理论力学 第五章 摩擦(Y)

1、一、滑动摩擦一、滑动摩擦 二、摩擦角和自锁现象二、摩擦角和自锁现象 三、滚动摩阻（擦）的概念三、滚动摩阻（擦）的概念 四、考虑滑动摩擦时物体的平衡问题四、考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 工程问题中一般都存在摩擦，但对于有些问题接触面比工程问题中一般都存在摩擦，但对于有些问题接触面比 较光滑或有较好的润滑条件时，摩擦力比较小，因而摩擦力较光滑或有较好的润滑条件时，摩擦力比较小，因而摩擦力 不起主要作用，可忽略摩擦的影响。这样不做但不会影响问题不起主要作用，可忽略摩擦的影响。这样不做但不会影响问题 的本质，而且可使问题简化。的本质，而且可使问题简化。 摩擦的存在既有利也有弊：摩擦的存在既有利也有弊：

2、 利利用于机械传动、启动和制动。用于机械传动、启动和制动。 弊弊消耗能量，磨损机器，降低精度和机械效率。消耗能量，磨损机器，降低精度和机械效率。 摩擦摩擦 滑动摩擦滑动摩擦 滚动摩擦滚动摩擦 静滑动摩擦静滑动摩擦 动滑动摩擦动滑动摩擦 静滚动摩擦静滚动摩擦 动滚动摩擦动滚动摩擦 摩擦摩擦 干摩擦干摩擦 湿摩擦湿摩擦 摩擦的分类：摩擦的分类： 仅有相对运动趋势仅有相对运动趋势 已有相对运动已有相对运动 由于接触表面之间没有液体时产生的摩擦。由于接触表面之间没有液体时产生的摩擦。 由于物体接触面之间有液体。由于物体接触面之间有液体。 一、滑动摩擦一、滑动摩擦 P FN 静滑动摩擦力静滑动摩擦力 两

3、个相互接触的物体，若有相对滑动趋势两个相互接触的物体，若有相对滑动趋势 时，在接触面间产生彼此阻碍运动的力。时，在接触面间产生彼此阻碍运动的力。 研究滑动摩擦规律的实验：研究滑动摩擦规律的实验： 1 1、静滑动摩擦力、静滑动摩擦力 静滑动摩擦力静滑动摩擦力静摩擦力静摩擦力 0XFFFF ss 0 PFY N 0 静滑动摩擦力的特点：静滑动摩擦力的特点： （2 2）静摩擦力的静摩擦力的方向：方向：沿接触处的公切线，沿接触处的公切线，与相对与相对 滑动趋势反向；滑动趋势反向； （1 1）静摩擦力的大小：）静摩擦力的大小： 物体平衡物体平衡满足平衡条件满足平衡条件 （1 1）大小：）大小：物体处于临

4、界平衡状态物体处于临界平衡状态 N FfF ss max, 2 2、最大静滑动摩擦、最大静滑动摩擦 最大静滑动摩擦的特点：最大静滑动摩擦的特点： 最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力两个相互接触的物体，处于将要滑动两个相互接触的物体，处于将要滑动 而尚未滑动的临界状态时，在接触面而尚未滑动的临界状态时，在接触面 间产生彼此阻碍运动的力。间产生彼此阻碍运动的力。 最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力最大静摩擦力最大静摩擦力 满足平衡条件满足平衡条件 0X PFY N 0 FFFF ss max,max, 0 （库仑摩擦定律）（库仑摩擦定律） （2 2）最大）最大静摩擦力的静摩擦力的方向：方向：沿接触处的

5、公切线，沿接触处的公切线，与相对与相对 滑动趋势反向；滑动趋势反向； N FfF ss max, s f 静滑动摩擦系数静滑动摩擦系数静摩擦系数静摩擦系数 与两接触物体表面情况（粗糙度，干湿度，温度等）与两接触物体表面情况（粗糙度，干湿度，温度等） 和材料有关，与两物体接触面的面积无关。和材料有关，与两物体接触面的面积无关。 的大小由实验测出的大小由实验测出, ,一一 般材料的般材料的 值可由工程值可由工程 手册直接查出手册直接查出表表4 41 1 s f s f 3 3、动滑动摩擦、动滑动摩擦 动滑动摩擦力的特点：动滑动摩擦力的特点： 动滑动摩擦力动滑动摩擦力两个相互接触的物体，若有相对滑动

6、时，两个相互接触的物体，若有相对滑动时， 在接触面间产生彼此阻碍运动的力。在接触面间产生彼此阻碍运动的力。 （1 1）方向：）方向：沿接触处的公切线，沿接触处的公切线， 与相对滑动的方向相反；与相对滑动的方向相反； （2 2）大小）大小： N FfF dd 动动摩摩擦擦系系数数 d f 动动摩摩擦擦系系数数 d f 除了与两接触物体表面情况和材料有关，还与物体间除了与两接触物体表面情况和材料有关，还与物体间 相对滑动的速度有关。相对滑动的速度有关。 sd ff 通常情况下通常情况下多数材料多数材料 N FfF dd N FfF ss max, 二、摩擦角和自锁现象二、摩擦角和自锁现象 1 1、

7、摩擦、摩擦角角 物体的法向约束反力（正压力）和切向约束力（静物体的法向约束反力（正压力）和切向约束力（静 摩擦力）的合力摩擦力）的合力全约束反力全约束反力 NSR FFF 静滑动摩擦系数的几何意义静滑动摩擦系数的几何意义 摩擦角摩擦角 max, 0 ss FF max, ss FF 摩擦角摩擦角 f f 0 临界平衡状态临界平衡状态 平衡平衡 f 物体处于临界平衡状态时全反力与物体处于临界平衡状态时全反力与 法线之间的夹角。法线之间的夹角。 s N Ns N s f f F Ff F F max, tan 摩擦角摩擦角的正切等于静滑动摩擦系数的正切等于静滑动摩擦系数几何意义。几何意义。 当物体

8、平衡时（包括平衡的临界状态）当物体平衡时（包括平衡的临界状态） 全约束反力的作用线一定在摩擦角之内全约束反力的作用线一定在摩擦角之内 max, 0 ss FF f 0 当物体滑动趋势的方向改变时，全约束反力作用线的当物体滑动趋势的方向改变时，全约束反力作用线的 方位也在改变，全约束反力的作用线将画出一个以接方位也在改变，全约束反力的作用线将画出一个以接 触点触点A为顶点的锥面为顶点的锥面摩擦锥摩擦锥 当物体平衡时（包括平衡的临界状态）当物体平衡时（包括平衡的临界状态） （1 1）约束反力）约束反力全约束反力的作用线一定在摩擦角之内。全约束反力的作用线一定在摩擦角之内。 2 2、自锁现象、自锁现

9、象 max, 0 ss FF f 0 物体处于平衡状态时全反力与法线之间的夹角。物体处于平衡状态时全反力与法线之间的夹角。 PFR 由二力平衡公理：由二力平衡公理：RFR 物体处于平衡状态时物体处于平衡状态时主动力的合力主动力的合力与法线之间的夹角。与法线之间的夹角。 （2 2）主动力的合力）主动力的合力 等值、反向、共线等值、反向、共线 当物体平衡时（包括平衡的临界状态），应满足：当物体平衡时（包括平衡的临界状态），应满足： f 0 f 0 自锁现象自锁现象作用于物体上全部主动力合力的作用线在作用于物体上全部主动力合力的作用线在 摩擦角之内，则物体必保持平衡。摩擦角之内，则物体必保持平衡。

10、(1)(1)如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩 擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持平衡。擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持平衡。 自锁现象自锁现象利用摩擦角判断物体是否平衡利用摩擦角判断物体是否平衡 (2)(2)如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩 擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。 f A R FR f A R FR 3 3、测定摩擦系数的一种简易方法、测定摩擦系数的一种简易方法 （1 1）把要测定的两种材料分别做成斜

11、面和物块，并把）把要测定的两种材料分别做成斜面和物块，并把 物快放在斜面上。物快放在斜面上。 （2 2）逐渐增加斜面的倾角）逐渐增加斜面的倾角，直到物体刚要下滑为止，直到物体刚要下滑为止， 记录斜面的倾角记录斜面的倾角 ，此时，此时 f sf ftantan 证明证明：（1 1）主动力只有自重）主动力只有自重P ； （2 2）全反力）全反力FR ； （3 3）当物体平衡时，当物体平衡时，P与与FR 必等值、反力、共线。必等值、反力、共线。 s F maxs F , 斜面自锁条件斜面自锁条件 f 螺纹自锁条件螺纹自锁条件 f 人们常利用自锁原理设计一些机械，螺旋千斤顶就是人们常利用自锁原理设计一

12、些机械，螺旋千斤顶就是 其中一例。为了举起重物设计时必须保证千斤顶的螺其中一例。为了举起重物设计时必须保证千斤顶的螺 杆不会自行下落。杆不会自行下落。 已知：已知：均质长板均质长板AD重重P，长，长l=4m，用一短板，用一短板BC支撑，支撑，BC板板 的的自重不计。若自重不计。若AC=BC=AB=a=3m。 求求: : A、B、C 处摩擦角各为多大才能使之保持平衡。处摩擦角各为多大才能使之保持平衡。 对于对于BD杆：二力杆杆：二力杆 CB RR 0 30 C 0 30 BC 对于对于AD杆：杆： 00 30cos60cos 2 0aR l PM CA 33 2P RC 33 030sin0 0

13、 P F RFX A CA PF PRFY NA CNA 3 2 030cos0 0 616 2887. 0 32 1 3 2 33 tan o A NA A A P P F F 33 2P RC A 静滚动摩阻（擦）静滚动摩阻（擦） 三、滚动摩阻（擦）的概念三、滚动摩阻（擦）的概念 圆轮平衡圆轮平衡 圆轮不平衡圆轮不平衡力偶力偶 0 X0 s FF 0 A M 0FRM max, 0 ss FF max 0MM N FfF ss max, N FM max 最大滚动摩阻（擦）力偶最大滚动摩阻（擦）力偶 PFY N 0平衡状态平衡状态 平衡的临界状态平衡的临界状态 滚动摩阻（擦）系数，长度量纲

14、滚动摩阻（擦）系数，长度量纲 的物理意义的物理意义 N FM max N dFM max R hFM max d cos h N F M d max cos RN FF N F h M cos max 圆轮滚动比滑动省力的原因圆轮滚动比滑动省力的原因 处于临界滚动状态，处于临界滚动状态，轮心拉力为轮心拉力为 1 F 处于临界滑动状态，处于临界滑动状态，轮心拉力为轮心拉力为 2 F N F R F 1 RFFM 1max N 2max FFfF s NN FfF s 2 一般情况下，一般情况下， s f R 或或s f R 则则 21 FF 或或 21 FF 一般情况下，滚动摩阻（擦）系数较小可

15、以忽略不计一般情况下，滚动摩阻（擦）系数较小可以忽略不计 s f 2 2、严格区分物体处于平衡状态；平衡的临界状态和滑、严格区分物体处于平衡状态；平衡的临界状态和滑 动状态动状态； 3 3、因、因 ，问题的解有时在一个范围内。，问题的解有时在一个范围内。 max FFs0 1 1、画受力图时，必须考虑摩擦力，、画受力图时，必须考虑摩擦力，摩擦力的方向与相对摩擦力的方向与相对 滑动或有相对滑动趋势的方向相反滑动或有相对滑动趋势的方向相反； 四、考虑滑动摩擦时物体的平衡问题四、考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 平衡状态平衡状态 摩擦力的大小满足平衡方程式。摩擦力的大小满足平衡方程式。 平衡的临界状态平

16、衡的临界状态满足平衡方程式。满足平衡方程式。 滑动状态滑动状态 N FfF ss max, N FfF dd 求：求：物块是否静止，摩擦力的大小和方向物块是否静止，摩擦力的大小和方向 030sin30cos0 S FPFX oo 030cos30sin0 N FPFY oo 解：解：取物块为研究对象，设物块平衡取物块为研究对象，设物块平衡 已知：已知： ,1500NP ,2 . 0 s f,18. 0 d f NF400 NFS6 .403 ( (向上向上) )NFN1499 NFN1499 物块处于非静止状态物块处于非静止状态 NFfF Ndd 8 .269 （向上）（向上） NFfF Ns

17、S 8 .29914992 .0 max, NFS6 .403 ( (向上向上) ) max,SS FF 解：解：（1 1）若物块有上滑趋势时，）若物块有上滑趋势时，推力为推力为 max FF 已知：已知：。 s fP,30, 0 求：求：使物块静止，使物块静止，水平推力水平推力 的大小。的大小。 F 画物块受力图画物块受力图 0sincos0 max S FPFX 0cossin0 max N FPFY N FfF sS P f f F s s sincos cossin max （2 2）若物块有下滑趋势时，）若物块有下滑趋势时， 推力为：推力为： min FF 画物块受力图画物块受力图

18、P f f F s s sincos cossin min NsS FfF 0sincos0 min S FPFX 0cossin0 min N FPFY 物块静止物块静止 P f f FP f f s s s s sincos cossin sincos cossin , s f 已知：已知：物块重物块重P，鼓轮重心位于，鼓轮重心位于O处，闸杆重量不计，处，闸杆重量不计， 制动块与鼓轮表面之间的静摩擦系数为制动块与鼓轮表面之间的静摩擦系数为 各尺寸如图所示。各尺寸如图所示。 求：求：制动鼓轮所需铅直力制动鼓轮所需铅直力F。 解：解：分别取闸杆与鼓轮为研究对象分别取闸杆与鼓轮为研究对象 W 设

19、鼓轮被制动处于平衡状态设鼓轮被制动处于平衡状态 对鼓轮，对鼓轮， 0 O M0 s RFrP 对闸杆，对闸杆， 0 1 O M0cFbFFa SN NsS FfF Raf cfbr F s s )( W SS FF 求：求：挺杆不被卡住之挺杆不被卡住之 值值. . a , s fdb 已知：已知：不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量； 解：解：取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置. . s f b a 2 0 A M 0) 2 (bFdF d aF BNBN BNsBANsA FfFFfF 0X0 BNAN FF 0Y0 NBA FFF

20、 则：挺杆不被卡住时，则：挺杆不被卡住时， s f b a 2 . BNAN FF BA FF BN FF2 N eFM 0M 已知：已知：木板木板AO和和BO中间放一重中间放一重W的均质圆柱，的均质圆柱，P1=P2=P。 设它们之间的摩擦系数为设它们之间的摩擦系数为f ，板长，板长l 相等、自重不计。相等、自重不计。 求求: : 力力P 使圆柱平衡的范围。使圆柱平衡的范围。 解解: : (1)(1)若若P力小，圆柱有下滑的趋势。力小，圆柱有下滑的趋势。 以圆柱为研究对象，画受力图。以圆柱为研究对象，画受力图。 W CD A B P1P2 2a r O 2 2 cossin2 0sin2cos

21、20 0 0 21 21 2N1 f W FfFFFF WFFY FFFFM FFFFM NNSSS Ns SSSH NNO 以以OA板为研究对象，受力如图，板为研究对象，受力如图， cossin2 0.0 1min min1 fl Wr F OE OC P OEPOCFFM N NO cos tan tan lOE r OC OC r (2) (2) 若若P较大，圆柱有向上滑得趋势。较大，圆柱有向上滑得趋势。 摩擦力改变方向，与前面分析、计算一样可得：摩擦力改变方向，与前面分析、计算一样可得： cosfsina Wr P max 2 则平衡时则平衡时P值得范围是：值得范围是： maxmin

22、PPP cosfsina Wr P cosfsina Wr 22 （2 2）能保持木箱平衡的最大拉力）能保持木箱平衡的最大拉力. . （1 1）当）当D 处拉力处拉力 时，木箱是否平衡时，木箱是否平衡? ?求：求： kNF1 已知：已知：均质木箱重均质木箱重,5kNP ,4 . 0 s f,22mah ； o 30 取木箱为研究对象，设其处于平衡状态取木箱为研究对象，设其处于平衡状态. . 0X0cosFFs 0Y 0sin FPF N 0 A M 2 cos a PhF 解：解： （1 1）当）当D 处拉力处拉力 时，木箱是否平衡时，木箱是否平衡? ?kNF1 NFs866 NFN4500

23、NFfF Ns 1800 max max FFs木箱不会滑动；木箱不会滑动； 木箱无翻倒趋势木箱无翻倒趋势 木箱是否会翻倒木箱是否会翻倒 木箱是否会木箱是否会滑动滑动 2 1 5 2 3 12 （a）设木箱将要滑动时拉力为）设木箱将要滑动时拉力为FF 1 0X0cos 1 FF s 0Y 0sin 1 FPF N （2 2）能保持木箱平衡的最大拉力）能保持木箱平衡的最大拉力. . Nss FfFF max N1876 sincos 1 s s f f F （b）设木箱有翻动趋势时拉力为）设木箱有翻动趋势时拉力为 FF 2 0 A M0 2 cos 2 a PhF N h Pa F1443 co

24、s2 2 能保持木箱平衡的最大拉力为能保持木箱平衡的最大拉力为 N1443 （b）设木箱有翻动趋势时拉力为）设木箱有翻动趋势时拉力为FF 2 N f f F s s 1876 sincos 1 F 已知：已知：物体系受物体系受力为力为P，物块物块A的倾的倾角为角为，不计自重的不计自重的 A、B块间的块间的静摩擦系数为静摩擦系数为 ，其它接触处光滑；其它接触处光滑； 求：求：使系统保持平衡时力使系统保持平衡时力 的值。的值。 s f 解：解：（1 1）取整体为研究对象取整体为研究对象画受力图画受力图 0Y 0PFNAPFNA （2 2）取楔块）取楔块A为研究对象为研究对象画受力图画受力图 设：力

25、设：力 max FF楔块楔块A处于处于向左运动向左运动的临界状态的临界状态 0sincos0 0cossin0 max NASN SN FFFY FFFX PFNA N FfF sS 0sincos0 0cossin0 max NASN SN FFFY FFFX N FfF sS sincos s N f P F )tan( 1sincos cossin maxf f f s s PP tgtg tgtg P f f F sf ftan 设：力设：力 min FF 0sincos0 0cossin0 min NASN SN FFFY FFFX 楔块楔块A处于处于向右运动向右运动的临界状态的临界

26、状态 N FfF sS sincos s N f P F P f f F s s sincos cossin max sincos cossin sincos cossin s s s s f f PF f f P )tan()tan( ff PFP )tan( 1sincos cossin minf f f s s PP tgtg tgtg P f f F sf ftan )tan( 1sincos cossin maxf f f s s PP tgtg tgtg P f f F 求：求：当当 时，时，若要维持系统平衡作用于若要维持系统平衡作用于轮心轮心O 处水平推力处水平推力 。 min

27、F , 3 . 0 D f 已知：已知：均质轮重均质轮重 ,100NP ,50NFB , 4 . 0 C f杆，轮间的静摩擦系数为杆，轮间的静摩擦系数为 o 60 ; 2 l CBAC 半径为半径为r，杆长为杆长为l ，无自重，无自重， D处静摩擦系数处静摩擦系数 D 分析：分析： 1 1、本题属于求极限值问题，但有两种临界平衡状态，、本题属于求极限值问题，但有两种临界平衡状态， 应分别进行讨论。应分别进行讨论。 （1 1）若推力太大，轮将向左滑动，摩擦力向右。）若推力太大，轮将向左滑动，摩擦力向右。 （2 2）若推力太小，轮将向右滑动，）若推力太小，轮将向右滑动，摩擦力向左。摩擦力向左。 2

28、 2、由于系统在、由于系统在C、D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个 达到最大值，系统即处于临界平衡状态，其推力即为最小值。达到最大值，系统即处于临界平衡状态，其推力即为最小值。 NCCSCSC FfFF max 平衡方程式数平衡方程式数6个个 未知量数未知量数7个个 NDsSDSD FfFF max 加一个补充方程加一个补充方程 两个补充方程中只有一个成立两个补充方程中只有一个成立 （1 1）假设）假设C处摩擦力先达到最大值处摩擦力先达到最大值 NCCSC FfF max NDSD FFF， min 可求出：可求出： NDsSD FfF max ma

29、xSDSD FF若若 成立，成立， D处无滑动，系统平衡处无滑动，系统平衡 min FF 若若 ， D处有滑动，处有滑动，假设假设不成立不成立 maxSDSD FF min F舍去舍去 假设成立假设成立 平衡方程式数平衡方程式数6个个 未知量数未知量数7 7个个 （2 2）再假设）再假设D处摩擦力先达到最大值处摩擦力先达到最大值 NDsSD FfF max NCSC FFF， min 可求出：可求出： NCCSC FfF max 若若 成立，成立， C处无滑动，系统平衡处无滑动，系统平衡 maxSCSC FF min FF 若若 ， D处有滑动，处有滑动，假设假设不成立不成立 maxSDSD

30、FF min F舍去舍去 假设成立假设成立 平衡方程式数平衡方程式数6个个 解：解：，轮将向右滑动，轮将向右滑动，角变小，角变小，C、D 两处有一处静摩擦力达最大值，系统即将运动两处有一处静摩擦力达最大值，系统即将运动. . （a）先设先设C处摩擦力达到最大值，取杆与轮为研究对象处摩擦力达到最大值，取杆与轮为研究对象 AB杆杆 0 A M 0 2 lF l F BNC NFNC100 NCCSCSC FfFF max NFSC40 min FF D 4 . 0 C f NFF SCSD 40 0X060cos60sin min SDSCNC FFFF oo NFFNFF SDSCNCNC 40

31、100 O轮轮 0 O M0rFrF SDSC NF6 .26 min 0Y 060sin60cos oo SCNCND FFPF NFNC100 NFSC40 NFND6 .184 D 当当 时，时，3 . 0 D f NFfF NDsSD 55.39 max max 40 SDSD FNF 假设成立假设成立 NF6 .26 min NFFNFF SDSCNCNC 40100 NFND6 .184 NF6 .26 min 这说明这说明D处不可能先达到临界滑动状态，处不可能先达到临界滑动状态，C、D两点也不会两点也不会 同时达到临界状态。同时达到临界状态。 0 A M 0 2 lF l F B

32、NC NFNC100不变不变 NCCSCSC FfFF max （b b）先设）先设D处摩擦力达最大值，取杆与轮，受力图不变处摩擦力达最大值，取杆与轮，受力图不变 对于对于AB杆：杆： D 0 O M0rFrF SDSC 对于轮：对于轮： SCSD FF 060cos60sin min SDSCNC FFFF oo 060sin60cos oo SCNCND FFPF 0X 0Y NFNC100 NDSCSD FFFF, min NDDSD FfF 共有共有 四个未知数四个未知数 D NF62. 4 min 解得解得在在 时，时，3 . 0 D f NCCSC FfF max 则则 ， C 处

33、有滑动，系统不平衡，处有滑动，系统不平衡，假设不成立假设不成立 maxSCSC FF 舍去舍去 NF6 .26 min D s f是抽屉与两壁间的摩擦系数，是抽屉与两壁间的摩擦系数， 不计抽屉底部摩擦；不计抽屉底部摩擦； 已知：已知：抽屉尺寸抽屉尺寸 a、b ， 求：求：抽拉抽屉不被卡住之抽拉抽屉不被卡住之e e 值。值。 解：解：取抽屉为研究对象，设抽屉刚好被卡住取抽屉为研究对象，设抽屉刚好被卡住 0X0 NCNA FF 0Y0PFF SCSA 0 A M 0) 2 (e b PaFbF NCSC NAsSA FfF NCsSC FfF s f a e 2 则抽屉不被卡住时则抽屉不被卡住时

34、s f a e 2 已知：已知：A块重块重500500N，轮，轮B重重10001000N，大轮半径大轮半径1010cm，小轮小轮 半径半径5 5cm，E点的摩擦系数点的摩擦系数 fE=0.2=0.2， D轮无摩擦，轮无摩擦， A点的摩擦系数点的摩擦系数 fA=0.5=0.5。 求：求：使物体平衡时块使物体平衡时块C 的重量的重量Q max= =？ 平衡方程式数平衡方程式数5个个 未知量数未知量数6个个 加一个补充方程加一个补充方程 1max11 NfFF A NfFF E max 已知：已知：A块重块重500500N，轮，轮B重重10001000N，大轮半径大轮半径1010cm，小轮小轮 半径

35、半径5 5cm，E点的摩擦系数点的摩擦系数 fE=0.2=0.2， D轮无摩擦，轮无摩擦， A点的摩擦系数点的摩擦系数 fA=0.5=0.5。 求：求：使物体平衡时块使物体平衡时块C 的重量的重量Q max= =？ 解解：（1 1）设）设A块块处于滑动的临界状态处于滑动的临界状态（轮只滚不滑）（轮只滚不滑） TF 1 NGN A 500 1 0 0 Y X NNfFT A 2505005 . 0 11 0FRRQrT )(208 NQ 0 B m NTT250 0sin0 0cos0 NGQY TFQX B NNNF8756 .83 )(6 .83)(175 max NFNNfF E 轮在轮在

36、E 点点处确实不滑动处确实不滑动 假设成立假设成立 NfF E 0 B m （2 2）设设E 点点处于滑动的临界状态处于滑动的临界状态, , A块不动块不动 0sin0 0cos0 NGQY TFQX B TF 1 A GN 1 0 0 Y X 物块物块A: : C 轮轮: : 1max1 NfFF A A块不平衡，假设不成立块不平衡，假设不成立 0FRRQrT （3 3）B轮不向上运动，即轮不向上运动，即N00 ; 0sin, 0 QGNY B )(1670 6 . 0 1000 0 5 3 1000sin NQ QQGN B 显然显然, ,如果如果i, ,E两点均不产生两点均不产生 运动运

37、动, ,Q必须小于必须小于208208N, ,即即 )(208 max NQ 求：求：保持系统平衡的力偶矩保持系统平衡的力偶矩 。 C M 解：解：设设 时，系统即将逆时针方向转动，时，系统即将逆时针方向转动， maxCC MM 滑块下滑滑块下滑画两杆受力图画两杆受力图. . 已知：已知：,40mNM A ,3 . 0 s f各构件自重不计，各构件自重不计， 尺寸如图；尺寸如图； 0 A M0 1 AN MABF 0 C M 030sin30cos 0 1 0 1max lFlFM SNC 1111NsNsss FfFfFF mNM C 39.70 max 对于对于AD杆：杆： 对于对于CB杆

38、：杆： 0 30 设设 时，系统有顺时针方向转动趋势，时，系统有顺时针方向转动趋势， minCC MM 滑块下滑滑块下滑画两杆受力图画两杆受力图. . 0 2 AN MABF0 A M对于对于AD杆：杆： 对于对于CB杆：杆： 0 C M 030sin30cos 0 2 0 2min lFlFM sNC 2222NsNsss FfFfFF mNM C 61.49 min 系统平衡时，系统平衡时， mNMmN C 39.7061.49 已知：已知：两均质杆长为两均质杆长为l，重量为，重量为P，接触，接触D处的摩擦系数为处的摩擦系数为 ，施加在杆，施加在杆BD上的主动力偶矩上的主动力偶矩M使得使得

39、 系统在图示位置保持平衡。系统在图示位置保持平衡。 求：求：M的值。的值。 4/3 s f 解：解：（1 1）当）当M较小时，较小时，BD杆顺时针转动。杆顺时针转动。 分别以分别以OA、BD杆为研究对象，画受力图。杆为研究对象，画受力图。 0 2 30cos0 0 l PlFM NDO PFND 3 3 对于对于OA杆：杆： 对于对于BD杆：杆： 030cos30cos 2 30sin0 000 lF l PMlFM NDSDB l M PFSD 2 ) 2 3 1 ( DsSD FfF N PlMM 8 323 min （1 1）当）当M较大时，较大时，BD杆逆时针转动。杆逆时针转动。 分别

40、以分别以OA、 BD杆为研究对象，杆为研究对象， 画受力图。画受力图。 对于对于OA杆：杆： 0 2 30cos0 0 l PlFM NDO PFND 3 3 对于对于BD杆：杆： 030cos30cos 2 30sin0 000 lF l PMlFM NDSDB l M PFSD 2 ) 2 3 1 ( DsSD FfF N PlMPl 8 325 8 323 PlMM 8 325 max PlMM 8 323 min 060cos0 0 QFY BA FBA=2Q 已知：已知：箱体重箱体重P=1000N， fs =0.52 求：求：不致破坏系统平衡时的不致破坏系统平衡时的Qmax 对于销钉对于销钉B： 解解: : (1)(1)箱体箱体处于要滑动的临界平衡状态时处于要滑动的临界平衡状态时 分别以销钉分别以销钉B 和和箱体箱体A为研究对象为研究对象 对于箱体对于箱体A： Ns BAN BA FfF FPFY FFX max 0 max 0 030sin0 030cos0 NP f f QQ s s 03.429 3 max1 FBA=2Q NP f f Q s s 03.429 3 max1 （2 2）箱体处于翻倒的临界平衡状态时）箱体处于翻倒的临界平衡