理论力学达朗贝尔原理b

1、D B A 例例4 如图所示，均质杆如图所示，均质杆AB的质量的质量m40 kg，长，长l 4 m，点，点A以铰链连接于小车上。以铰链连接于小车上。不计摩擦不计摩擦， 当小车以加速度当小车以加速度a15 m/s2向左运动时，求向左运动时，求D处处 和铰链和铰链A处的约束力处的约束力(此时杆此时杆AB与与D处接触处接触)。 解：以杆为研究对象，受解：以杆为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐标。 杆作平移杆作平移, 惯性力的大小为惯性力的大小为 FIRma。假想地加上惯性力。假想地加上惯性力, 则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达朗贝尔原理 IR ()0 cos30sin30

2、0 222 A D M lll mgFF F FIR A 30 D B 1m a a FD mg FAx FAy x y IR 0sin300 xAxD FFFF 0cos300 yAyD FFFmg 代入数据代入数据, , 解之得：解之得： 617.9N 357.82N 39.47N Ax Ay D F F F D B A FIRa FD mg FAx FAy x y 于是得于是得( cos30sin30 ) D Fm ga j j O x y C B A 例例5 质量为质量为m, 长为长为l的均质直杆的均质直杆AB的一端的一端A焊焊 接于半径为接于半径为r的圆盘边缘上的圆盘边缘上, 如图。

3、今圆盘以角如图。今圆盘以角 加速度加速度a a绕其中心绕其中心O转动。求圆盘转动。求圆盘刚开始转动刚开始转动 时，杆时，杆AB上焊接点上焊接点A处的约束力。处的约束力。 解解: 以杆为研究对象以杆为研究对象, 受受 力如图。力如图。 t 22 ( ) 2 CC aaOC l r a a 将惯性力系向将惯性力系向转轴转轴O简简 化，惯性力的大小为化，惯性力的大小为 a a O r A B l a a mg aC FIR MIO FAx FAy MA a a O r A B l22 IR ( ) 2 C l Fmam ra 2 I 2 22 22 () 1 () 124 1 () 3 OOC MJ

4、Jm OC l mlm r mlmr aa a a j j O x y C B A a a mg aC FIR MIO FAx FAy MA 由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理 IR 0sin0 xAx FFFj IR 0cos0 yAy FFFmgj IIR ()0sin0 2 AAO l MMMmgFrj F 2 2 sin 4 r l r j 2 2 cos 2 4 l l r j 将已知数值代入以上三式，解之得将已知数值代入以上三式，解之得 Ax Fmra 2 Ay l Fmgma 2 11 23 A Mmglmla j j O x y C B A a a mg aC FIR

5、 MIO FAx FAy MA B C AB M l C 例例6 均质杆均质杆AB长长l，重，重W，B端与重端与重G、半径为、半径为 r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力的力 偶，借助于细绳提升重为偶，借助于细绳提升重为P的重物的重物C。试求固定。试求固定 端端A处的约束力。处的约束力。 解：先以解：先以轮和重物轮和重物为研究对象为研究对象, 受力如图。假想地加上惯性力受力如图。假想地加上惯性力 2 I 1 22 BB GaGr MJra grg a I P Fa g 由质点系的由质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理 a M G FBx FBy MIB P

6、FI II ()0()0 BB MMMr PFF 2() (2 ) MPr ag r GP 代入代入MIB 和和FI得得 再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力 00 xAx FF I 00 yAy FFWGPF I ()0 ()()0 2 A AIB M l MWGlMMPFlr F B C A a M G FAx FAy MIB P FI W MA A 2() (2 ) Ay MrP FWGPP r GP ()2 ()() 2(2 )(2 ) A WMrPrGM MlGMGlrP GPr GP 代入代入MIB 和和FI解得解得 由质点系的由质点系的

7、达朗贝尔原理达朗贝尔原理 例例7 均质圆盘质量为均质圆盘质量为mA，半径为，半径为r。细长杆。细长杆 长长l=2r，质量为，质量为m。杆端点。杆端点A与轮心为光滑铰与轮心为光滑铰 接，如图所示。如在接，如图所示。如在A处加一水平拉力处加一水平拉力F，使，使 轮沿水平面纯滚动。问力轮沿水平面纯滚动。问力F多大能使杆的多大能使杆的B端端 刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面刚刚离开地面？又为保证纯滚动，轮与地面 间的静滑动摩擦因数应为多大？间的静滑动摩擦因数应为多大？ F A B C 细杆刚离地面时仍为平移，地面细杆刚离地面时仍为平移，地面 支持力变为零，设其加速度为支持力变为零，设其加速度为a

8、。 以杆为研究对象，杆承受的力并以杆为研究对象，杆承受的力并 加上惯性力如图所示，其中加上惯性力如图所示，其中F IC =maC=ma 。 0 A M ( F ) sin30cos300marmgr ga3解出解出 解：解： 按达朗贝尔原理列出方程按达朗贝尔原理列出方程 F A B C A B C FIC mg FAx FAy 30 a 为求摩擦力，可以圆轮为研究对象为求摩擦力，可以圆轮为研究对象 由方程由方程 ，得，得 0)( FM A sI 1 2 AA FrMm ra gmamF AA 2 3 2 1 s 解得解得 A B C 整个系统承受的力并加上惯性力如图，其中整个系统承受的力并加上

9、惯性力如图，其中 FIA FIC MIA 2 II 1 , 2 AAAAA a Fm aMm r r 由方程由方程 得得0, y F N () A Fmm g mAg A FN FIA MIA Fs mg mAg F FN FS 再以整个系统为研究对象，再以整个系统为研究对象， 由方程由方程 ，得，得 0 x F gm m FFFF A CA 3) 2 3 ( sII 由此，由此，静滑动摩擦因数为静滑动摩擦因数为 gmamF AA 2 3 2 1 s s s N 3 2() A A Fm f Fmm mAg mg F A B C FN Fs FIA FIC MIA mAg A FN FIA M

10、IA Fs 11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 如图，以如图，以 O为简化中心，为简化中心， 所有主动力和所有主动力和 惯性力系都向惯性力系都向 该点简化，形该点简化，形 成一空间任意成一空间任意 力系，列平衡力系，列平衡 方程方程 11-3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 I I I I I 00 00 00 0 0 0 0 xAxBxRxx yAyByRyy zAzBzRzz xByAyz x yAxBxy y FFFFF FFFFF FFFFF MFOBFOAM M MFOAFOBM M 由上述由上述5个方程解得轴承的全约束力为个

11、方程解得轴承的全约束力为 II II II II 1 ()()0 1 ()()0 1 ()()0 1 ()()0 AxyRxyx AyxRyxy BxyRxyx ByxRyxy BzRz FMFOBMFOB AB FMFOBMFOB AB FMFOAMFOA AB FMFOAMFOA AB FF 这里把由于惯性力系的主矢这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩和主矩MIO引起引起 的轴承约束力的轴承约束力称称为为附加动约束力附加动约束力，要使之为零，要使之为零， 必须有必须有00 IIII yxyx MMFF 即要使即要使轴承轴承附加附加动约束力动约束力等于零的条件是：惯等于零的条件是：惯 性力系

12、的主矢等于零，惯性力系对于性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和轴和y轴轴 的主矩等于零。的主矩等于零。 由前面所得，即有由前面所得，即有 II 22 II 0,0 0,0 xCxyCy xxzyzyyzxz FmaFma MJJMJJaa 因此，要使惯性力系的主矢等于零，必须因此，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0， 即即转轴通过质心转轴通过质心。要使主矩等于零，必须有。要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即，即刚体对转轴刚体对转轴z的惯性积等于零的惯性积等于零。 如果刚体对通过某点的轴如果刚体对通过某点的轴z的惯性积的惯性积Jxz=Jyz=0， 称称该轴为过该点的惯性主轴该

13、轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性，通过质心的惯性 主轴成为主轴成为中心惯性主轴中心惯性主轴。则上述结论可表达。则上述结论可表达 为为避免出现轴承附加动约束力的条件为是避免出现轴承附加动约束力的条件为是: 刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。 静平衡：静平衡：刚体转轴过质心，刚体在刚体转轴过质心，刚体在 仅受重力而不受其它主动力时，则不论仅受重力而不受其它主动力时，则不论 位置如何，总能平衡。位置如何，总能平衡。 静平衡与动平衡的概念静平衡与动平衡的概念 动平衡的刚体，一定是静平衡的；动平衡的刚体，一定是静平衡的； 反过来，静平衡的刚体，不一定是动平反过来，静平衡

14、的刚体，不一定是动平 衡的。衡的。 动平衡：动平衡：转轴为中心惯性主轴时，转轴为中心惯性主轴时， 转动时不产生附加动反力。转动时不产生附加动反力。 例例8 质量不计的转轴以角速度质量不计的转轴以角速度 匀速转动，匀速转动， 其上固结着两个质量均为其上固结着两个质量均为m的小球的小球A和和B。指出。指出 在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是 动平衡的？动平衡的？ 静平衡：静平衡： (a)、 (b)动平衡：动平衡： (a) 例例9 设均质转子重设均质转子重 P，质心，质心 C 到转轴的距离到转轴的距离 是是e，转子以匀角速度，转子以匀角速度 绕水平轴转动

15、，绕水平轴转动，AO=a， OB=b (图图a)。假定转轴与转子的对称平面垂直，。假定转轴与转子的对称平面垂直， 求当质心求当质心C 转到最低位置时轴承所受的约束力。转到最低位置时轴承所受的约束力。 b a e z C O B A ( a ) 解解: 转子的惯性力可简化为作用在点转子的惯性力可简化为作用在点O 的一个的一个 力力 FIO ，大小等于，大小等于 2 IO W Fe g 方向沿方向沿 OC。当质心。当质心 C 转到最低位置时，轴上转到最低位置时，轴上 实际所受的力如图实际所受的力如图 b所示。所示。 b a e z C O B A b a e z C O B A ( b ) P F

16、 BFA 根据动静法写出平衡方程根据动静法写出平衡方程 I I 0 ,()()0(1) 0 ,()()0(2) BOA ABO MPFbF ab MF abPFa 由式由式 (1) 和和 (2) 解得解得 2 2 (1) (1) A B be FP abg ae FP abg 两轴承所受的力分别和两轴承所受的力分别和 FA 、FB 的大小相等而的大小相等而 方向相反。方向相反。 b a e z C O B A ( b ) P F BFA 训练题训练题 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的 圆柱体和鼓轮圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为P1和和

17、P2， 半径均为半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜，绳子不可伸长，其质量不计，斜 面倾角面倾角q q ，如在鼓轮上作用一常力偶矩，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试，试 求：求：(1)鼓轮的角加速度？鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？绳子的拉力？ (3) 轴承轴承O处的约束力？处的约束力？ (4)圆柱体与斜面间的摩擦圆柱体与斜面间的摩擦 力（力（不计滚动摩阻不计滚动摩阻）？）？ (用达朗贝尔原理求解用达朗贝尔原理求解) 解：解： OOO R g P JMaa 2 2 I 2 1 列出方程：列出方程： (3) 0 sin0 (2) 0cos0 (1) 0 , 0)( T2 T IT q q FP , FF F , FF MMRFM yy xx O F AA R g P Ma g P Fa 2 1 IA 1 I 2 1 , 取轮取轮A为研究对象，虚加惯性为研究对象，虚加惯性 力力 和惯性力偶和惯性力偶MIA如图示。如图示。 I F 取轮取轮O为研究对象，虚加惯性力偶为研究对象，虚加惯性力偶 列出方程：列出方程： (5) 0sin , 0 (4) 0sin , 0)( 1SIT ITI1 q q PFFFF MRFRFRPM x AC F 运动学关系：运动学关系：