2021届高考数学教学案：第2章 第12讲　定积分与微积分基本定理含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第2章 第12讲定积分与微积分基本定理含解析第12讲定积分与微积分基本定理考纲解读1。了解定积分的实际背景、基本思想及其概念，并掌握运用微积分定理求定积分值(重点）2准确掌握定积分的计算公式，能熟练求出定积分及曲边梯形的面积(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看,本讲是高考中的冷考点,高考中即使考查定积分的试题，难度一般也不会太大预测2021年可能涉及定积分的计算、分段函数的定积分、定积分的几何意义等，以求曲边梯形的面积与几何概型综合考查为主要命题方向，试题难度一般不大，以选择、填空形式呈现。1.定积分的概念如果函数f（x）

2、在区间a,b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi1,xi上任取一点i（i1,2，n）,作和式f（i)x f(i），当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f（x）在区间a，b上的定积分，记作f(x）dx，即f（x)dx f（i）其中f(x）称为被积函数，a称为积分下限，b称为积分上限2。定积分的几何意义f（x）f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线xa，xb,y0及曲线yf(x）所围成的曲边梯形的面积f（x）0表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x）在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯

3、形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积3定积分的性质性质1：kf（x)dxkf(x）dx(k为常数）性质2：f(x）g（x）dxf(x）dxg(x)dx。性质3:f（x)dxf（x)dxf(x)dx。4微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间a，b上的连续函数，且f(x）f（x),那么f（x）dxf(b)f(a)这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式可以把f（b)f（a）记为f（x），即f(x）dxf（x)f（b）f(a)5定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为s.（1）sf（x）dx；(2)sf（x）dx；（3）sf（x）dxf(x)dx;(4）sf(x）dxg（x）d

4、xf(x）g(x)dx。6定积分与函数奇偶性的关系函数f（x)在闭区间a,a上连续，则有（1)若f(x)为偶函数，则af（x）dx2f(x）dx.（2)若f（x）为奇函数，则af(x)dx0.1概念辨析（1）在区间a,b上连续的曲线yf（x）和直线xa，xb(ab)，y0所围成的曲边梯形的面积sf（x)|dx.（)（2）若f（x)dx0且a1),因为其过点e（2,9）,所以a29,解得a3,所以图中阴影部分的面积s3xdx。(2）已知质点的速率v10t，则从t0 到tt0质点所经过的路程是(）a10t b5t c.t d。t答案b解析答案解析的几何意义是函数y|x的图象与直线x1,x2，y0围

5、成的图形(如图阴影所示)的面积，所以1122.（4)若9，则常数t的值为_答案3解析解得t3.题型 一定积分的计算1设f（x)则等于（)a. b。 c。 d不存在答案c解析x3422。2。 _.答案0解析易证函数f（x）3x34sinx为奇函数，所以5(3x34sinx)dx0.3。 _。答案解析由定积分的几何意义知,所求定积分是由x0，x2，y，以及x轴围成的图象的面积,即圆(x1）2y21的面积的一半,.求定积分的常用方法（1)微积分基本定理法其一般步骤为：把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的和、差、积或商把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述

6、函数的定积分分别用求导公式找到一个相应的原函数利用微积分基本定理求出各个定积分的值计算原始定积分的值（2）几何意义法将待求定积分转化为一个易求平面图形的面积，进而求值如举例说明3。(3）基本性质法对绝对值函数、分段函数，可利用定积分的基本性质将积分区间分解为若干部分求解(4)奇偶性法若函数f（x）为偶函数，且在a,a上连续,则af(x）dx2f（x）dx；若f(x)为奇函数,且在a，a上连续，则af（x)dx0. 1. ()a7 b. c。 d4答案c解析4。2。 的值为_答案2（e1）解析2exdx2ex2（e1）3若f(x），则_.答案解析令y，则（x1）2y24（y0）,所以函数f(x）

7、的图象是以（1,0）为圆心，2为半径的圆在x轴上方（包括x轴)的部分，所以22。题型 二利用定积分求平面图形的面积角度1求平面图形的面积1（2019南宁模拟)曲线y与直线y5x所围成的平面图形的面积为()a. b.c。4ln 2 d。8ln 2答案d解析方程5x的解为x1或x4，所以曲线y与直线y5x所围成的平面图形的面积为（阴影部分)dx154ln 48ln 2.角度2已知平面图形的面积求参数2如图，已知点a（0,1)，点p(x0，y0)（x00）在曲线yx2上移动,过p点作pb垂直x轴于点b,若图中阴影部分的面积是四边形aobp面积的,则p点的坐标为_答案(1，1)解析由题意，点p（x0,

8、y0），则梯形aobp的面积为（1y0）x0(1x）x0,且阴影部分的面积为又阴影部分的面积是梯形aobp面积的,x(1x)x0,解得x00或x01;取x01,则y01，p点的坐标为(1，1)角度3与其他知识的交汇命题3（2019山西八校联考)如图，矩形oabc中曲线的方程分别是ysinx,ycosx。a，c(0,1)，在矩形oabc内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）a。 b.c4（1） d4（1)答案b解析由题可知图中阴影部分的面积故选c。2如图，点m在曲线y上，若由曲线y与直线om所围成的阴影部分的面积为，则实数a等于（)a. b.c1 d2答案c解析由题意，m（a，），直线om

9、的方程为y，故所求图形的面积为得a1，故选c.3若函数f（x）asin（a0，0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为_答案解析由图可知,a1，t2，1,则f(x）sin，图中的阴影部分的面积为1.题型 三定积分在物理中的应用1一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t（t的单位:s，v的单位：m/s）行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（)a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 2答案c解析由v（t)73t0,可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为2一物体做变速直线运动，其 vt曲线如图所示，则

10、该物体在6 s间的运动路程为_ m。答案解析由题图可知,v（t)由变速直线运动的路程公式,可得所以物体在6 s间的运动路程是 m.定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为vv（t）,那么从时刻ta到tb所经过的路程(2)变力做功，一物体在变力f(x)的作用下,沿着与f(x）相同方向从xa移动到xb时，力f(x）所做的功是w 1物体a以v3t21(m/s）的速度在一直线l上运动，物体b在直线l上,且在物体a的正前方5 m处，同时以v10t（m/s)的速度与a同向运动，出发后，物体a追上物体b所用的时间t（s）为()a3 b4 c5 d6答案c解析物体

11、a在t秒内行驶的路程为物体b在t秒内行驶的路程为所以(t3t5t2)t3t5t25，所以(t5)(t21)0,故t5。2一物体在力f（x)（单位:n）的作用下沿与力f相同的方向,从x0处运动到x4（单位：m)处，则力f（x)做的功为_j.答案36解析由题意知，力f（x)所做的功为w521036（j)组基础关1由直线x,x，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为()a. b. c2 d2答案b解析函数ycosx是偶函数，.2从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为vgt(g为常数），则电视塔高为（)a。g bg c.g d2g答案c解析

12、由题意知电视塔高为2ggg。3(2019呼和浩特质检)若则s1，s2，s3的大小关系为()as1s2s3 bs2s1s3cs2s3s1 ds3s2s1答案b解析因为 所以，s2s1s3。4如图，阴影部分的面积是(）a2 b5 c。 d.答案c解析联立解得或由图可知，阴影部分的面积可表示为。5在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线c的方程为x2y0)的点的个数的估计值为()a5000 b6667 c7500 d7854答案b解析图中阴影部分的面积为，又正方形的面积为1，则10000个点落入阴影部分个数估计为100006667,故选b。6若3ln 2(a1）,则a的值是(

13、）a2 b3 c4 d6答案a解析(x2）2x，(ln x），dx（a21）ln a,由3ln 2(a1),所以（a21）ln a3ln 2,所以a2。7若定积分，则m等于（）a1 b0 c1 d2答案a解析根据定积分的几何意义知，定积分的值是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，y是圆心为(1，0）,半径为1的上半圆，其面积等于，而，即在区间2，m上该函数图象应为的圆，于是得m1。8一物体在变力f（x)5x2(力单位:n，位移单位：m）作用下，沿与f（x）成30方向做直线运动，则由x1运动到x2时，f(x）做的功为_j。答案解析,所以f(x）做的功为 j。9如图所示，函数yx2

14、2x1与y1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分）,则该闭合图形的面积是_答案解析由解得x10，x22.4。10已知曲线yx2与直线ykx（k0）所围成的曲边图形的面积为，则k_.答案2解析令x2kx得x0或xk，则阴影部分的面积为解得k2.组能力关1已知函数yf（x)的图象为如图所示的折线abc，则等于()a2 b2c1 d1答案d解析当0x1，f(x）x1，当1x0时,f(x）x1，11.2已知函数f(x）x3ax2bx(a，br)的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分)的面积为，则a的值为()a0 b1 c1 d2答案c解析由f（x）x3ax2bx，

15、得f(x）3x22axb。x0是原函数的一个极值点，f(0）b0，f（x)x3ax2，（x3ax2)dx0，a1.函数f（x)与x轴的交点横坐标一个为0，另一个为a,根据图形可知a0，得a1.3函数的最大值是(）a. b2 c2 d2答案b解析由题意可知cosx（2cos2x1）cos2xcosx（cosx1)222.所以y的最大值是2.4如图，由两条曲线yx2,4yx2及直线y1所围成的图形的面积为_答案解析令y1得到a（2,1），b（1，1），c(1,1)，d（2，1)设围成的图形的面积为s，因为y轴两边的阴影部分关于y轴对称，所以组素养关1曲线yx2x与x轴所围成图形的面积被直线ykx分成面积相等的两部分，则k的值为(）a b。c1 d.1答案d解析曲线yx2x与x轴交于（1,0）和原点，所以，曲线yx2x与x轴围成的平面区域的面积为联立解得或即直线ykx与曲线yx2x交于点(k1，k2k）和坐标原点，所以曲线yx2x位于直线ykx上方区域的面积为(k1）3,解得k1,选d。2如图所示,在区间0，1上给定曲线yx2，为使图中的阴影部分的面积s1与s2之和最小，区间0，1内的t的值为_,最小值为_答案解析面积s1等于边长为t与t2的矩形面