理论力学3—空间力系

1、 3.1 空间汇交力系 y x z F Fx Fy Fz i k j 若已知力与正交坐标系Oxyz三轴间夹角，则用直接投影法 cos(, ) cos(, ) cos(, ) x y z FF FF FF F i F j F k 1 力在直角坐标轴上的投影 y x z F Fx Fy Fz Fxy j g 当力与坐标轴Ox 、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到 坐标平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把这个力投影到x 、y轴上， 这叫间接投影法。 sincos sinsin cos x y z FF FF FF gj gj g 3.1 空间汇交力系 3.1 空间汇交力系 例3-1 已知：,

2、n F 求：力 在三个坐标轴上的投影. n F sin nz FFcos nxy FF sincossin nxyx FFF coscoscos nxyy FFF 解： （1）合成 将平面汇交力系合成结果推广得： R12 n i FFFFF 合力的大小和方向为： 222 R ()()() xyz FFFF RRR RRR cos(, ),cos(, ),cos(, ) y xz F FF FFF FiFjFk 2 空间汇交力系的合成与平衡 Rxyz FFF Fijk 或 3.1 空间汇交力系 （2）平衡 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 合力等于零。 R 0 i FF 以解析式表示

3、为：0 0 0 x y z F F F 空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系中所有 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。 3.1 空间汇交力系 3.1 空间汇交力系 例3-3 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 0 30 求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程 0 x F 045sin45sin 21 FF 0 y F 030cos45cos30cos45cos30sin 21 FFFA 0 z F 030cos30sin45cos30sin45cos 21 PFFF A 12 3.54kNFF8.66kN A F 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 1 力对点的矩以矢

4、量表示力矩矢 MO(F) x y z O F r A(x,y,z) h B 空间力对点的矩的作用效果取决于： 力矩的大小、转向和力矩作用面方位。 这三个因素可用一个矢量MO(F)表示，如图。 其模表示力矩的大小； 指向表示力矩在其作用面内的转向(符 合右手螺旋法则)； 方位表示力矩作用面的法线。 由于力矩与矩心的位置有关，所以力矩矢的始端一定在矩心O处， 是定位矢量。 以r表示力作用点A的矢径，则 ()O MFrF 以矩心O为原点建立坐标系，则 xyz xyz FFF rijk Fijk x y z O F MO(F) r A(x,y,z) h B j i k 3.2 力对点的矩和力对轴的矩

5、() ()()() O xyz zyxzyx xyz FFF yFzFzFxFxFyF ijk MFrF = ijk 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 ( )()() () Oxyz MFrFxiyjzkF iF jF k ( )()() () Oxyz MFrFxiyjzkF iF jF k () ()()() O xyz zyxzyx xyz FFF yFzFzFxFxFyF ijk MFrF = ijk 力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投影为 () () () O xzy O yxz O zyx yFzF zFxF xFyF MF MF MF x y z O F MO(F) r A(x,y

6、,z) h B j i k 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 力F对z 轴的矩定义为： ()()2 zOxyxyOab MMF hA FF 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。 2 力对轴的矩 x y z O F Fxy h B A a b 符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力对 轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的

7、矩不变。 ( )() zOxyxy MFMFFh 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 例3-4 已知：,alF 求： , xyz MFMFMF co s x MFFla co s y MFF l sin z MFFla 解：把力 分解如图F 3 力对轴的矩的解析表达式 x y z O F Fx Fy Fz A(x,y,z) B Fx Fy Fxy a b x y ()() ()() zOxy OxOy yx MM MM xFyF FF FF 设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx、Fy、 Fz。力作用点A的坐标为(x、y、z)，则 同理可得其它两式。故有 () () () xzy yxz zyx My

8、FzF MzFxF MxFyF F F F 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得： 即：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。 4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 ()() ()() ()() O xx O yy O zz M M M MFF MFF MFF 3.2 力对点的矩和力对轴的矩 3.3 空间力偶 1 1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢、力偶矩以矢量表示力偶矩矢 1212 FFFF 空间力偶的三要素空间力偶的三要素 （1 1） 大小：力与力偶臂的乘积；大小：力与力偶臂的乘积； （3 3） 作用面：力偶作用面。作用面：力偶作用面。

9、 （2 2） 方向：转动方向；方向：转动方向； BA MrF 3.3 空间力偶 ( ,)( )() OOO AB MF FMFMF rFrF ( ,)() OAB MF FrrFM 2 2、力偶的性质、力偶的性质 FF （2 2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。变而改变。 (1(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . . 3.3 空间力偶 （3 3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内 任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小任意移转，且

10、可以同时改变力偶中力的大小 与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. . 12 12 111 (,)() (,) RRBARBA BABA BA M FFrFrFF rFrF rFM F F = = = = 3.3 空间力偶 (4)(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至 另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不 变变. . 211 FFF 332 FFF = = = = = = = 3.3 空间力偶 (5)(5)力偶没有合力，力偶只能由力偶没有合力，力偶只能

11、由 力偶来平衡。力偶来平衡。 力偶矩相等的力偶等效力偶矩相等的力偶等效 力偶矩矢是自由矢量力偶矩矢是自由矢量 3.3 空间力偶 由力偶的性质可知：力偶的作用效 果取决于力偶矩的大小、力偶转向和作 用面方位。因此可用一矢量M表示：选 定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小； M的指向按右手螺旋法则表示力偶的转 向；M的作用线与力偶作用面的法线方 位相同。如图所示。M称为力偶矩矢。 力偶矩矢为一自由矢量。 空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。 F M F 3 3、力偶的矢量表示、力偶的矢量表示 4 4、空间力偶等效定理、空间力偶等效定理 3.3空间力偶 5 5、力偶系的合成与平衡条件、力偶系

12、的合成与平衡条件 111222 ,., nnn MrF MrFMrF = = = i MM M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和. . 3.3 空间力偶 222 ()()() xyz MMMM 6 6、合力偶矩矢的大小和方向余弦、合力偶矩矢的大小和方向余弦 , xxyyzz MMMMMM 3.3 空间力偶 M M kM M M jM M M iM zyx ),cos(),cos(),cos( 空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平衡的必 要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即： 0 i MM 因为： 222 ()()() xyz MMMM 所以：

13、 0 0 0 x y z M M M 上式即为空间力偶系的平衡方程。 7 7、空间力偶系的平衡、空间力偶系的平衡 3.3空间力偶 例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80Nm. 求：工件所受合力偶矩在x、y、z轴上的投影。 解：把力偶用力偶 矩矢表示，平行移 到点A . mN1 .19345cos45cos 543 MMMMM ixx mN802MMM iyy mN1 .19345cos45cos 541 MMMMM izz 3.3空间力偶 求:轴承A,B处的约束力. 例3-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1 垂直于z轴，圆盘面

14、O2垂直于x轴，两盘面上作用有力 偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 解：取整体，受力图如图所示. 0 x M2 4008000 Az FF 0 z M 1 4008000 Ax FF N5 . 1 BxAx FFN5 . 2 BzAz FF 3.3空间力偶 空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。 ()(1,2, ) ii iO i in FF MMF 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 Fn F1 F2 y z x O F1 Fn F2 Mn M2 M1 z y x O MO FR O x y z 1 空间任意力系向一点的简化 空间汇交力系与空间力偶系等效代

15、替一空间任意力系。 空间汇交力系可合成一合力FR： Rii FFF 力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。 主矢与简化中心的位置无关。 MO FR O x y z 空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO： 力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主 矩。主矩与简化中心的位置有关。 ()OO i MMF 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 ( )( )( ) Oxyz MMF iMF jMF k 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 空间力系向任一点空间力系向任一点O简化，可得一力简化，可得一力 和一力偶，这个力的大小和方向等和一力偶，这个力的大小和方向等 于该力系的主矢，作用线

16、通过简化于该力系的主矢，作用线通过简化 中心中心O；这个力偶的矩矢等于该力系；这个力偶的矩矢等于该力系 对简化中心的主矩。对简化中心的主矩。 空间力系向一点的简化结论空间力系向一点的简化结论 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 2 空间任意力系的简化结果分析 空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况： 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 (1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO 0 1) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 FR0，MO0 FR 0，MO 0 2) 空间任意力系简化为一合力的情形 3.4 空间力系向

17、一点的简化主矢与主矩 简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于 对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化中心位置无关。 这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中心O， 其大小和方向等于原力系的主矢。 这时亦得一与原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的 主矢，合力的作用线离简化中心O的距离为 R O d F M FR 0，MO0 ，且FR MO MO FR O FRFR FR O O d FR O O 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 ()( ) ORORO MdFMFMF 合力矩定理：合力对某点(轴）之矩等于各分力对同一点（轴） 之矩的矢量和。 FR 0，MO0 ，且

18、FR MO MO FR O O FR 3) 空间任意力系简化为力螺旋的情形 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶 作用面垂直的情形称为力螺旋。FR与MO同方向时，称为右手 螺旋； FR与MO反向时，称为左手螺旋。图示为一右手螺旋。 FR 0，MO0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时可将MO 分解为两个分力偶MO和MO，它们分别垂直于FR和平行于FR， 则MO和FR可用作用于点O的力FR来代替，最终得一通过点O 的力螺旋。 MO FR O M O FR O MOFR O O MO 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 4) 空间任意力

19、系简化为平衡的情形 当空间任意力系向一点简化时出现 主矢FR0，主矩MO 0 ， 这是空间任意力系平衡的情形。 3.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩 3.5 空间任意力系的平衡方程 1 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系 中各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零， 且各力对三个轴的矩的代数和也等于零。上式 即为空间任意力系的平衡方程。 空间任意力系平衡的充要条件： 000 xyz FFF 000 xyz MMM 该力系的主矢、主矩分别为零. 000 zxy FMM 空间平行力系的平衡方程 3.5 空间任意力系的平衡方程 2 空间约束类型 3.5 空间任意力系的平衡

20、方程 3.5 空间任意力系的平衡方程 3.5 空间任意力系的平衡方程 例3-7 已知：P=8kN,P1=10KN，各尺寸如图， 求：A、B、C 处约束力。 解：研究对象：小车 列平衡方程 0 z F 0 1 DBA FFFPP 0 FM x 1 0.21.220 D PPF 0 FM y 06 . 02 . 16 . 08 . 0 1 DB FFPP 5.8kN,7.777kN,4.423kN DBA FFF 3.5 空间任意力系的平衡方程 0 y F 例3-8 已知：,2000NF ,2 12 FF ,60,30 各尺寸如图，求：F1、F2及A、B处的约束力。 解：研究对象，曲轴 列平衡方程

21、 0 x F 060sin30sin 21 BxAx FFFF 00 3.5 空间任意力系的平衡方程 0 z F060cos30cos 21 BzAz FFFFF 0 FM x 040020020060cos20030cos 21 Bx FFFF 0 FM y 0 2 12 FF D RF 0 FM z 12 (sin30sin60 ) 2004000 Bx FFF 3.5 空间任意力系的平衡方程 ,6000,3000 21 NNFF ,9397,1004NN AzAx FF ,1799,3348NN BzBx FF 3.5 空间任意力系的平衡方程 例3-9 已知： 4.25N, x F 6.

22、8N, y F 17N, z F ,36. 0 FFr50mm,R 30mmr 各尺寸如图 求：（2）A、B处约束力（3）O 处约束力 , r F F (1) 3.5 空间任意力系的平衡方程 0 x F 0 xAxBx FFFF 0 y F 0 yBy FF 0 z F 0 zAzBz FFFF 0 FM x 48876763880 Bzz FFF 0 FM y 0rFRF z 0 FM z 7648876303880 rBxyx FFFF 解：研究对象1：主轴及工件，受力图如图 3.5 空间任意力系的平衡方程 又：,36. 0 FFr ,2 .10 kN F3.67, r F kN ,64.

23、15kN Ax F ,87.31kN Az F ,19. 1kN Bx F,8 . 6 kN By F,2 .11 kN Bz F 研究对象2：工件受力图如图 列平衡方程 0 x F0 xOx FF 0 y F 0 yOy FF 0 z F0 zOz FF 3.5 空间任意力系的平衡方程 0 FM x 0100 xZ MF 0 FM y 030 yZ MF 0 FM z 030100 zyx MFF kNkNkN17,8 . 6,25. 4 OzOyOx FFF mkNmkNmkN22. 0,51. 0,7 . 1 zyx MMM 3.5 空间任意力系的平衡方程 D By z FBz FBy

24、F FAz Fz Fy A yz平面 B y x D AFBy FBx Fr FAxFx Fy xy平面 yz平面 xy平面 xz平面 x z Fr x z F Fz Fx FAx+ FBx FAz+ FBz xz平面 平面解法平面解法 3.5 空间任意力系的平衡方程 附例1. 一等边三角形板边长为a , 用六根杆支承成水平位置如图 所示.若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束反力。 AB C 1 6 4 2 5 3 30o 30o 30o A B C M 解:取等边三角形板为研 究对象画受力图。 AB C 1 6 4 2 5 3 30o 30o 30o A B C M S1 S2 S3 S

25、4 S5 S6 6 ()0 33 0 22 BB M MaS F a M S 3 4 6 4 33 ()0,0 22 CC MMaS F a M S 3 4 4 5 33 ()00 22 AA MMaS F a M S 3 4 5 3.5 空间任意力系的平衡方程 3.5 空间任意力系的平衡方程 14 ()0 331 0 222 BC M a SaS F a M S 3 2 1 25 331 ()00 222 AC Ma SaSF a M S 3 2 2 36 331 ()00 222 AB Ma SaSF a M S 3 2 3 AB C 1 6 4 2 5 3 30o 30o 30o A B

26、 C M S1 S2 S3 S4 S5 S6 3.5 空间任意力系的平衡方程 x m3 m2 m3m2 A B CD 60 60 45 45 G H y z P 附例2. 扒杆如图所示，立柱 AB用BG和BH两根缆风绳拉住， 并在A点用球铰约束，A、H、 G三点位于 xy平面内，G、H两 点的位置对称于y轴，臂杆的D 端吊悬的重物重P=20kN；求两 绳的拉力和支座A的约束反力。 解：以立柱和臂杆组成的系统为研 究对象，受力如图，建立如图所示 的坐标。 列平衡方程： 3.5 空间任意力系的平衡方程 A B C D 60 60 45 45 G H y z P A X A Y A Z G T H

27、T 045sin60cos45sin60cos:0 GHA TTXX 045cos60cos45cos60cos:0 GHA TTYY 060sin60sin:0PTTZZ GHA 05545cos60cos545cos60cos:0)(PTTFm GHx 0545sin60cos545sin60cos:0)( GHy TTFm 联立求解得： kNTT HG 3 .28 0 A X kNYA20 kNZA69 附例3：已知：铅直力F，板和杆重不 计。求各杆的内力。 5 4 6 32 1 F 500mm 1000mm D C B A D C B A 1000mm 500mm 1000mm 3.5

28、 空间任意力系的平衡方程 3.5 空间任意力系的平衡方程 解:以平板ABCD为研对，画出受力图 S5 S4 S6 S3S2 S1 F 500mm 1000mm D C B A D C B A ()0 DD m F0 2 S ()0 BB m F0 4 S ()0 CC m F 0 6 S ()0 BC m F ()0 AB m F 0500500 1 FSFS 1 010001000 5 FSFS 5 ()0 AD m F 0500500 53 SSFS 3 3.5 空间任意力系的平衡方程 x y z AB C D E 30 30 G 附例4. 均质长方形板ABCD重G=200N， 用球形铰链

29、A和碟形铰链B固定在墙上，并 用绳EC维持在水平位置，求绳的拉力和支 座的反力。 x y z AB C D E 30 30 G A X A Y A Z T B X B Z 030sin:0)( 2 1 ABGABZABTFm Bx 030sin:0)( 2 1 ADTADGFmy 0:0)(ABXFm Bz 解：以板为研究对象，受力如图， 建立如图所示的坐标。 3.5 空间任意力系的平衡方程 x y z AB C D E 30 30 G A X A Y A Z T B X B Z 030sin30cos:0 TXXX BA 030cos:0 2 TYY A 030sin:0GTZZZ BA 解

30、之得：0 BB ZX NT200NX A 6 .86 NYA150 NZ A 100 1平行力系中心 平行力系中心是平行力系合力通 过的一个点。平行力系合力作用点的 位置仅与各平行力的大小和作用点的 位置有关，而与各平行力的方向无关。 称该点为此平行力系的中心。 3.6 重心 F1 FR F2 y z x O A C B r1 rC r2 i i C i F F r r , iiiiii CCC iii F xF yF z xyz FFF 根据合力矩定理，有 nncR rFrFrFrF 2211 同理，有 重力是地球对物体的吸引力，如果将物 体由无数的质点组成，则重力便构成空 间汇交力系。由于

31、物体的尺寸比地球小 得多，因此可近似地认为重力是个平行 力系，这力系的合力就是物体的重量。 不论物体如何放置，其重力的合力的作 用线相对于物体总是通过一个确定的点， 这个点称为物体的重心。 2 重心 3.6 重心 1122 . Cnn ii P xP xP xP x P x ii C Px x P 1122 . Cnn ii P yP yPyPy P y ii C Py y P 3.6 重心 1122 . Cnn ii P zP zP zP z P z ii C Pz z P 计算重心坐标的公式为计算重心坐标的公式为 ii C Pz z P ii C Px x P ii C Py y P 对均质物体，均质板状物体，有对均质物体，均质板状物体，有 ii C Vx x V ii C V y y V i i C Vz z V ii C Ax x A ii C Ay y A i i C Az z A 称为重心或形心公式称为重心或形心公式 3 确定物体重心的方法 （1） 简单几何形状物体的重心 如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的 重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单 形状物体的重心可从工程手册上查到。 3.6