加权残值法求解梁的弯曲问题

1、 加权残数法求解梁的弯曲问题加权残数法求解梁的弯曲问题 2 例：如下图所示的简支梁受均布载荷作用，载荷 集度q=50KN, 梁的长度L=3m, 弹性模量E=200Gpa, 横 截面宽a=75mm,长 b=150mm 。 3 梁的挠度微分方程: 4 4 0(1) d w EIq dx 式中: EI梁的抗弯刚度 w 挠度 简支梁的边界条件为： (0)0, ( )0(2)ww l 4 选取试函数为: 1 sin(21)(3) n i i x wCi l 取前两项有为: 12 3 sinsin(4) xx wCC ll 则 4 44 12 4 33 () sin() sin(5) d wx CxC d

2、xllll 5 将（5）式代入（1）式得到残值为: 44 12 33 () sin() sin(6) x REI CxCq llll 为了消除残值，采用三种方法讨论： 最小二乘法 伽辽金法 配点法 6 最小二乘法的权函数为: 则 消除残值方程为: i R C 4 1 () sin(1.1) R EIx Cll 4 2 33 () sin(1.2) Rx EI Cll 0(1.3) l i R Rdl C 7 即 444 12 0 1 33 () sin() sin () sin l l Rx RdlEI CxCqEIx dx Cllllll 228284 12 0 3 () sin81() s

3、insin() sin0 l x E ICxCxEIqx dx lllllll 444 12 0 2 3333 () sin() sin () sin l l Rx RdlEI CxCqEIx dx Cllllll (1.4) 2 224824 12 2 0 333333 () sinsin() sin() sin0 l xx E ICxCEIqx dx lllllll (1.5) 8 求解上面两个方程得到待定系数的线性方程组: 12 12 3.8473e+013C -8.0146e+006C =0 (1.6) -8.0146e+006C +2.5242e+017C =0 12 0.0126,

4、0.001(1.7)CC 解线性方程组得系数为: 挠度的近似方程为: 3 0.0126sin0.0001sin(1.8) xx w ll 9 近似解与精确解比较如下图所示： 10 误差分析如下图所示： 11 为讨论试函数对解的影响，另选取试函数为： 式中C1 、C2 都是待定系数。 22 12 () ()(1.9)wx lxCC x 将上式代入(1)式得到残值方程为: 122 24(2)120(1.10)REICC lC xq 12 权函数为： 消除残值方程为： 1 24(1.11) R EI C 2 (12048 )(1.12) R EIxl C 0(1.13) l i R Rdl C 13

5、 即 122 0 1 24(2)120 24(1.14) l l R RdlEICC lC xqEIdx C 122 0 2 24(2)120(12048 )(1.15) l l R RdlEICC lC xqEIxl dx C 求解上面两个方程得到代定系数的线性方程组： 12 12 3.075541650432e+016C +4.613312475648e+016 C -1.518768e+013=0 4.613312475648e+016C +6.4586374659072e+01 7C -2.278152e+17=0 (1.16) 14 解线性方程组得系数为： 挠度的近似方程为： 12

6、-0.4938 e-003,0(1.17)CC 22 (-0.4938 e-003)()(1.18)wx lx 15 近似解与精确解比较如下图所示： 16 误差分析如下图所示： 17 伽辽金法的权函数为试函数项Wi，即： 1 sin(2.1) x W l 2 3 sin(2.2) x W l 0(2.3) i v RWdv 消除残值方程为： 即 44 112 0 33 () sin() sin sin0 (2.4) l l RWdvEI CxCxqxdx lllll 44 212 0 333 () sin() sin sin0 (2.5) l l RW dvEI CxCxqxdx lllll

7、求解上面两个方程得到代定系数的线性方程组: 12 12 7.5986e+006C -1.5829C =0 (2.6) -0.0195C +6.1549e+008C =0 19 解线性方程组得系数为: 解线性方程组得系数为: 12 0.0126,0.0001(2.7)CC 3 0.0126sin0.0001sin(2.8)wxx ll 20 近似解与精确解比较如下图所示: 21 误差分析如下图所示: 22 由于配点法的权函数为函数，由函数的性质， 我们取权函数为1。 试函数自然满足边界条件，只需在梁的内部配点。 由于试函数中只有两个待定系数，所以只需配两个点。 23 将配点坐标代入残值方程（6）

8、式得： 当x=l/3时： 44 12 3 ( )() sin() sin 0(3.1) 33 l REI CCq ll 当x=l/2时： 44 12 33 ( )() sin() sin0(3.2) 222 l REI CCq ll 求解线性方程组，得系数C1、C2分别为： 44 12 44 2( 32) ,(3.3) 381 3 qlql CC EIEI 选取配点坐标x为l/3和l/2 24 代入q、l、E、I的值得： 挠度的近似方程为： 12 0.0114,1.8865e 5(3.4)CC 3 0.0114sin(1.8865e 5)sin(3.5)wxx ll 25 近似解与精确解比较如下图所示： 26 误差分析如下图所示： 27 选取配点坐标x为l/6和3l/4 27 将配点坐标代入残值方程（6）式得： 当x=l/6时： 44 12 33 ( )() sin() sin0(3.6) 666 l REI CCq ll 当x=3l/4时： 44 12 3339 ()() sin() sin0(3.7) 444 l REI CCq ll 求解线性方程组，得系数C1、C2分别为： 44 12 44 2( 21)2( 21) ,(3.8) 81 qlql CC E