2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 1. 导数在研究函数中的作用 1..1 单调性教学案选修2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精1.3。1单 调 性对应学生用书p13已知函数y1x，y2x2，y3。问题1:试作出上述三个函数的图象提示：图象为问题2：试根据上述图象说明函数的单调性提示：函数y1x在r上为增函数，y2x2在(，0)上为减函数，在（0,）上为增函数，y3在(，0),（0，）上为减函数问题3：判断它们导函数的正负提示：y110,y22x，当x0时，y20，当x0时，y20，y30。问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系提示：当f（x）0时，f(x)为增函数，当f(x）0f（x）为该区间上的增函数f（x)0f(x)为该区间上的减函数上述结论可以用下图来直观理解1根据导数的几何意

2、义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零,则其倾斜角是锐角，函数曲线呈现上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零,则其倾斜角是钝角，函数曲线呈现下降的状态，即函数单调递减2在某个区间内f(x）0（f（x)0）;（2）yaxax（a0且a1)思路点拨先求出函数的导数，然后通过导数的符号来讨论函数的单调性精解详析(1)y5ax4且a0,y0在r上恒成立，yax51在r上为增函数（2)yaxln aaxln a（x)（axax)ln a，当a1时，ln a0，axax0,y0在r上恒成立，yaxax在r上为增函数当0a1时，ln a0，axax0，y0在r上恒成

3、立,yaxax在r上为减函数一点通判定函数单调性的方法有两种:(1）利用函数的单调性的定义，在定义域内任取x1，x2,且x1x2，通过判断f（x1）f（x2)的符号确立函数的单调性（2)利用导数判断可导函数f(x)在（a，b)内的单调性，步骤是：求f(x)，确定f(x）在(a,b）内的符号，得出结论1下列函数中，在区间（1，1）上是减函数的有_y23x2;yln x；y；ysin x.解析:显然，函数y23x2在区间（1,1)上是不单调的；函数yln x的定义域为(0，)，不满足题目要求；对于函数y，其导数y0，又f(x)(ln xx)1，当x0时，f（x)10,故yln xx在其定义域内为增

4、函数3判断yax31(ar）在（，)上的单调性解：因为y3ax2，又x20.(1）当a0时，y0,函数在r上是增函数;(2)当a0时，y0，函数在r上是减函数；(3)当a0时，y0，函数在r上不具备单调性求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间:（1）yx32x2x;(2）f(x）3x22ln x。思路点拨先确定函数的定义域，再对函数求导，然后求解不等式f（x)0，f（x）0，并与定义域求交集从而得到相应的单调区间精解详析（1)y3x24x1.令3x24x10，解得x1或x,因此,yx32x2x的单调递增区间为（1，)，。再令3x24x10，解得.又x0,x.令f（x)0，即20，解得x或0x

5、0,0x.f（x)的单调递增区间为,单调递减区间为.一点通(1)利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f（x）0或f（x）0,不等式的解集就是函数的单调区间(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、“和”等连接，而不能写成并集的形式如本例（1）中的单调增区间不能写成（1,)(3)要特别注意函数的定义域4若函数f(x)x22x4ln x，则函数f（x）的单调递增区间为_解析：由已知f（x)的定义域为（0，），f(x）2x2,由f(x）0得x2x20，解得x2,又x0,所以函数f（x)的单调递增区间为（2,)答案:(2，)5函数f(x)xln x的单调递增区间为_解析：f（

6、x)xln x（x0)，f（x）ln x1，令f（x）0,则ln x10，即ln x1。x,即函数f(x)xln x的单调递增区间为.答案：6已知函数f（x）（k为常数，e2.718 28是自然对数的底数），曲线yf(x）在点（1，f（1)处的切线与x轴平行(1）求k的值；(2）求f(x)的单调区间解：(1）由f(x）,得f(x），x（0,),由于曲线yf(x）在（1，f(1）)处的切线与x轴平行，所以f(1)0，因此k1。（2)由(1）得f(x）（1xxln x)，x(0，),令h(x)1xxln x,x(0，），当x（0，1)时，h（x)0；当x(1，）时，h（x）0；当x(1，)时，f(

7、x）0。因此f（x)的单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（1，)已知函数的单调性求参数例3已知函数f(x）x2（x0，常数ar)若函数f（x）在x2，)上是增函数，求a的取值范围思路点拨解答本题可先对函数求导，再将问题转化为f(x)0在x2，)上恒成立问题求解精解详析f（x)2x。要使f(x)在2，）上是增函数，则f(x）0在x2，)上恒成立，即0在x2，)上恒成立x20,2x3a0，a2x3在x2，)上恒成立a（2x3）min.x2,），y2x3是增函数，(2x3）min16,a16.当a16时,f(x）0（x2,)）恒成立a的取值范围是a16.一点通（1)已知f(x）在区间（a，b）

8、上的单调性,求参数范围的方法:利用集合的包含关系处理：f(x）在(a，b）上单调,则区间（a，b）是相应单调区间的子集;利用不等式的恒成立处理：f（x)在(a，b）上单调，则f（x）0或f(x）0在（a,b)内恒成立，注意验证等号是否成立(2）两个非常重要的转化：mf(x）恒成立mf（x）max；mf(x)恒成立mf（x)min。7函数f（x)x3mx2m2的单调递减区间为(0，3)，则m_.解析：f（x）x3mx2m2，f(x)3x22mx。令f（x）0，则x0或xm,又函数f（x)的单调递减区间为(0，3)，m3,即m.答案：8若f（x）(x2)2bln x在（1，)上是减函数，则b的取值

9、范围是_解析：由题意可知f（x)（x2）0在（1，）上恒成立,即bx（x2)在x（1,）上恒成立，由于(x)x（x2）x22x（x（1，）)的值域是(1，)，故只要b1即可答案：(，19已知函数f(x）2ax,x(0，1若f(x）在(0,1上是增函数，求a的取值范围解：由已知得f（x)2a,f（x)在(0,1上单调递增,f（x）0，即a在x(0,1上恒成立而g(x)在(0,1上单调递增，g(x)maxg(1）1，a1.当a1时，f(x）2.对x(0,1也有f（x）0.a1时，f（x)在(0,1上为增函数综上,f（x）在(0,1上为增函数，a的取值范围是1，)1在利用导数来讨论函数的单调区间时，

10、首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间2一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间3如果函数在某个区间内恒有f（x)0,则f（x)为常数函数对应课时跟踪训练（六）一、填空题1函数yx3x240x80的增区间为_，减区间为_解析:y3x22x40(3x10）（x4)，由y0,得x4或x；由y0，得x4.所以函数的单调增区间为和（4，)，单调减区间为.答案：和2函数f（x）的单调递减区间是_解析:令f(x）0，解得0xe,又因为函数f（x)的定义域为（0,1）（1，)，所以函数f(x)的单调递减区间是（0,1),（1,e)答案：(0,1)，(

11、1，e)3函数yx2ln x的单调减区间为_解析：yx，由y0，0xf(x)则不等式x2ff(x)0的解集为_解析：令（x),则(x）0。(x）在(0，）上单调递减，又x2ff(x)，xf。即,x.又x0，0x1.答案:(0，1）二、解答题6求下列函数的单调区间：(1）f（x)x42x23;(2)f(x）sin x(1cos x）(00，则4x(x1）(x1)0，解得1x0或x1，所以函数f（x）的单调递增区间为（1，0)和(1,)令f(x）0,则4x（x1）（x1）0。得x1或0x1.所以函数f（x）的单调递减区间为（，1）和(0,1)（2)f(x）cos x(1cos x）sin x(si

12、n x）2cos2xcos x1（2cos x1)(cos x1）0x,cos x10，由f(x)0得0x；由f（x）0得x，故函数f（x)的单调增区间为，单调减区间为.7设函数f（x)ax2ln x（ar）（1)若f(x）在点（e，f（e）)处的切线为xey2e0，求a的值；（2)求f(x)的单调区间解:（1)f(x）ax2ln x（x0）,f（x)a。又f(x)在点(e，f（e)）处的切线为xey2e0，f（e）a，故a。(2)由(1)知：f（x）a（x0），当a0时，f（x)0在（0，)上恒成立,f（x)在(0，)上是单调减函数当a0时，令f（x)0解得：x，当x变化时，f（x），f(x)随x的变化情况如下表：0f（x）0f(x)由表可知：f(x)在上是单调减函数,在上是单调增函数综上所述：当a0时，f（x)的单调减区间为（0,)；当a0时，f(x)的单调减区间为，单调增区间为.8若函数f（x)x3ax2(a1）x在区间（1,4）上单调递减,在区间(6，）上单调递增，试求实数a的取值范围解：f（x)x2ax(a1），因为f(x）在（1,4)上单调递减，所以f(x）0在(1，4）