计算机图形学第六章 图形裁剪

1、2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 1 第六章第六章 图形裁剪图形裁剪 在用户坐标系中定义的图形往往是大而复杂的，而输 出设备如显示屏幕的尺寸及其分辨率却是有限的，为了 能够清晰地观察某一部分或对其进行某些绘图操作，就 需要将所关心的这一局部区域的图形从整个图形中区分 出来,这个区分指定区域内和区域外的图形过程称为裁剪， 所指定的区域称为裁剪窗口。 裁剪通常是对用户坐标系中窗口边界进行裁剪，然后 把窗口内的部分映射到视区中，也可以首先将用户坐标 系的图形映射到设备坐标系或规范化设备坐标系中，然 后用视区边界裁剪。 下面假定裁剪是针对用户坐标系中窗口边界进行的， 裁剪完成后

2、，再把窗口内图形映射到视区。所以裁剪的 目的是显示可见点和可见部分，删除视区外的部分。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 2 6.1 6.1 窗口区和视图区窗口区和视图区 6.1.1 6.1.1 坐标系坐标系 1.1.用户坐标系用户坐标系( (World Coordinates)World Coordinates) 又称为世界坐标系、完全坐标系等，它可以是用 户用来定义设计对象的各种标准坐标系，例直角坐标、 极坐标、球坐标、对数坐标等。用户坐标系所拥有的 区域范围从理论上说是连续的、无限的。 2.2.观察坐标系观察坐标系( (V Viewing Coordinates)

3、 Coordinates) 在用户坐标中设置观察坐标系，在观察坐标系中定 义一个观察窗口。观察坐标系用来任意设置矩形窗口 的方向。一旦建立了观察参考系，就可以将用户坐标 系下的描述变换到观察坐标系下。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 3 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 4 3.3.规范化设备坐标系规范化设备坐标系( (Normalized Device Coordinates)Normalized Device Coordinates) 在规范化坐标系下（取值范围从0到1）定义视区，将 观察坐标系下的场景描述映射到规范坐标系下。 2021-6

4、-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 5 4.4.设备坐标系设备坐标系( (Device Coordinates)Device Coordinates) 图形输出时需要一定的设备，如绘图仪、显示器 等，使用的是设备坐标系。设备坐标系一般为二维坐 标，如屏幕坐标。它的范围有限，单位一般为整数。 设备坐标一般采用无量刚方式，可以转换为有量刚坐 标。一旦场景变换到规范化坐标系下的单位正方形中， 以后该单位面积只需要简单地映射到具体输出设备的 显示区。给出合适的设备驱动程序，就可以使用不同 的输出设备。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 6 6.1.2 6.1.2 窗口

5、区和视图区窗口区和视图区 用户可以在用户坐标系中指定感兴趣的任意区域，把这 部分区域内的图形输出到屏幕上，这个指定区域称为窗口区。 窗口区一般是矩形区域，可以用左下角和右上角两点坐标来 定义其大小和位置。定义窗口的目的是要选取图形中需要观 察的那一部分图形。在计算机图形学术语中，窗口最初是指 要观察的图形区域，但是目前窗口也用于窗口管理系统。在 本章中，我们将窗口理解为用户坐标系中要显示的区域。 图形设备上用来输出图形的最大区域称之为屏幕域，它 是有限的整数域，大小随具体设备而异。任何小于或等于屏 幕域的区域都可定义为视图区。视图区由用户在屏幕域中用 设备坐标定义，一般也定义成矩形，由其左下角

6、和右上角两 点坐标来定义。所以，用户可以利用窗口来选择需要观察那 一部分图形，而利用视图区来指定这一部分图形在屏幕上显 示的位置。标准的窗口区和视图区一般都是矩形，其各边分 别与坐标轴平行。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 7 用户定义的图形从窗口区到视图区的输出过程如下： 从应用程序得到图形的用户坐标(WC-World Coordinates)对窗口区进行裁剪(WC)窗口区到视图 区 的 规 格 化 变 换 ( N D C - N o r m a l i z e d D e v i c e Coordinate)视图区从规格化设备系到设备坐标系的 变换(DC-Dev

7、ice Coordinate)在图形设备上输出图形。 下图是从用户坐标系取图形在设备坐标系下显示的示 意图： 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 8 6.1.3 6.1.3 窗口区和视图区之间的坐标变换窗口区和视图区之间的坐标变换 由于窗口和视图是在不同坐标系中定义的，因此， 在把窗口中图形信息转换到视图区之前，必须进行坐标 变换，即把用户坐标系的坐标值转化为设备坐标系的坐 标值。 设在用户坐标系下，矩形窗口左下角点坐标为 (Wxl,Wyb), 右上角点坐标为(Wxr,Wyt)。屏幕中视图区的 两个角点在设备坐标系下分别为(Vxl,Vyb)和(Vxr,Vyt)。 则在窗口

8、中的点(xw,yw)对应视图区中的点（xv, yv)， 其变换公式为： ybybw ybyt ybyt v xlxlw xlxr xlxr v VWy WW VV y VWx WW VV x )( )( 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 9 下图为示图： 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 10 记: xlxr xlxr WW VV a xl xlxr xlxr xl W WW VV Vb ybyt ybyt WW VV c yb ybyt ybyt yb W WW VV Vd 公式可以化简为： dcyy baxx wv wv 2021-6-27计

9、算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 11 写成矩阵形式为： 1 00 00 11 db c a YXyx wwvv 上述变换是二维变换中比例变换和平移变换的组 合变换。通过变换，可以实现将用户坐标系中窗口 区中任意一点转换成设备坐标系中视图区中一点， 从而可以把实际图形转换到具体输出设备的显示区。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 12 6.2 6.2 直线段裁剪直线段裁剪 直线段是组成其它图形的基础，其它任何图形， 一般都能用不同直线段或近似为直线段组合形成。直 线段裁剪是其他裁剪的基础，下面介绍几种基本的线 段裁剪方法。 6.2.1 6.2.1 点的裁剪点的裁剪

10、裁剪算法中最基本的也是最简单的是点的裁剪。设裁 剪窗口是一个标准矩形，窗口左下角点坐标为(Wxl,Wyb), 右上角点坐标为(Wxr,Wyt)，若点P(x,y)满足下列不等式： WxlxWxr WybyWyt 则该点在窗口内，其中等号表示点位于窗口边界上。这 样的点属于可见点，应予保留，如果这四个不等式中有 任何一个不满足，则该点在窗口外，应被裁剪掉。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 13 6.2.2 6.2.2 编码裁剪算法编码裁剪算法 这是一个最早最流行的线段裁剪算法，是由Cohen和 Sutherland提出的，也称为Cohen-Sutherland线段裁 剪算

11、法。该算法通过初始测试来减少需要计算的交点 数目，从而加快线段裁剪算法的速度。 1. 1. 线段同窗口的关系线段同窗口的关系 在许多情形中，大多 数线段不是在裁剪窗口 之内就是在裁剪窗口之 外，因此需要迅速决定 是否接受或抛弃线段。 对于任意一条直线段， 它相对于裁剪窗口的可 能关系如右图所示。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 14 （1）若一线段两端点均位于裁剪窗口内，则该线段也位 于窗口内且可见，如图中的线段P1P2； （2）当线段两端点均在窗口之外，且位于裁剪窗口的同 一侧时，该线段必全部在窗口之外，从而是不可见的，如 图中的线段P3P4。 （3）但当线段两端点

12、在窗口之外，而不位于裁剪窗口的 同一侧时，该线段可能完全在窗口的外面，如图中的线段 P9P10，也可能不全部在窗口的外面，如图中的线段P7P8。 （4）若线段的两端点一个位于窗口之内，一个位于窗口 之外，则该线段部分可见，如图中的线段P5P6。 对于上述(1)(2)两种情况，可以通过判断一线段两端点 位置直接决定是否接受或抛弃线段。而对于(3)(4)两种情 况，则需要进一步计算线段与裁剪窗口的交点，得到需要 保留的部分线段。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 15 2 2 编码方法编码方法 根据上面的分析，把包含窗口的平面区域沿窗 口的四条边线分成九个区域，如下图所示。

13、用四位 二进制码来标识线段的端点位于九个区域中的哪一 个区域内。四位编码规则如下： 第一位置1： 线段端点位于窗口左侧； 第二位置1： 线段端点位于窗口右侧； 第三位置1： 线段端点位于窗口下面； 第四位置1： 线段端点位于窗口上面； 否则相应位置零。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 16 由编码规则可知，若线段完全在裁剪窗口内，则线 段两端点编码均为0000。当线段两端点均在窗口之外， 且位于裁剪窗口的同一侧时，则两端点编码必有一位 同时为1。 一旦给所有的线段端点建立了编码，就可以快速 判断哪条线段完全在裁剪窗口内，哪条线段完全在窗 口外。其方法如下： （1）线段

14、两端点的编码逐位取逻辑“或”，若结果 为零，则该线段必为完全可见，应保留。 （2）线段两端点的编码逐位取逻辑“与”，若结果 非零，则该线段必为完全不可见，因而可立即抛弃。 通过上面两步判定得知完全可见线段和完全不可见 线段后，剩下线段两端点编码逻辑“或”不为零，或 两端点编码的逻辑“与”均为零，这些线段可能部分 可见，也可能完全不可见。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 17 对于不能判定完全可见和完全不可见的线段，需 要对线段进行再分割，即找到与窗口一个边框的交点， 根据交点位置，也赋予4位代码，并对分割后的线段进 行检查，或者接受，或者舍弃，或者再次进行分割。 重复

15、这一过程，直到全部线段均被舍弃或被接受为止。 线段与窗口边求交次序的选择是任意的。但是无论哪 种次序，对于有些线段的裁剪，可能不得不重复4次， 计算与4条窗口边的交点。 下面介绍交点的求法。设线段两端点坐标分别为 P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，通过P1(x1,y1)和P2(x2,y2)两点 的直线方程为： 11) (yxxmy或 11) ( 1 xyy m x 其中 12 12 xx yy m 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 18 利用两点式直线方程，线段与窗口四条边线的交点 坐标，可分别确定如下： 同窗口左边线的交点： 11) (yxWmy Wx xl x

16、l 同窗口右边线的交点： 11) (yxWmy Wx rl rl 同窗口上边线的交点： 11) ( 1 xyW m x Wy yt yt 同窗口下边线的交点： 11) ( 1 xyW m x Wy yb yb 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 19 在上面的求交点计算过程中，需要考虑对某些特殊情 形的处理。若直线的斜率m为无穷大，则直线平行于窗口 的左边和右边，故仅需检查直线与上、下两边的交点。同 样，若直线斜率为零，则它平行于窗口的上、下两边，这 时仅需检查直线与左、右两边的交点。 6.2.3. 6.2.3. 参数化线段裁剪算法参数化线段裁剪算法 更快的线段裁剪算法基

17、于线段的参数化方程的分析， 它是由粱友栋和Barsky提出的，也称为粱友栋-Barsky线 段裁剪算法。 设线段两端点坐标分别为P1(x1,y1)和P2(x2,y2),则其参 数化直线方程可写成下列形式： yuyyyuyy xuxxxuxx 1121 1121 )( )( 0u1 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 20 坐标(x,y)表示直线上两端点之间的任一点。当u=0时，得 点P1，当u=1时，得点P2。线段的裁剪条件可以由下面的不 等式表示： Wxlx1uxWxr Wyby1uyWyt 这四个不等式可以表示为： upkqk k=1,2,3,4 其中，参数p,q定义

18、为： p1-x, q1x1Wxl p2x, q2Wxrx1 p3-y, q3y1Wyb p4y, q4Wyty1 下标k=1,2,3,4分别对应裁剪窗口的左、右、下、上四条 边界线。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 21 如果线段平行于裁剪窗口的某两边界，则必有相应的 pk0，如果还满足qk0，则线段的端点位于窗口外部， 即线段在窗口外，应该舍弃。如果qk0，线段在窗口内。 当pk0时，直线是从裁剪窗口第k条边界线的外部延 伸到内部。例如当p10时，则x2x1, 直线必然从裁剪窗 口的左边界线的外部进入内部，如下图中的线段P1P2。当 pk0时，直线是从裁剪窗口第k条

19、边界线的内部延伸到外 部。例如p20时，则x2x1, 直线必然从裁剪窗口的右边 界线的内部进入外部,如下图中的线段P3P4。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 22 当pk不等于零时，可以计算出线段与第k条裁剪窗 口边界线的交点参数： k k k p q r 根据定义，对于每条线段，pk中必有两个小于零，而另 两个大于零。对于小于零的pk，直线同第k条裁剪窗口 边线是从外到内相遇的，此时如果线段同第k条裁剪窗 口边界线有交点的话，是参数u从0变大时遇到的，这 时计算出相应的rk值，取0和各个rk值之中的最大值记 为u1。与此相反，对于大于零的pk，计算出相应的rk值，

20、取1和各个rk值之中的最小值记为u2。两个参数u1和u2定 义了在裁剪窗口内的线段部分。如果u1u2，则线段完 全落在裁剪窗口之外，应被舍弃。否则被裁剪线段可 见部分的端点由参数u1和u2计算出来。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 23 梁友栋线的裁剪算法例子 设：Wxl=2; Wxr=4; Wyb=2; Wyt=4 被裁剪线段的两端点：（1，2），（5，3） 计算：x=5-1=4 y=3-2=1 p1= -4，q1= -1 p2=4， q2=3 p3= -1，q3= 0 p4=1， q4=2 4 1 4 1 1 r 4 3 2 r 0 3 r 2 4 r 2021-

21、6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 24 p1，p3小于0，决定u1，取0与r1和r3中的大者，u1=1/4 p2，p4大于0，决定u2，取1与r2和r4中的小者，u2=3/4 两交点由u1，u2决定： 计算：(1) 24 4 1 1x 4 1 21 4 1 2y (2) 44 4 3 1x 4 3 21 4 3 2y 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 25 通常粱友栋-Barsky算法比Cohen-Sutherland算法 更有效，因为需要计算的交点数目减少了。一次计算 就可以确定出线段的可见性及可见部分。这两种线段 裁剪算法都可以扩展为三维线段裁剪算法。

22、 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 26 6.3 6.3 多边形裁剪多边形裁剪 尽管多边形是由线段组成的，但却不能简单地将线 段裁剪方法用于多边形裁剪。这是因为，在线段裁剪 中，是把一条线段的两个端点孤立地加以考虑的，而 多边形是由一些有序的线段组成的，裁剪后的多边形 仍应保持原多边形各边的连接顺序。还有，一个完整 的封闭多边形经裁剪后一般不再是封闭的，需要用裁 剪窗口边界适当部分来形成一个或多个封闭区域。所 以，多边形裁剪后的输出应该是定义裁剪后的多边形 边界的顶点序列。下图示出了一个多边形裁剪的例子。 图(a)中是矩形裁剪窗口和需要裁剪的三角形，图(b) 中是不正确

23、的非封闭裁剪结果，图(c)是正确的封闭裁 剪结果。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 27 多边形裁剪方法很多，下面介绍两种常用的多边形裁剪 算法。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 28 6.3.1 6.3.1 逐边裁剪法逐边裁剪法 这个算法是由Sutherland和Hodgman提出来的, 也称 为Sutherland-Hoeman多边形裁剪方法。对于矩形裁剪窗 口的一条边界线，如果称窗口区域所在的一侧为内侧， 另一侧为外侧，则方法的具体做法是：每次用裁剪窗口 的一条边界对要裁剪的多边形进行裁剪，把落在此边界 外侧的多边形部分去掉，只保留内侧

24、部分，形成一个新 的多边形，并把它作为下一次待裁剪的多边形。若依次 用裁剪窗口的4条边界对要裁剪的原始多边形进行裁剪， 则最后形成了裁剪出来的多边形。下图说明了这个过程。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 29 在剪取过程中，实际是多边形的每一边与窗口的一边界进行 比较，从而确定它们的位置关系。多边形是用顶点表示的，相 邻的一对顶点构成一条边。具体实现时首先把待裁剪多边形各 顶点按照一定方向有次序地组成顶点序列。然后用窗口的一条 边界裁剪多边形，产生新的顶点序列。 当多边形顶点序列中一条边的起点和终点被一窗口边界裁剪 时，会遇到边与窗口的四种情况之一，做如下处理： 如果

25、起点在窗口边界外侧而终点在窗口边界内侧，则将 多边形的该边与窗口边界的交点和终点都加到输出顶点表中； 如果两顶点都在窗口边界内侧，则只有终点加入输出顶 点表中； 如果起点在窗口边界内侧而终点在外侧，则只将与窗口 边界的交点加到输出顶点表中； 如果两个点都在窗口边界外侧，输出表中不增加任何点。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 30 边与窗口的四种可能的关系如下图所示： 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 31 按照上述处理方法，窗口的一条裁剪边界处理完所有 顶点后，其输出是一个新的封闭多边形顶点序列表，用于 窗口的下一条边界继续裁剪。所有的窗口边界

26、都裁剪完后， 得到的是裁剪后的多边形顶点序列，它自然也是封闭的。 要实现上述算法还涉及到点处于窗口边界内外侧判别和求 多边形的边和窗口边界的交点。前一节线段裁剪中所述的 判别和求交方法都是可用的，下面再各介绍一种方法。 二维多边形裁剪中，用两矢量叉积的方法判别点处于 窗口边界内外侧十分简单。设在右手坐标系中，裁剪窗口 位于XY平面上，平面的法线与Z轴方向相同，所以只有z 分量。假定裁剪窗口各边取顺时针方向，记一边界起点为 W1,终点为W2。多边形的一顶点P与W1和W2可构成平面上 的两矢量 和 ，作两矢量的叉积，如下图所示，也只 有z分量不为零： 21W W PW1 2021-6-27计算机图

27、形学演示稿 纪玉波制作 (C) 32 kji yyxx yyxx WWWW WPWP WWPW 1212 11 211 00 上式中的下标x,y分别表示点的x,y坐标分量。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 33 记： yyxx yyxx WWWW WPWP C 1212 11 当P点位于窗口边界的右面时为内侧,其矢量叉积同Z轴 的正方向，此时C0，点可见。当点位于窗口边界的 左面时为外侧，其矢量叉积同Z轴方向相反，此时C0， 点不可见。当点位于窗口边界上时作为可见，此时C=0。 如是通过多边形顶点和窗口边界端点的坐标值，用上 式计算C值可判断出点的可见性。 线段与窗口

28、边界的交点可以使用直线的参数方程求 取。线段的参数方程为: )( )( 121 121 yyuyy xxuxx 0u1 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 34 记被裁剪线段的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2), 窗 口边界线段的两端点为W1(W1x,W1y), W2(W2x,W2y)。并记两 线段的参数分别为u1,u2。如果两线段相交，则交点处的 参数值可以由下面方程求出： )()( )()( 12211211 12211211 yyy xxx WWuWyyuy WWuWxxux 解方程组可得： 1221 1221 2111 2111 1 yyWW xxW

29、W WWyW WWxW u yy xx yyy xxx 1221 1221 1211 1211 2 yyWW xxWW yyyW xxxW u yy xx y x 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 35 当分母0 1221 1221 yyWW xxWW yy xx 时，u1和u2有相同的唯一解。 当解在0,1区间时,将u1和u2代入方程中得到交点坐标。 否则两线段不相交。分母为零时两线段平行。 算法描述如下： 依次取窗口的一边作为裁剪边，各窗口边都处理完后转； 用此裁剪边对多边形的各条边依次进行裁剪； 按被裁剪边相对于裁剪边相交、重合、完全可见，完全不 可见分情况处理；

30、 多边形全部边裁剪完否？完转，否则转； 结束。 由于在这一剪取方法中，被剪取多边形的每一边是依次处 理的，故只需作少许变动，用同一子程序可以处理多边形的 每一边。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 36 凸多边形可以用Sutherland-Hodgeman算法获得正 确的裁剪结果，但是对凹多边形的裁剪，可能出现如 下图所示多余的连线。这种情况在裁剪后的多边形有 两个或者多个分离部分的时候出现。因为只有一个输 出顶点表，所以表中最后一个顶点总是连着第一个顶 点。如下面所述的另一算法可以消除这一问题。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 37 6.3.

31、2 6.3.2 双边裁剪法双边裁剪法 此算法是由Weiler和Atherton提出来的。算法的基本做 法是：有时沿着多边形边的方向来处理顶点，有时沿着窗 口的边界方向来处理，从而避免产生多余的连线。设被裁 剪多边形和裁剪窗口都按顺时针确定排列方向，因此，沿 多边形的一条边前进，其右边为多边形的内部。算法首先 沿多边形的任一点出发，跟踪检测多边形的每一条线段， 当线段与裁剪窗口边界相交时： 如果线段起点在窗口外部而终点在窗口内部，则求出 交点，输出线段可见部分，继续沿多边形方向往下处理； 如果线段起点在窗口内部而终点在窗口外部，则求出 交点，输出线段可见部分。从此交点开始，沿着窗口边界 方向往前

32、检测，找到一个多边形与窗口边界的新交点后， 输出由前交点到此新交点之间窗口边界上的线段； 返回到前交点，再沿着多边形方向往下处理，直到处 理完多边形的每一条边，回到起点为止。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 38 下图说明了双边裁剪算法的执行过程。 Weiler-Atherton算法可适用于任何凸的或凹的多边形裁 剪，不会产生多余连线。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 39 6.4 6.4 其它类型的图形裁剪其它类型的图形裁剪 6.4.1 6.4.1 非矩形裁剪窗口的线段裁剪非矩形裁剪窗口的线段裁剪 在某些应用中，需要用任意形状的多边形对线段

33、裁剪。 对凸多边形裁剪窗口，可以修改粱友栋-Barsky的参数化 线段裁剪方法，使参数化方程适合裁剪区域的边界，按 照裁剪多边形的坐标范围处理线段。这就成为另一种称 之为Cyrus-Beck线段裁剪方法的算法。而前面介绍的两 种多边形裁剪方法都适应于任意凸多边形裁剪窗口。 圆或其他曲线边界也可以用作为裁剪窗口，但用的很 少。用这些区域的裁剪算法速度更慢，因为它的求交计 算涉及非线性曲线方程。加快速度的一个方法是可以首 先使用曲线裁剪区域的外接矩形裁剪，完全落在外接矩 形之外的裁剪对象被舍弃。如果是用圆作为窗口对线段 裁剪，可以通过计算圆心到直线端点的距离来识别出内 部线段。其他线段通过解联立方

34、程来计算交点。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 40 6.4.2 6.4.2 曲线的裁剪曲线的裁剪 曲线的裁剪过程涉及到非线性方程，需要更多的 处理。圆或者其它曲线对象的外接矩形可以用来首先 测试是否与矩形裁剪窗口有重叠。如果曲线对象的外 接矩形完全落在裁剪窗口内，则曲线对象完全可见， 如果曲线对象的外接矩形完全落在裁剪窗口外，则曲 线对象完全不可见。两种情况都不满足时，一般需要 解直线和曲线的联立方程求交点。 处理曲线对象的另一有效方法是把它们近似为直 线段，然后使用线段或多边形的裁剪算法。曲线绘制 时通常也使用直线段逼近的方法，由于逼近时总是将 线段取的很短，为了

35、减少计算时间，裁剪时可以不计 算交点，只要线段的端点中至少有一个在裁剪窗口外， 就舍弃该线段，从而提高裁剪效率。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 41 .3字符的裁剪字符的裁剪 字符既可由单个的线段或笔划构成，也可以用点阵来 表示。由裁剪精度要求不同，字符裁剪也采用不同的方法。 精确裁剪是对单个字符进行裁剪。此时笔划式字符可 看作是短直线段的集合，用裁剪线段的方法进行裁剪。点 阵式字符必须将字符方框中每一象素同裁剪窗口进行比较， 以确定它位于窗口内还是窗口外。若位于窗口内，该象素 被激活，否则不予考虑。 如果把每个字符看作是不可分割的整体，那么对每一

36、个字符串就可用逐字裁剪的方法。这可将字符方框同裁剪 窗口进行比较，若整个方框位于窗口内，则显示相应字符， 否则不予显示。 最后一种处理方法是把一个字符串作为不可分割的整 体来处理，或者全部显示，或者全部不显示。将字符串用 一个字符串框封闭起来，若整个方框位于窗口内，则显示 整串字符，否则整串字符就不显示。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 42 下图示出了这几种裁剪情况。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 43 6.5 6.5 三维裁剪三维裁剪 6.5.1 6.5.1 三维三维裁剪裁剪空间空间 三维图形的显示需要投影到二维投影面上实现。但 在投影

37、之前应对三维图形进行裁剪，把图形中不关心 的部分去掉，留下感兴趣的部分投影到投影面上显示 出来。这就需要在用户坐标系中指定一个观察空间， 将这个观察空间以外的图形裁剪掉，只对落在这个空 间内的图形部分作投影变换并予以显示。 观察空间的确定取决于投影类型、投影平面、和投 影中心的位置。对于透视投影，观察空间是顶点在投 影中心、其棱边穿过投影平面四个角点、没有底面的 四棱锥，如下图(a)所示。而对于平行投影，观察空间 是一个四边平行于投影方向、两端没有底面的长型方 管如下图(b)所示。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 44 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作

38、 (C) 45 在大多数场合，希望观察空间是有限的。通常 使用平行于投影平面的一截面将无限的观察空间截 成有限的观察空间。截面的位置由从投影中心沿投 影平面法向的距离z=E确定。对于透视投影，投影平 面与截面之间的观察空间是一个正四棱台，如上图(c) 所示。对于平行投影，投影平面与截面之间的观察 空间是一个正四棱柱，如上图(d)所示。有限的观察 空间又叫裁剪空间。裁剪空间具有六个边界平面， 即左侧面、右侧面、上面、下面、前面和后面。这 六个边界平面把整个三维空间分割成裁剪空间内部 和裁剪空间外部两部分。把落在裁剪空间内的图形 从整个空间的图形中分离出来，这就是三维裁剪所 要做的工作。 2021-6-27计算机图形学演示稿 纪玉波制作 (C) 46 假设投影平面为正方形，边长2f，到坐标原点的距 离是d，则平行投影观察空间正四棱柱的左、右、上、 下、前、后六个边界平面的平面方程分别是： Ez dz fy fy fx fx 对于透视投 影，观察空 间正四棱台 的六个边界 平面的平面 方程分别是： Ez dz zy zy zx zx d f d f d f d f 三维裁剪方法很多，我们在二维图形裁剪中介绍的编码 裁剪方法和参数化裁剪方都可以推广应用到三维图形裁 剪。下面介绍三维编码裁剪方法。 2021-6-27计算机图形学演示稿