2020-2021学年数学苏教版第一册教学案：第章 ..2 第2课时　一元二次不等式的应用含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材苏教版必修第一册教学案：第3章 3.3.2 第2课时一元二次不等式的应用含解析第2课时一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1掌握一元二次不等式的实际应用（重点）2理解三个“二次”之间的关系3会解一元二次不等式中的恒成立问题（难点)1通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习,培养数学运算素养2借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养汽车在行驶中，由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离刹车距离是分析交通事故的一个重要依据在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情

2、况不对，同时刹车,但还是相碰了事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m,乙车的刹车距离略超过10 m已知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速v km/h之间的关系分别是什么？试判断甲、乙两车有无超速现象1分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式0(0） (其中a,b,c，d为常数）法一：或法二:(axb)(cxd）0(0）0（0)法一：或法二：k（其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1：0与（x3）(x2)0等价吗？将0变形为(x3）(x2）0,有什么好处?提示等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式2（1)不等式的解集为r(或恒

3、成立）的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0a0b0，c0b0,c0a0(2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数yax2bxc若ax2bxck恒成立y最大值k若ax2bxck恒成立y最小值k思考2:x10在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间2，3与不等式x10的解集有什么关系？提示x10在区间2,3上恒成立的几何意义是函数yx1在区间2,3上的图象恒在x轴上方区间2,3内的元素一定是不等式x10的解,反之不一定成立，故区间2，3是不等式x10的解集的子集3从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤（1）阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系(2）

4、设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系）（3)解不等式（或求函数最值）(4)回扣实际问题思考3：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解1若集合ax|12x13,b，则ab等于（）ax|1x0bx0x1cx|0x2 dx|0x1bax1x1，bx0x2，abx|0x12不等式5的解集是原不等式0解得00在r上恒成立，所以a242a0，所以0a0,x40,y40，xy300，整理得yx40，将y40x代入xy300,整理得x240x30

5、00，解得10x30分式不等式的解法【例1】解下列不等式：（1)0；（2）1解(1）0（x3)（x2）02x3，原不等式的解集为x2x3(2）1，10，0,即0此不等式等价于(x4)0且x0，解得x或x4，原不等式的解集为1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解1解下列不等式：（1)0；（2)3(2）不等式3可改写为30,即0可将这个不等式转化成2(x1）(x1）0，解得1x1所以，原不等式的解集为x1x1一元二次不等式的

6、应用【例2】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8)为了减轻农民负担，制定积极的收购政策根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%思路点拨将文字语言转换成数学语言:“税率降低x个百分点即调节后税率为(8x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(12x）吨，“原计划的78即为2 400m8%78解设税率调低后“税收总收入为y元y2 400m（12x%)(8x)m（x242x400)（0x8)依题意,得y2 40

7、0m878，即m(x242x400)2 400m8%78%，整理，得x242x880，解得44x2根据x的实际意义，知0x8，所以x的范围为（0,2解不等式应用题的步骤2某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围解设花卉带的宽度为x m（0x0恒成立，如何求实数a的取值范围?提示若a0，显然ax22x20不能对一切xr都成立，所以a0,此时只有二次函数yax22x2的图象与直角坐标系中的x轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，则解得a2若函数yx2ax3

8、对x3，1上恒有x2ax30成立，如何求a的范围？提示要使x2ax30在3，1上恒成立,则必使函数yx2ax3在3，1上的图象在x轴的下方，由函数yx2ax3的图象可知,此时a应满足即解得a2故当a(，2)时，有x2ax30在x3,1时恒成立3若函数yx22(a2）x4对任意a3,1时，y0恒成立，如何求x的取值范围？提示由于本题中已知a的取值范围求x，所以我们可以把函数yf(x)转化为关于自变量是a的函数，求参数x的取值问题,则令yg(a）2xax24x4要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足即因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx22(a2）x4对任意a3,1，y0恒

9、成立【例3】已知yx2ax3a,若x2,2，y0恒成立，求a的取值范围思路点拨对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解解设函数yx2ax3a在x2，2时的最小值为m，则（1）当对称轴x4矛盾，不符合题意（2)当2,2,即4a4时，m3a0,解得6a2,此时4a2(3)当2,即a4时，m7a0,解得a7，此时7a0，解得a2或ax22x3,即a2(x1)24，要使该不等式在r上恒成立，必须使a2大于（x1）24的最大值，即a24，故a2或a21不等式ax2bxc0的解是全体实数（或恒成立）的条件是：当a0时,b0，c0；当a0时，2不等式ax2bxcm；

10、(2)若关于x的函数有最小值m,则ay恒成立am1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”）(1)不等式1的解集为xx2mx恒成立时，可转化为求解函数yx2mx的最大值，从而求出m的范围()提示（1)1100x|0x1故(1）错(2）错因为参数m没有完全分离出来答案(1）(2)2不等式0的解集为（)ax2x1或1x3bx2x3cx|1x3dx3x2a原不等式2x3且x13设x22xa80对于任意x（1，3）恒成立，则a的取值范围是（，5原不等式x22xa80转化为ax22x8对任意x（1,3）恒成立，设yx22x8，易知该函数在1,3上的最小值为5a(，54某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格？解设每盏台灯售价x元，则x15，并且日销售收入为x302（x15），