两个自由度体系的自由振动

1、 多自由度体系多自由度体系 4-1 两个自由度体系的两个自由度体系的 自由振动自由振动 多层房屋振动多层房屋振动 不等高排架振动不等高排架振动 。 多自由度体系多自由度体系 简化简化 多自由度体系多自由度体系建立运动方程建立运动方程 刚度法（刚度法（平衡方程平衡方程） 柔度法柔度法（位移协调）（位移协调） 1.1.刚度法刚度法 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 取质量取质量 和和 作隔离体作隔离体 1 m 2 m 隔离体隔离体 1.1.惯性力惯性力 和和 11 m y 22 m y 2.2.弹性力弹性力 和和 1 r 2 r 根据达朗伯原理，列平衡方程根据达朗伯原理，列平衡方程 图

2、图10-30c10-30c中，结构所受的力中，结构所受的力 、 与结构的位移与结构的位移 、 之间之间 满足刚度方程。满足刚度方程。 111 222 0 0 m yr m yr (a)(a) 1 r 2 r 1 y 2 y 1111122 2211222 rk yk y rk yk y (b)(b) 式（式（b b） 式（式（a a）, ,得：得： ij k 是结构的刚度系数（图是结构的刚度系数（图10-30d10-30d） 代入代入 11111122 22211222 ( )( )( )0 ( )( )( )0 m y tk y tk y t m y tk y tk y t (4-1)(4-

3、1) 11111122 22211222 ( )( )( )0 ( )( )( )0 m y tk y tk y t m y tk y tk y t (4-1)(4-1) 两个自由度无阻尼体系的自由振动微分方程两个自由度无阻尼体系的自由振动微分方程 求解：求解： 假设两个质点为简谐振动，则式假设两个质点为简谐振动，则式(4-1)的解可设：的解可设： 11 22 ( )sin() ( )sin() y tYt y tYt (c)(c) 式式(c)所示运动的特点所示运动的特点: : 1)1)在运动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相在运动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相 位角，位角， 和和

4、 是位移幅值；是位移幅值； 2 2）两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者比）两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者比 值始终保持不变。值始终保持不变。 1 Y 2 Y 即即 11 22 ( ) ( ) y tY y tY 常数 这种结构位移形状保持不变的振动形式称为这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或主振型或 振型。振型。 式（式（c c）代入式（）代入式（4-14-1），得：），得： 2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y (4-2)(4-2) 和和 不全为零的解答，则：不全为零的解答，则： 1 Y 2 Y 2 111 21

5、km D k (4-3a)(4-3a) 式式(4-3a)称为频率方程或特征方程，可求频率。称为频率方程或特征方程，可求频率。 12 2 222 0 k km 将式（将式（4-3a4-3a）展开：）展开： 22 1112221221 ()()0kmkmk k （4-3b)4-3b) 222 112211221221 1212 ()0 kkk kk k mmm m 2 2 1122112211221221 121212 11 22 kkkkk kk k mmmmm m （4-4)4-4) 可见：具有两个自由度的体系有两个自振频率。可见：具有两个自由度的体系有两个自振频率。 其中最小的圆频率，称为第

6、一圆频率或基本圆频率。其中最小的圆频率，称为第一圆频率或基本圆频率。 ：第二圆频率。：第二圆频率。 1 2 由自振圆频率由自振圆频率 和和 ，确定它们各自相应的频率。，确定它们各自相应的频率。 1 2 1 代入代入 （4-24-2） 2 1111122 2 21 12222 ()0 ()0 km Yk Y k Ykm Y 1112 2 211111 Yk Ykm 这个比值确定的振动形式：第一圆频率这个比值确定的振动形式：第一圆频率 相对应相对应 的振型，称为的振型，称为第一振型或基本振型第一振型或基本振型。 1 第一振型中质 点1的振幅 第一振型中质 点2的振幅 同样，由同样，由 （4-5a4

7、-5a） 1212 2 221121 Yk Ykm 第二振 型中质 点1的振 幅 2 得：得： （4-5b4-5b） 第二振型中质 点2的振幅 求出的两个振型分别如图求出的两个振型分别如图10-31b10-31b、c c 在一般情况下，两个自由振动体系的自由振动可在一般情况下，两个自由振动体系的自由振动可 看作是两个频率及其主振型的组合振动，即，看作是两个频率及其主振型的组合振动，即， 11 11112 1222 21 211122222 ( )sin()sin() ( )sin()sin() y tAYtA Yt y tAYtA Yt 方程（4- 1）的全 解 从以上的讨论中，归纳：从以上的

8、讨论中，归纳： （1）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系）在两个（多个）自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系 的全部自振频率及其相应的主振型。的全部自振频率及其相应的主振型。 （2）两个（多个）自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度）两个（多个）自由度体系的自振频率不止一个，其个数与自由度 的个数相等。自振频率可由特征方程求出。的个数相等。自振频率可由特征方程求出。 （3）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系）每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系 能够按单自由度振动时所具有的特定形式。能够按单自由度振动时所具有的特定形式

9、。 （4）与单自由度系统相同，多自由度的自振频率和主振型也是本身的）与单自由度系统相同，多自由度的自振频率和主振型也是本身的 固有性质固有性质。 例例4-1 图图10-32a所示两层刚架、其横梁为无限刚性。设质所示两层刚架、其横梁为无限刚性。设质 量集中在楼层上，第一、第二层的质量分别为量集中在楼层上，第一、第二层的质量分别为m1、m2。层。层 间侧移刚度分别为间侧移刚度分别为k1 、k2,即层间产生单位相对侧移时候所即层间产生单位相对侧移时候所 施加的力，如图施加的力，如图10-32b所示。试求刚架水平振动时的自振所示。试求刚架水平振动时的自振 频率和主振型。频率和主振型。 解：解：由图由图

10、10-32c和和d可求可求 出结构的刚度系数：出结构的刚度系数： 1112212 122222 kkkkk kkkk 将刚度系数代入到将刚度系数代入到 式（式（4-3b）,得：得： 222 121222 ()()0kkmkmk （a） 分两种情况讨论：分两种情况讨论： （1）当）当 时，时， 212 ,mm kkk 222 (2)()0km kmk 由此求得：由此求得： 2 1 2 2 (35) 0.38197 2 (35) 2.61803 2 kk mm kk mm 此时式（此时式（a）变为）变为 1 2 0.61803 1.61803 k m k m 求主振型求主振型时，可由式（时，可由式

11、（4-5a）和（）和（4-5b）求出振幅比值，从）求出振幅比值，从 而画出振型图。而画出振型图。 11 21 1 20.381971.618 Yk Ykk 12 22 1 22.618030.618 Yk Ykk 第一主 振型 第二主 振型 如图 10所 示-33 （2）当）当 时，时， 代入代入式（式（4-5a）和（）和（4-5b），可求出主振型：），可求出主振型： 1212 ,mnm knk 由此求得：由此求得： 222 22222 (1)()0nknmknmk 此时式（此时式（a）变为）变为 2 2 1 2 2 2 1141 (2) 2 k nnnm 2 1 11 24 Y n Y 如当

12、如当n=90时，时， 1112 2122 11 , 109 YY YY 由此可知，当顶部质量和刚度由此可知，当顶部质量和刚度 突然变小时，顶部位移比下部突然变小时，顶部位移比下部 位移大很多。建筑结构中，这位移大很多。建筑结构中，这 种因顶部质量和刚度突然变小，种因顶部质量和刚度突然变小， 在振动中引起巨大反响的现象，在振动中引起巨大反响的现象， 称为鞭稍效应。称为鞭稍效应。 2.柔度法柔度法 思路：在自振运动中的任一时刻思路：在自振运动中的任一时刻 ，质量，质量 、 的位的位 移移 、 应当等于体系在当时惯性力应当等于体系在当时惯性力 、 作用下所产生的静力位移。据此可列方程如下：作用下所产

13、生的静力位移。据此可列方程如下： t 1 m 2 m 1( ) y t 2( ) y t 11( ) m y t 22( ) m y t 111112212 211212222 ( )( )( ) ( )( )( ) y tm y tm y t y tm y tm y t （4-6） 柔度 系数 下面求微分方程（下面求微分方程（4-6）的解。仍设解为如下形式：）的解。仍设解为如下形式： 这里，假设多自由度体系按某一主振型象单自由度体系那样这里，假设多自由度体系按某一主振型象单自由度体系那样 作自由振动，作自由振动， 和和 是两质点的振幅（图是两质点的振幅（图10-24c）.有式（有式（a） 可

14、知两质点的惯性力为：可知两质点的惯性力为： 11 22 ( )sin() ( )sin() y tYt y tYt （a） 1 Y 2 Y 2 1111 2 2222 ( )sin() ( )sin() m y tmYt m y tmYt （b） 质点惯性 力的振幅 ( ) ( ) a b 代入式 （4-6） 22 11 1112212 22 21 1212222 ()() ()() YmYm Y YmYm Y （4-7） 22 11 1112212 22 21 1212222 ()() ()() YmYm Y YmYm Y （4-7） 主振型的 位移幅值 12 ()YY、 主振型惯性力幅值

15、作用下所引起的静力位移。 22 1 122 ()mYm Y、 11111222 2 211 12222 2 1 0 1 0 mYm Y mYmY （c） 11111222 2 211 12222 2 1 0 1 0 mYm Y mYmY （c） 1 2 0 Y Y 111122 2 211222 2 1 0 1 mm D mm 111222122211 22 11 0mmmm 111222122211 22 11 0mmmm 2 1 2 111222112212122112 ()()0mmmmmm 2 1112221112221122122112 1 2 ()()4() 2 mmmmm m (

16、4-8) 1 1 2 2 1 1 1 2 式式(c) 11122 21 111 2 1 12122 22 111 2 2 1 1 Ym Y m Ym Y m 主振型 (4-9) (4-9) 例例4-2 试求图试求图10-35a所示等截面简支梁的自振频率和主振型。设所示等截面简支梁的自振频率和主振型。设 梁在三分点梁在三分点1和和2处有两个相等的集中质量处有两个相等的集中质量m 解：解： 先求柔度系数。为此，先求柔度系数。为此， 作作 图如图图如图10-35b、 c所示。由图乘法求得：所示。由图乘法求得： 12 MM、 3 1122 3 1221 4 = 243 7 = 486 l EI l E

17、I 然后代入式然后代入式(4-8)，得：，得： 3 11112 3 21112 15 () 486 () 486 ml m EI ml m EI 从而求得两个自振圆频率：从而求得两个自振圆频率： 12 33 12 11 5.69,22 EIEI mlml 最后求主振型。由式（最后求主振型。由式（4-9a、b）,得得 1112 2122 11 , 11 YY YY 第一主振 型对称 第二主振 型反对称 3. 主振型的正交性主振型的正交性 现以图现以图10-37所示体系的两个主振型为例来说明。所示体系的两个主振型为例来说明。 图图10-37a为第一主振型，频为第一主振型，频 率为率为 ，振幅为，振

18、幅为 ，其，其 值正好等于相应惯性力值正好等于相应惯性力 所产生的静位移。所产生的静位移。 1 1121 ()YY、 22 11 111221 ()mYm Y、 图图10-37b为第二主振型，频为第二主振型，频 率为率为 ，振幅为，振幅为 ，其，其 值正好等于相应惯性力值正好等于相应惯性力 所产生的静位移。所产生的静位移。 2 1222 ()YY、 22 21 112222 ()mYm Y、 上述两种静力平衡用功的互等定理，可得：上述两种静力平衡用功的互等定理，可得： 2222 11 111212212221 1211222221 ()()()()mYYm YYmYYm YY 22 121 1

19、1 12221 22 ()()0mY Ym Y Y 12 1 11 12221 22 0mY Ym Y Y 两主振型关于质 量的正交关系 4-2 两个自由度体系在简谐两个自由度体系在简谐 荷载下的强迫振动荷载下的强迫振动 1.1.刚度法刚度法 图图10-3810-38所示两个自由度体系为例，在在动荷载下的振动方程：所示两个自由度体系为例，在在动荷载下的振动方程： 111111221 222112222 ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) p p m y tk y tk y tFt m y tk y tk y tFt (4-10) 11111122 22211222 ( )( )

20、( )0 ( )( )( )0 m y tk y tk y t m y tk y tk y t (4-1) 如果荷载是简谐荷载，即：如果荷载是简谐荷载，即： 11 22 ( )sin ( )sin pp pp FtFt FtFt (a) 则在平稳振动阶段，各质点也则在平稳振动阶段，各质点也 作简谐震动：作简谐震动： 11 22 ( )sin ( )sin y tYt y tYt (b) 将式将式(a)(a)和和(b)(b)代入（代入（4-104-10），消去公因子），消去公因子 后，得：后，得： (4-11) (4-12) 将式将式(4-11)(4-11)的位移幅值代回到式的位移幅值代回到式(

21、b)(b)，即得任意时刻，即得任意时刻t t的位移。的位移。 sin t 2 11111221 2 21 122222 () () p p km Yk YF k Ykm YF 12 12 00 , DD YY DD 位移 幅值 22 01112221221 2 12221122 2 22111112 ()() () () pp pp Dkmkmk k Dkm Fk F Dk Fkm F 例例4-3 4-3 设例设例10-410-4中的图中的图10-32a10-32a所示刚架在底层横梁上作用简谐所示刚架在底层横梁上作用简谐 荷载荷载 （图（图10-3910-39）. .试画出第一、二层横梁的振试

22、画出第一、二层横梁的振 幅幅 与荷载频率与荷载频率之间的关系曲线。设之间的关系曲线。设 11 ( )sin pp FtFt 12 YY、 1212 ,mmm kkk 解：刚度系数为解：刚度系数为 荷载幅值为：荷载幅值为： (c) 代入式（代入式（4-124-12）和式）和式（4-11），得），得 111212212222 ,kkk kkk kk 12 ,0 ppp FFF 2 1 0 2 0 () P P km F Y D kF Y D 其中，其中， 222 012122 ()()Dkkmkmk (d) 将式（将式（d d）和例）和例4-14-1中的特征方程相比，可知：中的特征方程相比，可知：

23、 242222222 012 3()()Dmkmkm 其中两个频率其中两个频率 和和 已由例已由例4-14-1求出：求出： 因此式（因此式（c)c)可写成：可写成： (e) 图图10-4010-40所示为振幅参数所示为振幅参数 与荷载频率参数与荷载频率参数 之间的关系曲线。之间的关系曲线。 1 2 22 12 (35)(35) , 22 kk mm 2 122 22 12 222 22 12 (1) (1)(1) 1 (1)(1) P P m F k Y k F Y k 12 PP FF YY kk 、 k m Y1趋于 无穷大 Y2趋于 无穷大 2.2.柔度法柔度法 图图10-42a10-4

24、2a所示两个自由度体系，受简谐荷载作用，在任一时所示两个自由度体系，受简谐荷载作用，在任一时 刻刻t t，质点，质点1 1、2 2的位移的位移y y1 1和和y y2 2，可以由体系惯性力，可以由体系惯性力 和动力荷载共同作用下的位移，通过叠加写出（和动力荷载共同作用下的位移，通过叠加写出（10-42b10-42b） 1122 m ym y、 1111122121 2112122222 ()()sin ()()sin p p ym ym yt ym ym yt (4-13) 设平稳振动阶段的解为：设平稳振动阶段的解为： 11 22 ( )sin ( )sin y tYt y tYt (a) 将

25、式（将式（a a）代入式（）代入式（4-13),4-13),消去公因子消去公因子 后，得：后，得： (4-14) 由此可解得位移的幅值为：由此可解得位移的幅值为： sin t 22 111121221 22 121 122222 (1)0 (1)0 p p mYmY mYmY 12 12 00 , DD YY DD (4-15) 式中：式中： 22 111212 0 22 121222 2 1212 12 2222 2 1111 22 1212 (1) (1) () ()(1) (1)() () p p p p mm D mm m D m m D m (4-16) 在求得位移幅值在求得位移幅值

26、Y1、Y2后，可得到各质点的位移和惯性力。后，可得到各质点的位移和惯性力。 位移：位移： 11 22 ( )sin ( )sin y tYt y tYt 惯性力：惯性力： 2 1111 2 2222 sin sin m ymYt m ymYt 因为因为位移、惯性力和动力荷载同时到幅值，动内力也在振幅位位移、惯性力和动力荷载同时到幅值，动内力也在振幅位 置达到幅值置达到幅值。动内力幅值可以在各质点的惯性力幅值和动力荷。动内力幅值可以在各质点的惯性力幅值和动力荷 载幅值共同作用下按静力分析方法求得。如任一截面的弯矩幅载幅值共同作用下按静力分析方法求得。如任一截面的弯矩幅 值，可由下式求出：值，可由下式求出： max1 122 ( ) P M tM IM IM 12 1212 =1=1 P II M MII M 、 分别为质点1、2惯性力幅值； 、 分别为单位惯性力、作用时，任一截面的弯矩值； 为动力荷载幅值静力作用下同一截面的弯矩值。 例例4-4 试求图试求图10-42a所示体系的动位移和动弯矩的幅值图。所示体系的动位移和动弯矩的幅值图。 已知：已知：m1=m2=m, EI=常数，常数，=0.61 1 解：解： （1 1）例）例4-24-2中已经求出柔度系数和基本频率。中已经求出柔度系数和基本频率。 所以所以 33 112212211 3 47 =,=,5.692 24