2021届山东高考数学教学案：第2章　第11讲　第课时　导数的综合应用含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章第11讲第3课时导数的综合应用含解析第3课时导数的综合应用题型 一利用导数求解函数的零点或方程的根的问题1.若关于x的方程x3x22xc有三个不等实根，则实数c的取值范围是_答案解析原方程可化为cx3x22x，设f(x)x3x22x，f(x)x2x2(x1）（x2），由f（x)0可得x2或x1，由f（x）0可得1x2，所以函数f(x）在(,1），（2,）上是增函数,在（1,2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f（1)，极小值为f（2）。由题意得，函数f（x)的图象与直线yc有三个不同的公共点，所以c。2。（2019全国

2、卷节选）已知函数f(x）2sinxxcosxx,f（x)为f（x）的导数证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点证明设g(x)f(x)，则g(x）cosxxsinx1，g（x）xcosx.当x时，g(x）0；当x时，g(x）0，所以g(x)在上单调递增，在上单调递减又g(0）0，g0，g(）2，故g（x）在（0,)存在唯一零点所以f（x）在区间（0，)存在唯一零点。利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值）判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围（2)数形结合法求解零点对于方程解的个

3、数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围(3)构造函数法研究函数零点根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法1。（2019吉安模拟)已知定义在r上的奇函数f（x)满足x0时，f(x）xln xln，则函数g（x）f（x）sinx（e为自然对数的底数）的零点个数是（）a。1 b2 c3 d5答案c解析根据题意,函数g（x)f(x）si

4、nx的零点即函数yf(x）与ysinx的交点，设h（x)sinx,函数f（x)为r上的奇函数，则f(0)0，又由h（0)sin00。则函数yf（x)与ysinx存在交点(0,0），当x0时，f(x)xln xln，其导数f(x），分析可得在区间上，f(x)0，f（x)为增函数，则f(x)在区间(0，)上存在最小值，且其最小值为fln ln 1，又由hsin1，则函数yf(x）与ysinx存在交点,又由yf(x）与ysinx都是奇函数，则函数yf（x)与ysinx存在交点。综合可得，函数yf（x）与ysinx有3个交点，则函数g（x）f（x)sinx有3个零点.2。已知函数f（x)xln x，g

5、(x）x2ax3（a为实数），若方程g（x)2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围解由g（x)2f（x)，可得2xln xx2ax3，ax2ln x,设h(x）x2ln x（x0），所以h(x)1.所以x在上变化时，h（x),h(x）的变化情况如下：x，11（1，e)h（x）0h（x)极小值又h3e2，h（1)4，h（e)e2.且h（e）h42e0。所以h（x)minh（1)4，h（x）maxh3e2，所以实数a的取值范围为4ae2,即a的取值范围为。题型 二利用导数研究不等式的有关问题角度1证明不等式(多维探究）1.(2019武威模拟)已知f(x）2axbln x1,设曲线yf

6、（x)在点(1，f(1）)处的切线为y0.（1）求实数a，b的值；（2）设函数g（x）mf（x)mx,若1m3,求证：当x1，e时，g（x）2。解（1)由已知得，f(x)2a，依题意f（1）0,且f(1）0,所以解得a，b1。（2）证明：由(1)得f(x)xln x1(x0），所以g(x)mln xm（x0),g(x)x,当m0时,由g(x）0得x，由g（x)0得0x,所以g(x)在区间(0，）上是减函数，在区间(，)上是增函数；当1m3,x1，e时,1,e，g(x)在区间1,)上是减函数,在区间（，e上是增函数,所以g（x)的最大值为max(g（1），g(e)，又因为1m3,g（e）2m2,

7、g（1)m02，所以当1m3,x1，e时,g(x)2。条件探究本例中，f（x）改为“f(x)”，g(x）改为“g（x）xln x”，当x（0,）时，求证f(x）g(x）证明因为g(x）ln x1.令g(x)0，则x，所以g（x)在上单调递减，在上单调递增所以g（x）g.又因为f（x）。令f(x）0,则x0，所以f(x)在（0，1）上单调递增，在（1,)上单调递减所以f（x）f（1).因此f(x)g（x）.角度2已知不等式恒成立，求参数的取值范围2。已知函数f(x）。（1）若函数f(x）在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围解(1）函

8、数f（x)的定义域为(0，)，f（x)，令f（x）0,得x1.当x（0，1）时，f（x）0,f(x）是增函数;当x(1，)时,f(x)0，f（x）是减函数;所以x1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，所以0a1a,故a0,所以g(x）是增函数，所以g（x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是（,2。角度3不等式存在性成立问题3。已知函数f(x）x（a1）ln x（ar)，g（x）x2exxex.（1)当x1，e时，求f(x）的最小值;(2）当a1时，若存在x1e，e2,使得对任意的x22,0，f（x1）g（x2）恒成立，求a的取值范围解（1)f（x）的定义域为(0，)，f（x)。当a

9、1时，x1，e，f(x）0,f（x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时,x1，a时,f（x)0,f（x)为减函数；xa，e时，f(x）0,f(x）为增函数所以f(x）minf(a)a(a1)ln a1.当ae时，x1，e时，f(x）0,f(x）在1,e上为减函数f（x）minf（e)e(a1)。综上，当a1时，f(x）min1a;当1a，所以a的取值范围为.1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1）直接将不等式转化成某个函数最值问题若证明f(x)g(x),x（a,b),可以构造函数f（x)f(x)g(x），如果f(x)0，则f(x)在(a,b)上是减函数，同时若f(a)0，由

10、减函数的定义可知，x(a，b)时,有f(x）0，即证明了f（x）0.(4)任意x1m，任意x2n,f（x1）g（x2）f(x1)ming（x2)max；任意x1m,存在x2n,f(x1)g(x2）f（x1）ming（x2)min;存在x1m，存在x2n，f（x1）g（x2）f(x1)maxg（x2)min；存在x1m，任意x2n，f（x1）g（x2)f（x1）maxg（x2）max。如举例说明3.1.（2019渭南模拟)设函数f(x）（xa)2（3ln x3a)2，若存在x0，使f（x0)，则实数a的值为()a. b. c。 d1答案a解析分别令g（x）3ln x，h（x)3x，设过点p（x0

11、，3ln x0）的函数g(x)的切线l平行于直线y3x.g(x)，由3，解得x01。切点p（1，0）点p到直线y3x的距离d。存在x01,使f（x0)，过点p且与直线y3x垂直的直线方程为y(x1）联立解得x，y.则实数a。故选a。2.已知函数f（x)xln xax21，且f(1）1。（1)求函数f(x)的解析式;（2)若对任意x（0,)都有f（x）2mx10,求m的取值范围；（3)证明：ln xx1ex2。解(1)因为f（x）xln xax21，所以f（x）ln x1ax.又因为f（1）1,所以1a1,a2，所以f(x)xln xx21.(2）若对任意x（0，），都有f(x）2mx10.即x

12、ln xx22mx0恒成立,即mln xx恒成立令h(x)ln xx，则h(x）.当00，h(x)单调递增；当x1时,h(x）0.令（x）exx1，则（x)ex1.当x0时,（x）0，（x）单调递增所以(x)(0）0。即exx10。所以x1ex2。从而得到ln xx1ex2。题型 三利用导数求解生活中的优化问题如图所示的某种容器的体积为90 cm3,它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为r cm。圆锥的高为h1 cm，母线与底面所成的角为45;圆柱的高为h2 cm.已知圆柱底面的造价为2a 元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a 元/cm2。（1)将圆柱的高

13、h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径为多少？解(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45，所以h1r，圆锥的体积为v1r2h1r3,圆柱的体积为v2r2h2.因为v1v290,所以v2r2h290r3，所以h2.因为v1r390,所以r3。因此0r3，所以h2，定义域为r0r3（2)圆锥的侧面积s1rrr2，圆柱的侧面积s22rh2，底面积s3r2.容器总造价为yas1as22as32r2a2rh2a2r2a2a（r2rh2r2)2a.令f(r）r2，则f(r）2r.令f（r）0，得r3.当0r3时，f（r）0，f(r）在（0,3）上为单调减函数；当3

14、r3时，f(r)0,f(r)在（3,3)上为单调增函数，因此，当r3时，f（r)有最小值,y有最小值90a元所以总造价最低时,圆柱底面的半径为3 cm。1.利用导数解决生活中的实际应用问题的四步骤2.利用导数解决生活中优化问题的方法求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域,然后利用求函数最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合如举例说明某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x（单位:元/千克)满足关系式y10(x6）2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（1)求a的值；（

15、2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大解（1）因为当x5时，y11,所以1011，解得a2.（2)由（1)可知,该商品每日的销售量为y10(x6）2。所以商场每日销售该商品所获得的利润为f（x）(x3）210（x3)(x6）2,3x6.则f(x)10（x6)22（x3）(x6）30（x4)(x6)于是,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6）f（x）0f（x）单调递增极大值42单调递减由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值所以当x4时，函数f（x）取得最大值且最大值等于42.答:当销售价格为4

16、元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大组基础关1方程x36x29x100的实根个数是()a3 b2 c1 d0答案c解析设f（x）x36x29x10，f(x）3x212x93(x1)(x3）,由此可知函数的极大值为f（1）60，极小值为f(3)100，所以方程x36x29x100的实根个数为1.2若exkx在r上恒成立，则实数k的取值范围为（）a(，1 b1，）c（,1 d1，）答案a解析由exkx，得kexx。令f（x）exx,f（x）ex1.当f（x）0时，解得x0.f（x)在（，0）上是减函数，在(0,）上是增函数f(x)minf（0）1。实数k的取值范围为（,1故选a。3某商场

17、从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为q件，则销售量q（单位:件）与零售价p(单位:元)有如下关系：q8300170pp2，则最大毛利润为（毛利润销售收入进货支出）（）a30元 b60元c28000元 d23000元答案d解析设毛利润为l(p）元,则由题意知l（p)pq20qq（p20）(8300170pp2）（p20)p3150p211700p166000，所以l(p）3p2300p11700。令l(p）0，解得p30或p130(舍去)当p(0,30)时，l（p)0，当p（30，）时，l(p)0,故l（p）在p30时取得极大值，即最大值，且最大值为l（30

18、）23000.4已知函数f(x）aln xx2，ar，若f(x)在1，e2上有且只有一个零点，则实数a的取值范围是()a.b.2e2c.2ed.答案c解析当x1时,f(1）10，从而分离参数,可将问题转化为直线ya与函数g（x）的图象在（1,e2上有且只有一个交点，令g(x）0，得x,易得g（x)在(1，）上单调递增，在（，e2上单调递减,由于g()2e，g（e2）,当x1时,g（x),所以直线y2e或位于直线y下方的直线均满足题意，即a2e或a。故选c.5(2019天津高考）已知ar，设函数f(x）若关于x的不等式f(x)0在r上恒成立,则a的取值范围为（）a0，1 b0，2 c0，e d1

19、，e答案c解析当x1时，由f(x）x22ax2a0恒成立,而二次函数f（x)图象的对称轴为直线xa，所以当a1时，f（x）minf(1)10恒成立，当a0，所以g(x)ming（e)e，所以ae。综上，a的取值范围是0ae，即0，e故选c.6已知f（x）ln x,g（x)x22ax4.若x1(0,2，x21，2，使得f(x1)g（x2)成立，则a的取值范围是（)a. b。c。 d.答案a解析因为f(x）(x0),则当x(0，1）时，f（x)0；当x(1，2时，f（x）0，所以f（x）在（0,1)上单调递减，在(1，2上单调递增,故f(x）minf(1）.对于二次函数g（x)x22ax4，该函数

20、开口向下,所以其在区间1,2上的最小值在端点处取得,所以要使x1（0,2，x21，2,使得f(x1)g（x2)成立，只需f(x1）ming（x2）min，即g（1）或g（2），所以12a4或44a4,解得a。故选a。7已知方程ln x|ax20有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（)a. b. c. d.答案a解析由于yln x|ax2是偶函数，所以方程ln xax20(x0)有两个根，即a有两个根设f(x),则f（x），所以当0x0，f(x)递增,当x时，f（x）0，f（x）递减，所以当x时，f(x）取得极大值也是最大值f。又x0时,f(x)，x时，f（x）0，所以要使a有两个根，则0a

21、.8已知函数f（x）xx2a,若存在x1,2，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_答案(1，5）解析当x1，2时，f(x）|x3ax,由f（x）2可得2x3ax2,即为x2a5,即a5；设h（x）x2，则导数为h（x)2x，当x1,2时,h（x）0，即h(x)在1，2上单调递减，可得h（x）max121.即有a1。综上可得,a的取值范围是1a5.9已知函数f(x）xln xx2，x0是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：0x00.其中正确的命题是_（填出所有正确命题的序号）答案解析函数f（x）xln xx2(x0），f（x）ln x1x,易得f（x)ln x1x在(0，)递增，f0，x0

22、，f（x），0x0，即正确,不正确；ln x01x00，f(x0）x0x0ln x0xx0x0x0，即正确，不正确10已知函数f（x)的定义域是1，5，部分对应值如表，f（x）的导函数yf(x）的图象如图所示，x10245f（x)121.521下列关于函数f(x)的命题：函数f（x）的值域为1，2；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时,f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a最多有4个零点其中所有正确命题的序号是_答案解析由f（x）的导函数f（x)的图象可知，当1x0及2x4时，f（x）0,函数f(x)单调递增，当0x2及4x5时，f(x)0，函数f(

23、x）单调递减，当x0及x4时，函数f（x）取得极大值f（0）2，f(4）2，当x2时,函数f(x）取得极小值f（2)1。5.又f（1）f（5）1,所以函数f（x）的最大值为2，最小值为1，值域为1，2，正确；因为当x0及x4时，函数f(x）取得极大值f(0)2,f(4)2，要使当x1,t时,函数f（x)的最大值是2，则0t5,所以t的最大值为5,所以不正确；因为极小值f(2)1。5，极大值f（0)f(4)2，所以当1a2时，yf(x）a最多有4个零点，所以正确,所以正确命题的序号为.组能力关1已知f(x)1，过点(k,0）与f（x）相切的直线有且仅有3条，则k的取值范围是(）a（,2e2) b

24、(，2e2c(，4e2) d（，4e2答案c解析设切点为，f（x)，则切线为y1（xx0)，代入点（k，0)得kx0，令g(x)x，则g(x）,当x0，g(x）单调递增，注意到x1,故g(x）的递增区间为（，1),(1,2），当x2时，g(x)单调递减，要使g(x）k有三个根，由图象可得，kg(2)4e2，故k的取值范围为（，4e2）2若0x1x2a都有x2ln x1x1ln x2x1x2成立，则a的最大值为（）a. b1 ce d2e答案b解析根据题意,若0x1x2a，x2ln x1x1ln x2x1x20）,则函数f(x）在(0，a)上为增函数,对于f（x)，其导数f(x),若f（x）0，

25、解得02,所以函数f(x）不存在零点，所以函数f（x)不存在“折点”；对于函数f(x）lg x2019，取x02019，则函数f（x)在(，2019）上有零点x2020,在(2019，）上有零点x2018，所以x02019是函数f(x)lg |x2019的一个“折点;对于函数f（x)x1，则f(x）x21(x1)(x1）令f（x)0，得x1或x1；令f（x）0，得1x1，所以函数f(x）在(，1)和(1，)上单调递增，在（1,1）上单调递减又f（1)0,所以函数f（x）只有一个零点，所以函数f（x)x1不存在“折点”；对于函数f(x）x22mx1(xm)2m21，由于f(m）m211，结合图象

26、（图略）可知该函数一定有“折点”综上，存在“折点”的函数是。4(2019石嘴山三中模拟）已知函数f（x)x3ax。(1)讨论f(x)的单调性；（2)若函数g(x）f(x）xln x在上有零点，求a的取值范围解（1)因为f(x）x3ax,所以f（x)3x2a。当a0时,因为f(x）3x2a0，所以f（x)在r上单调递增；当a0时,令f（x)0,解得x或x。令f(x)0，解得x,则f（x)在，上单调递增，在上单调递减（2）因为g(x）f（x）xln x,所以g(x)x3axxln x，g(x）f(x)xln x在上有零点，等价于关于x的方程g（x）0在上有解,即x3axxln x0在上有解,因为x3axxln x0,所以ax2ln x.令h（x)x2ln x,则h(x）2x。令h(x）0，又x2,解得x2；令h（x）0,又x2,解得x,则h（x)在上单调递减,在上单调递增，因为h2ln ln 2，h(2)22ln 24ln 2，所以hh（2）2ln 220,则h(x)minh（2）4ln 2，h(x)maxh