2017-2018学年高中数学 第二章 推理与证明 2. 数学归纳法 第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题教学案选修2-2

1、学必求其心得，业必贵于专精第二课时利用数学归纳法证明几何、整除等问题利用数学归纳法证明几何问题例1平面内有n(nn*）个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)n2n2个部分思路点拨分清当n从k变到k1时，增加了几部分精解详析（1)当n1时，f（1)12122，一个圆把平面分成两部分，命题成立（2)假设nk(kn*）时,命题成立,即k个圆把平面分成f（k)k2k2个部分当nk1时，第k1个圆与其他k个圆相交于2k个点第k1个圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面被分成的总区域数增加了2k块，即f(k1)f（k）2

2、kk2k22k（k1）2(k1）2,故当nk1时命题也成立根据(1）和（2），可知命题对任何nn都成立一点通用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项，即几何元素从k个变成（k1)个时,所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧1几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交,且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)n2.（n2，nn)证明:（1）如图,n2时,两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，

3、故f（2)422。(2）假设nk时,f(k)k2成立，当nk1时，第k1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧,这样就多出k条圆弧,另外原k个半圆把k1个半圆分成k1段，这样又多出了k1段圆弧所以f（k1)k2k（k1)k22k1（k1)2.由(1）,（2）可知命题得证利用数学归纳法证明整除问题例2用数学归纳法证明f（n）352n123n1对任意正整数n，都能被17整除思路点拨证明整除性问题的关键是在命题f(k1）中拼凑出f（k)的表达式，分析其余项能被17整除就可以了精解详析（1)当n1时，f(1)3

4、53241723，能被17整除，命题成立(2）假设当nk(k1，kn*）时,f(k）352k123k1能被17整除则当nk1时,f(k1)352k323k452352k12323k125352k1823k117352k18（352k123k1)17352k18f（k）由归纳假设，f(k)能被17整除，17352k1也能被17整除，所以f（k1)能被17整除由（1）和(2)可知，对任意nn，f（n)都能被17整除一点通证明整除性问题的关键是“凑项”，即f（k1)的式子中“凑”出f(k）的形式,常采用拆项、增项、减项和因式分解等手段，凑完项后式子总会含有两部分，一部分是归纳假设，即f（k)另一部分

5、是一定能被题中的数（或式）整除的量2求证：an1(a1）2n1能被a2a1整除，nn。证明：(1)当n1时，a11(a1）211a2a1，命题显然成立(2)假设nk时,ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2（a1）2k1aak1(a1）2（a1）2k1aak1（a1）2k1(a1）2（a1)2k1a（a1)2k1aak1(a1）2k1（a2a1)(a1）2k1。由归纳假设知，上式中的两部分均能被a2a1整除，故nk1时命题成立根据（1）(2）知，对任意nn*，命题成立3用数学归纳法证明:当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除证明：(1)当n1时,f（1)3489

6、64，命题显然成立(2)假设当nk（k1，kn*）时，f（k)32k28k9能被64整除则当nk1时，f（k1）32(k1）28（k1）99（32k28k9）98k998(k1）99（32k28k9)64（k1)9f(k)64（k1）nk1时命题也成立由（1）(2)可知，对任意的nn*，命题都成立归纳-猜想证明例3已知数列an的前n项和为sn，且a11,snn2an（nn)（1）试求出s1，s2，s3，s4，并猜想sn的表达式;（2)证明你的猜想，并求出an的表达式思路点拨精解详析(1)ansnsn1（n2)，snn2(snsn1)snsn1（n2),a11,s1a11，s2，s3，s4，猜想

7、sn.(2)证明：当n1时,s11成立假设nk（k1，kn）时，等式成立,即sk，当nk1时，sk1（k1）2ak1ak1skak1，ak1，sk1(k1）2ak1，nk1时等式也成立，得证根据、可知,对于任意nn，等式均成立又ak1，an.一点通（1）数列是定义在n上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决（2)数学归纳法证明数列问题的一般思路:归纳猜想证明4数列an满足an0（nn*)，sn为数列an的前n项和，并且满足sn，求s1，s2，s3的值，猜想sn的表达式,并用数学归纳法证明解：由an0，得sn0，

8、由a1s1,整理得a1，取正根得a11,所以s11.由s2及a2s2s1s21，得s2,整理得s2，取正根得s2。同理可求得s3.由此猜想sn。用数学归纳法证明如下:当n1时，上面已求出s11，结论成立假设当nk（kn）时,结论成立,即sk。那么，当nk1时,sk1.整理得sk1，取正根得sk1.故当nk1时,结论也成立由可知，对一切nn*，sn都成立5是否存在常数a，b，使得等式（n212）2（n222）3（n232）n(n2n2)an4bn2对一切正整数n都成立？荐存在，求出a，b值；若不存在说明理由解：存在a，b,使得所给等式成立将n1,2代入等式得解得下面用数学归纳法证明等式（n212

9、)2（n222)3(n232）n（n2n2)n4n2对一切正整数n都成立当n1时,由以上可知等式成立；假设当nk(kn*)时，等式成立，即(k212）2（k222)k(k2k2)k4k2，则当nk1时，(k1)2122(k1）222k(k1）2k2（k1）（k1)2(k1)2(k21)22（k222）k(k2k2）（2k1）2（2k1)k(2k1）k4k2（2k1）(k1）4(k1)2。由知,存在a，b使得等式对一切正整数n都成立1在证明整除问题时，有些命题可能仅当n是偶数(或奇数)时成立，证明时可适当地转化k，使k成为全体自然数的形式如:证明xnyn,n为正奇数,能被xy整除,证明时需将问题

10、转化为证明x2k1y2k1，kn*,能被xy整除2几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明,探索的方法是由特殊猜想出一般结论3利用“归纳-猜想-证明来研究探索性问题，一般从最特殊的情况入手，通过分析、归纳、猜想,从而达到探索一般规律的目的对应课时跟踪训练(十九)一、填空题1设凸k边形的内角和为f(k）,则凸k1边形的内角和f(k1）f(k）_.答案：2用数学归纳法证明n（n1)(2n1)能被6整除时，由归纳假设推证nk1时命题成立,需将nk1时的原式表示成_解析:f（k)k（k1）(2k1)，f（k1）（k1）(k2）（2k3)k(k1）(2k1)6(k1)2.答案：f(k1）f(k

11、）6(k1）23用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成_解析：n为正奇数，第二步应设n2k1（kn*)时,xnyn能被xy整除答案：设n2k1(kn*)时，xnyn能被xy整除4用数学归纳法证明“1n(nn，且n1)”时，由nk（k1)不等式成立,推证nk1时，左边应增加的项数是_解析：增加的项数为（2k11)(2k1)2k.答案：2k5用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中的分母变化知，.答案：二、解答题6设an8n1，用数学归纳法证明：an能被7整除(nn)证明：（1)n1时，a18117，显

12、然a1能被7整除(2）假设nk时,ak能被7整除，不妨设ak7s，sn,即8k7s1。则当nk1时，ak18k1188k18（7s1)156s7.ak1能被7整除由(1），(2）知，an能被7整除7已知数列an的第一项a15且sn1an（n2，nn),（1）求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明an的通项公式解：（1）a2s1a15,a3s2a1a210,a4s3a1a2a3551020，猜想an52n2（n2，nn）(2）证明:当n2时，a252225，猜想成立假设nk时成立，即ak52k2(k2，kn*)，当nk1时,由已知条件和假设有ak1ska1a2ak551052k2552k1，故nk1时猜想也成立由可知,对n2，nn*有an52n2。所以数列an的通项an8设函数yf（x），对任意实数x，y都有f（xy）f(x）f（y）2xy.（1）求f（0）的值;（2)若f（1）1，求f（2)，f（3),f（4)的值；(3）在（2)的条件下，猜想f（n)（nn*)的表达式并用数学归纳法证明解:（1）令xy0，得f(00)f（0）f（0)200，得f（0）0。（2)由f(1）1,得f（2)f(11)f(1）f（1)2114；f（3）f(21)f(2)f（1）2219；f(4）f（31)f(3)f（1）23116。(3)由（2)可猜想f（n）n