补码形式 作补码加法作补码加法 A = -93 = -1011101A = -93 = -1011101AA补 补 = 1,0100011 = 1,0100011 B = +45 = +101101B = +45 = +101101BB补 补 = 0,0101101 = 0,0101101 A-BA-B补 补

31、 = = AA补 补+- +-BB补 补 1,01000111,0100011 1,10100111,1010011 + 10,111011010,1110110 A-BA-B补 补 = 0 = 0，11101101110110 求求-BB补 补 = 1,1010011 = 1,1010011 即即 +118 +118 A A B B = -93-45= -93-45 = -138= -138 8位补码表示范围位补码表示范围 -2727-1，即即-128127 超出表示范围超出表示范围 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法 EXEX：设设X = -X =

32、- 16 11 Y = -Y = - 16 7 用变形码计算用变形码计算X+YX+Y 解：解： 写出运算数的补码形式写出运算数的补码形式 作补码加法作补码加法 溢出判断溢出判断 X = -0.1011X = -0.1011XX补 补 = 1.0101 = 1.0101 Y = -0.0111Y = -0.0111YY补 补 = 1.1001 = 1.1001 1 11 1. .01010101 1 11 1. .10011001 + 1010. .11101110 结果的双符号位不同，所以溢出结果的双符号位不同，所以溢出 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减

33、法-硬件配置硬件配置 (III) (III) 补码定点加减法的硬件配置补码定点加减法的硬件配置 累加器累加器A(n+1位位)寄存器寄存器X（n+1位）位） 溢出溢出 判断判断 OV 求补求补 控制逻辑控制逻辑 加法器加法器 （n+2位）位）双符号位双符号位 n+1位位寄存器寄存器 存放运算数存放运算数补码补码 控制控制 X 送加法器送加法器 同时，加法器同时，加法器末位进末位进 位为位为1 Gs 减法减法Flag GA 加法加法Flag 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点加减法定点加减法-控制流程控制流程 被加（减）数被加（减）数A； 加（减）数加（减）数X GA=1,

34、加法加法 跳至第三步跳至第三步 Gs=1,减法减法 求补逻辑有效，求补求补逻辑有效，求补 累加器累加器A寄存器寄存器X 溢出溢出 判断判断 OV 求补控求补控 制逻辑制逻辑 加法器加法器 （n+2位）位）双符号位双符号位 GsGA 寄存器送加法器寄存器送加法器 (A)+(X)-(A)(mod 2n+1) 判溢出判溢出 设置标记位设置标记位OV 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 3.3.定点乘法定点乘法 笔算乘法的过程笔算乘法的过程I A=0.1101 B=0.1011，求求A B 0.1101 0.1011 1101 1101 0000 11

35、01 100011110. 左移左移被乘数被乘数 累加累加 问题问题1：累加无法一次完成累加无法一次完成 问题问题2：左移需要左移需要两倍长度两倍长度的积寄存器的积寄存器 笔算乘法的过程笔算乘法的过程II A B=A 0.1011 =A 0.1+ A 0.00 +A 0.001+ A 0.0001 =A 0.1 +A 0.001+ A 0.0001 = A 0.1 +A 0.1 0. 01+ A 0.1 0.001 = 0.1 (A +0.1(0 A+ 0. 1(A+ 0. 1 ( A+0) ) 0.1 :将累加和右移将累加和右移 A:当前乘数位当前乘数位*A (A+:将将A加到累加和上加到累

36、加和上 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 右移右移1位位 定点运算定点运算-乘除法乘除法 A B = 0.1 (A +0.1(0 A+ 0. 1(A+ 0. 1 ( A+0) ) A*B最低位最低位+0（部分积）（部分积） 0.1101+0=0.1101 =0.01101 当前部分积当前部分积+A*B次低位次低位 0.01101+0.1101=1.00111 右移右移1位位=0.100111 当前部分积当前部分积+A*B第第2位位 0.100111 +0= 0.100111 右移右移1位位=0.0100111 当前部分积当前部分积+A*B第第1位位 0.0100111 +

37、0.1101= 1.0001111 右移右移1位位=0.10001111 n位乘法，位乘法，n次次加法和右移实现加法和右移实现 加法加法=部分积部分积高位高位+乘数当前乘数当前 位位*被乘数被乘数 部分积和乘数一起部分积和乘数一起右移右移 积积=部分积和乘数寄存器部分积和乘数寄存器 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 I. 原码乘法原码乘法 运算规则运算规则 原码一位乘硬件配置原码一位乘硬件配置 原码一位乘控制流程原码一位乘控制流程 原码两位乘原码两位乘 运算规则运算规则 原码表示原码表示 接近真值接近真值 原码乘法规则如下原码乘法规则如下 X

38、原 原=x0 . x1 x2 x3 xn Y原 原=y0 . y1 y2 y3 yn X原 原 Y原原 = x0 y0 .(0. x1 x2 xn 0. y1 y2 yn) x0 y0：乘积的符号位独立运算乘积的符号位独立运算 由运算数的符号位异或得到由运算数的符号位异或得到 x* y* ：乘积的数值位部分乘积的数值位部分 由运算数的绝对值相乘得到由运算数的绝对值相乘得到 x* y* Example 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 I. 原码乘法原码乘法 运算规则运算规则 原码一位乘硬件配置原码一位乘硬件配置 原码一位乘控制流程原码一位乘控

39、制流程 原码两位乘原码两位乘 原码一位乘硬件配置原码一位乘硬件配置 加法器加法器 （n+1位）位） A 部分积部分积 X 被乘数被乘数 控制门控制门 加加 右移右移 FQ 乘数乘数 n S 计数器 加/移位次数 Q0 0 求乘积的数值部分求乘积的数值部分 C0 Qn=1 YN AA+X A、Q联合右移联合右移 C C-1 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 I. 原码乘法原码乘法 运算规则运算规则 原码一位乘硬件配置原码一位乘硬件配置 原码一位乘控制流程原码一位乘控制流程 原码两位乘原码两位乘原码两位乘原码两位乘 提高运算速度，每次考虑提高运算

40、速度，每次考虑yn-1 yn两位两位 yn-1 yn 00部分积不加部分积不加 01部分积部分积+x 10部分积部分积+2x 11部分积部分积+3x 部分积右移部分积右移2位位 乘数右移乘数右移2位位 通过通过+4X-X实现实现 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点乘除法定点乘除法-原码乘法原码乘法 x* y* = x* 0. y1 y2 yn 被乘数和乘数的绝对值相乘被乘数和乘数的绝对值相乘 = x* (y1 2-1+ y2 2-2 + yn 2-n) = 2-1 (y1 x* + 2-1 (y2 x* + 2-1 ( 2-1 (yn x*+0 ) z0 Zi为第为第i

41、次运算的部分积次运算的部分积 z1 zn-1 zn z0 =0; z1 = 2-1 (yn x*+ z0 ) zi = 2-1 (yn-i+1 x*+ zi -1) zn = 2-1 (y1 x*+ zn -1) 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点乘除法定点乘除法-原码乘法原码乘法 EX: 已知已知 X = -0.1110, Y = -0.1101 求求 XY原 原 解：解： 求原码求原码 求积的数值部分求积的数值部分 求积的符号位求积的符号位 X原 原 = 1.1110 Y原 原 = 1.1101 X原 原 数值部分 数值部分0.1110 Y原 原 数值部分 数值部分

42、0. 1101 积的积的 数值部分数值部分 =0.1011 0110 积的积的 符号位符号位 =x0 y0=0 XY原 原= 0.1011 0110 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 部分积部分积乘数乘数说明说明 ;起始状态，部分积为起始状态，部分积为011010.0000 ;yi为为1,部分积部分积加被乘数加被乘数 + 0.1110 0.1110;部分积和乘数一起部分积和乘数一起右移右移 0.01110110 ; yi为为0,部分积部分积加加0 + 0.0000 0.0111; 右移右移 0.00111011; yi为为1,部分积部分积加被乘数加被乘数 + 0.1110

43、1.0001; 右移右移 0.10001101; yi为为1,部分积部分积加被乘数加被乘数 + 0.1110 1.0110; 右移右移 0.10110110 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 II. 补码乘法补码乘法 校正法校正法 Booth算法硬件配置算法硬件配置 Booth算法控制流程算法控制流程 校正法校正法 Booth算法算法 X补 补=x0 . x1 x2 x3 xn Y补 补=y0 . y1 y2 y3 yn 情况情况1：若：若y（乘数乘数）为正数为正数 X X 补 补和 和 Y Y 补 补按照原码规则乘 按照原码规则乘 情况情况

44、2：若：若y（乘数乘数）为负数为负数 X X 补 补和 和 Y Y 补 补的数值位 的数值位 按原码规则乘按原码规则乘 乘积乘积+-+-xx补补进行校正进行校正 Example 注意！注意！补码运算均补码运算均带符号运算带符号运算 符号通过运算直接得到符号通过运算直接得到 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 II. 补码乘法补码乘法 校正法校正法 Booth算法硬件配置算法硬件配置 Booth算法控制流程算法控制流程 Booth算法算法 X补 补=x0 . x1 x2 x3 xn Y补 补=y0 . y1 y2 y3 yn XY补 补 =X补

45、补(0. y1 y2 y3 yn)+ y0 -X补补 Booth算法的推导过程算法的推导过程 Booth算法算法 初始：部分积初始：部分积=0，补，补yn+1=0； 过程：新部分积过程：新部分积 = 部分积部分积+（yi+1-yi） X补 补; 部分积与乘数一起右移；部分积与乘数一起右移； 注意：最后一次加法后，不移位；注意：最后一次加法后，不移位； Example 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 II. 补码乘法补码乘法 校正法校正法 Booth算法硬件配置算法硬件配置 Booth算法控制流程算法控制流程 Booth算法算法 Booth算

46、法硬件配置算法硬件配置 初始：部分积初始：部分积=0，补，补yn+1=0； 过程：新部分积过程：新部分积 = 部分积部分积+（yi+1-yi） X补 补; 部分积与乘数一起右移；部分积与乘数一起右移； 注意：最后一次加法后，不移位；注意：最后一次加法后，不移位； 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-乘除法乘除法 II. 补码乘法补码乘法 校正法校正法 Booth算法硬件配置算法硬件配置 Booth算法控制流程算法控制流程 Booth算法算法 Booth算法控制流程算法控制流程 0A，被乘数被乘数X 乘数乘数Q，0Qn+1 nC Qn+1Q n 10 A+XA

47、A+(-X)A A、Q一起右移一位一起右移一位 00 11 C-1C 01 C=0？ N Y Qn+1Q n 10 A+XAA+(-X)A 01 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点乘法定点乘法-补码校正法补码校正法 EX: 已知已知 X = -0.1110, Y = -0.1101 求求 XY补 补 解：解： 求补码求补码 求校正前的积求校正前的积 校正校正 X补 补 = 1.0010 Y补 补 = 1.0011 X补 补 1.0010 Y补补 数值部分 数值部分0011 +-X补 补 =1.1101 0110+0.1110=0.1011 0110 XY补 补= 0.1

48、011 0110 Y乘数为负数，需要校正乘数为负数，需要校正 -X补 补 = 0.1110 校正前校正前 积积=1.1101 0110 乘积符号直接求出乘积符号直接求出 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 部分积部分积乘数乘数说明说明 ;起始状态，部分积为起始状态，部分积为0001100.0000 ;yi为为1,部分积部分积加被乘数加被乘数 + 11.0010 11.0010;部分积和乘数一起部分积和乘数一起右移右移 11.10010001 ; yi为为1,部分积部分积加被乘数加被乘数 + 11.0010 10.1011; 右移右移 11.01011000; yi为为0,部分

49、积部分积加加0 + 00.0000 11.0101; 右移右移 11.10101100; yi为为0,部分积部分积加加0 + 00.0000 11.1010; 右移右移 11.11010110 注意！注意！补码带符号运算，所以部分积补码带符号运算，所以部分积双符号位双符号位 高位符号位为真实符号高位符号位为真实符号 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-补码补码Booth算法算法 Booth算法的推导算法的推导 = X补 补(0. y1 y2 y3 yn) - y0 X补补 = X补 补(0. y1 y2 y3 yn - y0 ) = X补 补(- y0 +

50、0. y1 y2 y3 yn) y1 2-1 + y2 2-2 + yn 2-n) =X补 补(- y0 + (y1 - y1 2-1 ) + ( y2 2-1 - y2 2-2 ) + + (yn 2-(n-1) - yn 2-n ) ) =X补 补 (y1 - y0 ) + 2-1 (y2 - y1) + 2-2 (y3 - y2)+ + 2-n-1 (yn yn-1) + 2-n (0 - yn) 由由 XY补 补 = X补补(0. y1 y2 y3 yn)+ y0 -X补补 令：令：yn+1=0 XY补 补 = X补补 (y1 - y0 ) + 2-1 (y2 - y1) + 2-2

51、(y3 - y2)+ + 2-n (yn+1 - yn) 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 初始状态：初始状态： 定点运算定点运算-补码补码Booth算法算法 XY补 补 = X补补 (y1 - y0 ) + 2-1 (y2 - y1) + + 2-n (yn+1 - yn) Booth算法规则算法规则 Z0补 补 = 0 Z1补 补 = Z0补 补 + (yn+1 - yn) X补 补 令：令：yn+1 =0；（）2-1 Z2补 补 = Z1补 补 + (yn- yn-1) X补 补 （）2-1 Zn补 补 = Zn-1补 补+ (y2- y1) X补补 （）2-1 由乘

52、数末位由乘数末位(yi+1-yi)决定决定 部分积加上的内容；部分积加上的内容； 新的部分积与乘数一起新的部分积与乘数一起 右移；继续上一步右移；继续上一步 XY补 补 = Zn补补+ (y1 - y0 ) X补补 最后一次加后，最后一次加后，不移位不移位 对于对于n位位数值位，数值位，1位符号位的补码位符号位的补码Booth乘法乘法 共进行共进行n+1次次的的加加法和法和n次次的的移移位位 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点乘法定点乘法-补码补码Booth算法算法 EX: 已知已知 X = -0.1110, Y = -0.1101 求求 XY补 补 解：解： 求补码求

53、补码 用用BoothBooth算法求积算法求积 X补 补 = 1.0010 Y补 补 = 1.0011 X补 补 1.0010 Y补补1. 0011 XY补 补= 0.1011 0110 加（加（Yi+1-Yi）X补补 -X补 补 = 0.1110 带符号运算带符号运算 乘数末位补乘数末位补0 Yi+1Yi 为为00，01，10，11 （Yi+1-Yi）为为 0，-1，1，0 相应相应 加加 0,-X补 补 , X补补 ,0 X补 补 1.0010 Y补补1. 00110 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 部分积部分积乘数乘数说明说明 ;起始状态，部分积为起始状态，部分积为

54、010011000.0000 ;yi+1 yi为为01,部分积部分积加加-x补 补 + 00.1110 00.1110;部分积和乘数一起部分积和乘数一起右移右移 00.0111010011 ; yi+1 yi为为11,部分积部分积加加0 + 00.0000 00.0111; 右移右移 00.0011101001; yi+1 yi为为10,部分积部分积加加x补 补 + 11.0010 11.0101; 右移右移 11.1010110100; yi+1 yi为为00,部分积部分积加加0 + 00.0000 11.1010; 右移右移 11.1101011010 注意！注意！补码带符号运算，所以部分

55、积补码带符号运算，所以部分积双符号位双符号位 高位符号位为真实符号高位符号位为真实符号 ; yi+1 yi为为01,部分积部分积加加-x补 补 +00.1110 00.1011 011010 ; 最后一次不移位最后一次不移位 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点乘法定点乘法-Booth算法硬件配置算法硬件配置 加法器加法器 A 部分积部分积 X 被乘数被乘数 控制门控制门 加加 右移右移 FQ 乘数乘数 n 原码一位乘硬件框图 补码补码Booth算法算法 与原码乘法的不同：与原码乘法的不同： 原码不带符号运算原码不带符号运算 补码带符号运算补码带符号运算 n +1位位n

56、+1位位 n +2位位 n+2位位 原码只有加原码只有加X或加或加0 两种情况两种情况 补码根据补码根据yn+1yn的的 值有加值有加X,加加-X和加和加0 三种情况三种情况 n n+1 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点运算定点运算-除法除法 4.4.定点除法定点除法 笔算除法的过程笔算除法的过程 x=-0.1011 y= 0.1101，求求 x / y 0.10110.11010 0.01101 0.010010 0.001101 0.00010100 0.00001101 0.00000111 0.1101 y 右移右移 y 右移右移 y 右移右移 减法减法 减法

57、减法 减法减法 问题问题1：怎样确定能否上商？怎样确定能否上商？ 问题问题2：右移除数作减法，加法器需要右移除数作减法，加法器需要 两倍运算数长度两倍运算数长度 问题问题3：上商怎样能上到相应位？上商怎样能上到相应位？ 通过减法，判断是否能上商通过减法，判断是否能上商 通过左移被除数代替右移除数通过左移被除数代替右移除数 上到商的最低位，商寄存器左移，保证从高到低上商上到商的最低位，商寄存器左移，保证从高到低上商 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点除法-原码除法 I. 原码除法原码除法 设设X原 原 = x0.x1 x2 x3 xn Y原 原 = y0.y1 y2 y3

58、 yn X/Y原 原 =( x0 y0)( X* / Y*) 商符单独求商符单独求 = x0 y0 商值商值 = X 绝对值绝对值 / Y 绝对值绝对值 注意！注意！ 为防止溢出，要求：为防止溢出，要求： |被除数被除数|0, 上商上商1 左移余数后，减除数左移余数后，减除数 情况情况2： 当余数当余数Ri0时，上商时，上商1 左移后，左移后，减除数减除数，判断上商，判断上商 当当余数余数 0时，上商时，上商0 左移后，左移后，加除数加除数，判断上商，判断上商 故：又称故：又称 商符号单独求商符号单独求 Example 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 定点除法定点除法-原

59、码除法原码除法 不恢复余数法硬件配置不恢复余数法硬件配置 加法器加法器 1 初始，部分余数初始，部分余数=被除数，商被除数，商=00.00000.1011 ;+-y*补 补 + 1.0011 1.1110 0.1011 1.0110 ; 部分余数和商部分余数和商 联合左移联合左移 + 1.0011 0.0001 ; +-y*补 补 0.1001 1.0010; 左移左移 + 1.0011; +-y*补 补 0.0101 0.10100.0110 0.0000 ; 结果为结果为正数，上商正数，上商1 0.0010 ;结果为结果为正数，上商正数，上商1 0.0000 + 0.1101 0.0011

60、 ; 左移左移 ;结果为结果为负数，上商负数，上商0 ;恢复余数恢复余数 定点除法定点除法-原码恢复余数法原码恢复余数法 鲁东大学鲁东大学 LUDONG UNIVERSITY 部分余数部分余数商商说明说明 0.01100.1010;+-y*补 补 + 1.0011 1.1101;X*-Y* 结果为结果为负数，上商负数，上商0 + 0.1101 0.0110 ;恢复余数，恢复余数，+y*补补 0.1010 1.0100 ; 部分余数和商部分余数和商 联合左移联合左移 + 1.0011 0.1101 ; +-y*补 补 0.0111 0.1100 结果为结果为正数，上商正数，上商1 共上商共上商5