全国中学生物理竞赛课件3：平衡问题探骊

1、 稳定平衡稳定平衡 O 稍微偏离原平衡位稍微偏离原平衡位 置后能回到原位置置后能回到原位置 不稳定平衡不稳定平衡 稍微偏离原平衡位置稍微偏离原平衡位置 后不能回到原位置后不能回到原位置 随机平衡随机平衡 能在随机位置保持平衡能在随机位置保持平衡 O 对由重力与支持力作用下的平衡对由重力与支持力作用下的平衡 设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍设计一个元过程，即设想对物体施一微扰，使之稍 偏离原平衡位置偏离原平衡位置 * * 或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变或从能量角度考察受扰动后物体重心位置的高度变 化，根据重心是升高、降低还是不变来判断物体原本化，根据重心是升高、降低还是

2、不变来判断物体原本 是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡；是稳定平衡、不稳定平衡或是随遇平衡； 为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明为比较扰动前后物体的受力与态势，要作出直观明 晰的图示；由于对微扰元过程作的是晰的图示；由于对微扰元过程作的是“低细节低细节”的描述，的描述， 故常需运用合理的近似这一数学处理手段故常需运用合理的近似这一数学处理手段 或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量，或从受力角度考察受扰动后重力作用点的侧移量， 即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的即重力对扰动后新支点的力臂，从而判断物体原来的 平衡态属于哪一种平衡态属于哪一种 * * 依问题的具体情况，

3、择简而从依问题的具体情况，择简而从 * * 如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半如图所示，一个熟鸡蛋的圆、尖两端的曲率半 径分别为径分别为a、b且长轴的长度为且长轴的长度为l，蛋圆的一端可以在不光滑的水平，蛋圆的一端可以在不光滑的水平 面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直面上稳定直立求蛋尖的一端可以在一个半球形的碗内稳定地直 立，碗的半径立，碗的半径r需满足的条件需满足的条件 考察质心位置的高度变化考察质心位置的高度变化 蛋圆在水平面处稳定平衡蛋圆在水平面处稳定平衡,应满足应满足 B A b a C l R Rla 低细节低细节 描述描述 cos 2 C MNMCM +

4、蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足 微扰情况下微扰情况下、为小量，为小量， cos 2 RrR + 1cos 2 rR 2 2sin 2 R 2 2 2 R bR r Rb 整理得整理得 1 b b R 1 b b la 碗的半径碗的半径 b la ab r l 续解续解 MN O - M C A C B 蛋尖在球形碗内处稳定平衡蛋尖在球形碗内处稳定平衡,应满足应满足 NMNMNMrb 2 2 2 NM cosCM 续解续解 sinC M 续解续解 考察质心位置侧移量考察质心位置侧移量 蛋处于稳定平衡的条件是蛋处于稳定平衡的条件是: :重力对扰动后新支重力对扰动后新

5、支 点点N的力矩可使蛋返回原位，即满足的力矩可使蛋返回原位，即满足 低细节低细节 描述描述 sinC MMN Rr r Rr b bR r Rb 1 b b R 1 b b la 碗的半径碗的半径 b la ab r l 2222 01 sincossinab 01 sin 0 0 0 0 重力对重力对 的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置的力矩使杆继续顺时针远离原平衡位置! O 不稳定平衡不稳定平衡 a b x x 笔不会因滚动而破坏平衡笔不会因滚动而破坏平衡! B1 B O A C a 过笔质心的横截面过笔质心的横截面 sin60COa cos60OBa 0 tan cos OB CO 临界

6、状态下临界状态下 续解续解 重力作用线重力作用线 1 2 7 飞檐问题飞檐问题：如图所示，建造屋顶边缘时，用：如图所示，建造屋顶边缘时，用 长度为长度为L的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的的长方形砖块，一块压着下面一块并伸出砖长的1/8，如，如 果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样果不用水泥粘紧，则最多可以堆几层同样的砖刚好不翻倒？这样 的几层砖最多可使屋檐的几层砖最多可使屋檐“飞飞”出多长？出多长？ G L 若共堆若共堆n层、每块伸出层、每块伸出1/8的砖而恰未翻倒的砖而恰未翻倒 8 L 8 L 8 L 1 8 L LLn 全全 C全 全 nG 7 2 8 L 7

7、n 1 2 3 n 最上最上1 1层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出 2 L 最上最上2 2层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出 2G 4 L 3G 最上最上3 3层砖恰不翻倒层砖恰不翻倒, ,最多伸出最多伸出 2 L 24 LL G 262 GL x GG L x 6 L 246 LLL G 以此类推，以此类推，7层砖的最大伸出层砖的最大伸出 max 1111 24614 LL 如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴如图所示，一矩形导电线圈可绕其中心轴 O转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下，转动它处于与轴垂直的匀强磁场中，在磁场的作用下， 线框开始转动，最后静

8、止的平面位置是图中的线框开始转动，最后静止的平面位置是图中的 A O B B B O C B O D B O 不稳定平衡不稳定平衡 稳定平衡稳定平衡 不稳定平衡不稳定平衡 不稳定平衡不稳定平衡 图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的图中每一系统的两个球都用一跨过滑轮的 线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？线联结起来，问每一种情况各属哪种平衡？ 随机平衡随机平衡 稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡 给两小球线绳系统一扰动给两小球线绳系统一扰动, ,从受力角度考从受力角度考 察受扰动后察受扰动后, ,两小球重力沿绳方向力的合两小球重力沿绳方向力的合 力指向力指向, ,从而判断平衡种类从而判断平衡

9、种类! ! l l m L m 如图所示装置，它是由一个长如图所示装置，它是由一个长L的木钉、从木钉的木钉、从木钉 上端向左右斜伸出两个下垂的、长为上端向左右斜伸出两个下垂的、长为l的细木杆，以及在木杆的末的细木杆，以及在木杆的末 端装有质量同为端装有质量同为m的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木的小重球而组成木钉及木杆的质量可忽略，木 杆与木钉间夹角为杆与木钉间夹角为，此装置放在硬质木柱上，则，此装置放在硬质木柱上，则l、L、间应当满间应当满 足足_关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置关系才能使木钉由垂直位置稍微偏斜后，此装置 只能以只能以O点为支点摆动而不致倾倒点为支点摆动而不致

10、倾倒 为满足题意即系统为满足题意即系统处于稳定平衡处于稳定平衡, , 给系统一扰动给系统一扰动, , 两小球重力对两小球重力对O O的力的力 矩应能使系统矩应能使系统回到原位回到原位! ! 原平衡位置时原平衡位置时coslL 2mg 受一微扰后受一微扰后 能回到原位能回到原位 coslL 如图所示如图所示,长度为长度为2L、粗细均匀的杆，一端靠在、粗细均匀的杆，一端靠在 铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩铅直的墙上，而另一端靠在不动的光滑面上为了使杆即使没有摩 擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数表达擦仍能在任意位置处于平衡，试写出这个表面的横截线的函数

11、表达 式式(x) （杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内）（杆总是位于垂直于墙面的竖直平面内） 为满足题意即杆为满足题意即杆处于随遇平衡处于随遇平衡, ,应应 使杆的重心使杆的重心始终在始终在x轴轴! ! O y x C (0,) (x,y) 22 2 22xyL + + 表面的横截线满足表面的横截线满足 22 22 1 2 xy L L + + 该表面为椭球面的一部分该表面为椭球面的一部分 如图所示如图所示,两个质量分别为两个质量分别为m1和和m2的小环能沿着的小环能沿着 一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角一光滑的轻绳滑动绳的两端固定于直杆的两端，杆与水平线成角 度度在此杆

12、上又套一轻小环，绳穿过轻环并使在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻环并使m1、m2在其两在其两 边设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，边设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时， 直杆与轻环两直杆与轻环两 边的绳夹角为边的绳夹角为 试证：试证： 21 12 tan tan mm mm m2 m1 同一光滑绳上张力同一光滑绳上张力处处相同处处相同设为设为FT, , m1g FT 两小环平衡两小环平衡, ,分析受力如图分析受力如图: : m2g FT 90 90 由力矢量三角形由力矢量三角形: : 12 2cos 902cos 90 T m gm g F 12 sinsin mm 2 1 sin co

13、ssin cos sin cossin cos m m 21 12 tan tan mm mm 一根质量为一根质量为m的均匀杆，长为的均匀杆，长为L，处于竖直的位，处于竖直的位 置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相置，一端可绕固定的水平轴转动有两根水平轻弹簧，劲度系数相 同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数同，把杆的上端拴住，如图所示，问弹簧的劲度系数k为何值时才为何值时才 能使杆处于稳定平衡？能使杆处于稳定平衡？ 为使杆为使杆处于稳定平衡处于稳定平衡, ,给杆一扰给杆一扰 动动, ,弹簧拉力对弹簧拉力对O O的力矩应的力矩应大于大于杆重杆重 力矩力矩! ! mg

14、 FT 即即2 2 T L FLmg 其中其中 T FkL 得得 4 mg k L FT 如图所示如图所示,一块厚一块厚d的木板位于半径为的木板位于半径为R的圆柱上，的圆柱上， 板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为板的重心刚好在圆柱的轴上方板与圆柱的一根摩擦因数为试试 求板可以处于稳定平衡状态的条件求板可以处于稳定平衡状态的条件 R C C 令板从原平衡位置偏转一小角度令板从原平衡位置偏转一小角度 M M 板板处于稳定平衡处于稳定平衡条件是条件是重心升高重心升高! ! 2 d R 2 d cosR 以圆柱轴为参照以圆柱轴为参照, ,原板重心高度原板重心高度 coscos 2 d

15、R 扰动后重心高度扰动后重心高度 sinR 应有应有 cossincos 22 dd RRR 2 1 2sinsin 222 dd RRR 2 sin2sin 22 d RR 考虑到考虑到 很很小小, , s s i i n n 2dR 且且 1 tan 如图所示如图所示,用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为R的的 球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度球冠围成的外形，像一粒豆子浮子的厚度h2R，质量为，质量为m1沿浮子对称轴向沿浮子对称轴向 浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长浮子插入一细辐条，穿过整个厚度辐条长lh，质量为，质量为m2当将浮子辐条向当将

16、浮子辐条向 上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？上地浸于水中时，浮子只有少部分没于水中浮子的状态是稳定的吗？ 先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置：先由同向平行力合成求浮子重力合力作用点重心位置： C m1g m2g 2 l 2 h x 2 12 12 22 mlhlh m g xm gxx mm 由由 C l 2 12 22 C mhlh mm l 故故 浮子偏转小角度浮子偏转小角度 低细节低细节 描述描述 2 12 22 C mhLh lR mm = =当当 1 2 2 2 mLR mRh = =当当 浮子为浮子为不稳定平衡不稳定平衡! ! 1 2 2 2

17、 mLR mRh 当当浮子为浮子为稳定平衡稳定平衡! ! 至题至题9 C C 续解续解 C lR若若 C C lR若若= = C lR若若 OC mm hR 3 2 300g 21 6 84g D 有一长为有一长为0.2 m、截面积为、截面积为2 cm2的均匀细棒，密的均匀细棒，密 度为度为5102 kg/m3 在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面，在细棒下端钉上一小铁片（不计体积），让细棒竖立在水面， 若细棒露出水面部分的长为若细棒露出水面部分的长为0.02 m，则小铁片质量为多少？，则小铁片质量为多少？ 不拿去浸在水中的小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上不拿去浸在水中的

18、小铁片，在上端要截去多少长度，恰好使上 端面与水面齐平？端面与水面齐平？ 要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重要使细棒竖在水面是稳定平衡，下端小铁片至少要多重? 分析此时受力：分析此时受力： CM LSg mg 0.9LSg 水水 0.9LSgmgLSg 水水 0.9mLS 水水 34 0.9 0.5100.2 2 10 kg 16g 此时态势为：此时态势为： mg C1 1 L Sg 1 L Sg 水 水 11 L SgmgL Sg 水水 1 m L S 水水 3 34 16 10 m= 0.5 102 10 16cm 4 cmL 低细节低细节 描述描述 系统为系统为稳定平衡稳定

19、平衡条件是条件是浮心高于合重心浮心高于合重心! ! 22 MLMm MmS 水水 即即 34 0.020.02 0.1 0.022 102 10 m m min 8gm C总 至题至题11 C总 C总 C总 不稳定平衡不稳定平衡随机平衡随机平衡 稳定平衡稳定平衡 续解续解 a b 两个相同长方体处于图示位置问当两个相同长方体处于图示位置问当角为多少角为多少 时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为时它们才可能平衡？长方体与水平面间摩擦因数为，长方体长，长方体长b宽宽 a长方体间无摩擦长方体间无摩擦 分析受力：分析受力： G 0 Ff G 0 fG F 0 f G 1 tan a b 系统系

20、统可能平衡可能平衡条件是条件是 在此条件下在此条件下, ,对右物块由力矩平衡对右物块由力矩平衡 sincoscos 2cos b GF bG b G sin coscos sin 2 cos cos tan2tan 1 tan2 a b 在此条件下在此条件下, ,对左物块由力矩平衡对左物块由力矩平衡 cos 2 a GF b sinsin 1 22tan a b 111 tanmin tan2,2tan aaa bbb sin 2cos b G 在互相垂直的斜面上放置一匀质杆在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB，设各接，设各接 触面的摩擦角均为触面的摩擦角均为（tg）,求平衡时杆求平衡时杆AB与

21、斜面与斜面AO交角交角的范的范 围已知斜面围已知斜面BO与水平面交角为与水平面交角为 A B O 三力杆平衡时的几何位置特点三力杆平衡时的几何位置特点: : 不稳定平衡不稳定平衡 杆两端约束力与重力三力汇交杆两端约束力与重力三力汇交 当当=时时 G A B O fA=0 fB=0 续解续解 结论结论: 1 O 平衡时杆平衡时杆AB与斜面与斜面 AO交角交角的范围为的范围为 22 当当 时时 G O A B G - O 90,O AG O AG 90AO G AO G 9090 2 O GAGO GAG= 2 2 杆平衡位置与左斜面的夹角杆平衡位置与左斜面的夹角 续解续解 当当 时时 G O G A B 90,O AG O AG 90AO G AO G 9090