桥梁结构电算(2014年9-16周)第二章

1、 第第2 2章章 杆系结构的矩阵位移法杆系结构的矩阵位移法 张行张行 交通学院，道桥系交通学院，道桥系 2014.4 2014.4 内容提纲内容提纲 1 1 绪论绪论 2 2 杆系结构的矩阵位移法杆系结构的矩阵位移法 3 3 桥梁结构的有限元建模桥梁结构的有限元建模 4 4 桥梁数值分析桥梁数值分析 5 Midas5 Midas桥梁实例分析桥梁实例分析 6 6 上机实践上机实践 2-1 2-1 概述概述 1 1、结构分析方法、结构分析方法 1 1）传统的方法）传统的方法力法、位移法、力矩分配法等都力法、位移法、力矩分配法等都 是传统的结构分析方法；适用于是传统的结构分析方法；适用于手算手算；只

2、能分析较；只能分析较简简 单的结构单的结构。 2 2）矩阵分析方法）矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称矩阵力法和矩阵位移法，或称 为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以 传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形 式，以计算机作为计算手段的式，以计算机作为计算手段的电算电算结构分析方法，它结构分析方法，它 能解决能解决大型复杂的工程问题大型复杂的工程问题。 2-1 2-1 概述概述 3 3）矩阵位移法）矩阵位移法它是以它是以结点位移结点位移作为基本未知量作为基本未知量 的结构分析方法。由

3、于它易于实现计算过程程序化，的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化， 故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆系结构的矩阵位故本章只对矩阵位移法进行讨论。杆系结构的矩阵位 移法也被称为杆系结构的有限元法。移法也被称为杆系结构的有限元法。 2 2、基本思路、基本思路 1 1）手算位移法）手算位移法 （1 1）取基本结构）取基本结构构造各自独立的单跨超静梁的组构造各自独立的单跨超静梁的组 合体；合体； （2 2）建立转角位移方程）建立转角位移方程建立各杆段的杆端力与杆建立各杆段的杆端力与杆 端位移间的关系；端位移间的关系； 2-1 2-1 概述概述 （3 3）建立结点平衡方程）建立结点平衡方程考虑结

4、点变形协调关考虑结点变形协调关 系与平衡条件，建立整个结构的结点位移与系与平衡条件，建立整个结构的结点位移与 结点荷载之间的关系。结点荷载之间的关系。 2 2）矩阵位移法）矩阵位移法 （1 1）结构离散化）结构离散化划分单元；划分单元； （2 2）单元分析）单元分析建立单元的杆端力与杆端位移建立单元的杆端力与杆端位移 间的转换关系，形成单元刚度矩阵；间的转换关系，形成单元刚度矩阵； （3 3）整体分析）整体分析建立整个结构的结点位移与结建立整个结构的结点位移与结 点荷载间的转换关系，形成结构刚度矩阵。点荷载间的转换关系，形成结构刚度矩阵。 2-1 2-1 概述概述 3 3）结论）结论两种方法原

5、理相同。只是在后述理论推两种方法原理相同。只是在后述理论推 导、公式表达和计算过程中均采用导、公式表达和计算过程中均采用矩阵矩阵 这一数学工具。这一数学工具。单元分析单元分析和和整体分析整体分析是是 矩阵位移法两个重要内容。矩阵位移法两个重要内容。 以平面杆系结构为例以平面杆系结构为例 2-2 2-2 结构离散化结构离散化 1 1）自然划分）自然划分 如图如图2-12-1所示刚架的单元所示刚架的单元 划分，即为自然划分的情况。划分，即为自然划分的情况。 2 2）人为划分）人为划分 如图如图2-22-2所示无铰拱的单所示无铰拱的单 元划分，即为人为划分的例元划分，即为人为划分的例 子。子。 3

6、3 2 21 1 4 4 图图 2-12-1 单元数：单元数：3 3（杆件数）；（杆件数）； 结点数：结点数：4 4（杆件汇交点数）。（杆件汇交点数）。 1 3 2 6 5 7 8 4 图图 2-2 2-2 单元数：单元数：7 7 结点数：结点数：8 8 2-3 2-3 单元分析单元分析 1 1、单元杆端力、杆端位移的矩阵表示单元杆端力、杆端位移的矩阵表示 1 1）局部坐标系与杆端力、杆端位移。）局部坐标系与杆端力、杆端位移。 设有如图设有如图2-32-3所示的等截面所示的等截面 杆单元杆单元 ，取图示取图示 坐标系，其中坐标系，其中 轴与单元轴与单元 轴线重合，并以由轴线重合，并以由i i

7、到到j j的的 方向为方向为 轴的正向，轴的正向，i i、j j 分别称为单元的始端和末端。分别称为单元的始端和末端。 这种就某一单元而建立的坐这种就某一单元而建立的坐 标系，称为标系，称为单元坐标系单元坐标系或或局局 部坐标系部坐标系。 e exy x x x e i M e Ni F e Qi F e j M e N j F e Q j F i i j j y e e （a a） 图图 2-3 2-3 x e i e i u e i v e j e j u e j v i i j j y e e （b b） 2-3 2-3 单元分析单元分析 1 1、单元杆端力、杆端位移的矩阵表示单元杆端力

8、、杆端位移的矩阵表示 2 2）局部坐标系）局部坐标系 任意杆件任意杆件 ，左端点号，左端点号i i，右，右 端点号端点号j j，取杆左端点为原点，取杆左端点为原点， 杆轴线为杆轴线为X X轴，从轴正方向逆轴，从轴正方向逆 时针旋转时针旋转9090度得度得Y Y轴。轴。 e e 3 3）元素顺序）元素顺序 杆端位移分量顺序：左、右端杆件位移分别按杆端位移分量顺序：左、右端杆件位移分别按 方向位移、方向位移、 方向位移与转角进行排列。方向位移与转角进行排列。 杆端力分量顺序：与杆端位移分量排列顺序对应。杆端力分量顺序：与杆端位移分量排列顺序对应。 x y 2-3 2-3 单元分析单元分析 1 1、

9、单元杆端力、杆端位移的矩阵表示单元杆端力、杆端位移的矩阵表示 在局部坐标系中，一般单元的两端各有三个杆端力分在局部坐标系中，一般单元的两端各有三个杆端力分 量量 、 、 和相应的杆端位移分量和相应的杆端位移分量 、 、 。 其正负号规定分别为：其正负号规定分别为： Q FM N Fu v 、 以沿以沿 轴的正方向为正，反之为负；轴的正方向为正，反之为负； 、 以沿以沿 轴的正方向为正，反之为负；轴的正方向为正，反之为负； 、 以逆时针方向为正。以逆时针方向为正。 N F ux v Q Fy M x e i M e Ni F e Qi F e j M e N j F e Q j F i i j

10、j y e e x e i e i u e i v e j e j u e j v i i j j y e e 2-3 2-3 单元分析单元分析 4 4）单元杆端力与杆端位移分量矩阵表示）单元杆端力与杆端位移分量矩阵表示 ; ee Nii ee Qii ee eeii ee Njj ee Qjj ee jj Fu Fv M F Fu Fv M 杆端力（杆端力（6 61 1列矩阵）列矩阵） 杆端位移（杆端位移（6 61 1列阵）列阵） 2-3 2-3 单元分析单元分析 2 2、局部坐标系单元刚度矩阵、局部坐标系单元刚度矩阵 用杆端位移表示杆端力的用杆端位移表示杆端力的系数矩阵系数矩阵。 杆端位移

11、杆端位移/杆端力杆端力 结点位移结点位移/结点力结点力 2-3 2-3 单元分析单元分析 2 2、局部坐标系单元刚度矩阵、局部坐标系单元刚度矩阵 杆端位移、杆端力杆端位移、杆端力 2-3 2-3 单元分析单元分析 2 2、局部坐标系单元刚度矩阵、局部坐标系单元刚度矩阵 根据杆端力的杆端位移表达形式得到单元刚度矩阵根据杆端力的杆端位移表达形式得到单元刚度矩阵 2-3 2-3 单元分析单元分析 2 2、局部坐标系单元刚度矩阵、局部坐标系单元刚度矩阵 1）元素的含义）元素的含义 所在列对应的杆端位移所在列对应的杆端位移 分量等于分量等于1（其余杆端位（其余杆端位 移分量均为零）时，所移分量均为零）时

12、，所 以引起所在行对应的杆以引起所在行对应的杆 端力分量的数值。端力分量的数值。 2）对称性对称性 3）奇异性奇异性 ee ijji kk | 0 e k 2-3 2-3 单元分析单元分析 3 3、特殊单元的单元刚度矩阵、特殊单元的单元刚度矩阵 1）连续梁单元刚度矩阵）连续梁单元刚度矩阵 连续梁计算时，通常忽略轴连续梁计算时，通常忽略轴 向变形，此时每个结点只有向变形，此时每个结点只有 一个转角位移分量，平移位一个转角位移分量，平移位 移分量为移分量为0。 e i 0 e i u 0 e i v i i j j e e e j 0 e j u 0 e j v () e j M () e i M

13、 0 eeee iijj uvuv 42 24 ee ii ee jj Mii iiM 42 24 e ii k ii 即为连续梁的单元刚度矩阵。即为连续梁的单元刚度矩阵。 2-3 2-3 单元分析单元分析 3 3、特殊单元的单元刚度矩阵、特殊单元的单元刚度矩阵 2）平面桁架单元刚度矩阵）平面桁架单元刚度矩阵 此时只有两个杆端位移，而此时只有两个杆端位移，而 其余位移均为零。其余位移均为零。 e e Ni i ee j Nj EAEA uF ll EAEAu F ll e i u i ij j e e e j u () e NjF() e NiF e EAEA ll k EAEA ll 即为平

14、面桁架单元刚度矩阵。即为平面桁架单元刚度矩阵。 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 1 1、两套坐标系、两套坐标系 在一般结构中，各单元（局部）坐标系不尽相同，这在一般结构中，各单元（局部）坐标系不尽相同，这 样，就不便于进行整体分析。因此，在进行整体分析样，就不便于进行整体分析。因此，在进行整体分析 之前，应先讨论结构（整体）坐标系以及单元坐标系之前，应先讨论结构（整体）坐标系以及单元坐标系 与整体坐标系间的关系。如图即为所选的两套坐标系。与整体坐标系间的关系。如图即为所选的两套坐标系。 1）局部坐标系）局部坐标系 方向？方向？ 2）整体坐标系）整体坐标系 取一计算

15、较方便的点作为参取一计算较方便的点作为参 考原点，一般以水平线为考原点，一般以水平线为X 轴，竖线为轴，竖线为Y轴。轴。 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 1 1、两套坐标系、两套坐标系 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 1 1、两套坐标系、两套坐标系 空间梁单元的局部坐标系空间梁单元的局部坐标系 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 1 1、两套坐标系、两套坐标系 坐标变换坐标变换: :将整体量转化（投影）到局部坐标系；将整体量转化（投影）到局部坐标系； 或将局部量转化（投影）到整体坐标系。或将局部量转化（投影）

16、到整体坐标系。 局部（单元）坐标系；局部（单元）坐标系； 整体（结构）坐标系；整体（结构）坐标系； xoy xoy 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 1 1、两套坐标系、两套坐标系 总体坐标系中的杆端位移和杆端总体坐标系中的杆端位移和杆端 力力 由投影关系可得：由投影关系可得： 2 2、坐标变换、坐标变换 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 2 2、坐标变换、坐标变换 同理同理 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 3 3、坐标转换矩阵、坐标转换矩阵 cossin0 sincos00 001 cossin0 0sin

17、cos0 001 T 称为坐标转换矩阵。称为坐标转换矩阵。 T T为正交矩阵（为正交矩阵（T T中任一行或列的各元素平方和等于中任一行或列的各元素平方和等于 1 1，且任意两行（或列）对应元素相乘的代数和为零）。，且任意两行（或列）对应元素相乘的代数和为零）。 因此有：因此有： 1T TT 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 4 4、杆端力变换、杆端力变换 由杆端位移之间的变换关系，同样可得两坐标系下由杆端位移之间的变换关系，同样可得两坐标系下 杆端力的变换关系，即：杆端力的变换关系，即： ee FT F 5 5、单元刚度矩阵变换、单元刚度矩阵变换 局部坐标系中的单刚

18、方程为：局部坐标系中的单刚方程为： eee Fk ee T eee TFkT 1eee FT k T 两边同时左乘两边同时左乘 ，得：，得： 1 T 1T eTee TT FT k T 简记为：简记为： eee Fk 即为整体坐标系中的单刚方程即为整体坐标系中的单刚方程 其中其中 eTe kTkT 即为单元即为单元e在整体坐标系中的单在整体坐标系中的单 元刚度矩阵元刚度矩阵 2-4 2-4 单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换 例题例题 有杆件有杆件=90度（垂直），则该杆件的转换矩阵为度（垂直），则该杆件的转换矩阵为 cossin0 sincos00 001 cossin0 0sin

19、cos0 001 T 010 1000 001 010 0100 001 T 010000 100000 001000 000010 000100 000001 iii iii iii jjj jjj jjj uuv vvu uuv vvu 该局部坐标系下杆该局部坐标系下杆 端位移分量与总体端位移分量与总体 坐标下杆端位移分坐标下杆端位移分 量的关系为：量的关系为： 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 也称为整体分析也称为整体分析 按照工程结构计算机分析的一般步骤是先分后合，在按照工程结构计算机分析的一般步骤是先分后合，在 把结构分离为独立的单元，求得单元刚度矩阵之后

20、，又要把结构分离为独立的单元，求得单元刚度矩阵之后，又要 按照单元在原有结构中的位置合成整体，分析整体结构的按照单元在原有结构中的位置合成整体，分析整体结构的 变形与外力之间的关系，得到变形与外力之间的关系，得到整体结构的刚度矩阵整体结构的刚度矩阵。 既然整体结构是由若干个单元拼合组成，那么整体结既然整体结构是由若干个单元拼合组成，那么整体结 构的刚度矩阵也可以用单元刚度矩阵来集成，以下进行详构的刚度矩阵也可以用单元刚度矩阵来集成，以下进行详 细说明。细说明。 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 1 1、连续梁的整体刚度矩阵、连续梁的整体刚度矩阵 以图示连续梁为例，讨

21、论矩阵位移法的第二步以图示连续梁为例，讨论矩阵位移法的第二步整体分析。整体分析。 1 1）位移法原理与步骤（传统法）位移法原理与步骤（传统法） （1 1）单元编码、结点编码）单元编码、结点编码 单元数：单元数：2 2 结点数：结点数：3 3 已知结点载荷：已知结点载荷： 未知结点位移（基本未知量）：未知结点位移（基本未知量）： 123 T FF F F 123 T 1 32 F1F2F3 i1i2 2 3 1 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 1 1、连续梁的整体刚度矩阵、连续梁的整体刚度矩阵 1 32 F1F2F3 i1i2 2 3 1 （2 2）单元杆端弯矩方程

22、）单元杆端弯矩方程 列出转角位移方程或单元刚度方程列出转角位移方程或单元刚度方程 单元：单元： 121 112 211 112 42 24 Mii Mii 12111 11212 42 24 Mii iiM 单元：单元： 232223 322223 42 24 Mii Mii 23222 22332 42 24 Mii iiM （3 3）结点力矩平衡条件）结点力矩平衡条件 112 22123 332 1: 2: 3: FM FMM FM 结点 结点 结点 F2 1 F1 M12 2 M21 M12 F3 M32 2 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 1 1、连续梁的

23、整体刚度矩阵、连续梁的整体刚度矩阵 1 32 F1F2F3 i1i2 2 3 1 （3 3）结点力矩平衡条件）结点力矩平衡条件 112 22123 332 1: 2: 3: FM FMM FM 结点 结点 结点 （4 4）将杆端弯矩代入上式，并用矩阵表示）将杆端弯矩代入上式，并用矩阵表示 1111 211222 2233 420 2442 024 Fii Fiiii iiF 位移法方程（平衡方程）。即为位移法方程（平衡方程）。即为 结构（整体）刚度方程。可简记为：结构（整体）刚度方程。可简记为： Fk 其中，其中，k k为结构（整体）刚度矩阵。为结构（整体）刚度矩阵。 11 1122 22 4

24、20 2442 024 ii kiiii ii 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 1 1、连续梁的整体刚度矩阵、连续梁的整体刚度矩阵 1 32 F1F2F3 i1i2 2 3 1 2 2）单元集成法）单元集成法（直接刚度法）（直接刚度法） 步骤步骤 （1 1）单刚）单刚“换码换码” 将单元杆端位移编码换为整体结点位移编码（若结将单元杆端位移编码换为整体结点位移编码（若结 点位移为零，其总码编为零），即可得到定位向量点位移为零，其总码编为零），即可得到定位向量 ，并分别，并分别 标在标在 的上方和左（右）边。的上方和左（右）边。 e e k 1 2 i j 换码 单元

25、：单元：k k = = = = k 22 22 42 24 ii ii 1 2 1 2 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 1 1、连续梁的整体刚度矩阵、连续梁的整体刚度矩阵 1 32 F1F2F3 i1i2 2 3 1 2 2）单元集成法）单元集成法（直接刚度法）（直接刚度法） 步骤步骤 11 11 42 24 ii ii 单元：单元：k k = = = = k 2 3 2 3 2 3 i j 换码 （2 2）总刚）总刚“集成集成” 按单刚各元素的行码和列按单刚各元素的行码和列 码（单元定位向量）分别将其置码（单元定位向量）分别将其置 于结构刚度矩阵相应的位置，即于

26、结构刚度矩阵相应的位置，即 “对号入压对号入压”，集成总刚。，集成总刚。 11 1122 22 420 2442 024 ii kiiii ii 1 2 3 1 2 3 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 例题例题 试求图示连续梁的整体刚度矩阵试求图示连续梁的整体刚度矩阵k k。 解：解：1 1）结点编码、单元划分。）结点编码、单元划分。 结点位移编码结点位移编码 均示于图中（凡均示于图中（凡 是给定为零值的结点是给定为零值的结点 位移分量，其总码均编为零。）位移分量，其总码均编为零。） 2 2）列出各单元定位向量）列出各单元定位向量e e =1 2 =1 2T T

27、=2 3 =2 3T T =3 0 =3 0T T 1203 i1i2 12 3 0=0 i3 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 例题例题 试求图示连续梁的整体刚度矩阵试求图示连续梁的整体刚度矩阵k k。 1203 i1i2 12 3 0=0 i3 3 3）写出单元刚度矩阵并按）写出单元刚度矩阵并按 定位向量编码（或换码）定位向量编码（或换码） 4 4）“对号入座对号入座”，集成总刚。，集成总刚。 11 1122 223 420 2442 0244 ii kiiii iii 1 2 3 1 2 3 k k = = k k k = = k 2 42 24 i 2 3

28、2 3 k k = = k 3 42 24 i 3 0 3 0 1 42 24 i 1 2 1 2 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 2 2、平面刚架的整体刚度矩阵、平面刚架的整体刚度矩阵 原理、方法同连续梁，但具体求解过程要复杂些。原理、方法同连续梁，但具体求解过程要复杂些。 1 1、求解方法与步骤、求解方法与步骤 1 1）编码）编码 （1 1）单元：、；）单元：、； （2 2）结点：）结点：1 1、2 2、3 3； （3 3）结点位移）结点位移位位 移编码顺序为：移编码顺序为： 即：即： 。 , ,u v , ， 24 4 5 ,0.51 () 1 A0.5m

29、, 24 3 10 lm bhmm Im EMpa 截面尺寸 (1(1、2 2、3)3) (0(0、0 0、4)4) (0(0、0 0、0)0) 1 1 2 2 3 3 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 2 2、平面刚架的整体刚度矩阵、平面刚架的整体刚度矩阵 1:(1,2,3) 2:(0,0,0) 3:(0,0,4) 结点 结点 结点 对已知为对已知为 零的结点位移零的结点位移 分量，其总码分量，其总码 为零。为零。 24 4 5 ,0.51 () 1 A0.5m , 24 3 10 lm bhmm Im EMpa 截面尺寸 2 2）选取结构坐标系和单元）选取结构坐

30、标系和单元 坐标系（确定单元的始端坐标系（确定单元的始端 和末端）如左图和末端）如左图 单元坐标系单元坐标系 x x y y 结构坐标系结构坐标系 (1(1、2 2、3)3) (0(0、0 0、4)4) (0(0、0 0、0)0) 1 1 2 2 3 3 (1(1、2 2、3)3) (0(0、0 0、4)4) (0(0、0 0、0)0) 1 1 2 2 3 3 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 44 300 10,25 10 KNEAEI lml KN m 3 3）列出各单元定位向量）列出各单元定位向量e e =(1 2 3 0 0 4) =(1 2 3 0 0 4

31、)T T =(1 2 3 0 0 0) =(1 2 3 0 0 0)T T 4 4）求出单元刚度矩阵按定）求出单元刚度矩阵按定 位向量编码位向量编码 由单刚矩阵（由单刚矩阵（e e），），可可 得单元：得单元： (1(1、2 2、3)3) (0(0、0 0、4)4) (0(0、0 0、0)0) 1 1 2 2 3 3 单元坐标系单元坐标系 x x y y 结构坐标系结构坐标系 k k = = 10104 4 k 3000030000 0123001230 03010003050 3000030000 0123001230 03050030100 1 2 3 0 0 4 1 2 3 0 0 4

32、2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 单元：单元： 90 k k = = 010 1000 001 010 0100 001 T T = = 4 1203012030 0300003000 30010030050 10 1203012030 0300003000 30050300100 k k =T =T T T T T= = k 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 0 0 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 5 5）对号入座，集成总刚）对号入座，集成总刚 即为所求平面刚架的整体刚度矩阵。即为所求平面刚架的整体刚度矩阵。 4 300 120

33、300 0123003030 10 3030100 10050 030050100 k 1 2 3 4 1 2 3 4 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 3 3、整体刚度矩阵的特点、整体刚度矩阵的特点 1 1）整体刚度系数（整体刚度系数（k k i j i j） ）的意义的意义 表示当第表示当第j j个结点位移分量个结点位移分量1 1=1=1（其它结点位移分量为零其它结点位移分量为零 ）时所产生的第）时所产生的第i i个结点力个结点力F F i i； 2 2）k k是对称矩阵是对称矩阵（反力互等定理）；（反力互等定理）； 3 3）k k是满秩非奇异矩阵是满秩非奇异矩

34、阵（先处理法，已考虑约束条件）；（先处理法，已考虑约束条件）； 4 4）k k是稀疏、带状矩阵是稀疏、带状矩阵（即（即: :k k有许多零元素，且非零元素都分布有许多零元素，且非零元素都分布 在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。 2-5 2-5 结构体系的总体刚度矩阵结构体系的总体刚度矩阵 4 4、先处理法处理有中间铰刚架、先处理法处理有中间铰刚架 图示为具有铰结点的刚架。现说明具有铰结点刚架的处理方法；图示为具有铰结点的刚架。现说明具有铰结点刚架的处理方法； 将中间铰视为二个半独立的将中间铰视为二个半独立的 结点结点 即：即：中间铰处的两杆杆端的线中间

35、铰处的两杆杆端的线 位移相同（不独立），而角位移位移相同（不独立），而角位移 不同（独立）。不同（独立）。 故：故：它们的线位移采用同码，它们的线位移采用同码， 而角位移采用异码。而角位移采用异码。 (1(1、2 2、3)3) (4(4、5 5、6)6) (0(0、0 0、8)8) (4(4、5 5、7)7) (0(0、0 0、0)0) 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 中间铰中间铰 2-6 2-6 等效结点荷载等效结点荷载 在上面讨论的问题（连续梁、在上面讨论的问题（连续梁、 刚架）中，均做定荷载作用在结点上刚架）中，均做定荷载作用在结点上 ，即结点荷载。但在实际问题中，不，即结点荷载

36、。但在实际问题中，不 可避免地会遇到非结点荷载，对于非可避免地会遇到非结点荷载，对于非 结点荷载需将其交换为结点荷载需将其交换为等效结点荷载等效结点荷载 （所谓（所谓“等效等效”，是指交换前后两种，是指交换前后两种 情况的结点位移相同）。情况的结点位移相同）。 (1(1、2 2、3)3)(4(4、5 5、6)6) 1 12 2 3 3 4 4 x x y y o o FP 原问题的解原问题的解= =固端力固端力+ +杆端力（等效结点荷载引起）杆端力（等效结点荷载引起） 查表计算查表计算 矩阵位移法计算矩阵位移法计算 各单元最后杆端力，各单元最后杆端力，为固端力与总结点荷载产生的杆端力之和。为固

37、端力与总结点荷载产生的杆端力之和。 即：即： （局部坐标系中）（局部坐标系中） 或或 （整体坐标系中）（整体坐标系中） eeee p FFk eeee p FFk 2-7 2-7 计算步骤及示例计算步骤及示例 例例 试求图示梁的内力试求图示梁的内力 解：解：1 1）单元、结点、位移编号；）单元、结点、位移编号； 定坐标方向（如图定坐标方向（如图b b）。）。 k k 2 2）形成总刚）形成总刚kk （1 1）计算计算 ii ii 42 24 ii ii 42 24 50KNm 10KN/m i 6m 6m i （a a） x x y y 1 12 23 3 (0) (2)(1) （b b） e

38、 k 2-7 2-7 计算步骤及示例计算步骤及示例 （2 2）计算）计算K K e e 此处局此处局 部坐标与整体部坐标与整体 坐标一致，故坐标一致，故 不需变换。即：不需变换。即： （3 3）列出列出e e，并标在并标在k k 、 、k k 的上边 的上边 和左边（绿字所示）和左边（绿字所示） =2 1 =2 1T T， =0 2 =0 2T T 42 24 ii ii k k = = k 2 1 2 1 42 24 ii ii k k = = k 0 2 0 2 （4 4）对号入座集成对号入座集成kk 42 28 ii k ii 1 2 1 2 50KNm10KN/m i 6m 6m i （a a） x x y y 1 12 23 3 (0) (2)(1) （b b） 2-7 2-7 计算步骤及示例计算步骤及示例 3 3）形成总结点荷载）形成总结点荷载PP （1 1）非结点荷载处理非结点荷载处理 求固端力求固端力 e P F 30 30 p F 2